Основные составляющие теоретической механики

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Векторный способ задания движения точки

Задать движение ? это значит уметь определить положение точки в каждый момент времени. Векторный способ задания движения заключается в задании вектор функции: =(t). Подставляя в нее значения времени t; t; ... , получим векторы = (t), = (t), .. , которые определяют положение точки в эти моменты времени (рис. 1). Построить вектор можно только в некоторой системе координат. Векторный способ подразумевает наличие системы координат, но не конкретизирует ее, поэтому им пользуются при выводе теоретических положений.

Линия, которую описывает точка при своем движении, называется траекторией.

2. Координатный способ задания движения точки

При этом способе задается три функции (при движении в пространстве), определяющие три координаты точки в каждый момент времени. Системы координат могут быть разными, например: прямоугольная декартова, цилиндрическая или сферическая система координат.

В первом случае задается: х=х(t); y=у(t); z=z(t) ? это и есть уравнения движения точки (рис. 2). в цилиндрической системе координат (рис. 3) задаются: с= с(t); ц= ц (t); z=z(t). В сферической (рис. 4): ц = ц(t); и= и(t); r=r(t). если движение задано в какой - то из этих систем координат, то всегда можно перейти к заданию движения в любой из двух других.



3. Естественный способ задания движения точки

Он заключается в задании (рис. 5):

1) траектории точки: у = f(х);

2) начала отсчета (т. О);

3) положительного направления отсчета;

4) закона движения s = s(t), где s ? дуговая координата.

4. Естественные оси координат

Естественные оси двигаются вместе с точкой и изменяют свое положение в пространстве. Этих осей три (рис.6): касательная, главная нормаль, бинормаль.



Единичный вектор касательной ? (тау) направлен по касательной к траектории в сторону положительного отсчета дуги.

Соприкасающаяся плоскость ? предельное положение плоскости, проходящей через т. М1, лежащую на кривой, и касательную в т. М, при стремлении т. М1 к т. М. Единичный вектор главной нормали перпендикулярен , лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости траектории. Плоскость перпендикулярная касательной называется нормальной. Единичный вектор бинормали перпендикулярен соприкасающейся плоскости и направлен в ту сторону, откуда вращение от к , по кратчайшему пути, видно происходящим против часовой стрелки. Плоскость (,) называется спрямляющей.

5. Скорость при векторном способе задания движения

Пусть за время Дt точка переместилась из М в М(рис.7) , вектор Д? вектор перемещения. Средней скоростью точки за время Дt называется векторср = Д/Дt. Скоростью точки в данный момент времени называется предел, к которому стремится отношение вектора перемещения к промежутку времени, за которое оно произошло, при стремлении последнего к нулю:

= lim Д/Дt.

Дt.

Из рис. 7 видно, что:

(t) + Д=(t+Дt),

тогда:

Д=(t+Дt) - (t), и

= lim Д/Дt = lim( (t+Дt) - (t)) / Дt = d/ dt.

Дt Дt

то есть скорость точки в данный момент времени равна первой производной от радиуса вектора по времени. Поскольку вектор Д в пределе занимает положение касательной, то и вектор скорости в данный момент времени направлен по касательной к траектории. Скорость измеряется в м/с.

6. Ускорение при векторном способе задания движения

Средним ускорением называется отношение вектора изменения скорости к промежутку времени, за которое оно произошло: ср=Д/Дt.

Ускорением точки в данный момент называется предел этого отношения при стремлении промежутка времени к нулю.

= lim Д/Дt = lim( (t+ Дt) - (t))/ Дt.

Дt Дt

Ускорение равно первой производной от скорости, или второй производной от радиуса вектора по времени:

= d/dt = d /dt.

Ускорение ср, а значит и ускорение в данный момент времени , направлено в сторону вогнутости траектории (рис.8). Ускорение измеряется в м/с2.

7. Скорость при координатном способе задания движения

Известно, что =d/dt, но =x·+y·+z·, тогда (т.к. ,,- const):

= dx/dt·+dy/dt·+dz/dt·. (7.1)

С другой стороны,

= v·+v·+v·. (7.2)

сравнивая (1) и (2) получим:

vх = dx/dt; vу = dy/dt; v= dz/dt.

то есть: проекция скорости на ось равна первой производной от соответствующей координаты по времени.

Зная проекции, можно найти модуль скорости:

= ,

а также направляющие косинусы:

соs(;) = vx / || ; соs(;) = vy / ||; соs(;) = vz / ||.

8. Ускорение при координатном способе задания движения

Известно, что = d/dt, но:

= vx·+ vy·+ vz·,

тогда:

= dv x /d t ·+dvy /d t ·+dvz /dz ·, (8.1)

с другой стороны,

= ах · + ау · + аz·. (8.2)

сравнивая (8.1) и (8.2), получим:

а x =dv x /dt =dx / dt; аy=dvy/ dt =dy / dt; а=dvz /dt =dz / dt.

то есть: проекция ускорения на ось равна первой производной от проекции скорости на ту же ось, или второй производной от соответствующей координаты по времени. Модуль ускорения:

|| = ;

направляющие косинусы:

соs (;) = аx / ||; соs(;) = аy / ||; соs (;) = аz / ||.

9. Скорость при естественном способе задании движения

Известно:

= lim Д/Дt = lim Д/Дs • limДs/ Дt.

Дt Дs Дt

Так как первый предел по модулю равен единице, а направлен по касательной, то он равен (тау); обозначим: ds/dt = v ф , тогда = v ф • .

10. Ускорение при естественном способе задания движения

Известно, что:

= d/ dt = d v ф / dt • + v ф • d /dt. (10.1)

Можно показать, что d/dt = v ф /с •. Тогда формула (10.1) примет вид:

= d v ф / dt • + vф / с •,

с другой стороны,

= a ф • + an • + аb • . (10.2)

сравнивая (10.1) и (10.2), получим:

a ф = d v ф / dt; an = vф / с; аb = 0.

здесь с - радиус кривизны траектории, величина обратная кривизне k: с = 1/ k.

По определению k = lim е / Дs, где е - угол смежности (угол между касательными в двух точках кривой, лежащих на расстоянии Дs). Радиус кривизны ? это радиус максимальной окружности, которую можно вписать в кривую в данной точке. Радиус кривизны окружности равен радиусу окружности, у прямой он равен ?.

11. Поступательное движение твердого тела

Поступательным называется такое движение тела, при котором любая прямая, жестко соединенная с ним, остается параллельной своему начальному положению.

Теорема. При поступательном движении все точки тела описывают совпадающие при наложении траектории и имеют в данный момент времени одинаковые скорости и ускорения.

Пусть тело (рис. 9), двигаясь поступательно, переместилось из положения АВ в положение А'В'. Фигура АВА'В' - параллелограмм, т.к. стороны АВ и А'В' равны и параллельны. Следовательно, перемещения точек А и В также будут равны и параллельны, т.е. Д= Д.

Из рисунка видно, что траектория т. В получается из траектории т. А смещением на , т.е. траектории совпадают при наложении. Взяв два раза производную от равенства = , получим: = ; =. Что и требовалось доказать.

То есть при изучении поступательного движения тела достаточно изучить движение хотя бы одной его точки, а для этого можно использовать теорию, полученную в кинематике точки.

12. Вращательное движение. Угловые скорость и ускорение

Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором имеются две точки, остающиеся все время неподвижными.

Рис. 10

Линия, проходящая через эти две точки, называется осью вращения. Все точки, лежащие на оси вращения, неподвижны. Положение вращающегося тела можно задать с помощью двугранного угла ц (рис.10) между неподвижной полуплоскостью (н.п.) и подвижной полуплоскостью (п.п.), жестко связанной с телом. Угол ц положителен, если для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси вращения, поворот виден происходящим против часовой стрелки. Для задания вращения надо задать функцию, описывающую изменение угла ц во времени: ц=ц(t). Это и есть закон вращательного движения. Основными кинематическими характеристиками вращательного движения являются угловая скорость щ (рад/с; 1/с) и угловое ускорение е (рад/с; 1/с2). Эти величины вводятся по аналогии с понятиями скорости и ускорения точки.

Угловая скорость щ (омега) есть предел, к которому стремится отношение приращения угла поворота Дц к промежутку времени Дt, за которое это приращение произошло, при стремлении Дt к нулю. Угловое ускорение е (ипсилон) есть предел отношения приращения угловой скорости к промежутку времени, при стремлении последнего к нулю. Очевидно, эти пределы равны первым производным от угла и угловой скорости по времени, то есть:

щ = dц/dt; е = dщ /dt = d2ц/dt2.

В технике часто угловая скорость задается в об/мин. В этом случае она называется частотой вращения и обозначается буквой n. Связь между щ и n имеет вид:

щ =рЧn /30.

Угловые скорость и ускорение можно представить как векторы. Вектор направлен по оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против часовой стрелки. Вектор направлен в сторону вектора , если вращение ускоренное, и в противоположную сторону, если замедленное.

13. Скорость и ускорение точек тела при вращательном движении

Формула Эйлера

Пусть за время Дt тело повернулось на угол Дц, тогда т. М опишет дугу окружности длиной Дs (рис. 11). Найдем скорость т.М.



Рис. 11

vM = lim Дs / Дt = lim (R • Дц)/ Дt = R•щ.

Дt Дt

Ускорение касательное:

a ф = d vM /dt = d(R • щ)/dt = R • dщ/dt = R • е.

Ускорение нормальное:

an = vM /с = щ2R2/R = щ2R.

тогда полное ускорение:

ускорение касательный векторный

аМ == R.

Угол наклона полного ускорения к радиусу не зависит от R, т. к. tgб = aф / an = е / щ2.

Скорость т. М можно найти и с помощью векторного произведения: , это и есть формула Эйлера. Здесь ? радиус вектор точки М (рис. 11). Взяв производную от этой формулы, получим:

=d/dt=d/dtЧ+Чd/dt = Ч+ Ч( Ч).

Можно проверить, что первое слагаемое есть a ф, а второе ? an .

14. Уравнение равнопеременного вращения

Равнопеременным вращением называется такое вращение, при котором угловое ускорение постоянно (е = соnst).

Но е = dщ/dt, разделив переменные и проинтегрировав: , получим закон изменения угловой скорости при равнопеременном движении:

щ - щ0 = еt, или щ = щ0 + еt. (14.1)

Учитывая, что щ = dц/dt , разделяя переменные и интегрируя еще один раз, получим закон равнопеременного вращения:

ц = ц0+ щ0 t+1/2 еt (14.2)

Из уравнения (14.1) видно, что если е и щ0 имеют одинаковые знаки, то щ по модулю возрастает с течением времени. В этом случае вращение называется равноускоренным. В формуле (14.2) обычно полагают ц0 = 0, т.к. начальный угол поворота ц0 зависит от выбора начала отсчета. Если е = 0, то вращение называется равномерным. ц = ц+ щt ? закон равномерного вращения.

15. Плоскопараллельное движение (плоское)

Движение тела называется плоским, если все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Очевидно, что точки, лежащие на перпендикуляре А1А2 к сечению S, параллельному неподвижной плоскости, двигаются так же, как т. А. Следовательно, для изучения движения всего тела достаточно изучить движение сечения S. Положение сечения S определяется положением отрезка АВ (рис. 13). Для задания положения отрезка АВ достаточно задать координаты х и у т. А, а также угол ц между АВ и осью x. Для задания движения сечения S надо задать три функции определяющие х, у и ц в каждый момент времени. Таким образом, уравнения плоского движения имеют вид:

Зная эти уравнения, можно написать уравнение движения любой точки тела. Если ц = соnst, то тело будет совершать поступательное движение. следовательно, первые два уравнения его и описывают. Если xA и yA= соnst, то тело будет совершать вращательное движение. следовательно, его описывает последнее уравнение. Плоское движение можно представить как сумму двух движений: поступательного ? вместе с полюсом А и вращательного ? вокруг точки А.

16. Теорема о сложении скоростей при плоском движении

Теорема. Скорость любой точки тела, совершающего плоскопараллельное движение, геометрически складывается из скорости полюса (т.А) и скорости вращения этой точки вокруг полюса.

Из рис. 14 видно, что . Возьмем производную. Из кинематики точки известно, что d/dt =; d/dt =. Обозначим d/dt =, тогда получим ? это и есть теорема о сложении скоростей при плоском движении. Очевидно, ? это скорость движения т. В, когда т. А неподвижна, т. е. когда тело вращается вокруг полюса А. ? это скорость вращения т. В вокруг полюса А. Тогда | АВ. По формуле Эйлера , тогда теорема примет вид:

.

Данная теорема имеет два следствия:

1. Проекции скоростей двух точек тела, совершающего плоское движение, на линию, соединяющую их, равны.

2. Конец вектора скорости т. С, лежащей на отрезке АВ (рис. 15), делит отрезок, соединяющий концы векторов и , в том же отношении, в каком т. С делит отрезок АВ, т. е. АВ/АС=аb/ac.

17. Определение скорости точек с помощью МЦС

При решении задач пользоваться теоремой о сложении скоростей неудобно, поэтому используют понятие мгновенного центра скоростей (МЦС).

МЦС ? это точка, скорость которой в данный момент времени равна 0.

Если в качестве полюса взять МЦС (т. Р), то теорема о сложении скоростей примет вид , или ; но = 0, тогда , . Таким образом, скорость любой точки плоской фигуры может быть определена как скорость вращения этой точки вокруг МЦС, тогда vC = щ·АР, vB= щ ·BР, ... , vC = щ ·СР ; то есть при определении скоростей можно считать, что тело вращается вокруг МЦС.

МЦС находится на пересечении перпендикуляров к скоростям двух точек тела (рис. 16). Если известна величина одной из скоростей, то можно найти угловую скорость и скорость любой точки сечения по формулам, щ = vA /АР, vB= щ • ВР, vC=щ • СР, ... . Очевидно, что чем ближе точка расположена к мцс, тем меньше ее скорость. Кроме того, vB / ВР = vC / СР = … = vA / АР = щ.

Если скорости двух точек тела параллельны, а перпендикуляры к скоростям не совпадают, то они пересекутся в бесконечности (рис. 17), в этом случае:

щ = v/АР= v/? = 0.



Говорят, что тело совершает мгновенное поступательное движение. В этом случае скорости всех точек тела равны и параллельны.

Если скорости двух точек тела параллельны, а перпендикуляры к скоростям совпадают, то для определения положения МЦС надо знать величины скоростей двух точек тела. В этом случае МЦС находится на пересечении перпендикуляра к скоростям и линии, проходящей через концы векторов скоростей (рис.18). Расстояние от т. В до МЦС можно определить из подобия треугольников АаР и ВbР: vA/vB = (АВ+ВР)/ВР. Отсюда ВР = vB •АВ / (vA - vB). Зная ВР, можно найти щ = vB / ВР, а затем скорость любой точки. например: vC = щ · СР. Аналогично решается задача в случае, когда скорости двух точек параллельны и направлены в противоположные стороны.

МЦС тела, катящегося без скольжения по неподвижной поверхности, находится в точке соприкосновения тела и поверхности (рис. 19). В этом случае надо знать скорость хотя бы одной точки, тогда щ = vA/АР; vB= щ • ВР и т.д.

18. Теорема о сложении ускорений

Теорема. Ускорение точки тела, совершающего плоское движение, геометрически складывается из ускорения точки, выбранной за полюс, нормального и тангенциального ускорений при вращении этой точки вокруг полюса:

.

Для доказательства воспользуемся теоремой о сложении скоростей: . Возьмем производную. тогда, поскольку d/dt = , a d/dt = , то ; но , а d/dt == , тогда:

.

Рис. 20

Здесь ? вектор нормального (центростремительного) ускорения при вращении т. В вокруг т. А. Он направлен от т. В к т. А (рис. 20), ? вектор тангенциального (касательного) ускорения при вращении т. В вокруг т. А. Он направлен перпендикулярно АВ в сторону углового ускорения . По величине = щ•AB; = е •AB.

19. Сложное движение точки. Теорема о сложении скоростей

Сложным называется такое движение точки, при котором она одновременно участвует в нескольких движениях. Абсолютным движением называется движение точки по отношению к неподвижной системе отсчета. Относительным называется движение точки по отношению к подвижной системе отсчета. Переносным называется движение той точки подвижной системы отсчета, в которой находится движущаяся точка, по отношению к неподвижной. Проще можно сказать: относительным движением называется движение точки по телу, а переносным движением ? движение точки вместе с телом.

Скорость и ускорение точки по отношению к неподвижной системе отсчета называются абсолютными (v ; а). Скорость и ускорение точки по отношению к подвижной системе отсчета называются относительными (v r ; а r). Скорость и ускорение той точки подвижной системы, в которой находится движущаяся точка, по отношению к неподвижной системе называются переносными (ve ; аe).

Теорема. скорость точки в абсолютном движении геометрически складывается из переносной и относительной скоростей.

Например, на рис. 21 т. М совершает сложное движение: вращается вместе с диском - переносное движение и двигается по хорде диска - относительное движение.

При этом переносная скорость ve направлена перпендикулярно отрезку ОМ в сторону переносной угловой скорости щe . величина переносной скорости может быть найдена по формуле ve = щe•OM. Абсолютную скорость точки М можно найти по теореме косинусов:

,

где б - угол между векторами ve и vr.

20. Теорема о сложении ускорений при сложном движении

Теорема. абсолютное ускорение точки геометрически складывается из переносного, относительного и Кориолисова ускорений.

,

где - переносное ускорение; - относительное ускорение; - ускорение Кориолиса:

.

Модуль ускорения Кориолиса можно найти по формуле:

=2| щe |•|vr |•sinв,

где в - угол между векторами и . в рассматриваемом случае этот угол равен 90є, т. к. вектор угловой скорости направлен перпендикулярно плоскости рисунка от нас. Для определения направления можно пользоваться правилом векторного умножения, или правилом Жуковского: для определения направления ускорения Кориолиса надо спроецировать вектор относительной линейной скорости на плоскость перпендикулярную оси переносного вращения и повернуть эту проекцию в этой плоскости на угол 90° в направлении переносной угловой скорости.

Ускорение Кориолиса равно нулю, если:

1) = 0 ; т.е. переносное движение будет поступательным;

2) = 0 ; т.е. точка неподвижна по отношению к подвижной системе отсчета;

3. ; т.е. точка движется параллельно оси переносного вращения.

21. По заданным уравнениям движения точки в плоскости xy: (табл. 1) требуется найти уравнение траектории и для момента времени t1 = р/6 c определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны в соответствующей точке траектории. Построить на рисунке все найденные скорости и ускорения в соответствующих масштабах

Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются: скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки. В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t1 = р/6 c. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует применить известные из тригонометрии формулы:

При выборе масштабов построения траектории, скоростей и ускорений следует учитывать, что масштабы должны быть стандартными, то есть из ряда: 1, 2 , 25 , 4 , 5. При этом изображаемые векторы должны быть достаточно крупными (50 - 100 мм).

Таблица 1

Последняя цифра шифра	Предпоследняя цифра шифра
0	3sin(2t) + 1	0	2 - 2cos(2t)
1	2sin2(2t) -2	1	3cos2(2t)-1
2	4sin(2t) - 1	2	2cos(4t) +2
3	3 -4 cos(2t)	3	3sin(2t) - 1
4	4cos2(2t)-2	4	2sin2(2t) + 1
5	cos(4t) +1	5	2sin(2t) - 3
6	2sin2(2t) -1	6	3 - 2cos(2t)
7	2cos(4t) + 1	7	2cos(4t) +1
8	3cos2(2t)-2	8	2sin2(2t)+1
9	2+3cos(4t)	9	2 - 2cos(4t)

Пример 1. Даны уравнения движения точки в плоскости xy:

, (x, y - в сантиметрах, t - в секундах).

Определить уравнение траектории точки; для момента времени t1 = 1c найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение.

1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу

или (21.1)

Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (21.1).

Рис. 22

Получим:

следовательно:

Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (рис. 22):

2. Определяем положение точки в заданный момент времени.

при t = 1c:

Изображаем эту точку на рисунке (т.М).

3. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси.

при t = 1c:

4. Аналогично найдем ускорение точки:

.

при t = 1c: ax = 0,87 см/с2, ay = - 0,12 см/с2, a = 0,88 см/с2.

5. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство:

.

Получим:

Подставив полученные ранее значения, найдем, что при t = 1c aф = 0,66 см/с2.

5. Нормальное ускорение точки Подставляя сюда найденные числовые значения a и aф, получим, что при t = 1 c: an = 0,58 см/с2.

6. Радиус кривизны траектории Подставляя сюда числовые значения v и an , найдем, что при t = 1 c с = 3,05 см.

При построении скоростей следует в данном случае выбрать масштаб: мv = 0,02 , тогда l vx = ¦vx ¦ / мv ? 56 мм; l vy = ¦vy ¦ / мv ? 37 мм; или мv = 0,01 , тогда l vx = ¦vx ¦ / мv = 111 мм, l vy = ¦vy ¦ / мv = 73 мм.

При построении ускорений следует выбрать масштаб: мa = 0,01 , тогда: l ax = ¦ax ¦ / мa = 0,87/0,01 = 87 мм, l ay = ¦ay ¦ / мa = 0,12/0,01 = 12 мм; l aф = ¦aф ¦ / мa = 0,66/0,01 = 66 мм, l an = ¦an ¦ / мa = 0,58/0,01 = 58 мм. Найденные длины отрезков откладываем из точки М.

Примечание. при построении следует учесть, что l ay необходимо отложить вниз, так как: ay < 0, а aф - по направлению скорости, т. к. aф > 0.

22. Механизм состоит из ступенчатых колес 1?3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей; зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. 23?32, табл. 2). Радиусы ступеней равны соответственно: у колеса 2 - r2 = 6 см; R2 =8 см; у колеса 3 - r3 = 12 см; R3 = 16 см. На ободах колес расположены точки А, В, и С.

В столбце «Дано» таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где: ? закон вращения колеса 1; s4(t) - закон движения рейки 4; щ2(t) - закон изменения угловой скорости колеса 2; v1(t) - закон изменения скорости груза 1 и т.д. (везде ц выражено в радианах; s ? в сантиметрах; t - в секундах). Положительное направление для ц и щ ? против хода часовой стрелки; для s4, и v4, - вниз.

Определить в момент времени t1 = 2 c указанные в таблице в столбцах «Найти» скорости (v - линейные, щ - угловые) и ускорения (а - линейные, е - угловые) соответствующих точек или тел (v1 - скорость груза 1 и т.д.).

Указания. Задача 2 - на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что, когда два колеса находятся в зацеплении, скорость точки зацепления каждого колеса одна и та же, а когда два колеса связаны ременной передачей, то скорости всех точек ремня и, следовательно, точек, лежащих на ободе каждого из этих колес, в данный момент времени численно одинаковы; при этом считается, что ремень по ободу колеса не скользит.

Таблица 2

Номер условия	Дано	Найти
		скорости	ускорения
0	s4 = 4( 7t2 - t3 )	v B, vC	е2, aA, a1
1	v4 =2(t2 - 3)	v A, v C	е3, aB, a1
2	ц2 = 2t3 - 9 t2	v 4, щ3	е2, aA, a4
3	щ2 = 7t - 3t2	v 1, щ3	е3, aB, a4
4	ц3 =3t -t3	v 4, щ2	е2, aA, a4
5	щ3 =5t -2t2	v 1, v B	е3, aB, a1
6	ц2 = 2(t3 -3t)	v 4, щ2	е3, aA, a4
7	v4 =3t2 - 8	v A, щ3	е2, aB, a1
8	s1 =2t3 - 5t2	v 4, щ2	е3, aB, a4
9	щ3 = 8t - 3t2	v 1, v B	е2, aA, a4



Пример 2. Рейка 1, ступенчатое колесо 2 с радиусами R2 и r2 и колесо 3 радиуса R3, скрепленное с валом радиуса r3, находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис. К2). Рейка движется по закону s1=f(t).

Дано: R2=6 см, r2=4 см, R3=8 см, r3=3 см, s1=3t3 (s- в сантиметрах, t - в секундах), А - точка обода колеса 3, t1 = 3 c. Определить: щ3, v4, е3, бA в момент времени t = t1.

Решение. Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса Ri), через vi, а точек, лежащих на внутренних ободах (радиуса ri), - через ui.

1. Определим сначала угловые скорости всех колес как функции времени t. Зная закон движения рейки 1, находим ее скорость:

v1 = ds1/dt = 9t2. (22.1)

Т. к. рейка 1 и колесо 2 находятся в зацеплении, то v2 = v1 , или щ2R2 = v1. Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следовательно, u2 = v3, или щ2R2 = щ3R3. Из этих равенств находим:

Тогда для момента времени t1 = 3 c получим щ3 = 6,75c-1.

2. Определим v4. Т. к. v4 = vB = щ3r3, то при t1 = 3 c: v4 = 20,25 см/с.

3. Определяем е3. Учитывая, что е3==1,5t, при t1 =3 с получим е3 = 4,5 с-2.

4. Определяем aA. Для т. А: , где численно Тогда, для момента времени t1 = 3 с, имеем:

Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис. 23.

23. Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В или Е (рис. 33-42) или из стержней 1, 2, 3 и ползунов В и Е (рис. К3.8, К3.9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1, О2 шарнирами; т. D находится в середине стержня АВ. Длина стержней: l1 = 0,4 м; l2 = 1,2 м; l3 = 1,4 м; l4 = 0,6 м. Положение механизма определяется углами б, в, г, ц, и. Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл. 3 или в табл. 4; при этом в табл. 3 а щ1 и щ4 - величины постоянные.

Определить величины, указанные в таблицах в столбцах «Найти».

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки. Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом б; ползун с направляющими для большей наглядности изобразить так, как в примере 3. Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против хода часовой стрелки, а заданные скорость и ускорение - от т. В к т. b.

Указания. Задача К3 - на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности. При определении ускорений точек механизма исходить из векторного равенства , где А - точка, ускорение которой или задано, или непосредственно определяется по условиям задачи (если т. А движется по дуге окружности, то ; В - точка, ускорение которой нужно определить (если т. В движется по дуге окружности радиуса l, то , где численно ; входящая сюда скорость vB определяется так же, как и скорости других точек механизма).

Таблица 3

Номер условия	Углы, град	Дано	Найти
	б	в	г	ц	и	щ1, 1/с	щ4, 1/с	х точек	щ звена	a точки	е звена
0	0	60	30	0	120	6	-	B, E	DE	B	AB
1	90	120	150	0	30	-	4	A, E	AB	A	AB
2	30	60	30	0	120	5	-	B, E	AB	B	AB
3	60	150	150	90	30	-	5	A, E	DE	A	AB
4	30	30	60	0	150	4	-	D, E	AB	B	AB
5	90	120	120	90	60	-	6	A, E	AB	A	AB
6	90	150	120	90	30	3	-	B, E	DE	B	AB
7	0	60	60	0	120	-	2	A, E	DE	A	AB
8	60	150	120	90	30	2	-	D, E	AB	B	AB
9	30	120	150	0	60	-	8	A, E	DE	A	AB

Таблица 4

Номер условия	Углы, град	Дано	Найти
	б	в	г	ц	и	щ1, 1/с	е1, 1/с2	хВ, м/с	бВ, м/с2	V точек	щ звена	A точки	е звена
0	120	30	30	90	150	2	4	-	-	B, E	AB	B	AB
1	0	60	90	0	120	-	-	4	6	A,E	DE	A	AB
2	60	150	30	90	30	3	5	-	-	B, E	AB	B	AB
3	0	150	30	0	60	-	-	6	8	A,E	AB	A	AB
4	30	120	120	0	60	4	6	-	-	B, E	DE	B	AB
5	90	120	90	90	60	-	-	8	10	D,E	DE	A	AB
6	0	150	90	0	120	5	8	-	-	B, E	DE	B	AB
7	30	120	30	0	60	-	-	2	5	A,E	AB	A	AB
8	90	120	120	90	150	6	10	-	-	B, E	DE	B	AB
9	60	60	60	90	30	-	-	5	4	D,E	AB	A	AB



Пример 3. Механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1 и О2 шарнирами.

Дано: =60є; =150є; =90є; =30є; =30є; AD = DB; l1 = 0,4 м; l2 = 1,2 м; l3 = 1,4 м; 1 = 2 с-1; 1 = 7 с-2 (направление 1 и 1 - против хода часовой стрелки). Определить: vB, vE, 2, aB, 3.

Решение.

1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами.

2. Определяем vВ. Т. В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти vВ, надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление . По данным задачи, учитывая направление 1, можем определить ; численно:

(23.1)

Направление найдем, учтя, что т. В принадлежит звену АВ и одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим:

(23.2)

3. Определяем . Т. Е принадлежит стержню DE. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость т. D, принадлежащей одновременно стержням АВ и DE. Для этого, зная и , строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня AB; это т. С3, лежащая на пересечении перпендикуляров к и , восстановленных из т. А и В ( перпендикулярен стержню 1). По направлению вектора определяем направление вращения стержня АВ вокруг МЦС ? С3. Вектор перпендикулярен отрезку С3D, соединяющему т. D и C3, и направлен в сторону вращения. Величину vD найдем из пропорции:

(23.3)

Чтобы вычислить С3D и C3B, заметим, что прямоугольный, т. к. острые углы в нем равны 30є и 60є, и что C3B=АВsin30є=0,5AB=BD. Тогда является равносторонним и C3B = С3D. В результате равенство (3) дает:

(23.4)

Так как т. Е принадлежит DE и одновременно стержню О2Е, вращающемуся вокруг О2, то . Тогда, восстанавливая из точек Е и D перпендикуляры к скоростям и , построим МЦС ? С2 стержня DE. По направлению вектора определяем направление вращения стержня DE вокруг центра С2.

Вектор направлен в сторону вращения этого стержня. Из рис. К3б видно, что Составив теперь пропорцию, находим:

(23.5)

4. Определяем 2. Т. к. МЦС стержня 2 известен (т. С2), то

(23.6)

5. Определяем Т. В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти , надо знать ускорение какой-нибудь другой точки стержня АВ и траекторию т. В.

По данным задачи можем определить где численно:

(23.7)

Вектор направлен от т. А к т. О1, направлен перпендикулярно АО1, вектор параллелен направляющим ползуна.

Изображаем вектор на чертеже, полагая, что он направлен в ту же сторону, что и .

Для определения воспользуемся равенством:

 (23.8)

Изображая на чертеже векторы (вдоль ВА от В к А) и (в любую сторону перпендикулярно ВА); численно Найдя 3 с помощью построенного МЦС ? С3 стержня 3, получим:

(23.9)

Таким образом, у величин, входящих в равенство (23.8), неизвестны только числовые значения aB и . Их можно найти, спроектировав обе части равенства (23.8) на какие-нибудь две оси. Чтобы определить aB, спроектируем обе части равенства (23.8) на направление АВ (ось х), перпендикулярное неизвестному вектору . Тогда получим

. (23.10)

Подставив в равенство (23.10) числовые значения всех величин из (23.7) и (23.9), найдем, что:

аВ = 0,72 м/с2. (23.11)

Т. к. аВ > 0, то, следовательно, вектор направлен, как показано на рис. 43.

6. Определяем 3. Чтобы найти 3, сначала определим . Для этого обе части равенства (23.8) спроектируем на направление, перпендикулярное АВ (ось у). Тогда получим:

(23.12)

Подставив в равенство (23.12) числовые значения всех величин из (23.11) и (23.7), найдем, что = -3,58 м/с2. Знак указывает, что направление противоположно показанному на рис. 43.

Теперь из равенства = 3l3 получим

Ответ: В = 0,46 м/с; Е = 0,46 м/с; 2 = 0,67 с-1; аВ = 0,72 м/с2; 3 = 2,56 с-2.

24. Прямоугольная пластина (рис. 44-49) или круглая пластина радиуса R=60 см (рис. 50-53) вращается вокруг неподвижной оси по закону = f1(t), заданному в табл. 4. Положительное направление отсчета угла показано на рисунках дуговой стрелкой. На рис. 44, 45, 46, 49, 53 ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через т. О (пластина вращается в своей плоскости); на рис. 47, 48, 50, 51, 52 ось вращения ОО1 лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве). По пластине вдоль прямой BD (рис. 44-49) или по окружности радиуса R (рис. 50-53) движется т. М; закон ее относительного движения, т.е. зависимость s = AM = f2(t) (s выражено в см, t - в секундах), задан в таблице отдельно для рис. 44-49 и для рис. 50-53; там же даны размеры b и l. На рисунках т. М показана в положении, при котором s = AM > 0 (при s < 0 точка М находится с противоположной стороны). Требуется определить скорость и ускорение точки в момент времени t1=1c.

Указания. Задача 4 - на сложное движение точки. Для ее решения необходимо воспользоваться теоремами о сложении скоростей и ускорений при сложном движении. Прежде чем производить все расчеты, следует по условиям задачи определить, где находится точка М на пластине в момент времени t1=1c, и изобразить точку именно в этом положении ( а не в произвольном, показанном на рисунках к задаче). В случаях, относящихся к рис. 50-53, при решении задачи не подставлять числового значения R, пока не будут определены положение точки М в момент времени t1=1 c (с помощью угла между радиусами СМ и СА в этот момент).

ЗАМЕЧАНИЕ. В задачах на рис. 47, 48, 49, 51, 52 векторы направлены перпендикулярно плоскости рисунка, поэтому в этих вариантах следует выбрать оси xyz, считая ось z направленной на нас. Направление на нас изображается значком , а от нас: .

Таблица 4

Для всех рисунков =f1(t)	Для рис. 44-49	Для рис. 50-53
	b, см	s=AM=f2(t)	l	s=AM=f2(t)
4(t2-t)	12	50(3t-t2)-64	R	2рR(4t2-2t3)/3
3t2-8t	16	40(3t2-t4)-32	4/3 R	3рR(2t2-t3)/2
6t3-12t2	10	80(t2-t)+40	R	2рR(2t2-1)/3
t2-2t3	16	60(t4-3t2)+56	R	5рR(3t-t2)/6
10t2-5t3	8	80(2t2-t3)-48	R	2рR(t3-2t)/3
2(t2-t)	20	60(t3-2t2)	R	рR(t3-4t)/6
5t-4t2	12	40(t2-3t)+32	3/4 R	рR(t3-2t2)/2
15t-3t3	8	60(t-t3)+24	R	рR(t-5t2)/6
2t3-11t	10	15(5t3-t)-30	R	2рR(3t2-1)/3
6t-3t3	20	40(t-2t2)-40	4/3 R	4рR(t2-2t3)/3



Пример 4. Диск радиуса R (рис. 54) вращается вокруг оси О, перпендикулярной плоскости рисунка по закону = f1(t) (положительное направление отсчета угла показано на рис. К4 дуговой стрелкой.) По ободу ADB движется т. М по закону s = AM = f2(t); положительное направление отсчета s от A к D.

Дано: R = 0,5 м; = 2t3 - 4t2; s = (R/6)(7t - 2t2) ( - в радианах, s - в метрах, t - в секундах). Определить: vаб и ааб в момент времени t1=1c.



Решение. Рассмотрим движение т. М как сложное, считая ее движение по дуге ADB относительным, а вращение диска - переносным движением. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки найдутся по формулам:

(24.1)

где, в свою очередь,

Определим все характеристики относительного и переносного движений.

1. Относительное движение. Это движение происходит по закону:

s = AM = (R/6)(7t - 2t2). (24.2)

Сначала установим, где находится точка М на дуге ADB в момент времени t1. Полагая в уравнении (2) t = 1 c, получим:

, или

Изображаем на рис. 54 т. М1 в положении, определяемом этим углом.

Теперь находим числовые значения ОТ,

где ОТ - радиус кривизны относительной траектории, т.е. дуги ADB. Для момента времени t1 = 1c, учитывая, что R = 0,5 м, получим:

(24.3)

Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор - в противоположную сторону; направлен к центру О дуги ADB.

2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону = 2t3 - 4t2. Найдем угловую скорость щ и угловое ускорение е переносного вращения: щ = = 6t2-8t; е = = 12t - 8.

при t1 = 1 c:

. (24.4)

Знаки указывают, что при t1 = 1 c направление е совпадает с направлением положительного отсчета угла ц, а направление щ ему противоположно; отметим это на рис. 54 соответствующими дуговыми стрелками. Тогда в момент времени t1 = 1 c, учитывая равенства (24.4), получим:

(24.5)

Изображаем на рис. 54 векторы и с учетом направлений щ и е и вектор (направлен к оси вращения).

3. Кориолисово ускорение. Т. к. угол между вектором и осью вращения (вектором ) равен 90?, то численно в момент времени t1=1 c.:

(24.6)

Направление найдем, спроектировав вектор на плоскость, перпендикулярную оси вращения (в данном случае никуда проецировать не надо, т. к. эта плоскость совпадает с плоскостью рисунка), и, повернув затем эту проекцию в сторону щ, т.е. по ходу часовой стрелки на 90?. Изображаем вектор на рис. 55.

4. Определение , . Поскольку переносная и относительная скорости точки направлены по одной прямой в противоположные стороны, то абсолютная скорость будет равна разности их модулей: = 0,215 м/c. и направлена в сторону большей скорости.



По теореме о сложении ускорений:

(24.7)

Для определения ааб проведем координатные оси М1xy (см. рис. К4а) и вычислим проекции вектора на эти оси. проектируя обе части равенства (24.7) на координатные оси и учтя одновременно равенства (24.3), (24.5), (24.6), получим для момента времени t1 = 1c:

Отсюда находим значение ааб в момент времени t1 = 1c:

Ответ: vаб = 0,215 м/с; ааб = 0,957 м/с2.

Список литературы

1. Теоретическая механика в примерах и задачах. / М.И. Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон. Том 1. ? М.: Наука, 1990.

2. Краткий курс теоретической механики. / Е.М. Никитин. ? М.: Наука, 1971.

3. Краткий курс теоретической механики. / С.М. Тарг. ? М.: Физматгиз, 1963.

4. Курс теоретической механики. / А.А. Яблонский. Ч1. ? М.: Наука, 1986.

Размещено на Allbest.ru

...