Оптимизация динамических характеристик и исследование устойчивости и автоколебаний гиросистемы с сопутствующей нелинейностью

Размещено на http://allbest.ru

Московский Государственный Технический Университет

им. Н. Э. Баумана

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу «Гироприборы»

Тема: Оптимизация динамических характеристик и исследование устойчивости и автоколебаний гиросистемы с сопутствующей нелинейностью

Выполнил: Студент Харисов Е. Р.

Преподаватель: Черников С. А.

Москва--2003

Содержание

Задание на курсовую работу

Уравнения движения ГИЛУ

Расчёт выражения для передаточных функций гиросистемы как объекта управления и как объекта стабилизации

Оптимизация параметров упруго-диссипативной связи динамических элементов гиросистемы по критерию minmax|W(j)|

АЧХ механической части гиросистемы с оптимальными параметрами * и С*

Синтез цепи обратной связи. ЛЧХ разомкнутой цепи

Переходный процесс при действии постоянного возмущающего момента

АЧХ замкнутой гиросистемы.

Структурная схема гиросистемы с сопутствующей нелинейностью. Разделение линейной и нелинейной части

Обоснование возможности применения метода гармонической линеаризации. ЛАЧХ приведённой линейной части

Гармоническая линеаризация нелинейной системы. Условие амплитудно-фазового баланса

АФХ приведённой линейной части и инверсная характеристика гармонически-линеаризованного нелинейного элемента

Определение параметров периодического решения. Исследование их на устойчивость

Решение исходных нелинейных уравнений численными методами

Выводы

Список использованной литературы

Задание на курсовую работу

Для гиросистемы с заданными кинематической схемой и параметрами механической части:

1. Записать уравнения движения с сопутствующей нелинейностью.

2. Для идеализированной линейной системы преобразовать исходные уравнения к векторно-матричной форме и записать выражения для передаточных функций гиросистемы:

а) как объекта управления;

б) как объекта стабилизации.

3. Осуществить оптимизацию параметров упруго-диссипативной связи динамических элементов гиросистемы по критерию minmax|W(j)|.

4. Построить АЧХ механической части гиросистемы с оптимальными параметрами * и С*.

5. Осуществить синтез цепи обратной связи из условия заданной статической точности и необходимых запасов устойчивости. Построить ЛЧХ разомкнутой цепи.

6. Построить переходный процесс по интересующим координатам при действии постоянного возмущающего момента.

7. Построить АЧХ замкнутой гиросистемы.

8. Построить структурную схему гиросистемы с сопутствующей нелинейностью и преобразовать её к одноконтурной, выделив нелинейный элемент и приведённую линейную часть. Записать выражение для передаточной функции приведённой линейной части.

9. Обосновать возможность применения метода гармонической линеаризации. Построить ЛАЧХ приведённой линейной части.

10. Осуществить гармоническую линеаризацию нелинейной системы. Записать условие амплитудно-фазового баланса.

11. Построить АФХ приведённой линейной части и инверсную характеристику гармонически-линеаризованного нелинейного элемента.

12. Определить параметры периодического решения. Исследовать их устойчивость.

13. Численным методом решить нелинейные уравнения, полученные в пункте №1. Записать переходный процесс. Определить параметры автоколебаний.

14. Сравнить результаты, полученные в пунктах №12,13.

15. Сделать выводы о влиянии сопутствующей нелинейности на устойчивость гиросистемы.

Исходные данные: Система представляет собой Гироскопический Интегратор Линейного Ускорения (ГИЛУ) (см. Рис 1).

На оси внутренней рамки располагается Динамический Демпфер (ДД) (см. Рис 2).

В опорах внутренней и внешней рамки присутствует вязкое трение.

В опоре наружной рамки действует сухое трение (') (см. Рис 3).

На оси внутренней рамки расположен датчик угла, который связан посредством элемента ОС с датчиком момента, расположенного на оси внешней рамки.

Параметры гиросистемы

Наименование параметра	Обозначение	Значение	Размерность
Момент инерции внеш. рамки	A	1	гсмс2
Момент инерции внутр. рамки	B	1	гсмс2
Момент инерции ДД	I	0,25	гсмс2
Кинематический момент гироскопа	H	200	гсмс
Коэф. вязкого тр. в оси внешн. рамки		1	гсмс
Коэф. вязкого тр. в оси внутр. рамки		1	гсмс
Коэффициент сухого трения		1	гсм
Коэффициент момента перегрузки	mgl	200	ГСМ
Предельная перегрузка	n	10	--
Максимально доп. стат. ошибка	*	1'	угл. мин



Рис 1

Рис2. Принципиальная схема ДД

Рис3. Общий вид нелинейности

Уравнения движения ГИЛУ

По Рис1 составим уравнения движения ГИЛУ с учётом сопутствующей нелинейности:

1) Уравнение движения внешней рамки:

2) Уравнение движения внутренней рамки:

3) Уравнение движения ДД:

Расчёт выражения для передаточных функций гиросистемы как объекта управления и как объекта стабилизации

При расчёте пренебрежём сухим трением в оси наружной рамки (нелинейность). Таким образом, получим уравнения идеализированной системы:

Преобразуем данные уравнения по Лапласу:

Преобразуем данные уравнения:

Представим данные уравнения в матричной форме:

Разрешим данное уравнение относительно вектора . Для нахождения обратной матрицы воспользуемся пакетом Maple 7. В результате вычислений получим:

, где

ПФ ГИЛУ как объекта управления -

ПФ ГИЛУ как объекта стабилизации -

Оптимизация параметров упруго-диссипативной связи динамических элементов гиросистемы по критерию minmax|W(j)|

При оптимизации параметров и С будем рассматривать разомкнутую ПФ ГИЛУ как объекта стабилизации (K(s) положим равным 0), а также пренебрежём значениями и , поскольку они малы в сравнении со значением . гиросистема гармонический передаточный

Запишем выражение для ПФ ГИЛУ как объекта стабилизации с вышеуказанными допущениями:

Данная передаточная функция обладает следующим свойством: При одном значении С, но разных на АЧХ ПФ будет существовать 2 инвариантные точки (все АЧХ пересекаются в них). При изменении С данные точки будут перемещаться.

Целью оптимизации является минимизация максимумов АЧХ ПФ, а именно минимизация резонансных пиков АЧХ. Таким образом, учитывая особенности рассматриваемой ПФ, оптимизация сводится к следующим 2 пунктам:

А. Поиск значения С*, при котором инвариантные точки будут располагаться на одном уровне. (В данном случае обеспечивается минимальное значение амплитуды обеих инвариантных точек.)

Б. Поиск значения * обеспечивающее минимальное значение резонансных пиков.

А. Поиск С*.

· Определение координат инвариантных точек.

Исходя из вышесказанного, условие инвариантности будет иметь вид:

Раскрывая модуль в данном выражении, получим:

Данное уравнение разрешим относительно при помощи пакета Maple 7. В результате получено 4 корня. Два из них отрицательных, не удовлетворяющих ОДЗ. Два других соответствуют инвариантным точкам ₁ и ₂.

При подстановке численных значений получаются следующие зависимости:

· Определение С*

С* определим из условия равновысотности инвариантных точек:

Подставим выражение ПФ в данное условие и раскроем модуль:

Учитывая полученные выражения для ₁ и ₂, решим данное уравнение численными методами при помощи пакета Maple 7. В ходе решения получается 2 значения С, но одно из них отрицательное и, следовательно, не удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, С*=6400.

Учитывая значение С*, получим: .

На Рис 4 приведены АЧХ систем при оптимальном значении С* для =0 и =.

Рис 4.АЧХ систем при оптимальном значении С для =0 и =

Б. Поиск *.

Для определения значения * следует определить значения ₀₁ и _02, при которых в каждой из инвариантных точек будет экстремум АЧХ (Это обеспечивает минимум «всплеска» АЧХ в соответствующих инвариантных точках). Среднее арифметическое из ₀₁ и ₀₂ является *.

Значения ₀₁ и ₀₂ определим из условий:

;

При помощи пакета Maple 7 решим данные уравнения. Из множества полученных решений ОДЗ принадлежат 2 значения:

Учитывая, что получим:

*=21,875.

АЧХ механической части гиросистемы с оптимальными параметрами * и С*

При помощи пакета Matlab 6.1 построим АЧХ ПФ как объекта стабилизации без учёта вязкого трения в опорах.



Рис 5 АЧХ механической части системы при оптимальном значении С* и *

Синтез цепи обратной связи. ЛЧХ разомкнутой цепи

· Определение требуемого К_ст.

Из условия заданной статической устойчивости и необходимых запасов устойчивости определим значение K_ст:

· ЛЧХ разомкнутой цепи.

Рассмотрим ПФ ГИЛУ как системы управления.

Данная ПФ характеризует замкнутую систему. Положив K(s)=0 получим выражение для ПФ ГИЛУ без обратной связи. Учтя это, выражение для ПФ разомкнутой системы будет иметь вид:

Подставим численные значения в данные выражения. (Знак «-» в числителе выносится за пределы обратной связи, следовательно, в разомкнутой ПФ не учитывается):

Для полученной ПФ построим ЛЧХ:



Рис 6 ЛЧХ разомкнутой ПФ как системы управления с требуемым K_ст.

ь Замкнутая система не устойчива!

Необходимо использовать корректирующий контур (КК) в цепи обратной связи (K(s)) для достижения статической устойчивости и требуемого качества.

· Синтез КК цепи ОС.

Для коррекции системы воспользуемся интегро-дифференцирующим фильтром:

ЛЧХ фильтра приведена на Рис 7а.

Выберем следующие параметры корректирующего фильтра:

Данные параметры КК обеспечивают следующие запасы устойчивости:

По амплитуде =10дБ;

По фазе =35,1⁰.

Рис 7

а - ЛЧХ КК;

б - ЛЧХ Скорректированной системы;

в - ЛЧХ Разомкнутой системы (приведена для сравнения).

Используемый КК реализуется следующей электрической схемой:

Рис 8. Электрическая схема КК

Для приведённой схемы:

Решая данные уравнения относительно «электрических» переменных при помощи пакета Maple 7 получим:

Переходный процесс при действии постоянного возмущающего момента

При помощи пакета Matlab 6.1 построим переходный процесс (реакция системы на единичную ступеньку на входе) скорректированной гиросистемы (M₁).

Рис 9. Структурная схема ПФ ГИЛУ как системы управления



Рис 10. ПП замкнутой ПФ ГИЛУ как системы управления

АЧХ замкнутой гиросистемы

При помощи системы Matlab 6.1 построим АЧХ системы Рис 9:

Рис 11. АЧХ замкнутой системы

Структурная схема гиросистемы с сопутствующей нелинейностью. Разделение линейной и нелинейной части

По исходным уравнениям составим структурную схему с нелинейностью:

Рис 12. Структурная схема ГИЛУ

Применяя к данной схеме структурные преобразования, разделим линейную и нелинейную составляющие системы:

Рис 13. Структурная схема ГИЛУ с разделёнными линейной частью и нелинейностью

Таким образом, линейная часть ГИЛУ имеет следующую ПФ:

Подставим числовые значения параметров в приведённое выражение:

Обоснование возможности применения метода гармонической линеаризации. ЛАЧХ приведённой линейной части

Построим ЛЧХ для приведённой линейной части.

Рис 14. ЛЧХ линейной части

Как видно из ЛЧХ линейная часть системы обладает свойствами фильтра, следовательно, выполняется гипотеза фильтра необходимая для применения метода гармонической линеаризации.

Гармоническая линеаризация нелинейной системы. Условие амплитудно-фазового баланса

Рассмотрим линейный элемент (Рис 3). При подаче на вход гармонического сигнала, на выходе получим ступенчатый сигнал (см. Рис 15). Таким образом, нелинейность из входной гармоники (любой ненулевой амплитуды) создаёт спектр гармоник (согласно теории Фурье) с амплитудами, не зависящими от амплитуды входного сигнала.

Рис 15. Отработка сигнала нелинейным элементом

Поскольку ЛАЧХ линейной части обладает свойствами фильтра, следовательно, она будет фильтровать все гармоники кроме 1 (поскольку частоты остальных гармоник располагаются в области ЛАЧХ с сильным ослаблением). Таким образом, на вход нелинейного элемента поступит только первая гармоника.

Исходя из вышесказанного, возможно существование автоколебаний в системе.

Произведём гармоническую линеаризацию нелинейного элемента:

Пусть на вход элемента поступает сигнал:

;

Нелинейный элемент представим в виде:

;

С учётом принятой гипотезы фильтра разложив в ряд Фурье получим:

где

Запишем уравнение амплитудно-фазового баланса:

АФХ приведённой линейной части и инверсная характеристика гармонически-линеаризованного нелинейного элемента

Инверсная характеристика линеаризованного нелинейного элемента имеет вид:



Рис 16. АФЧХ линейной части и инверсная характеристика нелинейного элемента

Рис 16а. АФЧХ линейной части и инверсная характеристика нелинейного элемента (увеличено)

Определение параметров периодического решения. Исследование их на устойчивость

В точках пересечения АФЧХ и инверсной характеристики (точки а и б на Рис 16, 16а) будет выполняться условие баланса фаз, следовательно, возникнут автоколебания с частотой соответствующей частоте АФЧХ в этих точках:

для (а): ;

для (б):

Амплитуду автоколебаний определим из уравнения баланса фаз:

Для (а):

Для (б):

Устойчивость автоколебаний определим по направлению засечек на АФЧХ (см Рис 16) при пересечении инверсной характеристики. Точка (а) соответствует устойчивым автоколебаниям, а точка (б) неустойчивым.

Таким образом, при подаче на вход системы импульса мощностью, недостаточной для достижения '=а₂, в системе не возникнут автоколебания (ПП затухающий), а при подаче импульса мощностью, достаточной для выполнения неравенства '>а₂, в системе возникнут автоколебания с параметрами ₁ и а₁. Случай подачи импульса с мощностью, обеспечивающей '=а₂, практически является неопределённым, поскольку сколь угодно малое возмущение (обычно несущее статистический характер), в зависимости от своего знака, либо выведет систему в автоколебательный режим с параметрами ₁ и а₁, либо ПП затухнет.

Из вышесказанного следует: автоколебания в системе соответствуют жёсткому режиму возбуждения.

Решение исходных нелинейных уравнений численными методами

При помощи пакета Matlab 6.1 проведём моделирование исходной системы с нелинейностью, и получим переходный процесс (см. Рис 17).

Из графиков получим:

Рис 17а. ПП исходной нелинейной системы с автоколебаниями.



Рис 17б. ПП исходной нелинейной системы с автоколебаниями.

Полученные значения отличаются от расчётных на 21% по , на 16% по амплитуде.

Это связано с тем, что в теоретических расчётах не учитывалось влияние 3, 5 и тд. гармоник.

3 гармоника имеет частоту: ³=3¹=120 рад/с;

5 гармоника имеет частоту: ³=6¹=360 рад/с;

Из Рис 18 видно, что линейная часть системы не только не ослабляет эти гармоники, но и усиливает их относительно первой гармоники.

Кажущееся противоречие гипотезе фильтра разрешается, если учесть, что амплитуды 3 и 5 гармоники значительно меньше амплитуды 1 гармоники (следует из разложения в ряд Фурье ступенчатого сигнала).



Рис 18. ЛЧХ приведённой линейной части с отмеченными гармониками:

а) 1-ая гармоника =40 рад/с;

б) 3-ая гармоника =120 рад/с;

в) 5-ая гармоника =360 рад/с.

Выводы

В общем случае нелинейность оказывает негативное влияние на гиросистему, вызывая автоколебания. Автоколебания сокращают срок службы элементов системы, т. к. узлы системы постоянно отрабатывают автоколебания. Кроме того, автоколебания вносят искажения в выходные величины.

Для исключения автоколебаний можно проводить фазовую коррекцию, целью которой является достижения невыполнения условия фазового баланса для любых точек АФЧХ (АФЧХ и инверсная характеристика не должны пересекаться). В данном случае для этого необходимо поставить КК который бы вносил отрицательный фазовый сдвиг на частотах 0,1..100 рад/с.

Список использованной литературы

1. «Гироскопические системы» т.2 под. ред. Д. С. Пельпора, М.: Высш. школа, 1971.

2. «Основы теории автоматического регулирования и управления» А. А. Воронов, М.: Высш. школа, 1977.

3. «Введение в Matlab 6» Н. Н. Мартынов, М.: Кудиц-образ, 2002.

4. Лекции по курсу «Гироскопические системы».

Размещено на Allbest.ru

...