Колебания в плазме

Размещено на http://www.allbest.ru/

Московский Институт Электронной Техники

Кафедра КФН

Курсовая работа

по курсу:

Квантовая теория и статистическая физика

Тема: Колебания в плазме

Выполнил: студент группы

ЭКТ-26 Степанов В.П.

Проверил: Корнеева Б.М.

Москва 2004

Содержание

Введение

2. Дисперсионные уравнения для продольных и поперечных волн малой амплитуды

2. Метод малых колебаний. Диэлектрическая проницаемость незамагниченной плазмы

3. Поперечные электромагнитные волны в незамагниченной плазме

4. Явление отсечки низкочастотной поперечной волны

5. Ленгмюровские колебания и волны в плазме. Плазмоны

6. Ионные ленгмюровские волны. Ионно-звуковые волны в плазме

7. Бесстолкновительное затухание волн в плазме

Список используемой литературы

Введение

Это очень интересный, но весьма сложный раздел физики плазмы. Плазма имеет много степеней свободы, ее свойства сильно меняются при наложении магнитного поля (возникает сильная анизотропия). По этой причине спектр возможных в ней колебаний и волн является весьма широким. Мы рассмотрим лишь некоторые, наиболее характерные примеры для изотропной (незамагниченной) плазмы и распространение простейших типов волн в замагниченной плазме. Обычно классификация типов волн начинается с разделения их на продольные и поперечные волны. Для механических волн продольность или поперечность волны связывают с характером движения в ней частиц ? вдоль или поперек направления распространения волны. Для электромагнитной волны ее продольность или поперечность определяется взаимной ориентацией вектора распространения волны (волнового вектора) и вектора электрического поля волны. Если волновой вектор и вектор электрического поля волны коллинеарные, то такая волна является продольной. Если же плоскость колебаний вектора электрического поля перпендикулярна направлению распространения волны, то такая волна является поперечной. Примером строго поперечной волны может служить электромагнитная волна ? свет в вакууме. Для поперечных волн в поперечной по отношению к направлению распространения волны плоскости, очевидно, можно ввести два независимых взаимно перпендикулярных направления. Соответственно, говорят о двух независимых поляризациях волны. В плазме, независимо от наличия или отсутствия внешнего магнитного поля, возможно распространение и продольных и поперечных волн, причем при наличии внешнего магнитного поля возможно распространение и продольных и поперечных волн как вдоль, так и поперек этого магнитного поля. В связи с этим важно не путать характер волны ? продольная она или поперечная ? и характер ее распространения: вдоль или поперек магнитного поля, в которое помещена плазма.

С возникновением и раскачкой колебаний и волн в плазме непосредственно связаны многие неустойчивости плазмы, которые будут обсуждаться в заключительном разделе этой главы.

1. Дисперсионные уравнения для продольных и поперечных волн малой амплитуды

Напомним кратко основные сведения из физики волновых процессов. Основным соотношением, определяющим условия распространения волны в данной среде, является закон дисперсии, устанавливающий связь частоты колебаний и волнового вектора:

. (1)

Закон дисперсии позволяет определить фазовую скорость волны

(2)

и ее групповую скорость

. (3)

Групповая скорость волны определяет перенос волновой энергии и поэтому никогда не может превышать скорость света в вакууме

.

Фазовая скорость ? скорость перемещения в волне точек с постоянной фазой ? не связана с переносом волной энергии, а потому не ограничена величиной скорости света. В принципе, она может быть любой по величине, в том числе и больше скорости света, если это позволяет закон дисперсии. Дисперсионные свойства данной среды, если ограничиться областью волн малой амплитуды, можно установить, рассматривая отклик среды на малое воздействие. Для волн конечной амплитуды ситуация сложнее: такие волны изменяют свойства среды, в которой распространяются. Упрощенно это можно трактовать как появление зависимости частоты колебаний от амплитуды волны :

(4)

Такова ситуация для слабонелинейных волн, например, ленгмюровских солитонов.

Ограничимся здесь рассмотрением волн малой амплитуды. Универсальный подход, справедливый для волн любой природы, заключается в следующем. Электромагнитное поле волны , следует определять из уравнений Максвелла:

(5)

Здесь , ? наведенная в среде полем волны плотность электрического заряда и плотность тока. Эти величины не являются полностью независимыми, а, как это следует из (5), связаны соотношением

, (6)

выражающем собой закон сохранения заряда. В этом нетрудно убедиться, применив операцию дивергенции ко второму уравнению системы (5). Поскольку коэффициенты уравнений (5), (6) явно не содержат координат и времени, можно искать решение в виде гармонической волны . Так как производные по времени и координатам от гармонической волны такого вида сводятся к алгебраическому домножению на и соответственно,

,

,

то уравнения (5) при такой подстановке превращаются в алгебраические:

(7)

Первое из этих соотношений выражает магнитное поле волны через электрическое

,

и при таком определении, очевидно, последнее из соотношений (7) становится тождеством. Таким образом, соотношения (7) сводятся к следующим:

(8)

До сих пор мы не высказывали никаких предположений о связи наведенной волной в среде плотности тока (или заряда) и ее электромагнитного поля. Как это принято, для волн малой амплитуды эта связь предполагается линейной:

, (9)

а набор соответствующих коэффициентов пропорциональности составляет тензор проводимости , зависящий от свойств рассматриваемой среды, а также, вообще говоря, от частоты волны и волнового вектора. По определению этот тензор связан с тензором диэлектрической проницаемости среды соотношением:

, (10)

где первое слагаемое ? единичная диагональная матрица. Поскольку, в силу (6), наведенная плотность заряда должна быть связана с наведенной плотностью тока соотношением

,

то второе из соотношений (8) фактически является следствием первого. По этой причине, с учетом определения тензора диэлектрической проницаемости, после простых преобразований приходим к однородной алгебраической задаче:

, (11)

где величина

(12)

представляет собой квадрат показателя преломления волны. Однородная задача (11), как известно, имеет ненулевое решение не всегда, а только при выполнении дополнительного условия. А именно, детерминант входящей в (11) матрицы должен быть равен нулю:

. (13)

Это условие и представляет собой дисперсионное уравнение, определяющее закон дисперсии (1) волн, способных существовать в данной среде. Если дисперсионное уравнение имеет несколько решений, то о них говорят как о ветвях или о модах собственных колебаний.

Если среда, в которой рассматривается распространение волны, изотропна, так что единственным выделенным направлением является направление распространения самой волны, то среди всех компонент тензора диэлектрической проницаемости отличны от нуля лишь две компоненты ? продольная и поперечная по отношению к направлению распространения волны (здесь индексы и - начальные буквы английских терминов longitudinal - продольный и transversal - поперечный). Тогда этот тензор оказывается следующим:

, (14)

а дисперсионное уравнение, как легко проверить, приводится к виду:

.

Таким образом, как мы видим, существуют две возможности выполнить это условие:

, (15)

. (16)

Первая из них отвечает продольным волнам, а вторая ? поперечным. Полезно отметить, что если пространственная дисперсия (т.е. зависимость компонент тензора диэлектрической проницаемости от волнового вектора) несущественна, то продольная и поперечная компоненты совпадают и можно говорить лишь об одной величине - диэлектрической проницаемости среды. Она и определяет дисперсионные уравнения для продольных

, (17)

и поперечных волн

. (18)

Например, в вакууме, когда, очевидно, проводимость равна нулю, получаем из (10)

,

поэтому, согласно (17), продольные волны невозможны, а закон дисперсии поперечных волн, как это следует из (18) и (12), оказывается следующим

.

Напомним, что поперечные волны могут иметь два независимых направления поляризации. Подчеркнем в заключение, что если плазма анизотропна, например, помещена в магнитное поле, или в ней распространяется пучок частиц, так что существует явно выделенное направление, то представление (4.14) для тензора диэлектрической проницаемости не справедливо, но закон дисперсии для продольных волн по-прежнему определяется уравнением (4.15), если под «продольной» диэлектрической проницаемостью понимать величину

.

2. Метод малых колебаний. Диэлектрическая проницаемость незамагниченной плазмы

Как следует из изложенного в предыдущем параграфе, все свойства волн, способных распространяться в данной среде, в том числе и в плазме, определяются ее диэлектрической проницаемостью. Поэтому наша ближайшая цель установить и исследовать диэлектрические свойства плазмы. Прежде чем перейти к рассмотрению конкретных плазменных волн напомним два результата, которые мы уже обсуждали ранее. Во-первых, диэлектрическая проницаемость холодной плазмы должна определяться соотношением:

, (19)

где - частота колебаний, а - ?ленгмюровская (или плазменная) частота. Возникает вопрос, какую плазму можно назвать холодной? Для ответа на этот вопрос, очевидно, надо сопоставить характерные скорости движения частиц плазмы и фазовые скорости плазменных волн. Для равновесной плазмы характерная скорость движения частиц (в отсутствие волны!) это тепловая скорость (большая для электронов плазмы), поэтому, изучая условия распространения волн, плазму можно считать холодной при выполнении условия:

. (20)

Поскольку это условие ограничивает частоту волн снизу, то оно отвечает высокочастотному пределу, а, следовательно, формула (19) определяет диэлектрическую проницаемость плазмы в высокочастотном пределе.

Во-вторых, напомним, что при обсуждении дебаевской длины экранирования было получено уравнение экранировки

(21)

где - радиус Дебая для плазмы. Экранировка здесь рассматривается как статический процесс, поэтому уравнение (4.21) отражает диэлектрические свойства плазмы в статическом пределе. Полагая в (4.21)



приходим к следующему результату:

, , (22)

определяющему диэлектрическую проницаемость плазмы в статическом пределе, справедливом при выполнении условия, обратного по отношению к (19):

. (23)

Подчеркнем, что в обоих предельных случаях структура оказывается следующей:

Первое слагаемое здесь единица вклад вакуума, а остальные два отвечают вкладу электронов и ионов соответственно. Вклад различных компонент оказывается аддитивным вследствие отсутствия взаимодействия между ними.

Чтобы составить более полную картину диэлектрических свойств незамагниченной плазмы, воспользуемся методом малых колебаний. Для упрощения, и здесь следует сразу оговориться, будем пренебрегать эффектами резонансных с волной частиц. Резонансные эффекты играют принципиальную роль во многих плазменных явлениях, например, в механизме бесстолкновительного затухания Ландау, но их учет требует усложнения описания плазмы, поэтому пока их не будем затрагивать.

Суть метода малых колебаний заключается в следующем. Привоздействии на первоначально невозмущенную плазму волны малой амплитуды логично ожидать появления малого отклика, поэтому можно воспользоваться разложением величины этого отклика по амплитуде волны, пренебрегая нелинейными эффектами. Кроме того, без учета резонансных эффектов, движение частиц плазмы, индуцируемое волной, можно рассматривать с помощью гидродинамических уравнений, записав для каждого сорта частиц уравнения движения и уравнения сохранения вещества.

Рассмотрим простейший пример: идеальную холодную плазму без пучков. Это значит, что мы пренебрежем тепловой скоростью частиц по сравнению со скоростью, приобретаемой ими в самосогласованых полях. Этот простой пример является удобной отправной точкой для более сложных ситуаций. В невозмущенном равновесном состоянии полагаем, что плотность плазмы однородная , нет внешнего электрического поля и потоков частиц . Под воздействием поля волны частицы плазмы придут в движение, получив ускорение, определяемое уравнениями движения:

(24)

При записи (24) учли, что поле имеет малую амплитуду, поэтому все нелинейные слагаемые опущены. По этой же причине в правых частях фигурирует лишь действующая на частицы сила, обусловленная электрическим полем волны. Действуя по рецепту, предложенному в предыдущем параграфе, считаем поле волны и скорости гармоническими,

.

Далее, с помощью (24) вычисляем скорости электронов и ионов, а затем и плотность тока, индуцируемого волной. Результат оказывается следующим:

.

Коэффициент пропорциональности между плотностью тока и напряженностью поля волны дает величину проводимости плазмы, которая в рассматриваемом пределе оказывается равной

(25)

Вклад в проводимость дают обе компоненты плазмы, но, естественно, не в равной мере. Обычно электронный вклад является доминирующим. Воспользовавшись теперь определением (10), можно вычислить диэлектрическую проницаемость, которая, как нетрудно проверить, совпадет с приведенной выше величиной (19).

Усложним модель плазмы, вводя в рассмотрение возможность передачи импульса в столкновениях между ионами и электронами. Учет этого эффекта приводит к появлению в уравнениях движения дополнительных слагаемых, происхождение которых ??взаимное трение компонент плазмы:

. (26)

Вычисление скоростей компонент плазмы теперь несколько усложняется, но его можно упростить, если учесть следующее обстоятельство. Заметим, что любой выделенный единичный объем плазмы в нашей модели является нейтральным по заряду. Поэтому действующие на него электрические силы компенсируют друг друга. Кроме того, передача импульса между ионами и электронами не меняет в целом импульса выделенного объема плазмы! Поэтому, если импульс этого единичного объема первоначально был нулевым, то он остается таковым и в дальнейшем:

Это соотношение позволяет выразить одну скорость через другую, например ионную скорость через электронную скорость:

Уравнения (26) в результате сводятся к одному, например, уравнение движения электронов будет следующим:

и теперь уже несложно вычислить скорости и с их помощью плотность электрического тока. Для гармонической волны она оказывается равной:

, (27)

и вновь пропорциональной полю волны. Здесь - частота электронионных столкновений, - проводимость плазмы. Для диэлектрической проницаемости:

. (28)

Как мы видим, она становится величиной комплексной. Это является следствием того, что столкновения приводят к затуханию колебаний, то есть к диссипации энергии. Заметим, что в (28) теперь уже нельзя выделить отдельно вклад ионов и электронов??Аддитивность вкладов нарушается из-за взаимодействия компонент плазмы. Подчеркнем еще одно важное обстоятельство. Использованные в (26) выражения для плотности сил взаимного трения между электронами и ионами

,

или между ионами и электронами

,

отличаются по знаку - так и должно быть для сохранения импульса в целом в ионэлектронной системе, но, на первый взгляд, несимметричны при «буквенной» перестановке масс, зарядов и концентраций частиц. В действительности, необходимая симметрия имеет место. Достаточно вспомнить, что, эти параметры должны входить в выражение для времени между столкновениями ионов и электронов следующим образом:

, .

Теперь, после подстановки в выражения для плотностей сил трения, требуемая симметрия становится очевидной.

В уравнениях (24), (26) мы пренебрегли эффектами, связанными с конечностью температуры плазмы, что справедливо в высокочастотной области, когда выполнено условие (20). Чтобы продвинуться вобласть меньших частот, когда фазовая скорость волны оказывается одного порядка с тепловыми скоростями частиц, необходимо усложнить модель плазмы, включая эффекты конечного давления, что мы и собираемся теперь сделать. Вместе с тем для упрощения будем пренебрегать столкновениями ионов и электронов. Это возможно, если температура достаточно велика. Напомним, что частота ион-электронных столкновений быстро убывает с ростом температуры:

Если температура плазмы конечная, то в правые части уравнений движения (24) необходимо добавить слагаемые с градиентом давления.

Пусть температура компонент плазмы постоянная, тогда градиент давления определяется градиентом возмущения плотности:

,

следовательно, уравнения движения необходимо дополнить уравнениями, определяющими возмущение плотности плазмы. Если число частиц плазмы сохраняется, то необходимые нам дополнительные соотношения дают уравнения непрерывности. Для малых возмущений на фоне однородной плазмы это уравнения вида:

Кроме модели плазмы с постоянной температурой, часто используется модель политропы, в которой давление и температура плазмы предполагаются степенными функциями плотности:

,

где соответствующий показатель политропы. Для этогослучая градиент давления для малых возмущений будет равен

.

Объединяя вместе все вышесказанное, приходим к следующей модели для «теплой плазмы»:

. (29)

Здесь индекс обозначает «сорт» частиц плазмы -?ион или электрон. Так, заряд электрона, а заряд иона. Вновь предполагая волны гармоническими, вычисляем возмущение плотности и скорости компонент плазмы:

где, по аналогии с газом, для краткости введено обозначение для «скорости звука» соответствующей компоненты плазмы. Умножив найденные скорости компонент плазмы на заряд и невозмущенную плотность, просуммировав затем результат по сортам частиц, вычисляем плотность электрического тока:

Воспользовавшись далее определениями (9), (10), получаем тензор проводимости:

, (30)

а затем и тензор диэлектрической проницаемости:

.(31)

В формулах (30), (31) индексы p, q нумеруют компоненты тензоров. Поскольку обсуждаемая нами сейчас модель плазмы в отсутствие волны является изотропной -?нет никакого выделенного направления, то структура тензора диэлектрической проницаемости совпадает с предсказываемой формулой (14). Из сопоставления с этой формулой получаем продольную

(32)

и поперечную

(33)

диэлектрическую проницаемость. Они разные, поскольку учет теплового движения частиц плазмы приводит к появлению явной зависимости диэлектрической проницаемости от волнового числа. Сравнив (32), (33) с формулой (19) для холодной плазмы, мы видим, что изменение претерпевает только продольная диэлектрическая проницаемость, поперечная остается неизменной! Это связано с тем, что поперечная гармоническая волна малой амплитуды не изменяет плотности плазмы, следовательно, не появляется градиент давления, и конечность температуры несущественна.

В статическом пределе, т. е. в пределе , продольная проницаемость оказывается равной

, (34)

что совпадает с (22), если принять , т.е. считать компоненты плазмы изотермическими.

Подчеркнем, что, строго говоря, учет теплового движения частиц плазмы требует кинетического описания. Поэтому приведенные результаты дают качественно правильную, но упрощенную картину диэлектрических свойств плазмы. Можно добиться лучшего согласия с точными результатами, если входящие в приведенные формулы показатели , рассматривать в качестве «подгоночных параметров», отбирая их в зависимости от конкретной решаемой задачи. Например, в случае, когда тепловые поправки можно считать малыми, но конечными, из формулы (32) приближенно получаем:

, (35)

что совпадает с результатом кинетической теории при выборе .

3. Поперечные электромагнитные волны в незамагниченной плазме

Вооружившись полученными в предыдущем параграфе результатами, рассмотрим процесс распространения электромагнитных волн в плазме. Как мы уже знаем, задача сводится к решению дисперсионных уравнений

,

или

в зависимости от того, какой конкретно тип волны нас интересует: чисто продольные или чисто поперечные волны. Последний случай особенно прост. С него и начнем обсуждение плазменных волн.



Поскольку для поперечных волн диэлектрическую проницаемость плазмы определяет соотношение (33), то дисперсионное уравнение будет таким:

.

Решением этого уравнения, очевидно, является

. (36)

Это соотношение и определяет закон дисперсии поперечной волны в плазме (рис.1.1). Обратим внимание, что для коротких волн, когда , получаем , так что в этом пределе волна (36) становится обычной световой волной. Для длинных волн, когда , приближенно

.

Заметим также, что для фазовой скорости волны закон дисперсии (4.36) дает значение

больше скорости света. Поэтому для таких волн несущественны резонансные эффекты. Просто потому, что их фазовая скорость заведомо превышает скорости частиц плазмы, всегда меньших скорости света. Подчеркнем, что групповая скорость поперечной волны, отвечающая за перенос волновой энергии,

волна плазма электромагнитный колебание

,

оказывается, как это и должно быть, меньше скорости света в вакууме.

4. Явление отсечки низкочастотной поперечной волны

Как мы видим из формулы (36), частота поперечной волны в плазме всегда больше плазменной частоты, поэтому поперечные волны, частота которых меньше плазменной частоты, не могут в ней распространяться. Это означает, что падающая из вакуума на границу плазмы поперечная волна с малой частотой должна отражаться. Имеет место, как говорят явление отсечки волны (в английской литературе - cut off). Критическая частота - частота отсечки

(37)

зависит от концентрации плазмы. Так что, измеряя критическую частоту, можно определить концентрацию плазмы. Это один из распространенных методов диагностики плазмы.

Электромагнитное поле низкочастотной волны частично все же проникает в плазму, но его амплитуда експоненциально уменьшается вглубь плазмы. Глубина проникновения в плазму поля поперечной волны с низкой частотой определяется толщиной вакуумного скин-слоя, которая обратно пропорциональна плазменной частоте:

. (38)

Таким образом, глубина проникновения волны в плазму определяется инерцией ее частиц, главным образом ??электронов. В пренебрежении инерцией глубина проникновения поля была бы нулевой.

Проиллюстрируем сказанное простым примером. Пусть из вакуума на плоскую границу плазмы падает низкочастотная волна, слева направо, как это показано на рис. 1.2. Слева и справа от границы раздела законы дисперсии волны разные:



Эти соотношения можно записать в дифференциальном виде. Пусть частота волны фиксирована, заменив

получим уравнения

(39)

где функция f задает поле волны: например, это может быть компонента напряженности электрического поля. На границе раздела потребуем выполнения условий непрерывности:

(40)

Нетрудно найти решение задачи (39), (40), удовлетворяющее этим условиям. Предлагаем проверить, что таковым является решение, в котором в области вакуума поле складывается из поля падающей и отраженной волны, а в области плазмы волновое поле экспоненциально затухает:

(41)

где

коэффициент пространственного затухания поля волны в плазме, ? - амплитуда падающей на границу раздела волны. Амплитудные коэффициенты ?для отраженной волны и ?для поля в плазме, как это вытекает из условий непрерывной сшивки (40), оказываются равными:

Обратим внимание, что числитель и знаменатель первой формулы являются комплексно-сопряженными. Поэтому получаем

,

и, следовательно, амплитуды падающей волны и отраженной совпадают. Это и означает наличие полного отражения падающей на плазму волны.

В пределе совсем низких частот, когда получаем приближенно

и длина затухания поля в плазме совпадает с длиной вакуумного скинслоя.

5. Ленгмюровские колебания и волны в плазме. Плазмоны

Рассмотрим теперь закон дисперсии высокочастотных продольных плазменных волн с частотой в области ленгмюровской частоты. Они известны как ленгмюровские волны и представляют собой важнейший тип возмущений, способных существовать и распространяться в плазме.

Закон дисперсии продольных волн определяет, как было показано выше, уравнение

,

в которое следует подставить продольную компоненту диэлектрической проницаемости. Если плазму считать холодной, то диэлектрическую проницаемость следует определять по формуле (19), и мы приходим к уравнению

Оно имеет два решения, отличающиеся знаком. Положительный корень равен

(42)

Как мы видим, в рассматриваемом случае частота волны совпадает с ленгмюровской частотой и не зависит от величины волнового числа. Фазовая скорость таких волн

 (43)

уменьшается с увеличением волнового числа, а групповая скорость оказывается равной нулю:

(44)

Таким образом, в холодной плазме ленгмюровские волны не могут переносить энергию: фактически это обычные колебания плотности заряда, возникающие вследствие нарушения квазинейтральности плазмы. Если же мы учтем теперь тепловое движение частиц плазмы, то ситуация изменится кардинально. Диэлектрическую проницаемость определяет теперь формула (32) и дисперсионное уравнение для продольных волн становится таким:

или

(45)

Это уравнение несложно решить в общем виде. Но в интересующей нас сейчас высокочастотной области следует учесть, что ионы плазмы можно считать неподвижными, а потому их вклад в диэлектрическую проницаемость будет пренебрежимо малым. Формально это отвечает пределу , и уравнение (45) упрощается:

Теперь его уже не сложно решить, и мы, вновь выбирая положительный корень, получаем:

(46)

Это соотношение и определяет закон дисперсии ленгмюровской волны в плазме с конечной температурой.

Любопытно отметить, что это соотношение по виду оказывается вполне аналогичным известной формуле, определяющей связь энергии и импульса релятивистской частицы:

По этой причине о законе дисперсии (46) говорят как о «частице-подобном», а ленгмюровские волны в этом плане являются «квазичастицами», которые принято называть плазмонами.

Полезно отметить также, что закон дисперсии (46) можно записать в виде:

(47)

Второе слагаемое под корнем будет больше или порядка единицы, когда длина волны меньше дебаевского радиуса. В этом случае ленгмюровская волна сильно поглощается за счет механизма бесстолкновительного поглощения Ландау, так как оказывается резонансной по отношению к электронам плазмы,

По этой причине ленгмюровские волны могут существовать в плазме без существенного поглощения лишь в обратном пределе, когда их длина волны меньше дебаевского радиуса. В этом случае в (47) второе слагаемое под корнем можно считать малым и разложить по этой малости:

Аналогия с энергией частицы опять остается в силе, но теперь в нерелятивистском пределе, когда энергия связана с импульсом следующим образом:

В области частот ленгмюровских волн гидродинамическое описание, следствием которого фактически является закон (47), будет адекватным при выборе

Подставив это значение в (47), получим окончательно

(48)



Именно об этом соотношении и говорят обычно как о законе дисперсии ленгмюровских волн в плазме. Строго говоря, он справедлив, как мы видели, лишь при выполнении сильного неравенства . Однако качественно закон дисперсии (48) остается в силе и при выполнении более мягкого условия, когда длина волны составляет несколько слагаемое в скобках в формуле (48) принято называть тепловой поправкой. Учет этой поправки приводит к тому, что групповая скорость ленгмюровской волны, в отличие от случая холодной плазмы, становится ненулевой (см. рис.1.3):

(49)

фазовая же скорость приближенно определяется формулой

(50)

При учете теплового движения частиц ленгмюровские волны получают возможность распространяться в плазме, перенося энергию.

6. Ионные ленгмюровские волны. Ионно-звуковые волны в плазме

Вернемся вновь к дисперсионному уравнению (45). Для рассмотренных выше ленгмюровских волн групповая и фазовая скорости удовлетворяют неравенству

Теперь рассмотрим возможность распространения в плазме волн, фазовая скорость которых значительно меньше тепловой скорости электронов:

Если это условие выполнено, то в уравнении (45) в знаменателе второго слагаемого можно опустить и тогда это уравнение приводится к виду:

Теперь уже не сложно найти интересующее нас решение:

Учтем теперь, что по определению соответствующих величин имеет место соотношение:



Тогда полученный нами результат можно записать в виде

(51)

Для коротких волн, когда длина волны меньше электронного дебаевского радиуса, знаменатель во втором слагаемом примерно равен единице, и мы получаем:

(52)

Частота этих волн оказывается порядка ионной ленгмюровской частоты. По аналогии с (46), эти волны называют ионными ленгмюровскими волнами. Как правило, если температура ионов не мала, они сильно затухают в плазме, так как оказываются резонансными по отношению к ионам.

В обратном пределе длинных волн, длина волны которых превышает электронный дебаевский радиус, в знаменателе второго слагаемого в формуле (51) главным, напротив, является второй член, и мы получаем:

(53)

где обозначено

(54)

Сравнив (54) с точным результатом кинетической теории, заключаем, что в рассматриваемом диапазоне частот кинетика и гидродинамика, использованная нами, дают совпадающие результаты при выборе

так что (54) следует записывать в виде:

(55)

Вытекающий из соотношения (53) закон дисперсии

(56)

согласно которому частота волны оказывается прямо пропорциональной волновому числу, типичен для звуковых волн (напомним, что мы обсуждаем сейчас продольные волны!). Например, закон дисперсии звука в обычном газе

где Т - температура, а М - масса молекул газа. По этой причине волны с законом дисперсии (55), (56) принято называть ионно-звуковыми волнами. Наряду с енгмюровскими волнами, это важнейший тип способных распространяться в плазме волн (рис.1.4).

Очевидно, фазовая и групповая скорости ионно-звуковой волны совпадают:

(57)

Величина этих скоростей существенно зависит от соотношения температур компонент плазмы. При этом если

то фазовая скорость ионно-звуковой волны будет по величине порядка тепловой скорости ионов. Такие волны должны сильно поглощаться в плазме, так как они становятся резонансными по отношению к ионам. Поэтому ионно-звуковая волна может существовать только в сильно неизотермической плазме, когда электронная компонента сильно «перегрета» по отношению к ионной. В этом случае вклад температуры ионов в формуле (57) является малым, и поэтому скорость ионно-звуковой волны главным образом определяется температурой электронов:

(58)

В этом случае, поскольку в формулу для скорости звука в качестве меры тепловой энергии входит электронная температура, а в качестве инерционного фактора входит масса ионов, принято эти волны называть «ионным звуком с электронной температурой». Собирая вместе все указанные выше неравенства, получим область фазовых скоростей, в которой возможно существование ионно-звуковых волн:

(59)

Взяв теперь эти неравенства в качестве отправной точки, можно существенно упростить вывод закона дисперсии для ионного звука. Действительно, поскольку фазовая скорость волны предполагается малой по сравнению с тепловой скоростью электронов, инерция последних становится несущественной, по этой причине электронная подсистема может считаться квазиравновесной, а, следовательно, действующие в этой подсистеме силы ? сила со стороны поля волны и сила, обусловленная градиентом электронного давления, ? должны быть уравновешены. Поскольку продольная волна всегда является потенциальной, введем потенциал поля волны согласно

Тогда баланс указанных сил, предполагая электронную температуру постоянной, можно записать так:

(60)

и, как мы видим, концентрация электронов определяется распределением потенциала поля волны. Можно сказать и так: «безынерционные» электроны мгновенно подстраиваются под профиль поля, создаваемый волной, скапливаясь в тех областях, где потенциал поля больше:

Здесь - невозмущенная полем волны концентрация электронов (в области нулевого потенциала). Полученный результат, как мы видим, совпадает с известной формулой Больцмана для равновесного распределения частиц, в нашем случае электронов, во внешнем поле. Для ионной подсистемы плазмы ситуация противоположная. Поскольку фазовая скорость волны значительно превышает тепловую скорость ионов, можно пренебречь конечностью ионной температуры, считая ионы холодными, но принципиально учесть инерцию ионов, ограничивающую частоту колебаний. Для холодных Z-кратно ионизованных ионов уравнение движения выглядит так:

(61)

Под действием поля волны ионы плазмы приходят в движение, и их концентрация начинает изменяться, так как согласно уравнению непрерывности

(62)

В качестве дополнительного условия, замыкающего систему (60) ? (61), воспользуемся требованием квазинейтральности плазмы

, (63)

которое, очевидно, должно выполняться, так как длина волны предполагается значительно превышающей электронный дебаевский радиус. В противоположном случае, когда волны короткие, условие (63) следует заменить уравнением Пуассона

Нелинейные уравнения (60) ? (63) справедливы, в рамках высказанных выше предположений, для ионно-звуковых волн любой амплитуды. Ограничимся волнами малой амплитуды. Полагаем

где знаком тильда помечены малые возмущения. Подставим это представление в уравнения (4.60) ? (4.63), разложим затем по амплитуде и, опустив нелинейные слагаемые, в результате получим

(64)

Выразив теперь все величины через одну из них, например, через потенциал поля волны, получим волновое уравнение

(65)

следствием которого, как нетрудно проверить, является закон дисперсии (56), причем величина входящей в него скорости звука определяется формулой (58).

Мы рассмотрели самые простые дисперсионные уравнения для незамагниченной плазмы. Для удобства читателей, наиболее важные из них сведены в таблицу 1.1.

Таблица 1.1

Тип волны	Закон дисперсии	Фазовая скорость	Групповая скорость	Примечание
Эл. ленгмюров-ская волна в хо-лодной плазме			0
Эл. ленгмюров-ская волна в теплой плазме
Ионно-звуковая волна
Поперечная плазменная волна

7. Бесстолкновительное затухание волн в плазме

Выше при обсуждении конкретных типов волн, способных распространяться в плазме, мы неоднократно ссылались на резонансные эффекты, имеющие место, когда скорости частиц плазмы совпадают с фазовой скоростью волны. Здесь, не вдаваясь в подробности достаточно сложных математических выкладок, обсудим кратко физическую сторону механизма бесстолкновительного затуханания волн в плазме, впервые предссказанного Ландау. Когда говорят о резонансном взаимодействии волн и частиц плаз- мы, то идет о черенковском резонансе

(66)

Фазовая скорость поперечной волны в изотропной плазме превышает скорость света. Следовательно, это условие заведомо не может выполняться и резонансные эффекты такого рода, как можно ожидать, будут несущественны. Имеет смысл поэтому рассмотреть резонансное взаимодействие частиц плазмы с продольными волнами, фазовая скорость которых существенно меньше скорости света, так что выполнение условия резонанса возможно. Пусть для простоты продольная волна будет одномерной (плоской). Обычно механизм бесстолкновительного поглощения энергии волн частицами плазмы поясняют с помощью следующей наглядной картинки, изображенной на рис.1.5, идею которой мы заимствовали из книги.

В движущейся системе координат, относительно которой волна покоится, наглядно ее можно представлять как последовательность горбов и ям потенциала. Частицы, скатывающиеся в ямы, ускоряются, а частицы, закатывающиеся на горбы, напротив, замедляются полем волны. Выделим, как показано на рис. 1.5, две группы частиц, отвечающих одному и тому же интервалу справа (группа (1)) и слева (группа (2)) от скорости, совпадающей по величине и направлению с фазовой скоростью волны. В движущейся с фазовой скоростью системе координат первые, очевидно, обгоняют волну, а вторые отстают от нее (для наглядности изображено разное количество кружочков). Если в качестве таких групп частиц взять те, которые на рисунке условно изображены черными точками, то обе группы частиц тормозятся, так как их скорости в данный момент времени направлены к «горбам» потенциала, на которые поэтому они вынуждены забираться. Однако движущиеся направо при этом как бы «подталкивают» горб вперед, а движущиеся налево, напротив, «толкают» его назад. Если же в качестве таких групп частиц взять те, которые условно изображены светлыми точками, то поскольку при том же самом направлении скорости частицы обеих групп теперь скатываются с «потенциальных горок», обе они должны ускоряться. Но эффект взаимодействия с волной, очевидно, не должен зависеть от того, как мы выберем расположение по координате этих групп частиц! Очевидно, эти наглядные представления не дают полной картины.

В обмене энергией с полем участвуют частицы со скоростями, близкими к фазовой скорости волны. Причем частицы, движущиеся со скоростью меньшей, чем фазовая скорость, получают энергию от волны, а те частицы, фазовая скорость которых больше фазовой скорости, отдают энергию волне. Если первых несколько больше, чем вторых, т.е. производная функции распределения по скорости отрицательная, то волна будет терять энергию. Именно такова ситуация для равновесной максвелловской функции распределения, поэтому в плазме с такой функцией распределения все волны должны затухать.

Список используемой литературы

1. Кингсеп А.С. Введение в нелинейную физику плазмы. М: Изд-во. МФТИ. 1996.

2. Фортов В.Е., Якубов И.Т. Неидеальная плазма. М.: Энергоатомиздат. 1994.

3. Смирнов Б.А. Физика слабоионизованной плазмы. М.: Наука, 1978. С.132. Задача 2.23.

4. Трубников Б.А. Теория плазмы. М.: Энергоатомиздат. 1996. 5. Лукьянов С.Ю., Ковальский Н.Г. Горячая плазма и управляемый ядерный синтез. М.:МИФИ. 1997.

6. Брагинский С.И. Вопросы теории плазмы. М.: Атомиздат. 1963. Т.1. С.208-209.

7. Галеев А.А., Сагдеев Р.З. Вопросы теории плазмы. М.: Атомиздат. 1973.

8. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. М: Наука. 1976.

Размещено на Allbest.ru

...