Размещено на http://allbest.ru

16

Содержание

Введение

1. Применение теоремы об изменении кинетической энергии системы

1.1 Определение угловой скорости ₃

1.2 Определение углового ускорения ₃

2. Применение общего уравнения динамики

3. Применение метода кинетостатики

3.1 Определение реакций связей катка 1

3.2 Определение реакций связей груза 5

3.3 Определение реакций связей шкива 3

3.4 Определение реакций связей блока 2

Заключение

Список использованных источников

Введение

Механической системой материальных точек или тел называется такая их совокупность, в которой положение или движение каждой точки (или тела) зависит от положения и движения всех остальных.

Механическая система состоит из катка и подвижного блока 2, ступенчатого шкивов 3, 4 и груза 5.

Каток 1 считать сплошным однородным цилиндром. Коэффициент трения грузов о плоскость =0,1.

Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3 (или шкив и каток); участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К одному из тел прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с.

Под действием силы , зависящей от перемещения точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя; деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент сил сопротивления (от трения в подшипниках).

Все катки, включая и катки, обмотанные нитями, катятся без скольжения, трение качения не учитывать.

1. Применяя теорему об изменении кинетической энергии системы, определить значение искомой скорости (линейной или угловой) в тот момент времени, когда перемещение s станет равным 0,2 м. Искомая величина указана в таблице в столбце «Найти» (V₁, V₂, V_c5 - скорости грузов 1,2 и центра масс тел 5 соответственно, , - угловые скорости тел 3 и 4).

Далее, определить значение соответствующих ускорений (линейных или угловых).

2. Применяя общее уравнение динамики, определить значение искомого ускорения и сравнить с полученным в первой части результатом.

3. Применяя метод кинетостатики, найти реакции связей (натяжение нитей, реакции осей блоков, опорных поверхностей) при движении системы.

1. Применение теоремы об изменении кинетической энергии системы

Применяем теорему об изменении кинетической энергии системы.

" Изменение кинетической энергии системы при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему на соответствующих перемещениях точек системы"

=.	(1.1)

=0, так как в начальный момент система в покое.

, так как тела абсолютно твердые, нити нерастяжимые (система неизменяемая).

Тогда

.	(1.2)

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех тел, входящих в систему

	(1.3)

Учитывая, что тело 1 движется плоскопараллельно, тело 5-поступательно, а тело 3 вращается, выражаем кинетическую энергию по формулам соответствующего вида движения:

=; ; .	(1.4)

Выразим все скорости (линейные и угловые) через искомую угловую скорость :

; ;	(1.5)

точкаМЦС катка 1.

Найдем центральные моменты инерции:

(однородный цилиндр) (ступенчатый блок)	(1.6)

Подставив все величины (1.5) и (1.6) в равенства (1.4), а затем, используя равенство (1.3) получим:

	(1.7)

Найдем работу всех внешних сил при перемещении системы, когда центр катка 1 пройдет путь .

Работа сил , и равна нулю, т.к. точки приложения этих сил и - соответствующий мгновенный центр скоростей.

Силы приложены к неподвижным точкам и работы не совершают. Реакция перпендикулярна перемещению груза, поэтому работа ее равна нулю.

Работу совершают сила , сила тяжести катка , сила трения скольжения груза , пара сил сопротивления на блоке 3 с моментом и сила упругости пружины:

	(1.8)

Введем обозначения:

- перемещение груза 5 ();

угол поворота шкива 3;

и - начальное и конечное удлинение пружины.

1.1 Определение угловой скорости ₃

	(1.9)
где:
, т.к. М = const

Все перемещения выражаем через заданное перемещение , учитывая, что зависимость между перемещениями будет такой же, как между соответствующими скоростями (рисунок 1.1):

.

Так как , то и .

- перемещение точки Е (конца пружины).

,

(т.к. точка МЦС блока 2).

.

.

Тогда:

	(1.10)

Рисунок 1.1

Подставляя в формулы (1.9) значения и а так же считая =0 из условия задачи, далее находим сумму работ внешних сил:

	(1.11)

Подставляем выражения (1.7) и (1.11) в уравнение (1.2)

	(1.12)

Из равенства (1.12), подставив в него числовые значения заданных величин, найдем искомую угловую скорость :

.

рад/с.

1.2 Определение углового ускорения ₃

Определяем угловое ускорение , пользуясь выражением (1.12), составленным по теореме об изменении кинетической энергии.

Преобразуем правую часть уравнения , группируя члены, содержащие перемещение и

	(1.13)

Введем обозначение постоянных множителей

.	(1.14)
.
.

Тогда выражение (1.13) запишется в следующем виде:

	(1.15)

Причем (1.15) справедливо в любой момент, т.е. и .

Дифференцируя (1.15) по времени получим:

	(1.16)
.
.

Следовательно:

	(1.17)

Сокращая на ? 0, найдем искомое угловое ускорение:



	(1.18)

рад/с².

2. Применение общего уравнения динамики

Применяем общее уравнение динамики для определения углового ускорения : "При движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю":

	(2.1)

К активным силам относятся все силы тяжести, сила , сила упругости, отнесем к ним момент сил сопротивления и

Сила упругости, как произведение коэффициента жесткости на деформацию, равна :

где определяется по формуле (1.10), тогда:

	(2.2)

Добавляем силы инерции :

- главный вектор ;

- главный момент сил инерции на катке 1;

- главный вектор сил инерций груза 5;

- главный момент сил инерций на блоке 3.



Рисунок 2.1

Даем системе возможное перемещение - перемещаем центр масс катка 1 на бесконечно малое расстояние вниз по плоскости; это приводит к линейным и угловым перемещениям всех тел системы.

Составляем уравнение (2.1), где суммируются элементарные работы всех активных сил и сил инерции:

	(2.3)

Силы инерции:

	(2.4)
.

Все ускорения, содержащиеся в формулах (2.4), выразим через искомое ускорение , используя формулы связи скоростей (стр.6) , найдем:

,	(2.5)
.

Тогда:

Н;	(2.6)
Н·м;
Н;
Н·м.

Все возможные перемещения выражаем через перемещение

,,

,.

Подставляем найденные значения в основное уравнение (2.3) и делим на ?0:

.	(2.7)



.	(2.8)

Полученное выражение (2.8) для определения ₃ совпадает с результатом (1.18) в первой части работы

рад/с².

3. Применение метода кинетостатики

Применим метод кинетостатики: "Силы инерции точек механической системы образуют с внешними силами уравновешенную систему сил".

Поскольку силы и моменты сил инерции найдены (2.6) и изображены на рисунке 2.1, для каждого тела составляем уравнения кинетостатики (они отличаются от уравнений равновесия твердого тела только тем, что к активным силам и реакциям связей добавлены силы инерции) и затем определяем неизвестные величины.

3.1 Определение реакций связей катка 1

Рисунок 3.1

Внешние силы:

- сила тяжести;

- заданная сила;

- нормальная составляющая реакции связи;

-касательная составляющая реакции связи (сила трения);

-реакция нити.

Силы инерции:

- главный вектор;

-главный момент сил инерции относительно точки О₁.

Для определения неизвестных N₁, F₁, T₁₅, выбираем систему координат xy0 и составляем для катка 1 три уравнения кинетостатики:

;	(3.1)
;
.

Подставляем в эти уравнения значения P₁, (из (2.6)), F=20 (3+2) (из задания):

Н;	(3.2)
Н;
Н.

Реакция нити: Т₁₅ = 132,1 Н.

Нормальная составляющая реакции связи: N₁= 39.24 Н.

3.2 Определение реакций связей груза 5

Рисунок 3.2

Внешние силы:

- сила тяжести;

- нормальная составляющая реакции связи;

-касательная составляющая реакции связи (сила трения);

-реакция нити.

Силы инерции:

- сила инерции. кинетический энергия инерция ускорение шкив

Выбираем систему координат xy0 и составляем для груза 5 два уравнения кинетостатики и уравнение третьего закона Кулона для силы трения:

;	(3.3)
;
.

Так как шкив 4 является невесомым и вращается без трения, то Т₁₅ = Т₅₁.

Получаем:

Н;

Н.

3.3 Определение реакций связей шкива 3

Внешние силы:

- сила тяжести;

- составляющие реакции подшипника;

- реакции нити.

- момент сил сопротивления (от трения в подшипнике);

Силы инерции:

- главный момент сил инерции относительно точки С₃.

Рисунок 3.3

Выбираем систему координат xyС₃ и составляем для шкива 3 три уравнения кинетостатики:

;	(3.4)
;
.

Так как Т₃₅ = Т₅₃, получаем:

Н;

Н;

Н.

3.4 Определение реакций связей блока 2

Рисунок 3.4

Внешние силы:

- сила упругости пружины;

- реакции связей.

Силы инерции: так как блок 2 является невесомым, то силы инерции его точек равны нулю.

Выбираем систему координат xyЕ и составляем для блока 2 два уравнения кинетостатики:

;	(3.5)
.

Н.

;

Н.

Н.

Заключение

1. Используя теорему об изменении кинетической энергии системы, определили значения угловой скорости и углового ускорения шкива 3:

рад/с;

рад/с².

2. Применяя общее уравнение динамики, определили угловое ускорение шкива 3, которое совпадает с предыдущим значением:

рад/с².

3. Применяя метод кинетостатики, определили реакции связей при движении системы:

- реакции нитейТ₁₅ = 132,1 Н; Н; Н; Н;

- реакции опорных поверхностей Н; Н;

- реакции оси подшипника шкива 3 Н; Н.

Полученные данные требуются для:

1. Установления направления движения механизма.

2. Обеспечения работоспособности механизма.

Так, расчет углового ускорения требуется для определения сил инерции, которые в свою очередь необходимы для определения неизвестных сил (в данном случае, реакций связей).

По найденным реакциям нитей в дальнейшем подбирают диаметр нити, обеспечивающий требуемую прочность.

По реакциям опорных поверхностей можно определить удельное давление опоры (площадь контакта), которое не должно выходить за пределы допускаемого.Реакции оси подшипника шкива используются при подборе необходимого подшипника.

Список использованных источников

1. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. В 2-х тт. Т.2. Динамика. М.: Издательство "Лань", 2010.

2. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. В 2-х чч. Ч. 2. Динамика системы материальных точек. М.: Издательство "Лань", 2009.

3. Максина Е.Л. Техническая механика. Учебное пособие. 2012 г. (http://www.iprbookshop.ru/texnicheskaya-mexanika.-uchebnoe-posobie.html).

Размещено на Allbest.ru

...