Нелинейные стационарные волны на сдвиговом горизонтальном течении жидкости

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

01.04.02 - теоретическая физика

Нелинейные стационарные волны на сдвиговом горизонтальном течении жидкости

Руденко Алексей Иванович

Калининград - 2007



Работа выполнена в ФГОУ ВПО "Калининградский государственный технический университет"

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Зайцев Анатолий Алексеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Лебле Сергей Борисович,

кандидат физико-математических наук, доцент Байдулов Василий Геннадьевич

Ведущая организация: Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, физический факультет.

Ученый секретарь диссертационного совета В.А. Пахотин



1. Общая характеристика работы

нелинейный дисперсионный волна жидкость

Актуальность темы. Различие типов волн в природе обусловлено определяющей возвращающей силой (гравитация, поверхностное натяжение), структурой динамических уравнений и граничных условий, определяющих основную характеристику волны - дисперсионное соотношение. При рассмотрении волновых движений в несжимаемой жидкости выделяют поверхностные и внутренние волны. Оба типа волн существенно влияют на геофизические процессы, поэтому их изучению уделяют пристальное внимание.

Волны на поверхности жидкости являются одним из самых распространенных видов волнового движения в природе, которые доступны для визуального наблюдения. Характеристики волн зависят от свойств и параметров среды, в которой они распространяются. Среди поверхностных волн выделяют поверхностные гравитационные и короткие капиллярно-гравитационные волны; среди внутренних волн выделяют внутренние гравитационные волны при произвольном распределении плотности и волны относительно тонкой (по сравнению с длиной волны) границе раздела. Трудности исследования задач теории поверхностных волн связаны с существенной нелинейностью граничных условий на свободной поверхности, которая в свою очередь, также является неизвестной функцией и подлежит определению. Одним из наиболее интенсивно развивающихся направлений является изучение волновых движений в жидкости при наличии сдвиговых течений. Особый интерес представляет изучение строения и характеристик нелинейных стационарных волн в жидкости, стратифицированной по плотности и течению.

Важную роль в процессе развития теории нелинейных волн сыграла задача о стационарных волнах на поверхности идеальной жидкости, впервые рассмотренная Стоксом (1847, 1880), где было предложено два метода ее решения. В дальнейшем исследования Стокса были продолжены многими учеными, в том числе Буссинеском, Кордевегом, де Вризом, Рэлеем, Митчеллом, Хавелоком, Уилтоном, Некрасовым, Леви-Чивита, Струиком, Лаврентьевым, Сретенским, Красовским, Фридрихсом, Хайерсом, Дэ, Шварцем, Уиземом и другими; эти исследования привели к появлению уравнения Кортевега-де Вриза, анализ которого породил один из важнейших разделов современной теоретической физики - теорию солитонов. Вместе с тем, задача описания вывода нелинейного дисперсионного соотношения даже для простейшего случая волн на течении с линейным профилем скорости остается открытой.

Цель работы заключается в изучении характеристик, строения профиля и вывода нелинейного дисперсионного соотношения для стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении путем решения следующих задач:

- выводу точного нелинейного уравнения для профиля стационарной волны на поверхности идеальной однородной жидкости конечной глубины, его решение в виде аналитических рядов, вывода нелинейного дисперсионного соотношения;

- в рамках эйлерова подхода и других стандартных условий изучить стационарные нелинейные волны на горизонтальном сдвиговом течении жидкости конечной глубины при условии, что профиль средней скорости линейный; при этом особое внимание уделить выводу и анализу нелинейного дисперсионного соотношения;

- усовершенствовать существующую методику анализа нелинейных волн.

Научная новизна. Для задачи о двумерных стационарных нелинейных волнах на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины при условии, что волновые движения являются потенциальными, впервые выведено точное нелинейное уравнение для профиля стационарной волны на поверхности жидкости; благодаря этому исходная двумерная нелинейная краевая задача сведена к интегро-дифференциальному уравнению для функции одной переменной.

Дан подробный анализ решения классической задачи Стокса. В частности, доказана гипотеза Уилтона (1914).

В задаче о поверхностных волнах на сдвиговом течении с линейным профилем средней скорости предложена модификация первого метода Стокса; получено и проанализировано нелинейное дисперсионное соотношение для волн, бегущих вверх и вниз по потоку.

Научная и практическая значимость. В работе исследованы стационарные нелинейные волны на горизонтальном течении идеальной однородной несжимаемой жидкости конечной и бесконечной глубины с линейным по вертикали профилем средней скорости. С учетом интегро-дифференциального уравнения (с кубической нелинейностью) для профиля стационарной волн двумерная задача сводится к одномерной, что существенно упрощает процедуру расчета приближений. Использованная в работе методика может быть применена для решения других задач теории нелинейных волн в диспергирующих средах. Полученное нелинейное дисперсионное соотношение может быть использовано для вывода модельных уравнений Кортевега - де Вриза, Кадомцева - Петвиашвили, нелинейного уравнения Шредингера, описывающих распространение длинных слаболинейных волн и их пакетов на горизонтальном сдвиговом течении с линейным профилем средней скорости. Найденные нелинейные поправки к фазовой скорости можно использовать для изучения эффектов автомодуляции. Диссертационная работа поддержана следующими грантами:

Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 03-05-65136, № 00-05-64136);

Международного фонда фундаментальных исследований INTAS (проект № 460/01, 2002 г.).

Основные положения, выносимые на защиту:

Вывод интегро-дифференциального уравнения с кубической нелинейностью для профиля стационарной волны на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины.

Определение профиля и нелинейного дисперсионного соотношения стационарных волн на поверхности жидкости конечной глубины с точностью до седьмого приближения.

Вывод системы одномерных уравнений, описывающих распространение стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины с линейным профилем средней скорости.

Обоснование корректности выбора разложений по степеням амплитуды основной гармоники для скорости профиля волны, относительной функции тока и семейства вспомогательных функций.

Решение систем уравнений для пяти низших приближений. Вывод и анализ нелинейных дисперсионных соотношений для волн, бегущих вверх и вниз по потоку.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием современных методов теоретической и математической физики, сравнением полученных в работе аналитических решений с теоретическими результатами, известными в литературе.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на XI Международной конференции “Потоки и структуры в жидкостях” (Москва, 2001), Всероссийской научной конференции “Физические проблемы экологии. Экологическая физика” (Москва, 2001, 2004), на 56 научно-техническом семинаре Института проблем механики РАН (Москва, 2002), XXV конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2003), XII Международной конференции “Потоки и структуры в жидкостях” (Санкт-Петербург, 2003), XIII Международной конференции “Потоки и структуры в жидкостях” (Москва, 2005), Международной конференции по избранным трудам современной математики, приуроченной к 200-летию со дня рождения К.Г. Якоби (Калининград, 2005).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 14 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Личный вклад автора. В процессе выполнения диссертационной работы автор принимал непосредственное участие в постановке задачи, выборе и реализации методов их решения, физическом анализе и интерпретации результатов математического исследования.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка, используемой литературы. Общий объем диссертации составляет 138 страниц и включает 12 рисунков. Библиографический список включает 132 наименования.

Благодарности. Диссертант выражает благодарность сотрудникам Атлантического отделения Института океанологии им. П.П. Ширшова РАН. Считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность за всемерную поддержку и помощь на всех этапах работы доктору физико-математических наук, профессору В.А. Гриценко, а так же доктору физико-математических наук, профессору Ю.Д. Чашечкину.

2. Основное содержание работы

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации, описывается ее общенаучный контекст, сформулированы основные задачи и защищаемые положения, а так же кратко изложено содержание работы.

Одним из наиболее интенсивно развивающихся направлений является изучение волновых движений в жидкости при наличии сдвиговых течений. Особый интерес представляет изучение строения и характеристик нелинейных стационарных волн в жидкости, стратифицированной по плотности и течению.

Первая глава представляет собой обзор основных публикаций, посвященных тематике диссертации. Здесь описываются теоретические методы изучения нелинейных поверхностных волн, а также дан обзор современного состояния теоретического исследования нелинейных стационарных волн на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости. Трудности исследования задач теории нелинейных поверхностных гравитационных волн связаны с существенной нелинейностью граничных условий на свободной поверхности, которая в свою очередь также является неизвестной функцией и требует определения.

Во второй главе рассматривается классическая задача о стационарных волнах на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины. Выбранный метод решения родственен второму методу Стокса, но имеет следующие существенные отличия:

- удалось получить одномерное интегро-дифференциальное уравнение с кубической нелинейностью для профиля стационарной волны на поверхности жидкости конечной глубины,

- решение исходной нелинейной двумерной краевой задачи сведено к решению системы двух одномерных квадратичных уравнений,

- решение поставленной задачи получено с точностью до седьмого приближения; этот результат перекрывает те, которые получены ранее.

В первом параграфе дана физическая и математическая постановка задачи. Пусть на свободной поверхности идеальной однородной несжимаемой жидкости конечной глубины сформировалась система стационарных нелинейных волн, движущихся с постоянной скоростью . Предполагается, что волновые движения являются двумерными и потенциальными. Рассмотрения ведутся в системе координат, перемещающейся вместе с волной. Следуя второму методу Стокса область течения с помощью комплексного потенциала скорости конформно отображается на полосу (в случае жидкости конечной глубины) или полуплоскость (в случае бесконечной глубины); в случае жидкости конечной глубины образом этого отображения будет полоса 0<ш<d, где ш - относительная функция тока, d = Q/c - динамическая глубина жидкости, Q - расход через вертикаль. Уравнения движения и граничные условия записываются для координат частиц жидкости, параметрически зависящих от потенциала скорости и относительной функции тока. Они удовлетворяют уравнению Лапласа и нелинейным граничным условиям на свободной поверхности и на дне; запись динамического граничного условия на сводной поверхности использует интеграл Бернулли-Коши. Отмечена роль условия нулевого среднего для профиля волны, которое обычно не формулируется, но неявно используется.

Во втором параграфе приводится решение задачи в линейном приближении; в дальнейшем на этом решении основан выбор степенных рядов, которые используются для решения нелинейной задачи методами теории возмущений.

В третьем параграфе дан вывод следующего интегро-дифференциального уравнения с кубической нелинейностью для профиля стационарной волны и ее характеристик:

Здесь - скорость волны, - константа интегрирования, - ускорение свободного падения, - значение относительного потенциала скорости частиц жидкости на свободной поверхности, - горизонтальная декартова координата. Решение этого уравнения дает выражение для профиля стационарной волны в виде следующей параметрической зависимости:

Этот результат представляет самостоятельный интерес и упрощает решение задачи.

В четвертом параграфе дается новая математическая постановка задачи о строении и характеристиках стационарных волн на поверхности жидкости. Она основана на уравнении для профиля волны. Кроме того, вводится новая функция (ее физический смысл: это есть значение обратного квадрата скорости на поверхности жидкости). С ее помощью получается система двух одномерных квадратичных уравнений. Решение этой системы позволяет определить профиль стационарной волны и нелинейное дисперсионное соотношение. Новая математическая постановка задачи такая:

Задача. Определить константы c, P и функции =(), W=W(), удовлетворяющие следующим уравнениям для профиля стационарной волны и ее характеристик:

а также условиям периодичности и нулевого среднего:

здесь - волновое число.

Таким образом, решение исходной нелинейной двумерной краевой задачи сводится к решению системы двух одномерных квадратичных уравнений.

В пятом параграфе приводятся исходные представления для профиля волны и вспомогательной функции в виде тригонометрических многочленов седьмой степени:



Условия периодичности и нулевого среднего выполняются автоматически.

Подстановка тригонометрических многочленов в систему квадратичных уравнений дает систему алгебраических уравнений для их коэффициентов.

В шестом параграфе даны выражения для скорости волны, константы интегрирования и коэффициентов тригонометрических многочленов в виде степенных рядов по степеням амплитуды основной гармоники в профиле волны с точностью до членов седьмого порядка малости, получены и решены системы уравнений для последовательных приближений. В частности, получено следующее выражение для нелинейного дисперсионного соотношения:

В седьмом параграфе дан анализ решений систем уравнений для последовательных приближений.

В третьей главе исследуется задача о стационарных волнах на горизонтальном сдвиговом течении идеальной однородной жидкости конечной глубины. Метод ее решения близок первому методу Стокса решения аналогичной задачи в отсутствии сдвигового течения, но имеет следующее отличие: благодаря введению вспомогательных функций и использованию специального линейного оператора исходная нелинейная двумерная краевая задача сводится к системе одномерных квадратичных уравнений, число которых определяется точностью выбранного приближения.

В первом параграфе дана физическая постановка задачи: пусть на свободной поверхности идеальной однородной несжимаемой жидкости конечной глубины сформировалась система стационарных нелинейных волн, движущихся с постоянной скоростью . Ставится цель в рамках эйлерова подхода изучить случай двумерных волновых движений жидкости конечной глубины и линейного профиля средней скорости. При выполнении второго условия становится возможным, как и в отсутствие среднего течения (то есть в задаче Стокса), существование безвихревых волновых движений.

Для математической постановки задачи требуется предварительный анализ. С этой целью во втором параграфе уравнения идеальной жидкости и граничные условия преобразуются в уравнения и граничные условия для стационарных волн на сдвиговом течении. Для решения рассматриваемой задачи удобно гидродинамические характеристики выразить через функцию тока волновых движений , которая определяется равенствами

где - горизонтальная и вертикальная составляющие скорости. Тогда уравнение несжимаемости удовлетворяется автоматически, а условие потенциальности волнового движения сводится к уравнению Лапласа.



которое заменяет уравнения Эйлера. Его нужно дополнить граничными условиями, выраженными через . Это можно сделать, если воспользоваться первыми интегралами. Их вывод дается в следующем параграфе.

В третьем параграфе приведены первые интегралы рассматриваемой задачи. Предлагаемая методика решения задачи о стационарных волнах на сдвиговом течении использует два таких интеграла: постоянство функции тока на свободной поверхности в системе координат, движущейся вместе с стационарной волной, и обобщение интеграла Бернулли - Коши, который имеет следующий вид:

= ;

здесь - вертикальный градиент среднего течения.

Благодаря обобщенному интегралу Бернулли - Коши динамическое условие на свободной поверхности записывается в такой форме:

где - константа интегрирования, символы обозначают значения относительной функции тока и ее производных на свободной поверхности

Граничное условие непротекания на дне, выраженное через относительную функцию тока, становится таким:



Получено решение задачи в линейном приближении:

Последнее соотношение является уравнением для фазовой скорости линейных синусоидальных волн. Оно имеет два разных действительных корня:

первый из которых положительный, а второй отрицательный. Им соответствуют две синусоидальные волны, бегущие вниз и вверх по потоку.

а) б)

в) г)

Рисунок 1. Графики зависимости скорости волны от волнового числа для различных значений ; нижняя кривая соответствует волне, бегущей вверх по потоку; верхняя кривая соответствует волне, бегущей вниз по потоку



Отметим, что в длинноволновом приближении,

С ростом модули обоих значений скорости монотонно убывают до 0. Графики их зависимости от k изображены на рисунке 1.

Решение линейной задачи будет служить основой выбора разложений характеристик нелинейных стационарных волн в виде рядов по степеням амплитуды основной гармоники (§ 2.6).

В четвертом параграфе первые интегралы использованы для формулировки новой математической постановки задачи о строении и характеристиках стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении. С этой целью сначала разлагаются функция тока на свободной поверхности и нелинейное динамическое условие по степеням профиля волны. Затем определяются вспомогательные функции. С их помощью получается система одномерных квадратичных уравнений, число которых определяется точностью приближенного решения. В том случае, когда решение ищется с точностью до пятого порядка по степеням амплитуды основной гармоники профиля стационарной волны, возникает следующая

Задача. Требуется определить константы и семейство функций

которые подчиняются следующим условиям и соотношениям:

- функции периодичны по с периодом ,

,



и удовлетворяют условию нулевого среднего

,

- все перечисленные функции связаны соотношениями

,

,

- профиль стационарный волны симметричный.

Здесь в выражении для опущены квадратичные слагаемые, поскольку их вклад в уравнение, содержащее , дает слагаемые 6-го порядка малости относительно амплитуды волны. Таким образом, система уравнений с точностью до 5-го приближения содержит десять уравнений для десяти неизвестных функций



и трех неизвестных констант . Поскольку число уравнений совпадает с числом неизвестных функций, эта система совместна. В дальнейших параграфах показана разрешимость этой системы, причем значения неизвестных констант найдены с помощью условий периодичности и нулевого среднего. То же самое остается справедливым и в общем случае, когда решение ищется для произвольного приближения. Таким образом, полученная одномерная задача поставлена корректно.

Решение этой задачи позволяет определить профиль стационарной волны и нелинейное дисперсионное соотношение.

В пятом параграфе приводятся исходные представления для профиля волны и вспомогательной функции в виде тригонометрических многочленов пятой степени; для профиля волны это представление следующее:

Аналогичные представления имеют остальные неизвестные функции. Условия периодичности и нулевого среднего выполняются автоматически.

Подстановка тригонометрических многочленов в систему квадратичных уравнений дает систему 58-ми алгебраических уравнений для коэффициентов этих многочленов и констант (амплитуда основной гармоники a= з₁ считается заданной).

В шестом параграфе даны выражения для скорости волны, констант интегрирования и коэффициентов тригонометрических многочленов в виде степенных рядов по степеням амплитуды основной гармоники в профиле волны с точностью до членов пятого порядка малости, получены и решены системы уравнений для последовательных приближений.

Результатом выполненных расчетов будет следующая сводка значений для коэффициентов:



Используя значение , найдено нелинейные дисперсионные соотношения для обоих типов волн:

где при волна движется вверх по потоку, волна движется вниз по потоку. В случае они переходят в дисперсионное соотношение Стокса

.



В седьмом параграфе дан анализ решений систем уравнений для последовательных приближений.

Расчет нелинейной поправки к скорости стационарных волн на течении и сравнение с поправкой для скорости волн Стокса (результаты для случаев , 0.5, 0.75 и 1.0 показаны на рисунке 2; там средняя линия относится к волнам Стокса, а верхняя и нижняя к волнам, бегущих вниз и вверх по потоку), позволяет сделать следующие выводы:

- в присутствии сдвигового течения скорость нелинейной правой волны возрастает, а левой - уменьшается;

- увеличение градиента течения ведет к росту скорости правой волны и уменьшению скорости левой волны;

- влияние течения увеличивается в длинноволновой области и уменьшается в коротковолновой.

а) б)

в) г)

Рисунок 2. Графики зависимости нелинейной поправки к скорости волны от волнового числа при различных значениях градиента ; для волн Стокса (средняя линия) и волн на течении, бегущих вниз (верхняя линия) и вверх (нижняя линия) по потоку



В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы.



Основные результаты и выводы работы

Получено интегро-дифференциальное уравнение с кубической нелинейностью для профиля стационарной волны на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины.

Выполнен аналитический расчет характеристик стационарных волн на поверхности жидкости конечной глубины и нелинейного дисперсионного соотношения для них с точностью до седьмого приближения.

Выведены системы одномерных уравнений, описывающих распространение стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины с линейным профилем средней скорости.

Обоснован выбор разложений по степеням амплитуды основной гармоники для скорости профиля волны, относительной функции тока и семейства вспомогательных функций.

Приведено решение систем уравнений для пяти низших приближений. Дан вывод и анализ нелинейных дисперсионных соотношений для волн, бегущих вверх и вниз по потоку.



Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. Зайцев А.А, Руденко А.И. К теории стационарных волн на горизонтальном течении с линейным профилем скорости // ПМТФ Т. 47, № 3. Новосибирск. 2006. С. 43-49.

2. Зайцев А.А, Руденко А.И. Нелинейные стационарные волны на поверхности горизонтального течения идеальной жидкости с линейным профилем скорости // Вестник СПбГУ - Сер. 4, вып. 2. Санкт Петербург. 2005. С. 37-48.

3. Руденко А.И. Стационарные нелинейные волны на поверхности горизонтального течения идеальной жидкости конечной глубины // Сб. науч. тр. XXV конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. Москва, 2003. С. 184-187.

4. Зайцев А.А., Руденко А.И. Нелинейные дисперсионные соотношения для волн на поверхности горизонтального течения жидкости конечной глубины // Избранные тексты докладов. Международная конференция “Потоки и структуры в жидкостях”. Москва. 2004. С. 220-224.

5. Zaitsev A.A., Rudenko A.I. Studying of surface stationary waves by modification of the Second Stokes Method // Selected Papers of the International conference “Fluxes and structures in fluids”. Moscow, Russia, June 20-23, 2005. Moscow. IPM RAS. 2006. P. 367-373.

6. Зайцев А.А, Руденко А.И., Матвеева Т.Ю. Строение и характеристики нелинейных стационарных волн на поверхности горизонтального течения идеальной жидкости с линейным профилем скорости // Сб. науч. тр. третьей Всероссийской научной конференции “Физические проблемы экологии. Экологическая физика”, том № 7, Москва, Физический факультет, МГУ, 2001, С. 60-69.

7. Зайцев А.А, Руденко А.И. Нелинейные стационарные волны на поверхности сдвигового горизонтального течения идеальной жидкости // Тезисы докладов на Международной конференции “Потоки и структуры в жидкостях”. 20-22 июня, Москва, ИПМ РАН, 2001. С. 236-238.

8. Zaitsev A.A., Rudenko A.I. Non-linear dispersion relationships for waves on the surface of horizontally flowing finite-depth fluid // Abst. int. conf. “Fluxes and structures in fluids”. June 23-26, Sanct Petersburg. 2003. P. 128-130.

9. Зайцев А.А, Руденко А.И. Распространение поверхностных гравитационных волн в жидкости конечной глубины // Тезисы докладов на третьей Всероссийской научной конференции “Физические проблемы экологии. Экологическая физика”, Москва, Физический факультет, МГУ, 22-24 мая, 2004, С. 209-210.

10. Zaitsev A.A., Rudenko A.I. Stationary waves on the shear stream // Тезисы докладов Международной конференции по избранным трудам современной математики, приуроченной к 200-летию со дня рождения К.Г. Якоби. Калиниград. 2005. С. 267-268.

11. Зайцев А.А, Руденко А.И. Модификация второго метода Стокса в задаче о поверхностных волнах // Тезисы докладов на Международной конференции “Потоки и структуры в жидкостях”. 20-22 июня, Москва, ИПМ РАН, 2005. С. 236-239.

12. Зайцев А.А., Руденко А.И. Стационарные нелинейные волны на поверхности горизонтального течения идеальной жидкости конечной глубины. Расчет низших приближений // Изв. КГТУ.- 2003. - Т. 3. С. 118-125.

13. Зайцев А.А, Руденко А.И. Нелинейные стационарные волны на поверхности сдвигового горизонтального течения идеальной жидкости // Сб. науч. тр. Вып. № 44. БГА РФ ”Математика и физика”. Калининград, 2001. С. 50-55.

14. Зайцев А.А, Руденко А.И. Особенности строения нелинейных стационарных волн на поверхности горизонтального течения идеальной жидкости с линейным профилем средней скорости // Сб. науч. тр. Вып № 53. БГА РФ ”Математика и физика”. Калининград, 2002. С. 50-55.

Размещено на Allbest.ru

...