Уравнение движения летательных аппаратов

Относительное движение летательных аппаратов в окрестности круговой орбиты. Уравнения движения двух летательных аппаратов в орбитальной системе координат. Решение и приведение дифференциальных уравнений относительного движения двух летательных аппаратов.

Рубрика Физика и энергетика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 09.11.2017
Размер файла 740,2 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

23

Размещено на http://www.allbest.ru/

15.Р.Ф. Аппазов

Содержание

  • 1. Относительное движение двух летательных аппаратов в окрестности круговой орбиты
  • 1.1 Уравнения движения двух летательных аппаратов
  • 1.2 Уравнения движения в орбитальной системе координат
  • 1.3 Решение и приведение дифференциальных уравнений относительного движения двух ЛА
  • 1.4 Относительное движение двух летательных аппаратов в других системах координат
  • 1.5 Траектория относительно опорного движения. Смещение движения
  • 1.6 Вектор эксцентриситета
  • 1.7 Уравнения прогноза относительного движения двух ЛА, каждый из которых движется по эллиптической орбите

1. Относительное движение двух летательных аппаратов в окрестности круговой орбиты

1.1 Уравнения движения двух летательных аппаратов

Уравнение движения ЛА в геоцентрической инерциальной системе координат (в предположении центральности гравитационного поля) имеет вид

где u - вектор ускорения, сообщаемого ЛА, например, двигателем.

Рассмотрим движение двух ЛА, причем будем считать, что один из них (назовем его пассивным) движется по невозмущенной кеплеровой орбите, а другой (активный, или маневрирующий) - по орбите, которая может отличаться от первой как за счет начального рассогласования между орбитами, так и за счет действия возмущающего ускорения. Уравнения движения этих ЛА соответственно

(1)

Введем понятие вектора относительной дальности между летательными аппаратами

и получим уравнения относительного движения.

В исходной инерциальной системе координат или в соответствии с (1)

(2)

Предположим, что пассивный ЛА движется по круговой орбите радиуса , и осуществим перевод уравнения из исходной инерциальной системы координат в орбитальную систему, начало которой совпадает с центром масс пассивного ЛА и которая вместе с ним вращается в инерциальном пространстве с угловой скоростью орбитального движения

1.2 Уравнения движения в орбитальной системе координат

Орбитальная система координат (ОСК) является декартовой (рис. 1), ее ось Ох направлена вдоль орбитальной скорости пассивного ЛА, ось Оу - вдоль геоцентрического радиуса-вектора пассивного ЛА, а ось Oz дополняет систему до правой.

Рис. 1. Орбитальная декартова объектоцентрическая система координат.

Вектор относительной дальности между летательными аппаратами, вектор скорости изменения этой дальности, геоцентрический радиус-вектор пассивного ЛА и вектор его угловой скорости имеют в ОСК следующие компоненты:

Зависимость между относительными ускорениями в инерциальной системе и ОСК дается выражением которое после проведения операций векторного умножения принимает вид

(3)

Учитывая зависимости получаем из (2.2) дифференциальные уравнения относительного движения в покомпонентной форме:

(4)

летательный аппарат уравнение движение

1.3 Решение и приведение дифференциальных уравнений относительного движения двух ЛА

Система (2.3) является системой точных дифференциальных уравнений движения активного ЛА относительно пассивного в ОСК, которая движется вместе с пассивным ЛА по круговой орбите. Орбита, с которой связана ОСК, обычно называется опорной орбитой.

Предполагая, что компоненты вектора относительной дальности р малы по сравнению с величиной R, разложим выражение

в ряд и ограничимся несколькими членами этого разложения:

В соответствии с полученным разложением система (2.3) приводится к виду

(5)

Если в системе (2.4) оставить только записанные члены разложения, мы получим систему второго приближения к точной системе (2.3), поскольку в ней учтены члены до второго порядка относительно компонент вектора

Первое или линейное приближение к (2.3) имеет вид

(6)

Наиболее простой вид оно имеет только при отсутствии возмущающего ускорения (u = 0) или при постоянстве величины ускорения и задании специального закона его ориентации:

ориентация вектора ускорения в ОСК постоянна, т.е. изменяется относительно инерциального пространства с угловой скоростью вращения ОСК;

ориентация вектора ускорения в инерциальном пространстве постоянна, т.е. изменяется в ОСК с угловой скоростью, обратной угловой скорости вращения ОСК.

Решение системы (2.5) при u = 0, соответствующее случаю невозмущенного относительного движения, имеет вид:

(7)

где - вектор состояния относительного движения в начальный момент - вектор состояния, характеризующий относительное движение в произвольный текущий момент t.

Более удобно и компактно решение (2.6) может быть записано в матрично-векторном виде

(8)

где - матрица размера 6X6 коэффициентов при компонентах начального вектора состояния в (6).

Матрицу , называют матрицей прогноза, поскольку она осуществляет операцию преобразования начального вектора состояния в вектор состояния R, соответствующий интересующему нас моменту (в будущем или в прошлом). Элементы матрицы для заданной опорной орбиты являются функциями лишь времени прогноза г.

Особенностью решения системы линейного приближения (2.6) является независимость уравнений, характеризующих движение в плоскости опорной орбиты (компоненты х, у), и уравнений, характеризующих боковое движение (компонента z).

В случае возмущенного относительного движения при специальном законе ориентации возмущающего ускорения решение системы дифференциальных уравнений (2.5) также может быть записано в матрично-векторном виде

(9)

где - матрица прогноза при невозмущенном относительном движении; At - матрица размера 6X3, элементы которой являются функциями времени прогнозирования и имеют различный вид для каждого из двух указанных выше аконов орентации вектора возмущающего ускорения.

1.4 Относительное движение двух летательных аппаратов в других системах координат

Относительное движение двух летательных аппаратов можно рассматривать и в других системах координат. При этом попытка получить аналитическое решение также приводит к необходимости принятая допущения об относительной малости компонент вектора относительной дальности.

В частности, можно рассматривать относительное движение в орбитальной цилиндрической системе координат (ЦСК). Начало О этой системы координат (рис.2.2) связано с центром масс пассивного ЛА, а положение активного ЛА относительно пассивного характеризуется смещением вдоль дуги опорной орбиты высотным отклонением от опорного движения и боковым отклонением z (очевидно, что при достаточно малых значениях угла компоненты вектора относительного положения в ОСК и ЦСК практически совпадают).

Рис. 2. Орбитальная цилиндрическая объектоцентрическая система координат.

Интересным является тот факт, что решения систем линейного приближения в ОСК и ЦСК идентичны, отличаясь лишь трактовкой компонент вектора состояния. Однако при получении системы линейного приближения в ЦСК проводится разложение в ряд выражения и делается допущение о малости компонент y и z относительно R, но не принимается никаких ограничивающих допущений о величине компоненты х. Этот факт очень существен, поскольку во многих практических задачах рассогласование в положениях летательных аппаратов вдоль дуги опорной орбиты может составлять сотни и тысячи километров, т.е. может быть вполне соизмеримым с величиной R. Отсюда следует естественный и полезный вывод: допустимая область применения решения системы линейного приближения при трактовке вектора состояния в декартовой системе существенно более ограничена, и в случаях, когда рассогласование в положениях летательных аппаратов вдоль дуги опорной орбиты достаточно велико, трактовка вектора состояния в цилиндрической системе позволяет получать результаты прогнозирования с меньшими погрешностями.

В дальнейшем мы не будем оговаривать особо, какую из систем координат мы используем, полагая, что выбор системы осуществлен в соответствии с конкретными условиями решаемой задачи.

1.5 Траектория относительно опорного движения. Смещение движения

Пользуясь свойством независимости плоского и бокового движений в решении (6), рассмотрим геометрию движения ЛА в плоскости опорной орбиты. Для этого сгруппируем члены первых двух уравнений (6) следующим образом:

(10)

Введем величину и заметим, что всегда можно найти такое значение некоторого угла что

(11)

Теперь уравнения (9), описывающие траекторию относительного движения, приводятся к виду

Выделим слагаемые:

характеризующие движение по эллипсу, и слагаемое, характеризующее движение центра эллипса параллельно оси х со скоростью

причем в начальный момент времени t = 0 центр эллипса имеет координаты

Величина полуоси эллипса вдоль оси Ох вдвое больше величины полуоси вдоль оси Оу и движение по эллипсу происходит против направления движения часовой стрелки, причем началом отсчета угла а является луч, исходящий из центра эллипса в направлении, обратном направлению оси Оу.

Центр эллипса может лежать выше и ниже опорной орбиты - его положение определяется знаком скобки который определяет и направление скорости смещения эллипса вдоль оси Ox: при центр лежит выше орбиты, а скорость его смещения отрицательна, в противном случае - наоборот. При центр лежит на оси Оx и не смещается в течении времени.

Из второго уравнения (5.21) определяются максимальные и минимальные смещения по высоте относительно опорного движения

Говоря об относительном движении, не будем забывать, что каждый из двух летательных аппаратов движется по кеплеровой орбите, причем опорная орбита является круговой, а другая орбита, - вообще говоря, эллиптической. Будем называть вторую орбиту возмущенной и установим связь между параметрами относительного движения и кеплеровыми элементами возмущенной орбиты.

Поскольку опорное движение происходит по круговой орбите радиуса R, можно определить перигейное и апогейное расстояния возмущенной орбиты, соответствующие экстремальным высотам относительного движения:

Зная возмущенной орбиты, нетрудно определить ее большую полуось

т.е. от большой полуоси опорной орбиты большая полуось возмущенной орбиты отличается на Заметим, что

Поскольку при изменении большой полуоси орбиты на ее период в линейном приближении меняется на величину

то период возмущенной орбиты отличается от периода опорного движения на величину

1.6 Вектор эксцентриситета

Рассмотрим более подробно величину е, которая по компонентам вектора состояния в момент определяется формулой

Если мы спрогнозируем вектор состояния на момент и по компонентам нового вектора состояния вновь определим е, то получим

Существенным является то, что величина е для относительного движения, заданного начальным вектором состояния, постоянна, хотя ее компоненты меняются во времени:

т.е. можно трактовать как компоненты вектора е, модуль которого постоянен, а направление относительно осей Ох и Оу характеризуется переменным углом отсчитываемым в соответствии с рис.2.2.

Вектор е вращается в ОСК с угловой скоростью изменения угла , т.е. со скоростью . Заметим, что относительно инерциального пространства орбитальная СК (или цилиндрическая СК) вращается также с угловой скоростью , но в направлении, обратном направлению вращения вектора е. Следовательно, можно утверждать, что направление вектора е неизменно в инерциальном пространстве и изменение его проекций в ОСК происходит только за счет вращения самой ОСК. Для того чтобы понять, как расположен вектор е относительно кеплеровой возмущенной орбиты в инерциальном пространстве, заметим, что при достигается перигей , а при возмущенной орбиты. Но при имеем , т.е. - вектор е в момент прохождения перигея направлен противоположно оси Оу (рис.5).

Как следует из рисунка, угол фактически равен фазовому углу, который пройден ЛА по возмущенной орбите от момента последнего прохождения перигея, т.е. он равен истинной аномалии ЛА

Рис. 4 Вектор эксцентриситета в декартовой объектоцентрической системе координат.

Рис. 5 Положение вектора эксцентриситета относительно кеплеровой возмущенной орбиты.

Вектор е имеет размерность длины и в соответствии с ранее полученными результатами его компонента характеризует высотный сдвиг возмущенного движения относительно круговой орбиты, радиус которой равен большой полуоси возмущенной орбиты

Выражения для перигейного и апогейного расстояний возмущенной орбиты могут быть теперь записаны в виде

Из кеплеровой теории известны соотношения

Сравнение выражений для , полученных при рассмотрении относительного движения и в кеплеровой теории, сразу определяет зависимость между эксцентриситетом относительного движения е и кеплеровым эксцентриситетом :

1.7 Уравнения прогноза относительного движения двух ЛА, каждый из которых движется по эллиптической орбите

До сих пор, говоря об относительном движении двух ЛА, мы полагали, что орбита одного из них является круговой. Можно ли использовать полученные результаты для описания относительного движения двух ЛА, каждый из которых движется по эллиптической орбите? Оказывается можно, и эта возможность предоставляется нам благодаря тому, что мы рассмотрели относительное движение в линейном приближении. Действительно, пусть два ЛА движутся по эллиптическим орбитам и пусть для обоих ЛА можно указать такое фиктивное опорное круговое движение и такую связанную с ним орбитальную систему координат, что будут выполняться все необходимые условия для решения задачи в линейном приближении, т.е. соответствующие отклонения координат обоих ЛА от начала системы отсчета будут достаточно малы (это одновременно означает и малость рассогласований координат самих ЛА). Для каждого ЛА мы вправе записать уравнение прогноза:

где - матрица прогноза, элементы которой являются функциями времени прогноза и угловой скорости опорного движения; - векторы состояния относительных движений летательных аппаратов в начальный момент времени; - векторы состояния относительных движений летательных аппаратов в конечный момент времени. Из разности этих уравнений нетрудно получить

где - векторы состояния движения первого ЛА относительно второго соответственно в начальный и конечный моменты времени.

Естественно, что при указанном относительном движении невозможно установить простую связь между параметрами относительного движения и кеплеровыми элементами, поскольку и е в этом случае характеризуют возмущение не круговой, а эллиптической орбиты.

Завершая описание линейной теории относительного движения, остановимся на свойствах матрицы прогноза , уравнения (2.18). Запишем это уравнение в виде

Где векторы состояния относительного движения соответственно в начальный момент и конечный момент - матрица, осуществляющая прогноз вектора состояния на временной интервал

Получим вектор состояния в момент иным образом, осуществив сначала прогноз на промежуточный момент и продолжив его затем до момента :

Таким образом, результирующая матрица прогноза на временной интервал есть результат произведения матриц прогноза при осуществлении прогноза последовательно на интервал и затем на интервал Этот вывод можно обобщить следующим образом:

До сих пор рассматривался прогноз вектора состояния относительного движения на некоторый момент в будущем, но, очевидно, прогноз может быть осуществлен и на заданный момент в прошлом - для этого достаточно определить элементы матрицы прогноза для отрицательного временного интервала. При этом

При решении ряда задач может оказаться более удобным рассматривать относительное движение в какой-либо системе координат, отличающейся от использованных нами орбитальных вращающихся систем (ОСК или ЦСК). Если преобразование вектора состояния R при переходе к новой системе координат является линейным и задается постоянной матрицей А, то легко получить матрицу прогноза относительного движения в новой системе координат:

В качестве примера подобного преобразования укажем на преобразование "замораживания" вектора состояния, заданного в ОСК. В результате такого преобразования мы приходим к ОСКЗ (ОСК "замороженная"), оси которой в любой момент времени совпадают с осями ОСК и вместе с тем в каждый текущий момент неподвижны относительно инерциального пространства. Матрицу А этого преобразования можно представить в блочном виде

а результат преобразования вектора состояния R, заданного в ОСК, - в виде

Исходя из характера преобразования, можно сказать, что вектор состояния r есть результат проектирования разности абсолютных векторов состояния возмущенного и опорного движений на оси ОСК.

Матрица прогноза полученная по формуле дает следующий аналог решения (2.6) для ОСКЗ:

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Математическая модель невозмущенного движения космических аппаратов. Уравнения, определяющие относительные движения тел-точек в барицентрической системе координат. Исследование системы уравнений с точки зрения теории невозмущенного кеплеровского движения.

    презентация [191,8 K], добавлен 07.12.2015

  • Методика определения аэродинамических характеристик летательных аппаратов. Расчет зависимости между аэродинамическими коэффициентами и полярами самолета для различных режимов полета. Построение взлетных, посадочных, крейсерских кривых и полетных поляр.

    курсовая работа [417,7 K], добавлен 05.05.2015

  • Обтекание летательных аппаратов как часть раздела аэродинамики. Важность этих характеристик для оценки аэродинамических свойств. Расчет распределения диполей на цилиндрическом корпусе, имеющем заостренную головную часть с параболической образующей.

    контрольная работа [2,2 M], добавлен 10.12.2009

  • Общая характеристика законов динамики, решение задач. Знакомство с основными видами сил. Особенности дифференциальных уравнений движения точки. Анализ способов решения системы трех дифференциальных уравнений второго порядка, рассмотрение этапов.

    презентация [317,7 K], добавлен 28.09.2013

  • Электрические схемы привода двух разнотипных реверсивных исполнительных органов с линейным движением и привода поршневого компрессора. Определение типов электродвигателей, ламп накаливания и кабелей. Выбор аппаратов для схемы управления электроприводами.

    курсовая работа [141,7 K], добавлен 25.03.2012

  • Использование теоремы об изменении кинетической энергии при интегрировании системы уравнений движения. Получение дифференциальных уравнений движения диска. Анализ динамики ускорения движения стержня при падении. Расчет начальных давлений на стену и пол.

    презентация [597,5 K], добавлен 02.10.2013

  • Взаимодействие излучения высокой энергии с веществом, корпусов космических аппаратов с окружающей плазмой. Лабораторное оборудование для проведения радиационных испытаний космических аппаратов, исследования радиационных воздействий в натурных условиях.

    курсовая работа [910,3 K], добавлен 14.06.2019

  • Практические формы уравнений движения. Коэффициент инерции вращающихся частей поезда. Упрощенная кинематическая схема передачи вращающего момента с вала на обод движущего колеса. Кинетическая энергия, физхическая масса и скорость поступательного движения.

    лекция [129,5 K], добавлен 27.09.2013

  • Исследование относительного движения материальной точки в подвижной системе отсчета с помощью дифференциального уравнения. Изучение движения механической системы с применением общих теорем динамики и уравнений Лагранжа. Реакция в опоре вращающегося тела.

    курсовая работа [212,5 K], добавлен 08.06.2009

  • Практические формы уравнений движения. Определение коэффициента инерции вращающихся частей поезда. Связь между скоростью движения, временем и пройденным поездом расстоянием. Угловые скорости вращающихся частей. Изменение кинетической энергии тела.

    лекция [129,5 K], добавлен 14.08.2013

  • Численное решение уравнений движения планет и их спутников по орбите. Влияние возмущений на характер орбиты. Возмущения в пространстве скоростей. Радиальные, тангенциальные возмущения. Законы движения Кеплера и Ньютона. Влияние "солнечного ветра".

    курсовая работа [486,0 K], добавлен 22.07.2011

  • Классификация электрических аппаратов. Характеристика автоматизированных аппаратов защиты. Способы начисления амортизации основных средств. Схема устройства автоматического выключателя, принцип его работы. Способы начисления амортизации основных средств.

    курсовая работа [935,9 K], добавлен 04.09.2012

  • Математическая модель и решение задачи очистки технических жидкостей от твердых частиц в роторной круговой центрифуге. Система дифференциальных уравнений, описывающих моделирование процесса движения твердой частицы. Физические характеристики жидкости.

    презентация [139,6 K], добавлен 18.10.2015

  • Уравнение неразрывности потока жидкости. Дифференциальные уравнения движения Эйлера для идеальной жидкости. Силы, возникающие при движении реальной жидкости. Уравнение Навье - Стокса. Использование уравнения Бернулли для идеальных и реальных жидкостей.

    презентация [220,4 K], добавлен 28.09.2013

  • Разделение теплопереноса на теплопроводность, конвекцию и излучение. Суммарный коэффициент теплоотдачи. Определение лучистого теплового потока. Теплопередача через плоскую стенку. Типы теплообменных аппаратов. Уравнение теплового баланса и теплопередачи.

    реферат [951,0 K], добавлен 27.01.2012

  • Закон движения груза для сил тяжести и сопротивления. Определение скорости и ускорения, траектории точки по заданным уравнениям ее движения. Координатные проекции моментов сил и дифференциальные уравнения движения и реакции механизма шарового шарнира.

    контрольная работа [257,2 K], добавлен 23.11.2009

  • Классификация теплообменных аппаратов по принципу действия (поверхностные и смесительные). Особенности подбора устройства. Схема кожухотрубного теплообменника. Основные удельные показатели, которые характеризуют эффективность теплообменных аппаратов.

    презентация [206,5 K], добавлен 28.09.2013

  • Классификация электрических аппаратов по областям применения. Общие требования, предъявляемые к ним. Применяемые материалы и прогрессивные направления их выбора. Выбор и расчет общей электрической изоляции аппаратов. Расчет коммутирующих контактов.

    курс лекций [2,2 M], добавлен 09.04.2009

  • Расчет параметров трансформатора, двигателя, токов короткого замыкания. Выбор аппаратов защиты и управления, клеммников, распределительного блока, корпуса низковольтного комплектного устройства, комплектующих. Времятоковая характеристика аппаратов защиты.

    курсовая работа [1,7 M], добавлен 23.02.2014

  • Определение номинальной мощности силовых трансформаторов. Ограничение токов короткого замыкания. Выбор электрических схем распределительных устройств, шинных конструкций и электрических аппаратов. Расчетные условия для выбора аппаратов и проводников.

    курсовая работа [1,0 M], добавлен 22.06.2015

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.