Размещено на http://www.allbest.ru/

Глава ЦЕПИ НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

1. Общие и методические замечания

В настоящей главе рассматриваются цепи с периодическими токами и напряжениями, форма которых отличается от гармонической. Изучавшиеся до сих пор гармонические токи и напряжения являются лишь частным случаем более общих-несинусоидальных процессов в цепях.

Практически все генераторы переменного тока генерируют не чисто гармонические колебания, а периодические несинусоидальные. Источниками несинусоидальности могут быть неоднородности магнитного поля в зазоре генератора электроэнергии, переключения b преобразователях переменного тока, нелинейности в электронных генераторах.

Следует указать еще на один существенный источник искажений формы кривой напряжения и тока - мощные нелинейные и нестационарные нагрузки. В энергетике это, например, дуговые сталеплавильные печи или мощные выпрямительные установки.

В тех случаях, когда требуется мощный источник переменного тока для энергетических целей - форма кривой его напряжения или тока должна быть близка к синусоидальной (требования к синусоидальности жестко регламентируются. Несинусондальность источника энергии играет отрицательную роль главным образом при питании электрических машин, поскольку приводит к снижению вращающего момента, повышенному нагреву двигателей, генераторов и трансформаторов и вытекающему отсюда ускорению старения изоляции. Некоторые формы кривых периодического несинусоидального напряжения показаны на рис. 11.1 а, б.

Во многих случаях несинусоидальность токов или напряжений является полезным эффектом, например, в схемах выпрямления кривая напряжения несинусоидальна (рис. l1.l в, г). В цепях передачи и переработки информации напряжения и токи существенно несинусоидальны. Это могут быть импульсные сигналы различной формы, например прямоугольные (рис. 11.1д, е) или импульсы линейно изменяющегося напряжения (рис. 11.1 ж), применяемые, в частности, в цепях развертки телевизора.

Рис. 11.1 (а)

Рис. 11.1 (б)

Рис. 11.1 (в)

Рис. 11.1 (г)



Рис. 11.1 (д)

Рис. 11.1 (е)

Рис. 11.1 (ж)

Рис. 11.1 а, б, в, г, д, е, ж

Цель настоящей главы -- рассмотрение методов расчета и анализа линейных цепей, питаемых

источниками периодических несинусоидальных ЭДС и токов. Основной метод анализа -

- разложение несинусоидальных кривых ЭДС и тока в тригонометрический ряд Фурье и расчет цепи по принципу наложения, под действием источников каждой частоты в отдельности.

При изучении материала этой главы следует вспомнить-- в чем заключается принцип и метод наложения. Расчет линейных цепей несинусоидального тока тесно связан с комплексным методом, поэтому нужно знать его основные положения. Так как один из этапов расчета цепей несинусоидального тока связан с разложением периодической несинусоидальной функции в дискретный ряд Фурье, следует освежить знания по теории рядов.

2. Разложение периодических несинусоидальных кривых напряжения и тока в тригонометрический ряд

Рассматривается несинусоидальная перидическая функция с периодом, например, напряжение или ток Требуется разложить эту функцию в тригонометрический ряд (ряд Фурье).

Ряд Фурье имеет вид

(11.1)

где Uo--постоянная составляющая напряжения; и амшлитуды косинусной и синусной составляющих R-й гармоники напряжения соответственно.

Эти величины вычисляются по известным формулам разложения Фурье:

 (11.2)

Каждую гармоническую составляющую можно представить в полярной системе координат

(11.3)

где

или

Тогда ряд Фурье будет записываться следующим образом

(11.4)

Совокупность гармонических составляющих функции называется спектром. Спектр представляет собой дискретный ряд гармоник с частотами , где = 0, 1, 2,... с амплитудами и фазами (постоянная составляющая Uo здесь представляет собой амплитуду напряжения нулевой гармоники при ). Такой спектр называется дискретным, или линейчатым, и изображается графически в виде диаграмм, где по оси абсцисс откладываются частоты гармоник, а по оси ординат соответствующие амплитуды (амплитудный спектр) или фазы (фазовый спектр).

В случаях симметрии формы несинусоидальнои кривой (напряжения или тока) вид, разложения в ряд Фурье упрощается, а именно:

1. Если функция нечетна, т. е. симметрична относительно начала координат (например, рис. 11.1 а,д ), то

и в разложении Фурье содержатся только синусные составляющие

(11.5)

2. Если функция четная, т. е. симметрична относительно оси ординат (например, рис. 11.1 в), то

и в разложении Фурье содержатся только постоянная и косинусные составляющие

 (11.6 )

3. Если функциясимметрична относительно оси абсцисс (например, рис. 11.1 б), то

и в разложении Фурье содержатся только нечетные гармоники.

В ряде случаев необходимо разложить в ряд Фурье функцию, смещенную на некоторый угол а относительно функции, разложение которой известно. Пусть дано разложение Фурье

тогда разложение смещенной функции имеет вид

(11.7)

где значения определяются по формулам (11.2);

-- угол смещения начала координат по оси .

Пример 11.1. Определить постоянную составляющую, первую и вторую гармоники разложения и ряд Фурье кривой двухполупериодного выпрямленного напряжения ( рис.11.1 в)

при .

Решение

Кривая имеет вид

Для разложения в ряд Фурье используем формулы (11,2). При определении коэффициентов

Фурье учтем симметрию кривой относительно оси ординат. В разложении содержатся постоянная и косинусные составляющие.

Постоянная составляющая напряжения

Здесь при интегрировании учтено, что кривая напряжения состоит из повторяющихся дважды за период полусинусоид, поэтому интегрирование проводится в пределах полусинусоиды.

После подстановки , получаем .

Коэффициент при первой гармонике

так как , а интеграл последней функции за полупериод равен 0.

Коэффициент при второй гармонике

При =100 В, = 42,44 В.

Таким образом,

3. Численный гармонический анализ

Гармонический анализ несинусоидальных периодических функций (напряжений или токов) легко может быть выполнен в численной форме на ЭВМ. Алгоритм расчета коэффициентов основан на выражениях (11.2), где интегрирование ведется известными численными методами, например, но формулам прямоугольников или трапеции.

Рассмотрим метод прямоугольников, имеющий наиболее простой расчетный алгоритм.

Пусть задано несинусоидальное периодическое напряжение с периодом , и требуется определить коэффициенты разложения этой функции в гармонический ряд.

Для численного гармонического анализа период несинусоидальной функции разбивается на n достаточно малых интервалов, длина каждого из которых

При этом аргумент несинусоидальной функции принимает дискретные значения

где m = 0, 1, 2,..., n--1 (значение m = n соответствует началу следующего периода).

Вычисление интегралов по формулам (11.2) заменяется вычислением суммы подынтегральных функций

(11.8)

Формулы (11.8) представляют собой алгоритм численного гармонического анализа по методу прямоугольников.

Пример 11.2. Определить постоянную составляющую, первую и вторую гармоники разложения в ряд Фурье кривой рис. 11.1 в при .



Решение

Для определения коэффициентов ряда Фурье разобьем период функции на n =12 интервалов. Длина каждого интервала (в градусах)

Учитываем симметрию кривой относительно оси ординат:

определяем только постоянную составляющую напряжения и коэффициенты при косинусных составляющих ряда Фурье. Вычисления ведем по формулам (11.8).

Постоянная составляющая напряжения

Коэффициент при первой гармонике

Коэффициент при второй гармонике

Ответ:

Сопоставление результатов численного расчета с вычислениями по точным формулам, выполненными в примере 11.1, показывает, что в нашем случае погрешность численного расчета составляет 3%. С увеличением номера гармоники погрешность расчета возрастает. Для уменьшения погрешности следует увеличивать количество расчетных интервалов n.

Численный гармонический анализ применяется как правило при вычислениях на ЭВМ.

4. Расчет цепей с несинусондальиыми напряжениями и токами

Расчет линейных цепей несинусоидалыюго тока ведется по принципу наложения, под действием источников ЭДС и тока каждой гармоники в отдельности. Вычисления на каждой из гармонических составляющих чаще всего ведутся комплексным методом.

Расчет цепей несинусоидального тока имеет ту особенность, что сопротивления реактивных элементчов зависят от частоты источника. Действительно, напряжение на катушке

Eсли в катушке протекает К-я гармоника тока

то напряжение

т. е. на R-й гармонике комплексное сопротивление катушки

Аналогично, ток конденсатора

и при напряжении R-й гармоники

ток имеет вид

Отсюда сопротивление конденсатора в комплексной форме

Сопротивлелие резистора не изменяется с изменением номера гармоники.

Токи и напряжения, полученные в результате расчета, записываются в виде суммы мгновенных значений всех гармоник.

Существенное замечание: суммируются только мгновенные значения гармоник. Комплексные выражения разных гармоник тока или напряжения складывать, нельзя.

Рис. 11.2

Пример 11.3. Определить ток i в цепи, схема которой изображена на рис.11.2 если ЭДС

сопротивление r₁= 300 Ом;

индуктивности L₁= 0,25 Гн, L₂= 0,l Гн,

емкость С_Э = 3,333 мкФ,

частота = 1000 рад/с.

Решение

Определяем ток от действия каждой гармонической составляющей ЭДС в отдельности.

Постоянная составляющая

Постоянный ток через конденсатор не идет, катушки на постоянном токе имеют нулевое сопротивление.

Постоянная составляющая ЭДС

Ток

Первая гармоника

Расчет ведем в комплексной форме.

Определим комплексную амплитуду тока.

Первая гармоника ЭДС

ее комплексная амплитуда

Комплексная амплитуда тока

где - комплексное сопротивление цепи на nepвой гармонике.

Сопротивления катушек

Сопротивление конденсатора

отсюда

Таким образом,

Мгновенное значение первой гармоники тока

Третья гармоника

Третья гармоника ЭДС

ее комплексная амплитуда

Сопротивление реактивных элементов на третьей гармонике

Cопротивление цепи на третьей гармонике

Комплексная амплитуда третьей гармоники тока

мгновенное значение тока

Искомый ток записывается в виде суммы его гармонических составляющих

Ответ:

5. Действующее и среднее значения несинусоидального напряжения или тока

Действующее значение несинусоидальной периодической функции по определению есть среднеквадратичное значение за период.

Рассмотрим несинусоидальное напряжение с периодом 2. Его действующее значение

(11.9)

Определим действующее значение несинусоидального напряжения или тока, если известно его разложение в ряд Фурье (11.4). Пусть

Квадрат этого напряжения

Для того, чтобы проинтегрировать это выражение за период по формуле (11.9), целесообразно разложить его на гармонические составляющие. Сумма квадратов всех синусоид даст при разложении гармонику нулевой частоты и сумму гармоник двойных частот

Сумма произведений синусоидальных функции различных частот даст гармонические составляющие суммарных и разностных частот :

При интегрировании за период все периодические составляющие разложения Фурье обратятся в нуль, поэтому

(11.10)

В последнем равенстве учтено соотношение между амплитудным и действующим значениями напряжения R-й гармоники

Таким образом, деиствующее значение несинусоидального напряжения или тока равно квадратному корню из суммы квадратов действующих значений, напряжений (или токов) всех гармоник. Поясним сказанное на простейшем примере.

Пример 11.4. Дано несинусоидальное периодическое напряжение

Определить его действующее значение.

Решение

Воспользуемся определением действующего значения (11.9)

Здесь квадрат синуса разложен на тригонометрические составляющие

Проводим интегрирование, отмечая, что определенный интеграл за период от любой периодической функции (в нашем случае и ) равен 0. Получаем

где - действующее значение первой гармоники напряжения с амплитудой .

Среднее значение несинусоидального напряжения или тока представляет собой постоянную составляющую разложения этого напряжения или тока в ряд Фурье

(11.11)

В ряде случаев (в частности, при электрических измерениях) рассматривается среднее по модулю значение синусоидального напряжения или тока

(11.12)

Среднее по модулю значение напряжения и тока определяется обычно в схемах двухполупериодпого выпрямления.

Пример 11.5. Определить действующее и среднее значения тока в цепи рис. 11.2, вычисленного в примере 11.3

Решение

Действующее значение тока определяется как квадратный корень из суммы квадратов действующих значении всех гармоник тока в цепи (11.10)

Среднее значение тока определяется как постоянная составляющая ряда Фурье (11.11)

6. Мощность в цепи периодического несипусоидального тока

В цепях несинусоидального тока строгий физический смысл имеет только активная мощность,определяемая как среднее за период значение произведения мгновенных значений тока и напряжения (мгновенной мощности)

(11.13)

В том случае, когда известно разложение в ряд Фурье напряжения и тока цепи, можно определить активную мощность, выделяемую в цепи, через амплитуды и фазы всех гармонических составляющих напряжедия и тока.

Пусть заданы напряжение и ток

Определим активную мощность цепи (11.13).

Для того, чтобы проинтегрировать произведение , целесообразно предварительно разложить это произведение на гармонические составляющие. При разложении учтем, что

(11.14)

Таким образом, произведения напряжений и токов различных частот дадут периодические функции--косинусы--суммарной и разностной частоты, которые при интегрировании за период обратятся в нуль.

Произведения синусоидальных функций одинаковых частот дадут выражение

При интегрировании за период пернодические функции с частотойобратятся в нуль. Следовательно, после интегрирования по формуле (11.13) произведения мгновенных значений напряжения и тока, получим выражение для активной мощности

(11.15)

где постоянные составляющие;

,

-действующие значения R- й гармоники напряжения и тока, разность фаз R-й гармоники напряжения и тока.

Таким образом, активная мощность в цепи несинусоидального тока равна сумме активных мощностей всех гармоник в отдельности

(11.16)

то есть

Поясним сказанное на простом примере.

Пример 11.6. Известны напряжение и ток цепи

Определить активную мощность.

Решение

Вычислим активную мощность цепи по (11.13). При вычислении учтем тригонометрическое соотношение (11.14)

.

Полученная мощность соответствует уравнению (11.16).

Пример 11.7. Определить активную мощность, отдаваемуюисточником ЭДС в схеме рис.11.2., параметры которой приведены в примере 11.3.

Решение

При решении воспользуемся результатом, полученным в примере 11.3

Активную мощность вычислим по формуле (11.15)

7. Коэффициенты, характеризующие форму несинусоидальных кривых

Несинусоидальность кривых тока и напряжения в ряде случаев характеризуется не амплитудами и фазами ряда Фурье, а посредством определенных коэффициентов. Сопоставление этих коэффициентов с такими же коэффициентамим для синусоидальной кривой показывет, насколько данная функция отличается от синусоидальной.

Основные коэффициенты следующие:

1.Коэффициенты формы - отношение действующего значения несинусоидального напряжения или тока к среднему по модулю

. (11.17)

Для синусоидального напряжения с амплитудой действующее значение

Среднее по модулю (11.12)



Коэффициент формы для синусоидального напряжения

2.Коэффициент амплитуды - отношение максимального значения несинусоидального напряжения или тока к действующему

(11.18)

Для синусоидальной функции

3.Коэффициент искажения - отношение действующего значения первой гармоники к дествующему значению всей несинусоидальной функции

(11.19)

Для синусоидальной функции

4.Коэффициент гармоник - отношение действующего значения высших гармоник к действующему значению первой гармоники несинусоидального напряжения или тока

(11.20)

Для синусоидальной функции

поскольку высшие гармоники отсутствуют.

8. Показания приборов различных систем в цепях несинусоидального тока

Стандартные электроизмерительные приборы (вольтметры и амперметры) (предназначены для измерения постоянного или синусоидального переменного токов. Приборы переменного тока отличаются друг от друга по принципу действия и измеряют различные физические величины, но все они проградуироваиы так, чтобы показывать действующее значение синусоидального тока или напряжения. В связи с этим, при попытке измерения несинусоидальных напряжений и токов, показания приборов различных систем могут резко различаться между coбой.

Рассмотрим напряжения или токи, измеряемые приборами различных систем.

Для измерения постоянных напряжений и токов применяются приборы магнитоэлектрической системы, которые реагируют на среднее значение функции за период



Для измерения действующих значений напряжения или тока предназначаются приборы электромагнитной, электродинамической, тепловой систем, показания которых

Электронные приборы (вольтметры) переменного тока по принципу действия делятся на две группы.

Приборы одной группы реагируют на среднее по модулю значение напряжения. Градуировка их соответствует действующему значению синусоидального напряжения. Как известно, действующее значение напряжения связано со средним по модулю посредством коэффициента формы (11.17)

Для синусоиды , поэтому показание такого вольтметра

.

Приборы второй группы реагируют на пиковое (максимальное) значение измеряемой несинусоидальной величины проградуированы они таким образом, чтобы показывать действующее значение синусоидальной функции. В этом случае показание электронного вольтметра



Пример 11.8. Определить показания магнитоэлектрического, электромагнитного, электродинамического, теплового и электронных вольтметров, включенных на несинусоидальное напряжение в форме меандра (рис. 11.3), где .

а) б)

Рис. 11.3

Решение

Постоянная составляющая напряжения отсутствует ввиду симметрии кривой относительно оси ординат ( см.§11.2). Поэтому показание магнитоэлектрического вольтметра .

Действующее (среднеквадратичное) значение измеряемого напряжения равно 100 В, поскольку квадрат функции (рис. 11.36) равен 10000. Следовательно, показания вольтметров электромагнитной, электродинамической, тепловой систем

Среднее по модулю значение напряжения равно 100 В. Таким образом, электронный вольтметр, реагирующий на среднее по модулю напряжение, покажет

Максимальное значение напряжения . Поэтому показание электронного пикового вольтметра

Пример 11.8 иллюстрирует различие, показаний приборов в цепи несинусоидального тока. Действующие значения несинусоидального напряжения можно измерять приборами электромагнитной, электродинамической, тепловой систем, но не электронными вольтметрами. Более подробные измерения осуществляются анализаторами спектра, которые измеряют амплитуды гармонических составляющих несинусоидального напряжения.

Активные мощности в цепях несинусоидалыюго тока измеряются обычными ваттметрами.

9. Резонанс в цепях несинусоидального тока

цепь ток напряжение несинусоидальный

В цепях несинусоидального тока проявление резонансных свойств чаще всего наблюдается при изменении реактивного параметра в резонансном контуре, либо при совпадении резонансных частот цепи с частотами той или иной гармоники ЭДС или тока источника.

Рассмотрим, как изменяются ток и напряжение в перестриваемом резонансном контуре. Для решения этой задачи применим принцип наложения. Определим резонансные частоты на каждой гармонике в отдельности, а затем проведем суммирование действующих значений токов и напряжений по известной формуле (11.10).

Рис. 11.4

Проведем анализ резонансных характеристик перестраиваемого последовательного резонансного контура, подключенного к источнику несинусоидальной ЭДС. На рис. 11.4 представлена схема последовательного резонансного контура с переменной индуктивностью. Здесь ЭДС

гармонический состав ЭДС фиксирован, сопротивление r и емкость С постоянны, индуктивность L изменяется от О до . Определить зависимость действующих значении тока I и напряжений на конденсаторе и на катушке от величины индуктивности L.

При воздействии одной R-й гармоники действующее значение тока определяется по закону Ома.

Здесь индуктивное и емкостное сопротивления R-й гармонике

резонансный ток R-й гармоники

Действующие значения напряжения на конденсаторе и на катушке

,

При воздействии несинусоидальной ЭДС

Действующие значения тока и напряжений на конденсаторе и катушке

(11.21)

(11.22)

(11.23)

При изменении индуктивности цепь последовательно проходит режимы резонанса на каждой из гармоник. Режимам резонанса соответствует значение индуктивности, определяемое соотношением

или

откуда

(11.24)

Рис. 11.5

Проведем теперь качественное построение резонансных кривых тока I и напряжений

Выполняя построение, положим для определенности, что ЭДС

Тогда

Резонансные кривые изображены на рис. 11.5.

Рассмотрим характерные точки этих кривых по уравнениям (11.21), (11.22), (11.23).

При нулевой индуктивности контура ток

Аналогично, напряжение на конденсаторе

Напряжение на катушке .

Рассмотрим теперь резонансные режимы. Резонансу на R-й гармонике соответствует индуктивность (11.24):

-- на nepвой гармонике

-- на второй гармонике

-- и на третьей

Таким образом, при увелнчении индуктивности от 0 до в нашем случае цепь проходит сначала резонанс на 3-гармонике, затем на 2-й и на 1-й.

Действующие значения тока при резонансах больше, чем (11.21), ввиду того, что к резонансному току данной гармоники прибавляются токи других гармоник (нерезонансные).

Резонансные напряжения увеличиваются с увеличением индуктивности, поскольку различны частоты резонирующих гармоник. При минимальной резонансной индуктивности происходит резонанс на третьей гармонике, резонансное напряжение

при индуктивности резонанс па второй гармонике, резонансное напряжение

и при резонанс на первой гармонике

следовательно,

Действующие значения напряжений при резонансных индуктивностях,, нельзя считать равными друг другу, поскольку резонанс напряжений имеет место только на R-й гармонике (R=3, 2, 1), а действующие значения определяются всеми гармоническими составляющими напряжений (11.22), (11.23). Сдвиг максимальных значений напряжений на катушке и на конденсаторе объяснен в главе «Резонанс в электрических цепях».

При неограниченном увеличении индуктивности ток и падение на конденсаторе стремятся к нулю, а напряжение на катушке стремится к действующему значению ЭДС. Более подробный анализ может быть проведен численным методом.

Рассмотрим теперь случаи совпадения резонансных частот цепи (или отдельных ветвей) с частотами отдельных гармонических составляющих ЭДС или тока источника. Такие случаи целесообразно проиллюстрировать на примере.

рис. 11.6

Пример 11.9. В схеме рис.11.6 дано

Определить мгновенное значение тока i и найти показания приборов I,U,P ( амперметр и вольтмеир электромагнитной системы).

Решение

Расчет проводится для каждой из гармонических составляющих ЭДС в отдельности.

При действии постоянной составляющей ЭДС ток в цепи отсутствует, поскольку конденсатор Ci, постоянного тока не пропускает. Поэтому

На первой гармонике сопротивления реактивных элементов

В ветви - резонанс напряжении.

Сопротивление контура

Входное сопротивление цепи



Комплексная амплитуда тока

Первая гармоника тока

Действующее значение первой гармоники напряжения вольтметра

активная мощность первой гармоники

На третьей гармонике сопротивления реактивных элементов

В контуре резонанс токов, следовательно, третья гармоника тока равна нулю

Следовательно, мощность равна нулю

а напряжение на резонансном контуре равно третьей гармонике ЭДС

На пятой гармонике сопротивления реактивных элементов

Входное сопротивление цепи

Таким образом,

На пятой гармонике в цепи резонанс напряжений: суммарное реактивное сопротивление равно нулю.

Комплексная амплитуда пятой гармоники тока

мгновенное значение

Напряжение вольтметра

мощность пятой гармоники

Мгновенное значение тока

показание амперметра (амперметр электромагнитной системы показывает действующее значение тока )



Показание вольтметра (действующее значение напряжения),

показание ваттметра

Примечания:

1).при вычислении показания амперметра действующие значения гармонических составляющих тока записывались как , где - амплитуда R-й гармоники. При опреде-лении показания вольтметра взяты действующие значения гармонических составляющих напряжения, вычисленные в тексте;

2) ваттметр показывает активную мощность, рассеиваемую в резисторе r, она определяется так:

что соответствует вычисленному показанию ваттметра.

10. Высшие гармоники в трехфазных цепях

При расчете несинусондальиых токов и напряжении в трехфазных цепях следует учитывать особенности фазовых соотношений гармоник тока и напряжения в различных фазах цепи. Эти особенности связаны с тем, что сдвиг фазы по времени на одну треть периода основной частоты на зажимах A, В, С приводит к сдвигу фаз высших гармонических составляющих, зависящему от номера гармоники.

Рассмотрим эти фазовые соотношения подробнее. Для определенности ограничимся только трехфазными цепями с симметричной нагрузкой.

В трехфазных цепях кривые напряжения основной частоты в фазах В и С воспроизводят кривую напряжения фазы А со сдвигом на треть периода

(11.25)

Здесь Т--период, .

Рассмотрим R-ю гармонику напряжения во всех трех фазах, полагая фазный угол напряжения

нулевым.

(11.26)

Для первой гармоники ( R=1 ) система напряжений (11.26) представляет co6oй систему прямой последовательности ( векторная диаграмма на рис. 11.7 а).

Рис. 11.7

Для второй гармоники ( R=2 )

Здесь напряжение фазы В отстает от напряжения фазы A на 240° или, что то же самое, опережает на 120°; напряжение фазы С отстает от напряжения A на 120°, поэтому напряжения второй гармоники образуют систему обратной последовательности (векторная диаграмма на рис.11.7б). Для третьей гармоники ( R=3 )

Здесь система напряжений образует нулевую последовательность (рис. 11.7 в).

Аналогично: R = 4 - прямая последовательность ;

R = 5 - обратная;

R = 6 - нулевая.

В общем случае

R=3n+1 прямая последовательность;

R=3n+2 обратная, (11.27)

R=3n нулевая.

n = 0, 1, 2, 3,...,

В большинстве практически важных случаев в напряжении источника присутствуют только нечетные гармоники. В соответствии с (11.27):

1, 7, 13 - гармоники образуют прямую последовательность,

3, 9, 15 - нулевую последовательность,

5, 11, 17 - обратную последовательность.

Отметим некоторые особенности нечетных гармоник напряжений и токов, вытекающие из свойств симметричных составляющих. Учет этих особенностей упрощает расчет трехфазных цепей несинусоидального тока.

1). В линейном напряжении нулевая последовательность (гармоники кратные 3) отсутствует. Это очевидно из того соображения, что линейное напряжение есть pазность фазных, которые равны друг другу на 3-й и кратных гармониках.

2). В случае соединения нагрузки без нейтрального провода, токи нулевой последовательни ( гармоники кратные 3 ) отсутствуют, поскольку потенциалы узлов А,В,С на этих гармониках равны друг другу. При этом напряжение смещения нейтрали содержит 3, 9,..., 3 n гармоники.

3). Если имеется нейтральный провод, в нем текут токи нулевой последовательности (гармоники кратные 3 ) даже при симметричной нагрузке.

При этим ток нейтрали равен утроенному току фазы

Приведем пример расчета трехфазной цепи несинусоидального тока.

Рис. 11.8

Пример 11.10. В трехфазной цепи рис. 11.8 дано:

ЭДС фазы A

При замкнутом нейтральном проводе. Определить мгновенное значение тока , найти показания приборов (электродинамической системы).

Р е ш е н и е

Первая гармоника

На первой гармонике имеется симметричная трехфазная цепь. Ток нейтрали равен 0

Комплексная амплитуда тока фазы В.

Напряжение на вольтметрах (амплитудные значения)

В -- фазное напряжение;

416В -- линейное напряжение.

Третья гармоника

На третьей гармонике ЭДС образуют систему нулевой последовательности, потенциалы точек А, В, С равны между собой.

Сопротивления

Рис. 11.9

Ток нейтрали и фазный ток (комплексные амплитуды) определяются по эквивалентной схеме (рис. 11.9)

Напряжения:

- комплексная амплитуда фазного напряжения нагрузки;

В - амплитуда ЭДС;

=0 - линейное напряжение.

Пятая гармоника

ЭДС образуют систему обратной последовательности.

Сопротивления: Ом; 12 Ом. Ток нейтрали равен 0.

Фазный ток

Напряжения

Ответы:

11. Амплитудно-модулированные колебания

Мы рассмотрели несинусоидальные периодические токи и напряжения в линейных цепях, которые могут быть разложены в тригонометрический ряд Фурье на гармонические составляющие с кратными частотами.

В электротехнике также встречаются несинусоидальные функции с периодическими огибающими. Такие функции, строго говоря, нельзя считать периодическими (их относят к классу почти периодических функций). К таким функциям относится, например, амплитудно-модулированное напряжение или ток. Пример получения амплитудно-модулированных колебаний приведен на схеме рис. 11.10. Здесь в цепь включены: источник ЭДС е высокой частоты и переменный резистор, проводимость которого g изменяется с низкой

Рис. 11.10

(звуковой) частотой Щ (например, микрофон). Требуется определить ток в цепи и разложить его на гармонические составляющие. Пусть

>>Щ.

Здесь m - глубина модуляции резистора, - несущая частота, Q - модулирующая частота.

Ток в цепи

(11.28)

Такую функцию можно рассматривать как колебание с частотой и с переменной амплитудой (огибающей)

Разложим функцию i{t) на гармонические составляющие

 (11.29)

Дискретный спектр тока представлен на рис. 11.11а.

Здесь

Таким образом, простейшие амплитудно-модулированнье колебания могут быть представлены суммой трех синусоидальных колебаний с амплитудами и и частотами .

Частоты отличающиеся от несущей на величину частоты модуляции Щ, называются боковыми частотами.

а) б)

Рис. 11.11

Сравним спектр модулированных колебаний со спектром огибающей, представленным в симметричной форме.

Огибающая

(11.30)

так как . Спектр огибающей представлен на рис. 11.116.

Сопоставление спектров рис. 11.11 а, б показывает, что спектр амплитудно-модулированных колебаний представляет собой спектр огибающей, сдвинутый на величину несущей частоты .

Задачи для самостоятельного решения (к главе 11)

1. Определить первые три члена разложения в ряд Фурье кривых напряжения представленных на рис. 11.1 г, д, е при 100 В.

Ответы:

2. Определить токи всех ветвей схемы рис. 11.12, если известно:

100 Ом; 100 Ом ;100 Ом ; 200 Ом ;

Ответ:

3. В схеме рис. 11.13:

Рис. 11.12 рис. 11.13

Определить ток , показания амперметра электромагнитной системы и ваттметра.

Ответ: 2 +1,06 sin (+45°) A;

2,47 А; 102,5 Вт.

Размещено на Allbest.ru

...