Квантові явища в твердих тілах. Сучасна фізична картина світу. Роль українських вчених у розвитку фізики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Квантові явища в твердих тілах. Сучасна фізична картина світу. Роль українських вчених у розвитку фізики

Содержание

1. Теоретичне ядро

1.1 Конденсований стан речовини

1.2 Кристали

1.3 Класифікація кристалів

2. Структурні особливості кристалів

2.1 Поліморфізм

2.2 Анізотропія кристалів

2.3 Координаційне число

2.4 Реальні кристали

2.5 Рідкі кристали

2.6 Елементи квантової фізики кристалів

3. Поняття про квантові статистики

3.1 Елементи квантової статистики

3.2 Розподіл Бозе-Ейнштейна

3.3 Розподіл Фермі-Дірака

3.4 Виродження системи квантових частинок

4. Властивості металів

4.1 Спектр електронів у металі

4.2 Теплоємність

4.3 Електропровідність металів

4.4 Надпровідність

4.5 Теплопровідність

5. Зонна теорія кристалів. Утворення енергетичних зон у кристалах

5.1 Розщеплення рівнів енергії двох атомів

5.2 Розщеплення рівнів енергії в кристалі

5.3 Типи й особливості енергетичних зон

5.4 Енергетичні спектри в металах, діелектриках і напівпровідниках

6. Закони збереження в мікросвіті. Сучасна фізична картина світу. Досягнення та проблеми сучасної фізики. Роль українських вчених у розвитку фізики

6.1 Виникнення й розвиток квантової фізики

6.2 Проблема інтерпретації квантової механіки. Принцип додатковості

6.3 Теорія електрослабкої взаємодії

Практичне заняття

Перелік компетентностей

1. Теоретичне ядро

1.1 Конденсований стан речовини

кристал фізика квантовий анізотропія

Речовина може перебувати в газоподібному, рідкому або твердому стані. Фазовий перехід газ - рідина, газ - тверде тіло називають конденсацією. Тому рідкий і твердий стани речовини називають її конденсованим станом.

Властивості речовини в газовій фазі істотно відрізняються від властивостей речовини в конденсованому стані.

Основна причина відмінності властивостей - це різні відстані між молекулами в газі, у рідині та у твердому тілі.

Ця відстань пропорційна до кореня кубічного з густини.

Розглянемо звичайну воду. Густина фаз у потрійній точці така:

газ - ;

рідина - ;

тверде тіло (лід) - .

Отже, відстані між молекулами газу приблизно в 20 разів більші, ніж відстані між молекулами рідини чи твердого тіла. Згадаймо, що сили взаємодії між молекулами зменшуються зі зростанням відстані r між ними. Так, сили притягання зменшуються обернено пропорційно до сьомої степені зазначеної відстані:

.

Тому сили взаємодії між молекулами газу дуже малі порівняно із силами в конденсованому стані.

Молекули газу практично вільні. Кожна молекула може незалежно від інших молекул виконувати поступальний, обертальний і коливальний рухи. Інакше кажучи, молекули газу мають поступальні, обертальні та коливальні ступені вільності.

У конденсованому стані між молекулами діють величезні сили, і вони обмежують вільність руху. Молекули практично не можуть ні обертатися, ні рухатися поступально. Відстані між ними можуть змінюватися дуже мало. Молекули можуть виконувати лише коливання навколо деяких положень рівноваги, тобто в молекул конденсованої фази є тільки коливальні ступені вільності. Великі сили взаємодії приводять до того, що на відміну від газу речовина в конденсованому стані зберігає свій об'єм. Малі відстані між молекулами конденсованої фази і великі сили взаємодії неминуче приводять до того, що молекули в просторі розміщені впорядковано. Ідеальний порядок спостерігається в ідеальному кристалі. Говорять, що там існує далекий порядок. Це означає, що коли ми рухатимемося від деякого структурного елемента у певному напрямі, то через однакові відстані неодмінно виявлятимемо ті ж самі структурні елементи. Такий стан і називають далеким порядком.

Молекули в рідинах уже мають деяку змогу зсуватися одна відносно одної, тому певний порядок існує тільки в розміщенні найближчих сусідів. Такий стан називають близьким порядком. Нагадаємо, що в газі молекули рухаються цілком хаотично. На відміну від суто індивідуального поводження молекул газу в конденсованому стані спостерігаються елементи колективного поводження молекул.

Зазначені особливості конденсованого стану вкрай ускладнюють вивчення твердих тіл і рідин. Проте головні труднощі зумовлюються тим, що атоми й молекули підпорядковані квантовим закономірностям. З огляду на це, нам доведеться не тільки замислитися над формулюванням і розв'язуванням відповідних задач з великим числом структурних елементів, а й розглянути зовсім нові квантові статистичні розподіли.

1.2 Кристали

Кристалами називають тверді тіла, які мають тривимірну періодичну атомну структуру. Ця періодичність (далекий порядок), що існує на атомному рівні, приводить до того, що кристали мають форму правильних симетричних многогранників. Такі правильні многогранники можуть утворюватися з рідини або з газу тільки за рівноважних умов.

Великі поодинокі правильні кристали називаються монокристалами. Більшість твердих тіл - це полікристали. Вони складаються з безлічі дрібних монокристалів, зорієнтованих безладно. Їх ще називають кристалітами, або кристалічними зернами. Кристалів безліч. Кожна хімічна речовина в цьому термодинамічному стані має цілком певну кристалічну структуру.

Зауважимо, що тверде тіло не обов'язково має бути кристалом. Цілком можлива поява твердого тіла, в якого відсутній далекий порядок, а спостерігається лише близький порядок. Власне, це дуже переохолоджена рідина. Такі тіла називають аморфними тілами. Так, поряд із кристалічним кварцом існує плавлений аморфний кварц.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1.3 Класифікація кристалів

Класифікація за характером сил взаємодії

Розрізняють іонні, атомні, молекулярні та металеві кристали.

Іонні кристали. У вузлах кристалічної решітки розміщені іони різних знаків (рис. 4.1). Наприклад, у кристалі кухонної солі (NaCl) в одних вузлах містяться позитивні іони натрію (), в інших - негативні іони хлору (). Зв'язок між ними гетерополярний. Найчастіше іонні кристали утворюються різними солями.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Атомні або валентні кристали. У вузлах містяться нейтральні атоми, між якими діє гомеополярний зв'язок. Він здійснюється парами валентних електронів і має направлений характер (рис. 4.2). Атомні кристали мають, як правило, складну форму. Такий тип кристала характерний для напівпровідників, вуглецю і багатьох органічних речовин.

Молекулярні кристали. У вузлах решітки містяться нейтральні молекули (рис. 4.3). Зв'язок між ними здійснюється слабкими Ван-дер-Ваальсовими силами, здебільшого дисперсійними. Геометрія кристалів не дуже складна. Такі кристали мають парафін, аргон, вуглекислий газ, азот.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Металеві кристали. У вузлах решітки містяться позитивні іони металу, а в просторі між ними вільні, колективізовані валентні електрони у вигляді електронного газу. Електрони «стягують» позитивні іони (рис. 4.4). Виникає металевий зв'язок. Форма металевих кристалів здебільшого найпростіша.

Класифікація за типом симетрії

У кожному кристалі можна виокремити мінімальний об'єм, геометрія якого повторюється по всьому кристалу. Його називають елементарною кристалічною коміркою. Кристал речовини ніби «набирається» з елементарних комірок простим приєднанням, дзеркальним приєднанням або приєднанням з поворотом.

Кожна елементарна комірка являє собою паралелепіпед і характеризується шістьма параметрами (рис. 4.5). Відстані від узятого вузла решітки до сусідніх вузлів називають сталою кристалічної решітки, або довжиною ребер, та позначають буквами . Ці відстані становлять близько . Кути між ребрами () називають кутами елементарної комірки.

Усе розмаїття кристалічних решіток вдається описати за допомогою 230 просторових груп, які можна звести всього до семи кристалографічних сингоній (таблиця 4.1). За такою класифікацією заздалегідь передбачається, що атом може перебувати тільки у вузлі паралелепіпеда елементарної комірки. Така комірка називається примітивною коміркою (ПК). Проте атом цілком може додатково розміститися ще й у центрах граней паралелепіпеда. Тоді решітку називають гранецентричною (ГЦ).

Якщо додатковий атом міститься в центрі комірки, то виникає об'ємноцентрична решітка (ОЦ). Якщо такий атом у центрі протилежних граней, то утворюється базоцентрична решітка (БЦ). Наприклад, кристал ромбічної сингонії може мати три різновиди.

Проте не всі сингонії можуть мати всі три різновиди решіток. З'ясувалося, що всього налічується 14 типів тривимірних решіток. Їх називають решітками Браве (табл. 4.1).

Розшифрування структури кристалів уможливлюється після спостереження дифракції рентгенівських променів і елементарних частинок на впорядкованій об'ємній структурі кристала.

Таблиця 4.1

2. Структурні особливості кристалів

2.1 Поліморфізм

Одна й та сама речовина може існувати в кількох різних кристалічних структурах. Наприклад, вуглець може існувати або у вигляді графіту, або у вигляді алмазу. Відомі також шість різновидів кристалів льоду. Таке явище називають поліморфізмом, а кожну модифікацію - алотропним різновидом.

Звичайно, різним типам кристалів однієї й тієї самої речовини мають бути притаманні й різні фізичні властивості. Скажімо, твердість алмазу та графіту непорівнянні. Графітовий олівець залишає м'який слід, тоді як алмаз дряпає не лише папір, а й скло. Власне кажучи, кожний алотропний різновид - це самостійна тверда фаза речовини, і в цьому принципова відмінність твердого тіла від рідини, а тим більш - від газу, де є тільки одна фаза. А якщо в речовині є різні фази, то мають бути й термодинамічні області існування кожної фази, а також області співіснування фаз. У будь-якому разі має наставати фазова рівновага, відбуваються фазові переходи, а отже, існують точки фазових переходів. Справді, залізо існує в трьох модифікаціях: -залізо при температурі 910°С переходить у -залізо, а при температурі 1400°С - у -залізо. Як правило, фазові переходи у твердих тілах - це фазові переходи другого роду, коли не змінюється об'єм і теплота фазового переходу дорівнює нулю.

2.2 Анізотропія кристалів

Дослід показує, що фізичні властивості кристалів не однакові в різних напрямах. Таке явище називають анізотропією. Це закономірно, оскільки властивості кристалів зумовлені атомно-кристалічною структурою, силами взаємодії і, природно, енергетичним спектром електронів. Анізотропія тим більша, чим складніший кристал. У простих кубічних кристалах анізотропія майже непомітна. В анізотропних кристалах властивості в різних напрямах можуть відрізнятися дуже сильно. Анізотропія виявляється при вивченні оптичних, теплових, електромагнітних, пружних властивостей. Згадаймо такі характерні приклади, як діелектричні та магнітні домени, оптично активні кристали.

2.3 Координаційне число

Координаційним числом називають кількість найближчих сусідів певного атома в кристалічних решітках. Значення його змінюється в широких межах: від 2 до 14. Наприклад, координаційне число алмазу дорівнює 4, а міді - 12. Чим більше координаційне число, тим щільніше упаковані атоми і тим менша анізотропія. Це поняття стосується не тільки кристалів, а й аморфних тіл і рідин. У цих речовин координаційне число має ймовірнісний характер і тому може бути не цілим. Для рідин координаційне число - це міра близького порядку. Чим ближчі значення мають координаційні числа кристала і рідини, тим більше подібні між собою їхні структури.

2.4 Реальні кристали

Надзвичайно важко, практично неможливо дістати ідеальний монокристал достатнього розміру, оскільки:

1) процес кристалізації потрібно проводити в рівноважних умовах, яких практично неможливо досягти через те, що в природі немає абсолютно рівноважних процесів;

2) потрібно цілком виключити вплив будь-яких силових полів і випромінювань;

3) потрібно мати абсолютно чисту хімічну речовину без найменших домішок. Таких ідеальних умов не існує. Тому реальні кристали завжди містять різні дефекти. Дефекти доволі різноманітні. Розглянемо тільки деякі.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Точкові дефекти.

У тому місці, яке в ідеальному кристалі займає атом основної речовини, може виявитися «чужий» атом, атом домішки (рис. 4.6. а), що призводить до викривлення кристалічної решітки навколо нього. Такий дефект називають точковим дефектом заміни.

Якщо «чужий» атом не зміг усунути «хазяїна» з його законного місця, він може розміститися між вузлами решітки. Тоді з'являється точковий дефект проникнення (рис. 4.6. б). Такі дефекти можна усувати, підвищуючи ступінь очищення основної речовини. Утім, іноді є сенс створювати такі дефекти, щоб змінити властивості кристала. Наприклад, проникнення в кристали германію або кремнію, елементів третьої чи п'ятої групи періодичної системи дає змогу створювати кристалічні напівпровідники з електронною або дірковою провідністю.

Інший тип точкових дефектів - це вакансії. Вакансії неодмінно виникають навіть в абсолютно чистому кристалі. Їх поява пов'язана з тепловим рухом атомів. З підвищенням температури зростає кінетична енергія атома, що коливається, а відстані між атомами через ангармонічність коливання збільшуються. Таким чином, атом може зірватися зі свого законного місця й опинитися, скажімо, між вузлами. Тоді на його місці відкривається «вакансія», на яку може претендувати будь-хто із сусідів. Якщо сусідній атом займе цю вакансію, то тепер вже на його місці виникне вакансія. Таким чином, по всьому об'єму кристала блукатимуть вакансії. При температурах, близьких до температури плавлення кристала, імовірність появи нових вакансій різко зростає. Кількість їх збільшується за експоненціальним законом:

,

де U - енергія активації; kТ - середня теплова енергія.

Зі збільшенням кількості вакансій кристал починає втрачати стійкість і, зрештою, плавиться, перетворюючись на рідину, причому запобігти появі вакансій неможливо.

В іонних кристалах точкові дефекти виникають парами. Пара з іона між вузлами та вакансії називається дефектом Френкеля. Дві вакансії протилежних знаків утворять дефект Шотткі. Коли б не точкові вакансії, було б важко зрозуміти, як взагалі виникає дифузія в кристалах.

Лінійні дефекти

Лінійним дефектом, або дислокацією, називають лінії в кристалі, уздовж і поблизу яких порушено правильне розміщення атомних площин. Найпростіші види дислокацій - крайова і гвинтова дислокації. Крайова дислокація - це лінія, уздовж якої обривається зайва «атомна півплощина» (рис. 4.7).

Гвинтова дислокація - також порушення у взаємному розміщенні атомних площин. У цьому разі кристал утвориться так, що атомна площина закручується у вигляді гелікоїда (рис. 4.8).



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Можливі й інші види дислокації. На перший погляд, здається, що для отримання такого серйозного викривлення впорядкованої структури потрібні якісь спрямовані зовнішні дії. Насправді дислокації виникають часто, і їх утворення зумовлене тепловим рухом і нерівноважністю процесу кристалізації. Оскільки поблизу дислокації порушено правильну симетричну структуру кристала, то й сили взаємодії нерівноважні. Це, у свою чергу, призводить до появи внутрішніх напружень. Тому навіть слабкі зовнішні впливи, призводять до переміщень і змін форми дислокації. Дислокації поводяться наче живі істоти. Вони мають можливість зміщуватись, закручуватися, розгалуджуватися і навіть «анегілювати».

Такі істотні особливості будови реальних кристалів не можуть не відбитися на їхніх фізичних властивостях. Вже йшлося про те, що дифузія може відбуватися тільки в реальних кристалах.

Зазначимо ще одну принципову відмінність реального кристала від ідеального. Відомо, що окрім оборотних пружних деформацій в твердому тілі можуть відбуватися й необоротні пластичні деформації. Так, під дією сталої сили стержень видовжується, і ця деформація залишається після припинення дії сили. Відбувається незворотній зсув атомних площин. Можна оцінити ту механічну напругу, що може виникнути в ідеальному кристалі для зсуву атомних площин. Вона на кілька порядків перевищує значення, здобуті експериментально. Дефекти - ось причина пластичних деформацій!

2.5 Рідкі кристали

Під час плавлення твердого кристала зникає далекий порядок. У рідкому стані зберігається тільки близький порядок, хоча від кристала-батька практично зберігається координаційне число. З'являється головна властивість рідини - плинність. Однак виявлено вже кілька тисяч органічних речовин, які після плавлення зберігають не тільки певну впорядкованість у просторовому розміщенні молекул, а й анізотропію властивостей. Це об'єднує їх із кристалами. Як і рідинам, їм притаманна плинність. Тому їх називають рідкими кристалами.

Рідкі кристали утворюють речовини, молекули яких мають видовжену паличкоподібну або стовпчасту форму. Така форма і сприяє їх паралельному укладанню. Хоча існують і групи, утворені з дископодібних молекул, складених у стовпчики. Усе розмаїття рідких кристалів поділяється на три основні групи. Розрізняють нематичні, смектичні і холестеричні рідкі кристали.

Смектичні кристали. Вони найбільш упорядковані. Молекули-палички зорієнтовані паралельно одна одній і чітко поділені паралельними шарами (рис. 4.9.а).



Размещено на http://www.allbest.ru/

Нематичні кристали. У цих кристалах теж спостерігається паралельність молекул-паличок, але немає поділу на окремі шари (рис. 4.9.б).

Холестеричні кристали. Такі кристали найменш упорядковані, їхня структура схожа на структуру нематичних кристалів, але відрізняється від них додатковим закручуванням молекул у напрямі, перпендикулярному до їхніх поздовжніх осей (рис. 4.9.в).

Основні особливості рідких кристалів

* Рідкі кристали через доволі високу впорядкованість анізотропні, тобто їхні властивості різні в різних напрямах, як у твердих кристалів. Спостерігається анізотропія пружності, електропровідності, магнітної і діелектричної сприйнятливості.

* На властивості рідких кристалів дуже впливають зовнішні механічні й, особливо, електромагнітні дії. Наприклад, у рідкому кристалі, розміщеному в електричному полі, можуть виникати просторові періодичні структури - дифракційні решітки. Уся принадність такого явища полягає в тому, що, змінюючи тільки напругу, прикладену до зразка, можна утворити керовану дифракційну решітку.

* У сильних полях на початку прозорий зразок рідкого кристала починає сильно розсіювати світло, стаючи матово-непрозорим.

Ці й багато інших унікальних властивостей рідких кристалів відкрили їм широку дорогу до технічних застосувань. Рідкі кристали застосовуються в системах обробки і відображення інформації, у буквенно-цифрових індикаторах, у плоских телевізійних екранах.

2.6 Елементи квантової фізики кристалів

Як уже зазначалося, будь-які макроскопічні властивості визначаються властивостями і колективним поводженням величезної кількості мікрочастинок, які містяться у порівняно невеликих, за нашими мірками, об'ємах речовини. Так, у 1 см твердого тіла міститься атомів. У таких великих колективах природно очікувати прояву статистичних закономірностей. Деякі найпростіші з них ми вже вивчали. Наприклад, розподіл молекул ідеального газу за швидкостями описується статистичним розподілом Максвелла. Кристал - це далеко не ідеальний газ з його вільними молекулами. Між атомами кристала, як і між частинками, з яких складаються атоми, діють величезні сили взаємодії. Крім того, і це головне, мікрочастинки підпорядковані своїм особливим квантовим закономірностям.

А це означає:

* фізичні характеристики частинок можуть набувати тільки дискретних значень, вони «квантовані», а правила квантування залежать від характеру сил взаємодії;

* для квантових частинок існують співвідношення невизначеностей;

* на деякі квантові частинки поширюється принцип заборони Паулі;

* у квантових частинок виявляються хвильові властивості;

* квантові частинки, у принципі, не відрізняються одна від одної.

Як бачимо, один тільки перелік особливих властивостей квантових мікрочастинок може довести до відчаю.

Хоча, здавалося б, існує шлях розв'язання будь-яких квантових задач. Маємо рівняння Шредінгера, потрібно його розв'язувати і знаходити багаточастинкову хвильову функцію. Однак через величезну кількість частинок і складність взаємодії цей прямий шлях практично неможливо реалізувати навіть із залученням сучасних надпотужних обчислювальних машин. Тому доведеться вдатися до різних фізичних моделей, що відбивають певні основні закономірності. Так, дуже продуктивною для пояснення низки властивостей кристалів виявилася модель вільних електронів.

З'ясувалося також, що, вивчаючи енергетичні спектри електронів у кристалах, можна не тільки зрозуміти, чому одні кристали є діелектриками, а інші - напівпровідниками чи металами, а й розібратися в таких складних явищах, як надпровідність.

Багато квантових моделей виявилися доволі вразливими для критики, хоча й мали значні досягнення. Наприклад, при створенні теорії теплоємності кристалів А.Ейнштейн припустив, що всі атоми кристала здійснюють гармонічні коливання однакової частоти, і розглядав кристал як систему таких ідентичних квантових осциляторів. Здебільшого це дуже примітивна модель, але навіть вона дала змогу встановити правильну залежність теплоємності кристала від температури, чого не змогла зробити класична теорія з її ступенями свободи.

3. Поняття про квантові статистики

3.1 Елементи квантової статистики

Якщо кількість частинок у системі дуже велика, то можна й потрібно застосовувати імовірнісні або статистичні методи. Ці методи дають змогу з'ясувати доволі загальні й точні закономірності поводження великих ансамблів частинок. Згадаємо, як блискуче вдалося описати розподіл частинок ідеального газу за енергіями за допомогою розподілу Максвелла-Больцмана.

Ідея виявлення загальних закономірностей, як правило, справджується і для квантових частинок. Потрібно лише врахувати такі особливості.

1. На відміну від класичних частинок однакові квантові частинки (наприклад, електрони) принципово не відрізняються одна від одної. Заміна одного електрона іншим не змінює ймовірностей, не змінює квадрата модуля повної багаточастинкової хвильової функції. До того ж квадрат модуля хвильової функції залишається сталим, як для симетричної, так і для несиметричної хвильової функції.

2. Хвильові функції несиметричні у частинок з напівцілим спіном і симетричні для частинок із цілим спіном. Частинки з півцілим спіном мають підпорядковуватись принципу заборони Паулі, тобто в однаковому стані не може бути більше однієї частинки. На частинки з цілим спіном заборона Паулі не поширюється, і в одному стані може перебувати скільки завгодно частинок. Тому варто припустити, що статистичні закономірності для різних типів частинок мають бути різними. Справді, для частинок з півцілим спіном створено статистику Фермі-Дірака, а для частинок із цілим спіном - статистику Бозе-Ейнштейна.

3. Розмір елементарної комірки фазового простору для класичних частинок такий:

До того ж кожна з величин може набувати будь-яких малих значень, причому збільшення координат і збільшення імпульсу ніяк не пов'язані між собою.

Зовсім інша ситуація у квантових частинок. Координати й імпульси квантових частинок пов'язані співвідношеннями невизначеностей Гейзенберга:

Тому елементарна комірка фазового простору для квантових частинок не може бути меншою за :

4. Енергія класичної частинки може набувати неперервного ряду значень, тоді як енергія квантової частинки - тільки дискретного ряду значень.

З урахуванням усіх цих особливостей і було здобуто статистичні розподіли для квантових частинок. Наводимо їх без доведення.

3.2 Розподіл Бозе-Ейнштейна

Цьому розподілу підпорядковуються частинки з цілим спіном, такі як мюони, к-мезони, фотони. Вони не підпорядковуються правилу заборони Паулі, описуються симетричними хвильовими функціями, і в елементарній комірці фазового об'єму може міститися будь-яка кількість мікрочастинок. Такі частинки називаються бозонами.

Функція розподілу визначає середню кількість частинок у даному стані, або «заселеність» станів із даною енергією :

де - значення енергії і-ї частинки; Т - абсолютна температура; k - стала Больцмана; - хімічний потенціал у розрахунку на одну частинку.

Нагадаємо, що хімічний потенціал - це робота в ізобарно-ізотермічних умовах при збільшенні кількості частинок у системі на одиницю. Формула для розрахунку хімічного потенціалу:

де U - внутрішня енергія системи; S - ентропія; Р - тиск; V - об'єм; N - кількість частинок.

3.3 Розподіл Фермі-Дірака

Цей розподіл підходить для частинок з напівцілим спіном, тобто для електронів, протонів, нейтронів. Такі частинки описуються несиметричними хвильовими функціями. В елементарній комірці фазового об'єму може перебувати тільки одна частинка. Частинки підпорядковуються правилу заборони Паулі і називаються ферміонами. Функція розподілу для них має вигляд:

.

Позначення в розподілі Фермі-Дірака такі ж, як і в розподілі Бозе-Ейнштейна.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Неважко побачити, що квантові і класичні розподіли дуже схожі. Більш того, їх можна записати у вигляді єдиної формули:

Для розподілу Максвелла-Больцмана , ; для розподілу Бозе-Ейнштейна , для розподілу Фермі-Дірака . На рис. 4.10 зображено всі три розподіли.

3.4 Виродження системи квантових частинок

Якщо мікрочастинки перебувають на великих відстанях одна від одної, сили взаємодії між ними мізерно малі. Частинки практично незалежні, і система таких частинок досить добре описується моделлю ідеального газу. Цій моделі відповідає розподіл Максвелла-Больцмана.

Зі збільшенням густини речовини і зменшенням температури відстані між молекулами зменшуються і сили взаємодії стають уже істотними. Надалі, коли відстані між частинками стають порівнянними з довжиною хвилі де Бройля, починає виявлятися квантовий характер взаємодії. Тепер уже частинки мають підпорядковуватись квантовим статистичним розподілам Бозе-Ейнштейна або Фермі-Дірака.

Відхилення поводження газу квантових частинок від класичного називається виродженням газу.

Неважко визначити межу або критерій того, що вже доведеться враховувати квантовий характер взаємодії частинок. Іншими словами, знайти межу виродження газу.

Візьмемо, наприклад, розподіл Фермі-Дірака і запишемо його в такому вигляді:

Якщо величина

<< 1,

то одиницею у функції розподілу можна знехтувати, і тоді розподіл Фермі-Дірака перетворюється на розподіл Максвелла-Больцмана:

Величину А називають параметром виродження:

,

де - концентрація частинок; m - маса частинки; k - стала Больцмана; - стала Планка; Т - абсолютна температура.

Знаючи А, можна обчислити температуру виродження , тобто температуру, при якій виродження стає істотним. Для цього потрібно взяти , і тоді

Для водню , для фотонного газу , для електронного газу в металі . Тому звичайні гази за нормальних умов невироджені, а фотонний газ і газ вільних електронів у металі вироджений.

4. Властивості металів

4.1 Спектр електронів у металі

Розглянемо такі властивості металевих кристалів, що визначаються поводженням електронів провідності. Відомо, що в металах є деяка кількість «вільних» або «колективізованих» електронів. В основному це зовнішні валентні електрони. Кожен із них не має постійного «атома-хазяїна» і може досить легко рухатися усередині кристала під дією навіть невеликих зовнішніх полів. Саме так необхідно розуміти термін електронний газ.

Електрон - частинка з півцілим спіном, тобто ферміон. Електрони підпорядковані розподілу Фермі-Дірака:

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для різних значень температури вигляд функції буде різним. Спочатку розглянемо вигляд функції для . Залежність функції розподілу від енергії наведено на рис. 4.11. Як бачимо, для всіх значень енергії навіть до значення енергії, що дорівнює хімічному потенціалу ₀ при , функція розподілу дорівнює одиниці. Це означає, що ймовірність заповнення стану в цьому інтервалі енергій дорівнює одиниці. Інакше кажучи, всі стани повністю заповнені. Звичайно, це наслідок принципу заборони Паулі, відповідно до якого в одному стані може перебувати тільки один ферміон. Наочно цю ситуацію можна уявити собі так. Нехай є електрон, що має найменшу енергію з усіх можливих. Отже, він перебуває на найнижчому нижньому енергетичному рівні. Жодний інший електрон не має права претендувати на цей уже зайнятий рівень. Наступний електрон може розміститися тільки на наступному дозволеному рівні. І знову тільки один.

Так послідовно заповнюються всі дозволені рівні енергії без прогалин.

Усі електрони розмістяться на енергетичних рівнях, більше нікому займати наступні вищі рівні, функція розподілу стрибком спадає до нуля. Як випливає з формули, цей спад відбудеться, коли значення енергії дорівнюватиме значенню хімічного потенціалу при температурі абсолютного нуля: при . Цю енергію називають енергією фермі і позначають .

Енергія Фермі - це максимальне значення енергії, що її може мати електрон при .

Відповідно, найвищий енергетичний рівень називають рівнем фермі. Значення енергії Фермі, що відповідає виродженому газу, істотно менше від теплової енергії за нормальних умов. Таку саму теплову енергію W = 3/2 k вільна частинка мала б при температурі .

Тепер у функції розподілу замість хімічного потенціалу можна записувати енергію Фермі:

.

4.2 Теплоємність

Нагадаємо, що класична теорія доволі успішно розв'язала задачу про розрахунок теплоємності кристалів при кімнатних температурах.

Частинки в кристалі здійснюють тільки коливальний рух. Отже, повна кількість ступенів вільності є . На кожний ступінь вільності припадає внутрішня енергія . Повна внутрішня енергія одного кіломоля:

,

а молярна теплоємність кристала при сталому об'ємі дорівнює:

.

Цей результат чудово збігається з експериментальним законом Дюлонга і Пті, відповідно до якого теплоємність усіх твердих тіл, зокрема й металів, при кімнатній температурі близька до 3R.

Однак у металах існують і вільні електрони. Тому варто було б додати ще три поступальні ступені вільності. А тоді теплоємність була б ще в півтора рази більшою. Класична теорія не могла подолати ці труднощі. А квантова зробила це легко! Досить згадати, що сприймати енергію можуть не більш як 3 % електронів. Тому й непотрібно було враховувати внесок електронів у теплоємність.

Більш істотні труднощі класичної теорії полягали в тому, що вона ніяк не могла пояснити досить складну експериментальну залежність теплоємності від температури (рис. 4.12). При теплоємність також прямує до нуля.

Размещено на http://www.allbest.ru/

З підвищенням температури теплоємність спочатку зростає пропорційно до куба температури, далі зростання сповільнюється і лише потім теплоємність прямує до значення, яке дорівнює 3R.

Було кілька спроб створити квантову теорію теплоємності кристалів. Цю проблему досліджували Ейнштейн, Дебай, Бор та інші.

Основна ідея квантової теорії теплоємності кристалів доволі проста. Атоми в кристалі здійснюють коливання, тому енергія таких осциляторів має бути квантована. Енергія квантового осцилятора може набувати лише значень, пропорційних до частоти коливань:

.

Але перш ніж виконувати подальші обчислення, потрібно в якийсь спосіб визначити або задати частотний спектр коливань. Можна припустити, як це зробив Ейнштейн, що взагалі всі осцилятори мають однакову частоту і виконують незалежні коливання. Зауважимо, що навіть таке просте припущення дало змогу зрозуміти залежність теплоємності від температури. Але швидше за все коливання мають бути зв'язаними, оскільки між частинками існують великі сили взаємодії. Тоді цілком логічним виглядає припущення Дебая про те, що частоти осциляторів у кристалі можуть змінюватися від нуля до деякого максимального значення . При цьому максимальну частоту можна дістати з умови рівності енергії осцилятора середній тепловій енергії:

.

Залишилося тепер дізнатися, скільки осциляторів мають ті чи інші частоти. Для цього довелося б сформулювати і розв'язати задачу з використанням квантових багаточасткових рівнянь, але ця справа безнадійна. Пішли іншим шляхом.

Якщо в кристалі відбуваються зв'язані коливання, то в ньому мають поширюватися пружні хвилі. Оскільки кристал обмежений у просторі, то право на існування мають тільки стоячі хвилі, вузли яких містяться на поверхні кристала. Маючи уявлення про корпускулярно-хвильовий дуалізм, ми вже звикли до думки, що кожна частинка може іноді поводитися як хвиля, а будь-яка хвиля має змогу виявити себе як частинка.

Якщо електромагнітну хвилю можна було уявити, як потік фотонів, або фотонний газ, то пружну хвилю можна розглядати як потік фононів, або фононний газ.

Енергія фонона:

;

імпульс фонона:

.

Спін фононів виявився таким, що дорівнює нулю. Отже, фонони підпорядковані статистиці Бозе-Ейнштейна. Фонони можуть випускатися і поглинатися, але кількість їх не стала, тому хімічний потенціал для фононного газу дорівнює нулю.

У такому разі функція розподілу набирає вигляду:

.

Тепер залишається обчислити внутрішню енергію кристала як енергію фононного газу і, нарешті, теплоємність. Остаточна формула Дебая для теплоємності кристала така:

,

де С - теплоємність кристала; R - універсальна газова стала;

- функція Дебая; Т - абсолютна температура;

- характеристична температура Дебая.

При температурі Дебая в кристалі збуджуються всі можливі частоти, і вона визначається з умови:

, звідки .

Якщо температура кристала набагато більша за температуру Дебая, то можна не враховувати квантові ефекти. При , при , при температурах поблизу нуля .

Таким чином, отримано універсальну залежність теплоємності кристалів від відносної температури .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Цю залежність зображено на рис. 4.13. Різними точками нанесено експериментальні дані для міді, алюмінію і срібла.

Наслідки:

* теорія теплоємності справджується для будь-яких кристалів, а не тільки для діелектриків, тому що електронна складова теплоємності для металів невелика;

* існують речовини, теплоємність яких не описується формулою Дебая. Як правило, це речовини зі складними кристалами.

Зауваження. Сама ідея фононів виявилася надзвичайно плідною. За її допомогою не тільки вдалося дістати чудову формулу для теплоємності кристалів, а й описати теплопровідність кристалів як теплопровідність фононного газу. З'ясувалося, що фонони можуть взаємодіяти з іншими частинками і з дефектами кристалічних решіток.

Механізм електричного опору провідників вдалося зрозуміти як процес розсіювання електронів провідності на фононах.

4.3 Електропровідність металів

У класичній теорії Друде-Лоренца вважалося, що електрон, який розганяється зовнішнім полем, періодично непружно зіштовхується з іонами решітки, віддає їм усю кінетичну енергію і зупиняється. Далі процес розгону відновлюється до наступного зіткнення. Вважається, що відстань, яку проходить електрон між зіткненнями, дорівнює періоду решітки.

Вдалося вивести закон Ома в диференціальній формі:

,

де j - густина струму; Е - напруженість зовнішнього поля; -концентрація електронів; - заряд електрона; m - маса електрона; - час вільного пробігу; - питома провідність.

Таким чином, дуже проста і наочна модель дала змогу пояснити пропорційність густини струму j до напруженості зовнішнього поля Е, що є змістом закону Ома в диференціальній формі. Закон підтверджується дослідами.

Час вільного пробігу можна визначити через середню швидкість і довжину вільного пробігу , яка дорівнює періоду решітки d:

.

Тоді формула для питомої провідності набуває вигляду:

,

а питомий електричний опір:

.

Перш ніж іти далі, тобто починати враховувати квантовий характер явища електропровідності, проаналізуємо уважно класичну формулу для питомої провідності.

Для порівняння з експериментом потрібно знати середню дрейфову швидкість електрона. Її можна оцінити, скориставшись формулою для густини струму:

.

Звичайно густина струму в провіднику становить кілька ампер на квадратний сантиметр. Тоді швидкість буде дорівнювати:

,

а питомий опір дорівнюватиме . Жодний провідник не має такого надзвичайно малого питомого електричного опору. Навіть у такого гарного провідника, як мідь, .

Класична теорія електропровідності не дає змоги дістати правильне числове значення .

Це перший істотний недолік класичної теорії. Можна, звичайно, спробувати врятувати обличчя класичної теорії, припустивши, що кількість електронів провідності менша за приблизно в тисячу разів. Тоді:

.

Приблизно такий питомий опір мають типові провідники, як срібло або мідь. Проте таке «обмеження прав» інших вільних електронів ніяк не можна аргументувати в межах класичної теорії ідеального електронного газу. Отже, якщо замість класичного розподілу застосувати квантовий розподіл Фермі-Дірака, то може йтися про те, що сприймати енергію зовнішнього поля можуть тільки електрони, розміщені «на хвості» розподілу, причому їх значно менше, ніж усіх вільних електронів. Але це вже квантовий підхід!

Другий не менш серйозний недолік класичної теорії - це її нездатність пояснити температурну залежність питомого опору від температури.

Размещено на http://www.allbest.ru/

На рис. 4.14 наведено цю залежність для дуже чистих металів. При температурах, вищих за температуру Дебая, питомий опір лінійно зростає з підвищенням температури. Коли температура прямує до нуля, питомий опір також прямує до нуля. Обох явищ класична теорія пояснити не в змозі, оскільки єдина величина у формулі для провідності, що може змінюватися - це швидкість. Але в межах класичної теорії вона не може змінюватися так, як нам потрібно.

Класична теорія електропровідності не може правильно пояснити температурну залежність питомого опору від температури.

Доведеться все ж таки згадати не тільки статистику Фермі-Дірака, а й інші фундаментальні положення, що визначають поводження електронів як квантових частинок.

Згадаймо, що квантову частинку можна розглядати як хвилю де Бройля. Довжина хвилі де Бройля пов'язана з імпульсом р:

,

а будь-яка хвиля має розсіюватися і дифрагувати на такій упорядкованій структурі, як кристалічна решітка. Досліди з дифракції електронів на кристалічній решітці описувалися в розділі з квантової фізики. Однак дифракція відбувається лише за такої умови:

довжина хвилі має бути сумірна з періодом кристалічної решітки.

У розглядуваному випадку довжина хвилі де Бройля для електрона провідності дорівнює:

,

а період решітки d, тобто .

Отже, ні про яку дифракцію таких дуже довгих хвиль на кристалі не може бути й мови. Дістали, можливо, несподіваний, але неминучий висновок:

кристал прозорий для електронних хвиль.

До речі, кристал прозорий і для електромагнітних хвиль оптичного діапазону, оскільки довжини хвиль тут приблизно 10 м, а це теж набагато більше, ніж період решітки. На кристалі можлива дифракція електромагнітних хвиль рентгенівського діапазону або дуже швидких електронів. Тоді який же механізм розсіювання електронних хвиль?

І тут може допомогти аналогія з розсіюванням світлових хвиль. Як відомо, світло розсіюється в каламутних середовищах або в кристалах, що містять домішки у вигляді чужих атомів, а також будь-які дефекти, точніше неоднорідності. Електронні хвилі також мають розсіюватися на неоднорідностях. При температурі, відмінній від абсолютного нуля, такі неоднорідності виникають через флуктуацію густини в мікрооб'ємах за рахунок ангармонічних теплових коливань іонів кристалічної решітки. Неоднорідностями є також домішки і дефекти.

Отже, у чистих бездефектних кристалах відбувається розсіювання електронних хвиль на теплових коливаннях решітки. У свою чергу, теплові коливання можна представити у вигляді стоячих пружних хвиль, а їх - у вигляді квазічастинок фононів.

Електричний опір металів зумовлений розсіюванням електронів на фононах.

Квантова теорія електропровідності використовує як квантові розподіли, так і викладені раніше уявлення про механізм розсіювання електронів. Наведемо одну з формул для питомого електричного опору (формулу Зоммерфельда):

.

На перший погляд, формула збігається з класичною, але зміст деяких величин, що входять до неї, зовсім інший: - швидкість електрона, енергія якого дорівнює енергії Фермі; - середня довжина пробігу такого електрона. Її можна обчислити за формулою:

,

де Е - модуль пружності; d - період кристалічної решітки; - кількість атомів в одиниці об'єму; k - стала Больцмана; Т - абсолютна температура.

Квантова формула не тільки правильно визначає питомий електричний опір чистих металів, а й легко пояснює температурну залежність.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Справді, якщо довжина хвилі оберненопропорційна до абсолютної температури Т, то питомий електричний опір р буде прямопропорційний до температури і прямуватиме до нуля, якщо .

На рис. 4.15 наведено експериментальну залежність питомого електричного опору твердого натрію від температури, що чудово ілюструє міць квантової теорії.

Проте, якщо придивимося уважніше, то побачимо, що експериментальна крива не прямує до нуля, тобто при температурі абсолютного нуля опір не дорівнює нулю. Виникає деякий залишковий опір. Причина появи залишкового опору вже зазначалася: це розсіювання електронних хвиль на домішках і дефектах. Це розсіювання не залежить від температури, тому зі зменшенням температури його внесок стає визначальним. Можна припустити, що повний питомий опір дорівнює сумі опорів:

,

де - питомий електричний опір, зумовлений тепловими коливаннями решітки; - питомий електричний опір, зумовлений домішками і дефектами. Розрахувати його не вдається.

4.4 Надпровідність

Явище, яке спостерігається в багатьох металів і сплавів, а також полягає в раптовому падінні до нуля їхнього електричного опору під час охолодження нижче від певної критичної температури , називається надпровідністю.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Така температура називається температурою надпровідності. Уперше явище надпровідності було виявлено у ртуті голландським фізиком Каммерлінг-Оннесом у 1911 році. З тих пір знайдено або синтезовано понад 500 надпровідників.

На рис. 4.16 наведено залежність електричного опору ртуті від температури поблизу абсолютного нуля. При температурі опір ртуті різко зменшується більш ніж у разів, тобто практично до нуля. Так само для порівняння наведено криву для платини, в якої не спостерігається надпровідності. Для неї опір, як і має бути, прямує до залишкового опору .

Температура переходу в надпровідний стан різна в різних надпровідників. Так, для вольфраму , для сплаву . Останнім часом вдалося створити надпровідники, критична температура яких виявилася набагато вищою за температуру рідкого азоту (150-200 K), і вже незабаром з'являться нові технології і прилади з чудовими властивостями. Явище надпровідності пов'язане з тим, що при низьких температурах два електрони з антипаралельними спінами поєднуються в так звану куперівську пару, причому відповідна електронна хвиля не розсіюється на теплових коливаннях іонів решітки. Інакше кажучи, енергія таких електронів при проходженні через решітку не змінюється, а отже, опору немає.

Надпровідність зникне, якщо зв'язаних пар немає. Зруйнувати пари можна або підвищуючи температуру вище від критичної, або впливаючи на надпровідник досить сильним магнітним полем. Надпровідність зникає при цілком певному значенні напруженості магнітного поля . До того ж кожному значенню температури відповідає своє значення критичної напруженості. Чим нижча температура, тим більша критична напруженість. Залежність від наведена на рис. 4.17. Бачимо, що коли напруженість більша за , то ні при якій температурі перехід у надпровідний стан неможливий. Надпровідність спостерігається тільки в заштрихованій області.

Размещено на http://www.allbest.ru/

За значенням критичної напруженості і характером переходу з надпровідного стану в звичайний розрізняють надпровідники першого і другого роду.

Надпровідники першого роду втрачають надпровідність стрибком при досягненні критичного значення напруженості магнітного поля близько 10 А/м.

У напівпровідників другого роду цей перехід розтягнено.

Надпровідник не є просто ідеальним провідником. Як установили в 1933 році німецькі фізики В.Мейснер і Р.Оксенфельд, слабке магнітне поле не проникає всередину надпровідника, відбувається виштовхування зразка з магнітного поля. Це означає, що надпровідник поводиться як ідеальний діамагнетик.

4.5 Теплопровідність

Теплопровідність - це процес перенесення теплової енергії з області більш високої температури в область менш високої температури. Описується теплопровідність законом Фур'є.

Кількість енергії, яка переноситься через одиничну площу за одиницю часу, пропорційна градієнту температури:

.

Коефіцієнт пропорційності називається коефіцієнтом теплопровідності, або просто теплопровідністю.

У кристалі існують два можливі шляхи передавання енергії:

1) передавання енергії вільними електронами;

2) передавання енергії зв'язаних пружних коливань решітки, тобто передавання енергії фононами. Звичайно, ці складові оцінюють окремо. Інакше кажучи, відразу припускають, що є фононна та електронна складові теплопровідності. Механізми провідності незалежні, і тому повну теплопровідність обчислюють як суму цих складових:

.

Такий прийом дає змогу не тільки глибше розібратися в механізмі теплопровідності, а й спростити розрахунки для металевих і діелектричних кристалів. Уже перші оцінки показали, що в металах переважає електронна теплопровідність, а в діелектриках - фононна. Як електронний, так і фононний газ деякою мірою нагадує ідеальний газ, передусім через малу взаємодію цих квантових частинок між собою. Тому можна почати з формули для теплопровідності ідеального газу:

,

де - теплопровідність ідеального газу; u - середня швидкість поступального руху частинки; - середня довжина вільного пробігу; - теплоємність; - густина.

Як і при розрахунку електропровідності, не слід очікувати якоїсь нової структури формули. Однак розрахунок, наприклад, середньої довжини вільного пробігу фонона в кристалі дуже складний і виходить далеко за межі курсу фізики для вищих навчальних закладів. Тим більше, що у кристалі, на відміну від ідеального газу, є багато найрізноманітніших фононів. Інші фізичні величини, що входять у формулу для теплопровідності, легко оцінити. Густину і теплоємність можна дістати з досліду, а швидкість фонона дорівнює швидкості звуку і, отже, теж визначається дослідним шляхом.

Обмежимося обговоренням теплопровідності металів.

У металах носіями як заряду, так і енергії є вільні електрони. Тому варто очікувати, що існує дуже простий зв'язок електро- та теплопровідності металів. Цей зв'язок було знайдено у 1853 році і названо законом Відемана-Франца.

Відношення теплопровідності металу до його електропровідності при даній температурі - це величина стала.

Лоренц експериментально довів, що цей зв'язок має вигляд:

,

де - теплопровідність; - електропровідність; Т - абсолютна температура; L - число Лоренца.

Закон Відемана-Франца легко вивести класичним методом, вважаючи вільні електрони ідеальним газом. Але набагато цікавіше те, що квантові теорії також приводять до аналогічного результату, незважаючи на принципові розбіжності. Зокрема, електронний газ - це зовсім не ідеальний газ, і взаємодію його з фононами описати набагато складніше.

Число Лоренца квантове:

.

Число Лоренца класичне:

.

Експериментальні значення для деяких чистих металів такі:

для срібла ;

для цинку ;

для міді .

Зауважимо, що насправді закон Відемана-Франца добре виконується тільки при температурах, істотно вищих за характеристичну температуру Дебая, і тільки для чистих металів. Гірше він виконується для сплавів і при низьких температурах.

5. Зонна теорія кристалів. Утворення енергетичних зон у кристалах

5.1 Розщеплення рівнів енергії двох атомів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Як було показано раніше, енергетичний спектр електронів в ізольованому атомі має дискретний характер. Це означає, що конкретний електрон може мати тільки дискретне значення енергії, зумовлене правилом квантування. Кожному значенню головного квантового числа n відповідає цілком певне значення енергії електрона. Наочно цей спектр зручно зображати у вигляді набору паралельних ліній, як це показано на рис. 4.18. Ширина кожного енергетичного рівня дуже мала порівняно з відстанями між рівнями . Зазвичай, .

Для електрона в окремому атомі існують дуже вузькі дозволені енергетичні зони, поділені широкими забороненими зонами.

Якщо два однакові атоми перебувають доволі далеко один від одного, як, наприклад, у газі, то енергетичні спектри відповідних електронів у кожному атомі будуть зовсім ідентичними. Якщо поступово зближувати атоми, то на електрон одного атома почне впливати поле іншого атома. І чим ближчі атоми, тим сильніший вплив. Природно, це не може не позначитися на характері енергетичного спектра.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Розглянемо просту модель, що складається тільки з двох атомів, до того ж у кожного атома є тільки один електрон, і кожний з них може мати лише одне дозволене значення енергії . Атоми розміщені на відстані а один від одного, тобто координата одного атома буде , координата другого атома буде , якщо початок відліку взяти в точці, однаково віддаленій від атомів. На рис. 4.19.а зображені схематично хвильові функції кожного електрона для випадку, коли відстані між атомами досить великі. Можна вважати атоми ізольованими. При цьому хвильові функції і потенційні ями обох атомів не перекриваються. При достатньому зближенні хвильові функції почнуть перекриватися (рис. 4.19.б). Це означає, що електрон одного атома з певною ймовірністю може перебувати і на території чужого атома. Але тоді його стан потрібно описувати суперпозицією двох хвильових функцій і . Перекриття хвильових функцій означає також, що електрони вже не належать тільки своїм атомам, вони «колективізовані».

...