Расчет плоских стержневых систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Аннотация

В данной работе проведены расчеты двух плоских стержневых систем, для которых известны все необходимые геометрические и динамические параметры, а также указана нагрузка. Для расчета используется метод конечных элементов. Разрешающие уравнения метода строятся с применением метода начальных параметров. Результаты вычислений были визуализированы. Изображены деформированные состояния стержней конструкций, построены графики внутренних силовых факторов. Произведен расчет системы на прочность по нормальным напряжениям для заданной интенсивности нагрузки. Для обеих конструкций произведен спектральный анализ.

С целью выяснения правильности построенной численной модели, были проведены расчеты для относительно простых конструкций, для которых может быть найдено аналитическое решение. Анализ результатов показал, что средняя погрешность вычисления с помощью разработанной модели составляет менее 1%.

Содержание

Аннотация

1. Исходные данные

2. Основные положения метода начальных параметров

3. Задача о равновесии прямого стержня постоянного сечения

4. Построение стержневого конечного элемента с использованием аналитических решений уравнений состояния

5. Выполнение индивидуального задания

Выводы

Список использованных источников

1. Исходные данных

Рисунок 1 - Расчетные схемы

Материал, из которого изготовлены стержни: Сталь3 (). Интенсивность нагрузки . В случае наличия сосредоточенной силы . Характерный размер . Размеры а и в связаны с характерным размером l: , . Сечение всех стержней представляет собой двутавр №12, для которого площадь сечения ; осевой момент инерции ;

осевой момент сопротивления .

2. Основные положения метода начальных параметров

Рассматривается линейная постановка задачи механики деформируемого твердого тела. Деформации считаются малыми, физические соотношения принимаются в форме закона Гука при растяжении и кручении. Система дифференциальных уравнений, описывающих деформированное состояние стержня при сделанных предположениях, имеет следующий вид:

(1)

где - перемещения точек стержня соответственно в направлениях касательной, нормали и бинормали; - углы поворота вокруг соответствующих осей; - продольная сила; - перерезывающие силы; - моменты, действующие в соответственно в нормальной, касательной и соприкасающейся плоскостях. - кривизна кривой, совпадающей с осью стержня; - крутка этой кривой; - соответственно модуль Юнга, модуль сдвига, коэффициент Пуассона, плотность.

Запишем систему (1) в матричном виде:

, (2)

где - матрица модели, - матрица инерции;

- (3)

вектор состояния стержня;

- (4)

вектор внешних распределенных нагрузок ( - распределенные моменты, - распределенные усилия).

Рассмотрим задачу статики. Учитывая, что в данном случае , пренебрежем инерционными слагаемыми в системе (1) и получим условия равновесия системы в виде неоднородной системы дифференциальных уравнений:

. (5)

Систему (5) можно решать операционными методами, используя интегральное преобразование Лапласа. Применим интегральное преобразование Лапласа к левой и правой части, приняв параметром преобразования переменную , и найдем выражение для изображения вектора состояния :

(6)

Введем следующее обозначение: - изображение матрицы фундаментальных решений. Запишем решение уравнения (5) в виде суммы общего решения соответствующей однородной системы и некоторого частного решения соответствующей неоднородной системы, используя теорему о свертке:

. (7)

Таким образом, задавая в общем случае 6 начальных компонент вектора состояния стержня при - начальных параметров, возможно получить оставшиеся неизвестные параметры состояния из граничного условия на другом конце стержня.

3. Задача о равновесии прямого стержня постоянного сечения

Рассмотрим преобразования (5)-(7) для случая плоской деформации. Выберем следующий порядок параметров состояния стержня:

. (8)

В (8) опущены индексы, указывающие направления соответствующих векторов. Будем полагать далее, что .

Запишем матрицу модели стержня и вектор распределенных нагрузок для плоского случая, используя (1):

. (9)

Найдем матрицу фундаментальных решений и вектор нагрузок, используя выражение (7) и применив обратное преобразование Лапласа:

. (10)

Рассмотрим некоторые примеры, демонстрирующие применение описанного метода.

Пример 1. Задача о консольной балке постоянного сечения с площадью поперечного сечения и осевым моментом инерции , находящейся под действием равномерно распределенной по длине нагрузки , действующей в направлении оси OY.

Рисунок 2 - Расчетная схема примера 1

Найдем аналитическое решение данной задачи, используя классическую теорию изгиба:

(11)

Произведя вычисления по формулам (11) с учетом граничных условий , получим зависимости кинематических и силовых параметров балки: уравнение механика стержневой

(12)

На правом свободном краю стержня получены следующие значения перемещений: . На рисунке 3 изображены кинематические параметры стержня. На левом рисунке показана зависимость перемещения точек оси стержня от продольной координаты, а на правом рисунке показана зависимость угла поворота поперечного сечения от продольной координаты.

Рисунок 3 - Кинематические параметры стержня

На рисунке 4 изображены силовые параметры стержня. На левом рисунке показано распределение перерезывающей силы, а на правом рисунке - распределение изгибающего момента.

Рисунок 4 - Силовые параметры стержня

Найдем решение этой же задачи, используя метод начальных параметров. Запишем вектор состояния в виде (8) для стержня, используя найденную матрицу влияния (10) и выражение (7):

. (13)

Далее, в соответствии с граничными условиями в начале стержня, зададим начальные параметры . Составим систему уравнений для определения оставшихся неизвестных начальных параметров. В конце стержня :

(14)

Из системы (14) получим, что . Подставим найденные начальные параметры обратно в вектор состояния. Получим следующие выражения для параметров состояния стержня:

(15,а)

(15,б)

В задаче задана следующая нагрузка . Для такой нагрузки решение (15,а) и (15,б) примет вид:

(16)

Сравнивая выражения (12) и (16), сделаем вывод о применимости решения, найденного методом начальных параметров.

Пример 2. Задача о балке постоянного сечения с площадью поперечного сечения и осевым моментом инерции , находящейся под действием равномерно распределенной по длине нагрузки , действующей в направлении оси OY. На левом конце балка закреплена неподвижным цилиндрическим шарниром, а на правом конце - горизонтальной катковой опорой.

Рисунок 5 - Расчетная схема примера 2

Произведя вычисления по формулам (11) с учетом граничных условий , получим зависимости кинематических и силовых параметров балки:

(17)

Углы поворота сечения в начале и конце стержня равны. . На рисунке 6 изображены кинематические параметры стержня. На левом рисунке показана зависимость перемещения точек оси стержня от продольной координаты, а на правом рисунке показана зависимость угла поворота поперечного сечения от продольной координаты.

Рисунок 6 - Кинематические параметры стержня

Рисунок 7 - Силовые параметры стержня

На рисунке 7 изображены силовые параметры стержня. На левом рисунке показано распределение перерезывающей силы, а на правом рисунке - распределение изгибающего момента.

Общий вид вектора состояния стержня совпадает с (13). Зададим начальные параметры . Составим систему уравнений для определения оставшихся неизвестных начальных параметров. В конце стержня :

(18)

Из системы (18) получим, что . Подставим найденные начальные параметры обратно в вектор состояния. Получим следующие выражения для параметров состояния стержня:

(19)

В задаче задана следующая нагрузка . Для такой нагрузки решение (19) примет вид:

(20)

Как видно из (17) и (20) решения классическим методом и методом начальных параметров полностью совпадают.

4. Построение стержневого конечного элемента с использованием аналитических решений уравнений состояния

Рассмотрим выражения для вектора состояния в произвольной точке стержня:

. (21)

Представим вектор состояния (3) в виде объединения двух блоков, один из которых характеризует кинематические параметры стержня , а другой - силовые параметры .

Аналогично запишем для вектора нагрузки:

, (22)

где , .

Матрицу влияния разобьем на четыре блока:

, (23)

где , ,, .

Запишем уравнение (21) для конца стержня :

. (24)

Выразим из (24) вектор начальных силовых параметров :

. (25)

Получим выражение для состояния стержня в любой точке через параметры начала и конца, для чего подставим (25) обратно в (21). Сгруппировав подобные слагаемые, получим уравнение, связывающее состояние стержня в любой его точке с кинематическими параметрами его начала и конца:

, (26)

где - соответственно блочная матрица и вектор, устроенные аналогично (22) и (23).

Компоненты матрицы связи и вектора имеют следующий вид:

. (27)

Чтобы найти узловые перемещения, воспользуемся методом вырезания узлов. Для этого запишем состояние в начале и в конце стержня. Из уравнений, определяющих силовые параметры, получаются условия равновесия стержня: . Учтем при этом, что матрица влияния - нормированная матрица фундаментальных решений, то есть выполняется условие - единичная матрица.

(28)

Запишем уравнения (28) в матричном виде:

, (29)

где компоненты блоков матрицы и вектора имеют следующий вид:

(30)

Уравнение (29), связывающее узловые перемещения стержня с распределенной нагрузкой, действующей на него, по определению является разрешающим уравнением метода конечных элементов. Тогда - матрица жесткости стержневого конечного элемента.

5. Выполнение индивидуального задания

Рисунок 8 - Схема конструкции 1

Конструкция представляет собой прямой стержень с шарниром на левом конце и свободным краем - на правом конце. Из последнего следует, что схема является статически определимой. Значит, производить расчет удобнее методом начальных параметров.

Стержень нагружен различными силовыми факторами: сосредоточенной силой P и равномерной нагрузкой q. Поэтому разобьем стержень следующим образом:

Рисунок 9 - Выделение узлов. Конструкция 1

Запишем систему уравнений метода начальных параметров, из которой будем искать кинематические и силовые параметры стержня:

где - изгибающий момент, Q - поперечная сила, q - распределенная поперечная нагрузка, u - линейное перемещение вдоль нормали стержня, - угловое перемещение вокруг бинормали, E - модуль Юнга, I - момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости изгибающего момента. х - координата вдоль оси стержня.

1) матрица модели А, полученная из системы диф уравнений от

(u/v/teta/N/Q/M)

2) матрица влияния получена преобразованием Лапласа

аналитическое решение МНП позволяет найти вектор нагрузки:

Разобьем на блоки:

Эти формулы исключают элементы, отвечающие за силовые нагрузки из матрицы влияния:

Матрица жесткости элемента связывает перемещения и угол поворота начала и конца и вектор нагрузки:

Теперь необходимо получить силы:

Выполнение расчета для схемы 1.

Исходные данные:

Площадь сечения:

Модуль упругости (Юнга):

Момент инерции:

Массив данных:

Условия закрепления: 0 - есть закрепление по данному перемещению, 1 - свободное перемещение.

Связи: `'0 - закрепление, 1 - свободно''

Структура: 1- перемещение по x для первого узла,

2- перемещение по y для первого узла,

3- угол поворота для первого узла

4- перемещение по x для второго узла

5- перемещение по y для второго узла

6- угол поворота для второго узла

Процедура вычисляющая длину стержня:

{ne номер элемента, для которого считается длина

Len - длина элемента}

Процедура составляющая глобальную матрицу жесткости:

{ne - номер элемента, для которого считается длина Ans - в конце выводится глобальная матрица жесткости}

Вектор перемещений

U - это вектор глобальных перемещений, в котором перемещения всех узлов записаны по порядку. Чтобы интерпретировать полученные результаты, необходимо получить векторы узловых перемещений для каждого из элементов:

Эпюры внутренних силовых и кинематических факторов для первого элемента:

Рисунок 10 Продольное перемещение

Рисунок 11 Поперечное перемещение

Рисунок 12 Угол поворота

Рисунок 13 Изгибающий момент

Рисунок 14 Продольная сила

Рисунок 15 Поперечна сила

Рисунок 16

Эпюры внутренних силовых и кинематических факторов для второго элемента:

Рисунок 17 Продольное перемещение

Рисунок 18 Поперечное перемещение

Рисунок 19 Угол поворота

Рисунок 20 Изгибающий момент

Рисунок 21 Продольная сила

Рисунок 22 Поперечна сила

Рисунок 23

Эпюры внутренних силовых и кинематических факторов для третьего элемента:

Рисунок 24 Продольное перемещение

Рисунок 25 Поперечное перемещение

Рисунок 26 Угол поворота

Рисунок 27 Изгибающий момент

Рисунок 28 Продольная сила

Рисунок 29 Поперечна сила

Рисунок 30

можно сделать о том, что конструкция выдержит заданную нагрузку.

Схема 2

Рисунок 31 - Схема конструкции 2

Данная схема представляет собой стержневую систему с жесткой заделкой и неподвижной шарнирной опорой. Схема является статически неопределимой. Все эти факторы говорят о неудобстве использования МНП в том виде, который использовался при решении задания №1. Однако, можно совместить МНП с методом конечных элементов, которым и воспользуемся при решении задачи.

Как было сказано выше, будем использовать метод, совмещающий МНП и МКЭ.

Отметим, что вектор состояния содержит в себе кинематические и силовые параметры. Тогда его можно разбить на 2 части:

.

где и .

Тогда естественно будет разбиение матрицы влияния на 4 блока:

где каждый блок несет вполне понятную информацию:

VCC - влияние кинематических параметров на кинематические

VCF - влияние силовых параметров на кинематические

VFC - влияние кинематических параметров на силовые

VFF - влияние силовых параметров на силовые

Влияние распределенных нагрузок также разобьем на 2 части:

- влияние нагрузок на кинематические параметры

- влияние нагрузок на силовые параметры

Тогда векторы перемещений и силовых факторов можно записать в виде:

Запишем полученное первое уравнение для x=L и выразим из него начальные силовые параметры:

Подставим выражение во второе уравнение:

Таким образом, мы выразили силовые параметры через перемещения узлов, что напоминает КЭ-подход.

Перед последующими преобразованиями, отметим, что матрица VFC является нулевой.

Составим вектор силовых параметров в узлах:

,

Введем также вектор узловых перемещений:

Тогда можно записать следующее уравнение:

,

где K - аналог матрицы жесткости, а R - влияние распределенных нагрузок. Приведем их вид:

Определение матрицы жесткости:

- матрица жесткости в локальных координатах

Исходные данные берем из первой задачи:
Эпюры внутренних силовых и кинематических факторов для первого элемента:

Рисунок 32 Продольное перемещение

Рисунок 33 Поперечное перемещение

Рисунок 34 Угол поворота

Рисунок 35 Изгибающий момент

Рисунок 36 Продольная сила

Рисунок 37 Поперечна сила

Рисунок 38

Эпюры внутренних силовых и кинематических факторов для второго элемента:

Рисунок 39 Продольное перемещение

Рисунок 40 Поперечное перемещение

Рисунок 41 Угол поворота

Рисунок 42 Изгибающий момент

Рисунок 43 Продольная сила

Рисунок 44 Поперечна сила

Рисунок 45

Эпюры внутренних силовых и кинематических факторов для третьего элемента:

Рисунок 46 Продольное перемещение

Рисунок 47 Поперечное перемещение

Рисунок 48 Угол поворота

Рисунок 49 Изгибающий момент

Рисунок 50 Продольная сила

Рисунок 51 Поперечна сила

Рисунок 52

можно сделать о том, что конструкция выдержит заданную нагрузку.

Выводы

В работе произведен расчет двух плоских стержневых систем методом конечных элементов. Был приведен алгоритм построения матрицы жесткости конечного элемента на основе аналитических решений, полученных методом начальных параметров. Рассмотрение нескольких простых примеров показало, примененный численный метод обладает высокой точностью (порядка ) .Для стержневых систем произведен поверочный расчет на прочность по критерию наибольших нормальных напряжений, который показал, что обе конструкции выдерживают приложенную к ним заданную нагрузку.

Список использованных источников

1. Анурьев, В.И. Справочник конструктора-машиностроителя: В 3-х т. Том 1 / В.И. Анурьев. - М.: «Машиностроение», 1982. - 736 с.

2. Грязев, М.В. Прикладные задачи механики деформируемого твердого тела: учеб. пособие. Ч. 1. Статика стержней / М.В. Грязев, В.И. Желтков, А.А. Васин, М.В. Васина. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. - 128 с.

3. Работнов, Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю.Н. Работнов. - М.: Наука, 1988. - 712 с.

4. Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов / В.И. Феодосьев. - М.: Наука, 1974. - 560 с.

5. Фотиева, Н.Н. Сопротивление материалов в примерах и задачах / Н.Н. Фотиева, А.К. Петренко, А.С. Саммаль, В.М. Логунов. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. - 186 с.

Размещено на Allbest.ru

...