Введение в теорию атома

Краткие математические сведения о сферических системах. Ротатор и уравнение Шрёдингера для одноэлектронного атома (атом водорода и водородоподобные ионы). Роль симметрии в выборе радиальной части общего решения. Оператор момента импульса, его квадрат.

Рубрика Физика и энергетика
Вид статья
Язык русский
Дата добавления 09.11.2017
Размер файла 189,3 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение в теорию атома

Краткие математические сведения о сферических системах. Ротатор. Уравнение Шрёдингера для одноэлектронного атома (атом водорода и водородоподобные ионы).

Краткое содержание. Шаровые координаты (r, , ). Элемент объёма. Лапласиан в шаровых координатах. Уравнение Лапласа в сферических переменных. Роль симметрии в выборе радиальной части общего решения. Угловая часть уравнения Лапласа - уравнение Лежандра. Оператор момента импульса, его квадрат в шаровых переменных и его связь с уравнением Лежандра. Ротатор. Квантование модуля момента импульса ротатора. Операторные уравнения для момента импульса и их связь с уравнением Лежандра. сферический атом одноэлектронный

Уравнение Шрёдингера для электрона в атоме водорода. Разделение переменных. Радиальная и угловая части уравнения Шрёдингера и вид общего решения. Квантование модуля и проекций момента импульса электронного вращения вокруг ядра. Квантование энергии и энергетические уровни. Пределы изменения квантовых чисел. Боровский радиус и его вероятностный смысл.

Одноэлектронный гамильтониан в шаровых координатах и уравнение Шрёдингера для атома водорода (или водородоподобного иона). Разделение переменных. Атомные орбитали, их радиальные и угловые компоненты:

.

Квантовые числа (n,l,m), их взаимосвязь, пределы изменения и физический смысл. Квантование энергии, модуля и проекций момента импульса электрона на атомных орбиталях. Полярные диаграммы угловых компонент АО.

Раздел в значительной степени предназначен для начинающего читателя и одна из его целей - упражнения в элементарной алгебре линейных операторов.

Предварительная общая информация. Сферические переменные. Уравнение Лапласа. Атом водорода. Уравнение Шрёдингера. Разделение переменных (иллюстрации и основные формулы) Радиальная переменная r, азимутальная переменная (угол широты) , переменная широты (угол широты) . Квантовые числа.

Интервалы изменения шаровых переменных: 0<r<; 0< <p; 0< <2p.

Интервалы изменения переменных дают возможность выявить вид полярных диаграмм угловых функций - решений операторных уравнений.

Элемент объёма в шаровых переменных (см. рис.):

Лапласиан.

Важное свойство лапласиана состоит в его симметрия ко взаимным перестановкам декартовых координат. Из этого свойства вытекают и приёмы решения наиболее распространённых дифференциальных уравнений в частных производных с его участием.

. (8.2)

Простейшее дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, в котором лапласиан играет основную роль - уравнение Лапласа. В шаровых координатах лапласиан оказывается составленным из трёх независимых компонент-операторов, каждый из которых преобразует лишь одну из трёх независимых пространственных переменных.

Симметрией конкретной системы предопределяется выбор координат, в которых следует выразить лапласиан, ею определяется вид решений дифференциальных уравнений, в которых уравнение Лапласа оказывается в роли однородной части.

Таковы две задачи о сферически симметричных движениях.

Первая из них о свободном вращении без потенциальной энергии.

Вторая о вращении в поле центральной силы.

Основная квантово-механическая модель, применяемая для исследования сферического вращения, как с потенциальной энергией, так и без неё, называется РОТАТОР.

Первая задача о стационарном вращении частиц с линейно распределённой массой относительно центра масс. Таковы все двухатомные молекулы, а также некоторые трёхатомные молекулы, такие как CO2, CS2. Эта задача более проста, и в ней вращение частицы свободное, т.е. совершается без потенциальной энергии (Urot=0), и единственный вклад в энергетические уровни даёт лишь кинетическая энергия вращения. В классической механике энергию такого движения можно было бы отождествить с энергией чисто тангенциального (касательного) перемещения частицы по сфере.

Вторая задача о стационарном движении с потенциальной энергией в поле центральной силы. В классическом рассмотрении наряду с тангенциальной, чисто вращательной, появилась бы и радиальная компонента энергии.

В атомах существенную роль играет лишь электростатическое взаимодействие, подчиняющееся закону Кулона. Силы гравитации по сравнению с ним неизмеримо мала.

Для одного электрона в поле ядра с порядковым номером Z в Периодической Системе Менделеева потенциальная энергия притяжения в системе СГС равна

U(r) = - Ze2/r.

Одноэлектронные атомы. Одноэлектронными сферически симметричными системами являются атом водорода, водородоподобные ионы (ионы, ядра которых имеют порядковые номера Z, в поле которых находится всего 1 электрон. Такие ионы образуются при Z-1 ступенчатой ионизации), а также атом позитрония, который образуется перед аннигиляцией электрон - позитронной пары в виде стационарной системы перед тем, как они аннигилируют, излучая два гамма-кванта.

Перевод лапласиана в шаровые координаты можно осуществить, следуя различным схемам. В сферических координатах лапласиан выглядит на первый взгляд довольно внушительно, но при ближайшем рассмотрении оказывается конструкцией, достаточно простой. Несложные, но довольно длительные преобразования приводят к следующему выражению:

. (8.3)

Компоненты лапласиана.

Для сокращения выделим в лапласиане два слагаемых - радиальное и угловое:

(8.4)

Угловой оператор называется оператором Лежандра.

Лапласиан приобретает сжатый вид:

(8.5)

Угловой оператор (оператор Лежандра)

в свою очередь разделяется далее на два независимых оператора. Один действует на переменную долготы , второй - на переменную широты , и получается:

. (8.6)

Операторное уравнение для оператора Лежандра встречается в нескольких очень важных фундаментальных ситуациях. Это задачи: 1) о квантовых состояниях и энергетических уровнях ротатора - линейной молекулы, свободно вращающейся вокруг центра массы. 2) об электронном строении атома H и водородоподобных ионов.

Уравнение Лапласа для сферической системы:

Уравнением Лапласа называется дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка вида

.

В сферических переменных оно имеет вид

. (8.7)

. (8.8)

Решения находятся по методу Фурье: для разделения переменных искомое решение представляется в виде произведения радиальной и угловой компонент функций.

Разделение переменных.

Общее правило: Если в дифференциальном уравнении в частных производных можно выделить оператор, включающий несколько переменных, и привести его к аддитивной форме, придавая ему вид суммы слагаемых, определённых лишь для отдельных переменных, то исходное дифференциальное уравнение распадается на систему дифференциальных уравнений.

Каждое из них и их решения определены лишь на переменных соответствующего оператора-слагаемого. Частные решения исходного дифференциального уравнения выбираются в мультипликативном виде, как произведения функций - решений отдельных уравнений системы. Этот результат сформулируем в виде краткого правила: "Оператор аддитивен-Решения мультипликативны". Этот подход встречается всюду в теории многоэлектронных систем - атомов и молекул.

8.10. Радиальная часть общего решения сферического уравнения Лапласа выбрана в виде степенной функции от радиальной переменной с показателем степени l принимающим одно из целочисленных неотрицательных значений. В этом случае соблюдается симметрия общего решения по отношению к взаимным перестановкам декартовых координат, и делается возможно построение регулярных решений (функций класса Q), которые обладают известными свойствами конечности, однозначности и непрерывности, а также могут быть и пронормированы.

. (8.9)

Угловые сомножители общего решения Y(,) называются сферическими гармониками (шаровыми функциями). Запишем уравнение Лапласа, и рассмотрим процедуру разделения переменных:

. (8.10)

Учитывая, что каждый из операторов активен лишь к своим переменным, получаем:

. (8.11)

Для разделения переменных следует слева умножить каждое из слагаемых в уравнении на функцию, обратную искомому общему решению. Эта функция равна :

Получаем равенство, обе части которого содержат независимые переменные и поэтому их обе следует приравнять постоянной величине, т.е.:

. (8.12)

Постоянная легко определяется из радиальной части. Угловая часть уравнения Лапласа представляет собой дифференциальное уравнение Лежандра. Это второе из двух уравнений системы вида

. (8.13)

Уравнение Лежандра

Это операторное уравнение на собственные функции и собственные значения. В квантовой механике таковы все уравнения для динамических переменных. Дифференциальное уравнение Лежандра с точностью до постоянного множителя совпадает с операторным уравнением на собственные значения оператора квадрата момента импульса. Напомним, что оператор момента импульса равен

Возводя его в квадрат и вынося влево постоянный множитель, получаем:

Заменяя декартовы координаты шаровыми и производя всю последовательность действий, находим, что слева получается оператор Лежандра:

. (8.14)

На этом основании решения уравнения Лежандра являются также и решениями операторного уравнения на собственные значения квадрата момента импульса. Так получается строгая формула квантования модуля и проекции момента импульса.

Квадрат модуля момента импульса определяется собственными значениями оператора Лежандра. Для сравнения представим оба выражения:

. (8.15)

Допустимые значения модуля момента импульса свободно вращающейся вокруг центра масс квантовой системы (ротатора) следуют из операторного уравнения (8.15):

. (8.16)

Уравнение Лежандра содержит две угловые переменные. Их необходимо разделить и исследовать свойства вращения. Раскрывая оператор Лежандра, получаем

. (8.17)

Шаровые функции представим в виде

.

Их ещё называют сферическими гармониками из-за того, что у них, как и у обычных тригонометрических гармоник - синусоиды и косинусоиды имеются чередующиеся в пространстве пучности и узлы.

Разделим переменные:

Получена система (8.18) из двух дифференциальных уравнений (8.18.1 и 8.18.2), решения которых связаны общей постоянной.

Одно из них (8.18.1) имеет знакомый вид. Оно идентично уравнению Шрёдингера для плоского ротатора и описывает свойства вращения относительно оси вращения (вдоль переменной долготы). Полное совпадение с плоским ротатором получится лишь при условии, что в атоме H это уравнение характеризует лишь часть всей ситуации и определяет проекцию момента импульса на ось вращения

Из этого уравнения вытекают значения компоненты момента импульса вдоль оси вращения (в нашем случае - вдоль оси аппликат):

(8.21)

Второе из уравнений (8.18.2) системы - дифференциальное уравнение для широты:

(8.22)

Наконец-то обратимся к уравнению Шрёдингера для водородоподобного атома!

Гамильтониан и уравнение Шрёдингера

. (8.23)

Несложные преобразования, состоящие только в перемещении и группировке слагаемых, дают следующее:

()

Уравнение Шрёдингера для атома водорода приведено к компактному операторному виду, и здесь уже возможно его решение по методу Фурье разделения переменных.

Решения содержат радиальный и угловой сомножители:

Схема разделения переменных та же, что и в уравнении Лапласа (по правилу "оператор аддитивен - решение мультипликативно". Есть сомножитель радиальный, и есть угловой, и частные решения углового уравнения - сферические функции. Разделим переменные:

Получается система (8.29) из двух дифференциальных уравнений: (8.29.1) - уравнение Лежандра для сферических гармоник (с точностью до постоянной совпадающее с уравнением для квадрата модуля момента импульса !), и (8.29.2) - чисто радиальное:

. (8.29)8.19. Итоги.

Гамильтониан для электрона в водородоподобном ионе (атоме):

(8.30)

Лапласиан в сферических переменных:

+. (8.31)

Уравнение Шрёдингера

с потенциальной функцией V(r) для одноэлектронных состояний:

. (8.32)

Потенциальная функция V(r) имеет вид:

1) у атома H V(r) = -e2/r,

2) у водородоподобного иона V(r) =-Ze2/r.

Уравнение Шрёдингера в общем виде для водородоподобного иона приобретает вид

. (8.33)

Оно разделяется на систему из трёх дифференциальных уравнений:

. (8.34)

От потенциала зависит лишь радиальная, но не угловая часть уравнения Шрёдингера.

Система этих уравнений даёт полное описание атомных орбиталей - одноэлектронных волновых функций в простейшем случае - в водородоподобном ионе. Первое уравнение совпадает с уравнением Шрёдингера для плоского ротатора, оно описывает свойства вращения вокруг аппликаты (мы выполняли преобразования так, что это ось z). Решения этого уравнения нумеруются квантовым числом

. (8.35)

1) Первое уравнение (как и в плоском ротаторе) описывает компоненту момента импульса вдоль оси вращения, определяя проекцию вектора момента с помощью квантового числа m.

2) Второе и первое уравнения вместе (до разделения угловых переменных) проистекают из одного общего дифференциального уравнения Лежандра

(8.36)

из которого следует правило квантования модуля момента импульса с помощью числа l :

(8.37)

Уравнение (E) предписывает условие

. (8.38)

и возникает следствие и магнитное квантовое число m ограничено пределами . Всякому квантовому числу l, таким образом, отвечает 2l+1 состояние.

3) Радиальное уравнение приводит к квантованию энергии электронного уровня. Правило квантования одноэлектронных уровней - энергетический спектр водородоподобного иона выражается формулой Бора:

или в атомных единицах:

.

В итоге каждую из атомных орбиталей в атоме водорода можно быть охарактеризовать (пронумеровать) тройкой квантовых чисел . Для многих целей, связанных просто с перечислением АО, этих чисел вполне достаточно для их исчерпывающей характеристики, и, поэтому вместо символа волновой функции, достаточно просто перечислить тройку квантовых чисел индексы в скобках или в виде индексов. Этот способ записи эквивалентен волновой функции и такой же точно общий символ АО.

Квантовые числа, интервалы возможных значений.

Водородоподобные атомные орбитали.

Угловые компоненты АО и распределение вероятностей.

Полярные функции азимута lm() и функций широты |m|()

Alm()

l,m()

A()

|m|()

(1/2) Ѕ

1

(1/2) Ѕ

1

(3/2) Ѕ

cos

(1/2) Ѕ

1

(3/4) Ѕ

sin

(1/2) Ѕ

exp(i)

(5/8) Ѕ

3cos2-1

(1/2) Ѕ

1

(15/16) Ѕ

sin2

(1/2) Ѕ

exp(i)

(15/16) Ѕ

sin2

(1/2) Ѕ

exp(i2)

5cos2 -3cos

(1/2) Ѕ

1

(5cos2 -1)sin

(1/2) Ѕ

exp(i)

sin2cos

(1/2) Ѕ

exp(i2)

sin3

(1/2) Ѕ

exp(i3)

Полярные диаграммы функций азимута lm() и функций широты |m|().

Радиальные компоненты АО атома Н и их графики. Радиальное распределение плотности вероятности и квантово-химический смысл боровского радиуса.

Anl

AZ

2

1

exp(-r)

(Z/a0)3/2

1/23/2

2---r

exp(-r/2)

(Ѕ)1/61/2

--------------r

(2/81)1/31/2

27-18r+2r2

exp(-r/3)

(4/81)1/31/2

6r-----r2

(4/81)1/31/2

--------------------------------r2

(1/192)(ј)

192-144r+24r2-r3

exp(-r/4)

(1/80)(1/16)(5/3)1/2

8_r-2_r2+r3

(1/12)(1/64)1/51/2

12r2-r3

(1/768)1/351/2

------------------------------------------------------r3

r--= Z(r/a0)

Квантовые числа, интервалы возможных значений.

Пространственные размеры атома водорода.

Наиболее вероятное удаление электрона от ядра.

(Радиус наибольшей плотности вероятности)

Радиус максимальной плотности вероятности называется боровским радиусом и совпадает с радиусом первой орбиты в теории атома водорода по Бору.

Среднее расстояние электрона от ядра.

Поскольку АО представляет собою нормированную одноэлектронную волновую функцию, то знаменатель в формуле для среднего значения любой физической величины, в том числе и расстояния электрона от ядра можно не выписывать, он равен единице, и отсюда следует:

. (8.41)

Среднее расстояние электрона от ядра в полтора раза больше наиболее вероятного - боровского радиуса.

Примечание. Использован вспомогательный интеграл:

(См. теорию Эйлера Гамма - функции 1-го рода).

Энергетическая диаграмма уровней АО атома Н и Z-1-зарядного водородоподобного иона приводится ниже, где она качественные сравнивается со схемой уровней многоэлектронного атома.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Характеристика электрона в стационарных состояниях. Условие ортогональности сферических функций. Решения для радиальной функции. Схема энергетических состояний атома водорода и сериальные закономерности. Поправки, обусловленные спином электрона.

    презентация [110,2 K], добавлен 19.02.2014

  • Понятие моментов импульса электронов и атомов. Нормальный и аномальный эффекты Зеемана. Цель и идея экспериментов Штерна–Герлаха. Правила отбора квантовых чисел атома. Механический, магнитный и полный моменты импульса атома. Атом в магнитном поле.

    реферат [89,9 K], добавлен 02.02.2009

  • Классификация элементарных частиц. Фундаментальные взаимодействия. Модель атома Резерфорда. Теория Бора для атома водорода. Атом водорода в квантовой механике. Квантово-механическое обоснование Периодического закона Д. Менделеева. Понятие радиоактивности.

    реферат [110,6 K], добавлен 21.02.2010

  • Строение атома. Атом как целое. Структура атома: опыты Резерфорда, планетарная модель атома Резерфорда, квантовые постулаты Бора. Лазеры: история создания, устройство, свойства, применение лазера в ювелирной отрасли, в медицине.

    реферат [481,9 K], добавлен 13.04.2003

  • Классическая модель строения атома. Понятие орбиты электрона. Набор возможных дискретных частот. Водородоподобные системы по Бору. Недостатки теории Бора. Значение квантовых чисел. Спектр излучения атомов. Ширина спектральных линий. Доплеровское уширение.

    реферат [145,6 K], добавлен 14.01.2009

  • Представление об атомах как неделимых мельчайших частицах. Опыт Резерфорда по рассеянию альфа частиц. Рассмотрение линейчатого спектра атома водорода. Идея Бора о существовании в атомах стационарных состояний. Описание основных опытов Франка и Герца.

    презентация [433,4 K], добавлен 30.07.2015

  • Модели строения атома. Формы атомных орбиталей. Энергетические уровни атома. Атомная орбиталь как область вокруг ядра атома, в которой наиболее вероятно нахождение электрона. Понятие протона, нейтрона и электрона. Суть планетарной модели строения атома.

    презентация [1,1 M], добавлен 12.09.2013

  • История открытия радиоактивности, модель атома Томсона. Опыты Резерфорда по рассеянию альфа-частиц. Правило квантования Бора-Зоммерфельда. Боровская теория водородоподобного атома, схема его энергетических уровней. Оптические спектры испускания атомов.

    презентация [3,7 M], добавлен 23.08.2013

  • Определение структуры спектра атома, молекулы или образованной ими макросистемы их энергетическими уровнями. Спектры и структура атома водорода. Электронные состояния двухатомных молекул, электрические и оптические свойства. Молекулы с одинаковыми ядрами.

    курсовая работа [52,0 K], добавлен 06.10.2009

  • Этапы исследований строения атома учеными Томсоном, Резерфордом, Бором. Схемы их опытов и интерпретация результатов. Планетарная модель атома Резерфорда. Квантовые постулаты Бора. Схемы перехода из стационарного состояния в возбужденное и наоборот.

    презентация [283,3 K], добавлен 26.02.2011

  • Теорія Бора будови й властивостей енергетичних рівнів електронів у водневоподібних системах. Використання рівняння Шредінгера, хвильова функція та квантові числа. Енергія атома водню і його спектр. Виродження рівнів та магнітний момент водневого атома.

    реферат [329,9 K], добавлен 06.04.2009

  • Складові частини атома: ядро, протони, нейтрони та електрони. Планетарна модель атома або модель Резерфорда. Керована та некерована ланцюгова ядерна реакція. Поняття ядерного вибуху як процесу вивільнення великої кількості теплової і променевої енергії.

    презентация [2,3 M], добавлен 21.05.2012

  • Дослідження та винаходи, які сприяли формуванню гіпотези про складну будову атома: відкриття субатомних частинок, рентгенівські промені та радіоактивність. Перша модель атома Дж.Дж. Томсона. Планетарна модель Резерфорда. Теорія та постулати Бора.

    курсовая работа [985,6 K], добавлен 26.09.2012

  • Схема будови спектрографа. Види оптичних спектрів. Ядерна модель атома. Енергетичні рівні атома. Схема досліду Д. Франка і Г. Герца. Склад атомного ядра. Мезонна теорія ядерних сил. Енергетичний вихід ядерної реакції. Схема ядерної електростанції.

    презентация [1,6 M], добавлен 12.05.2011

  • Исследование концепции динамической структуры атома в пространстве. Изучение структуры атома и атомного ядра. Описания динамики движения тел в реальном пространстве потенциальных сфер. Анализ спирального движения квантовых частиц в свободном пространстве.

    реферат [2,4 M], добавлен 29.05.2013

  • Модель одномерного "потенциального ящика", случаи количественной Эффективности. Энергетическая диаграмма, свойство ортогональности волновых функций. Плоский ротатор. Гамильтониан одномерного гармонического осциллятора, молекулярные колебания. Лапласиан.

    реферат [1,1 M], добавлен 29.01.2009

  • Уравнение плоской бегущей волны материи. Операторы импульса и энергии. Общая схема вычислений физических наблюдаемых в квантовой механике. Понятие о конфигурационном пространстве системы частиц. Уравнение Шрёдингера для простейших стационарных движений.

    реферат [56,2 K], добавлен 28.01.2009

  • История зарождения и развития атомистической теории. Представления Платона и Аристотеля о непрерывности материи. Корпускулярно-кинетическая теория тепла, открытие радиоактивности. Ранняя планетарная модель атома Нагаоки. Определение заряда электрона.

    презентация [1,8 M], добавлен 28.08.2013

  • Квантово-механическая картина строения атома. Квантовые числа. Пространственное квантование. Спин электрона. Суть опыта Штерна и Герлаха. Эффект Зеемана. Расщепление энергетических уровней в магнитном поле. Орбитальный магнитный момент. Проекция спина.

    презентация [3,7 M], добавлен 07.03.2016

  • Анализ развития идей атомизма в истории науки. Роль элементарных частиц и физического вакуума в строении атома. Суть современной теории атомизма. Анализ квантовой модели атома. Введение понятия "молекула" Пьером Гассенди. Открытие эффекта Комптона.

    контрольная работа [25,2 K], добавлен 15.01.2013

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.