Математические задачи нелинейной теории переноса. Газокинетическое уравнение

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Специальность: 01.01.03- Математическая физика

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Математические задачи нелинейной теории переноса. Газокинетическое уравнение

Макин Руслан Сергеевич

Москва 2009

Работа выполнена в ОАО «Государственный научный центр Научно - исследовательский институт атомных реакторов» ( ОАО «ГНЦ НИИАР» )

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Малинецкий Георгий Геннадьевич

доктор физико-математических наук, профессор

Кащенко Сергей Александрович

доктор технических наук

Селезнев Евгений Федорович

Ведущая организация: Научно-исследовательский ядерный университет - Московский инженерно-физический институт (НИЯУ - МИФИ)

Защита состоится «06» октября 2009 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 002.024.02 при Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., д.4

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

Автореферат разослан «__» ________ 2009 г.

Учёный секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н. О.В.ЩЕРИЦА

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Безопасность эксплуатации ядерных энергетических реакторов и других радиационно-опасных установок различного назначения является одной из важнейших проблем современной энергетики и нелинейной динамики. Большое значение в решении этой проблемы имеет знание и исследование их динамических характеристик. Целью исследования динамики в конечном итоге является доказательство устойчивости стационарных режимов нелинейной системы или отыскание условий, при которых обеспечивается указанная устойчивость. Обычно a priory такой информации либо нет, либо ее чрезвычайно мало. В этих условиях практически единственной возможностью является создание адекватных математических моделей и их последующий анализ. При этом резко возрастает роль различных эффектов, связанных с распределенностью, неоднородностью систем и нелинейностью происходящих сложных процессов. В то же время используемые для анализа подобных нелинейных систем весьма упрощенные математические модели либо вообще не учитывают указанных эффектов, либо учитывают их очень приближенно, например, в рамках линеаризованных моделей. Это связано в первую очередь с тем, что сложные распределенные системы в неоднородных нелинейных средах обычно описываются системой уравнений в частных производных или системой интегро-дифференциальных уравнений и должны рассматриваться в весьма общих банаховых пространствах. Заметим, что сама процедура линеаризации для сложных нелинейных систем, как правило, требует строгого обоснования.

Таким образом, разработка адекватных распределенных нелинейных моделей сложных объектов, процессов и исследование возникающих режимов, вопросов устойчивости и нелинейных явлений, включая асимптотическое и нерегулярное (хаотическое) поведение, является весьма актуальной задачей. Кроме того, решение вопросов существования, единственности, свойств спектра, полноты корневых векторов, положительности решений и некоторых других представляет значительный интерес. Данное обстоятельство связано с решением нового класса задач, описывающих гораздо более сложные процессы, чем, например, краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка, которая, как известно, является достаточно грубым диффузионным приближением для рассматриваемых процессов переноса.

Начиная с первых работ по теории переноса излучения (нейтронов) в размножающих и замедляющих средах, выполненных Э.Ферми, И.В.Курчатовым с сотрудниками, исследования по теории реакторов тесно связаны с именами А. Вейнберга, Ю. Вигнера Вейнберг А., Вигнер Е. Физическая теория ядерных реакторов. М.: ИЛ, 1961. в США, академиков РАН В.С.Владимирова Владимиров В.С. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. // Тр. Матем. ин-та им. В.А. Стеклова т.61. Изд-во АН СССР. 1961., Г.И. Марчука, заложивших основы математической теории взаимодействия излучения с веществом, в том числе переноса нейтронов. Существенный вклад в развитие математической теории реакторов внесли профессора С.М. Фейнберг, С.Б. Шихов Шихов С.Б. Вопросы математической теории реакторов. М.: Атомиздат, 1973., А.Д. Галанин, В.В. Орлов, Л.Н. Усачев, Г.А. Бать и научные коллективы РНЦ «Курчатовский институт», ГНЦ ФЭИ, ИТЭФ, ОКБМ, МИФИ, ИПМ, ИПЭ НАН Беларуси и др. Работы отечественных ученых Т.А. Гермогеновой, М.В. Масленникова, Б.Б. Кадомцева, С.Б. Шихова, Ю.И. Ершова Шихов С.Б., Ершов Ю.И. Математические основы теории переноса. Т.1; Т.2. М.: Энергоатомиздат, 1985., В.В. Смелова, В.И. Лебедева, В.И. Агошкова, В.Я. Гольдина, В.В. Учайкина, А.В. Крянева, Ю.А. Кузнецова и их учеников, а также зарубежных ученых Б. Дэвисона, Р. Маршака, С. Чандрасекара, Е. Хопфа, К. Кейза Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1972., Дж. Ленера, Г. Винга и др., отражающие основные положения этой теории, хорошо известны.

Одним из важнейших открытий второй половины прошлого века явилось установление нового факта, говорящего о том, что нелинейная детерминированная динамическая система при отсутствии в ней каких-либо случайных внешних возмущений может генерировать стохастические колебания, т.е. порождать динамический или детерминированный хаос. Такой хаос может возникать в ситуации, когда в фазовом пространстве динамической системы имеется ограниченная область, из которой траектории не уходят, и при этом они неустойчивы по Ляпунову. В силу неустойчивости сколь угодно близкие вначале траектории расходятся за конечный промежуток времени. Поэтому практически невозможно предсказать длительное поведение детерминированной нелинейной динамической системы, поскольку реально начальные условия задаются лишь с конечной степенью точности.

Сегодня, несмотря на значительные успехи, теория нелинейных динамических систем Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: УРСС, 2002. далека от завершения даже для конечномерных пространств. Известно, например, что хаос в нелинейных системах возникает при наличии в их фазовом пространстве гомоклинических (в общем случае - гиперболических) структур. Существующие критерии возникновения хаоса труднопроверяемы, поскольку требуют, например, определения условий взаимного пересечения устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий, и в общем случае отсутствуют. Поэтому актуальной остается задача разработки конструктивных критериев хаоса, которые были бы применимы для широкого класса нелинейных динамических систем.

В настоящее время, после открытия в 1964 г. первой модельной системы (системы Лоренца) с хаотическим поведением, известны многочисленные примеры систем с подобным поведением в различных областях физики, механики, гидродинамики, биологии (список можно продолжить) Лихтенберг А., Либерман Г. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984., в том числе в реакторных системах. Возникающий здесь круг вопросов в основном связан с устойчивостью поведения решений и возникновением динамического хаоса. Традиционно в теории устойчивости изучается асимптотическое поведение траекторий, лежащих вблизи уже известной (стационарной) траектории, или, как в теории ветвления, обнаружение и исследование решений, ответвляющихся от известного по мере изменения параметров задачи. Несмотря на обширные исследования, существующие трудности далеки от преодоления. Обычно исследуются на устойчивость решения, появляющиеся при первой бифуркации, если их удается получить. Очевидно, такой путь исследования задач гидродинамики имел в виду Л.Д. Ландау, высказавший гипотезу, что при возрастании параметра - числа Рейнольдса, усложнение (турбулизация) течения объясняется появлением все большего числа несоизмеримых периодов у решения. Можно принять и «физическую» точку зрения, восходящую к Э. Хопфу, О.А. Ладыженской и др. - решения диссипативных систем «забывают» свои начальные данные и формируются под действием постоянно и стационарно действующих факторов. В строгом математическом смысле это не так, потому что в детерминированной системе решение (глобальное или локальное) полностью определяется своими начальными и дополнительными данными, а также внешним воздействием (например, системой управления). Однако с течением времени решение может «далеко» уйти от этих данных и в этом смысле «забыть» их. В связи с этим возникает вопрос о той части фазового пространства, к которой притягиваются все решения, и динамике рассматриваемой системы на ней. Структура этого (компактного) притягивающего инвариантного множества (аттрактора) может быть весьма сложной, как и динамика на нем; другими словами, такое множество должно являться объектом исследования. Сложность изучения таких притягивающих множеств (аттракторов, квазиаттракторов) нелинейных динамических систем заключается в отсутствии законченной теории таких множеств (гиперболических множеств) не только для бесконечномерных, но даже для конечномерных динамических систем Песин Я.Б. Общая теория гладких гиперболических динамических систем. // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ. 1985. с.123-173.. Кроме того, не исключено (строго не установленный факт) появление так называемых «диких гиперболических множеств» (Ньюхаус) в составе притягивающих многообразий. Этот вопрос является дискуссионным и затрагивает другой, более важный: правильно ли мы определяем притягивающие множества и достаточно ли для описания динамики на них концепции грубости (типичности) Андронова-Понтрягина. Постановка и решение этих вопросов представляют несомненный, в том числе и самостоятельный интерес.

Для ряда нелинейных динамических систем наблюдается последовательность бифуркаций удвоения периода при изменении параметра от значений, при которых оно имеет лишь неподвижные точки, к значениям, при которых существует бесконечное множество периодических орбит. Эти каскады бифуркаций удвоения периода обладают богатой структурой (универсальность Фейгенбаума). Существуют свойства, ассоциированные с этими каскадами, которые универсальны в том смысле, что не зависят от выбора конкретной динамической системы. При этом весьма актуальной является задача установления механизма перехода к «хаосу» через бифуркации удвоения периода для конкретной распределенной модельной задачи переноса, который наблюдался экспериментально. Важно отметить, что для нелинейных распределенных динамических систем возможен пространственно-временнуй хаос, характеризующийся тем, что в процессе колебаний случайными оказываются не только временные реализации процесса, но и пространственные распределения поля (излучения, температуры). Такой режим пространственно-временнуго хаоса в теории нелинейных динамических систем имеет специальное название - диссипативные структуры. Этому режиму присуще соответствующее притягивающее множество (квазиаттрактор). В последние годы в исследовании структуры и свойств таких множеств на базе новых идей и понятий (инерциальные многообразия и инерциальные формы, параметры порядка, фрактальные множества и т.п.), а также основных положений (парадигм) синергетики достигнуты определенные успехи Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992., Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение. М.: Мир, 1988., Малинецкий Г.Г. Математические основы синергетики. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. Изд. 4-ое. Москва, УРСС. 2005.. Существенные достижения в разработке соответствующих методов и подходов для широкого класса нелинейных систем получили коллективы исследователей ИПМ им. М.В. Келдыша, РНЦ КИ, МГУ, МИФИ, ННГУ, СГУ и др., а также зарубежные исследователи П. Константин, К. Фойяш, Б. Николаенко, Р. Темам, Дж. Хейл со своими сотрудниками. Однако результаты исследований нелинейных распределенных моделей переноса и их различных приближений немногочисленны, а в части изучения инвариантных многообразий, структуры притягивающих множеств и сопутствующих вопросов публикаций еще меньше.

Анализ современного состояния теории нелинейного переноса на основе газокинетического уравнения с распределенными параметрами позволяет сформулировать как одну из важнейших проблем нелинейной динамики проблему разработки и создания теоретических методов анализа динамики и свойств решений модельных задач переноса. При решении этой проблемы на первый план выступают модельные задачи переноса в распределенных неоднородных средах, в основе которых лежат газокинетическое уравнение или многогрупповое диффузионное (Р1-) приближение.

Цель работы. Развитие и обоснование строгой математической теории нелинейных уравнений переноса, включающее следующие этапы исследования: перенос излучение нейтрон спектральный

Выбор математической модели (моделей) исследования, адекватно описывающей реальные физические процессы (на примере переноса излучения (нейтронов)) в распределенных нелинейных неоднородных и ограниченных средах.

Формулировка и доказательство теорем существования и единственности решений исходной нелинейной задачи, где перенос описывается газокинетическим уравнением, в некотором бесконечномерном функциональном пространстве.

Установление условий существования и свойств решений стационарной нелинейной задачи, отвечающей исходной системе, включая вопросы полноты собственных (корневых) векторов, устойчивости решений и существования точек бифуркации.

Обоснование метода линеаризации (первого метода Ляпунова) в задаче устойчивости стационарных и периодических решений исходной нелинейной задачи.

Анализ спектральных свойств линеаризованной задачи, нелинейным образом зависящей от спектрального параметра; исследование структуры спектра, его асимптотики и других важных спектральных свойств.

Доказательство обобщенной теоремы Смейла - Биркгофа (условий существования гомоклинической точки трансверсального пересечения инвариантных (локальных) многообразий (метод Мельникова)). Установление существования инвариантного гиперболического множества, топологически эквивалентного подсдвигу конечного типа (подкове Смейла) для исходной нелинейной задачи.

Установление условий существования инвариантных конечномерных множеств - инерциальных многообразий, исследование их свойств. Проверка спектрального условия (условия конуса) и доказательство существования конечномерных инерциальных многообразий для исходной нелинейной задачи.

Применение изложенных методов для более общих нелинейных динамических систем. Демонстрация вышеуказанного подхода на примере одной практической модельной задачи, в которой перенос описывается в многогрупповом диффузионном (Р1-) приближении.

Методы исследования. Для исследования использовался аппарат функционального анализа (теория полугрупп операторов, теория операторов, инвариантных относительно положительных конусов в банаховых пространствах, теория знакорегулярных (квазизнакорегулярных) операторов, спектральная теория самосопряженных и несамосопряженных операторов), топологические методы, аппарат теории нелинейных динамических систем (гиперболические множества, инвариантные притягивающие множества (аттракторы, квазиаттракторы) и инвариантные инерциальные многообразия), теория устойчивости и теория бифуркаций; использованы также результаты линейной теории переноса. В основе развитого подхода лежат принципы линеаризации и локализации, а также основные положения синергетики.

Научная новизна и практическая ценность работы:

- сформулированы условия существования глобального (сильного) решения и условия существования локального решения для исходной нелинейной распределенной системы уравнений в ограниченных средах, где перенос описывается многоскоростным газокинетическим (интегродифференциальным) уравнением или его многогрупповым диффузионным (Р1-) приближением; доказаны соответствующие теоремы существования (несуществования) глобальных решений в выбранном функциональном (фазовом) пространстве;

- исследованы свойства операторов и решений исходной нелинейной задачи, включая свойство положительности решений в некоторых банаховых пространствах с положительными конусами;

- сформулированы и доказаны теоремы существования и свойства решений нелинейной стационарной задачи, отвечающей исходной нелинейной задаче, включая свойства положительности и условия существования ведущего собственного значения;

- доказаны теоремы полноты собственных (корневых) векторов в общем случае; указаны условия существования базиса Рисса;

- установлено существование счетного множества простых вещественных собственных значений и отвечающих им собственных элементов из некоторых множеств конечномерных положительных конусов (конусов конечного ранга) в однородной среде;

- указана оценка спектрального зазора (расстояния между ведущим собственным значением и остальным спектром) и установлено, в каких случаях базисные функции являются чебышевскими (Т-системами), что позволяет применять чебышевские методы ускорения сходимости;

- показано существование счетного множества точек бифуркации в случае однородной среды; рассмотрены вопросы о количестве, характере и устойчивости решений на некотором инвариантном множестве;

- проведен анализ спектральных свойств линеаризованной задачи и установлен принцип линеаризации и спектр линеаризации (по В.И. Юдовичу) для исходной нелинейной задачи; установлены свойства гладкости нелинейной диссипативной полугруппы, разрешающей исходную задачу;

- сформулированы и доказаны теоремы о структуре спектра (точечного, непрерывного, существенного) операторного пучка (обобщенного пучка типа М.В. Келдыша), отвечающего линеаризованной задаче, где спектральный параметр нелинейным (дробно-рациональным и/или полиномиальным) образом входит в пучок; найдена асимптотика спектра задачи;

- доказана полнота корневых векторов (кратная полнота по М.В. Келдышу) и условия сходимости по ним в некотором функциональном пространстве; установлены условия существования (u0-положительность) ведущего собственного значения и отвечающего ему (единственного)элемента из положительного конуса;

- существенно уточнены спектральные свойства и асимптотические оценки в одномерной геометрии:

Минимальность, полнота и базисность системы корневых векторов;

Принадлежность операторного пучка классу вполне положительных операторов;

Существование счетного подмножества простых вещественных собственных значений и отвечающего ему множества собственных элементов, обладающих осцилляционными свойствами (ряды Маркова);

- установлены условия существования (обобщенный метод Мельникова) гомоклинической (гетероклинической) точки трансверсального пересечения (локальных) устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий для некоторого семейства абстрактных эволюционных уравнений (обобщенная теорема Биркгофа - Смейла); эти условия проверены для исходной нелинейной задачи; сформулировано утверждение: трансверсальная гомоклиническая (гетероклиническая) траектория порождает хаос («динамический реакторный хаос») в бесконечномерном фазовом пространстве;

- доказано существование инвариантного гиперболического множества, топологически эквивалентного подсдвигу конечного типа (канторова множества, топологически эквивалентного подкове Смейла);

- проведен анализ экспериментально наблюдавшегося перехода к «реакторному хаосу» через последовательность бифуркаций удвоения периода (универсальность Фейгенбаума) как общего свойства (модельных) нелинейных систем, приближающихся к гомоклиническому касанию устойчивого и неустойчивого многообразий некоторой периодической орбиты (неподвижной точки);

- установлены условия существования инвариантных экспоненциально притягивающих конечномерных многообразий - инерциальных многообразий для исходной нелинейной задачи с компактной (квазикомпактной) полугруппой и нормальным гиперболическим множеством;

- проведен анализ основных свойств инерциальных многообразий; сформулирован принцип сведения, проверено спектральное условие (условие конуса) и установлено существование k-мерного инерциального многообразия для исходной нелинейной задачи (гипотеза Э. Хопфа); сформулирован нелинейный динамический метод Галеркина;

- развитый подход распространен на семейства модельных задач, где перенос описывается в многогрупповом диффузионном (Р1-) приближении; соответствующие результаты получены для вышеуказанного семейства моделей; рассмотрены возможности применения вышеизложенного подхода для более сложных нелинейных модельных задач.

Проведенные в диссертационной работе исследования, предложенные подходы и полученные результаты позволили развить и обосновать строгую математическую теорию нелинейных уравнений переноса. Тем самым осуществлен важный этап в развитии нового направления теории переноса - нелинейной теории переноса. Кроме того, изложенные в работе методы и подходы представляют самостоятельный интерес для общей теории нелинейных динамических систем и вносят определенный вклад в общие представления синергетики. Материал диссертационной работы, будучи в первую очередь теоретическим исследованием, является основой для формулировки конкретных вычислительных алгоритмов и решения актуальных практических задач в соответствующих областях физики и техники. С другой стороны, полученные в работе результаты и поставленные вопросы могут являться основой для последующих исследований.

На защиту выносятся:

Качественный анализ свойств решений исходной нелинейной задачи, включая положительность решений в пространствах с положительными конусами и условия продолжимости (непродолжимости) решений. Доказательство условий существования по крайней мере одного стационарного положительного нетривиального решения нелинейной стационарной задачи, отвечающей исходной нелинейной задаче.

Анализ полноты корневых векторов стационарной (условно-критической) задачи; базисность системы корневых векторов и условия сходимости разложений; некоторые тонкие свойства спектра в случае одномерной геометрии - знакорегулярность, существование счетного множества простых вещественных собственных значений; конструктивная оценка спектрального зазора, обоснование чебышевских методов ускорения сходимости вычислительных алгоритмов.

Обоснование метода линеаризации применительно к задаче устойчивости стационарных (периодических) решений исходной нелинейной задачи. Исследование структуры спектра линеаризованной задачи; метод исследования операторного пучка с нелинейным вхождением спектрального параметра; теоремы полноты (кратной полноты по М.В. Келдышу) корневых векторов и условий сходимости; условия существования в спектре ведущего (крайне правого) собственного значения и оценка спектрального зазора. Спектральные свойства и асимптотические оценки для собственных значений и элементов в случае однородной среды.

Условия существования гомоклинической точки трансверсального пересечения (локальных) устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий (обобщенная теорема Смейла - Биркгофа); существование инвариантного гиперболического множества, топологически эквивалентного подсдвигу конечного типа для исходной нелинейной задачи. Доказательство существования инвариантных экспоненциально притягивающих конечномерных многообразий - инерциальных многообразий; свойства инерциальных многообразий: липшицева непрерывность, экспоненциальная дихотомия, устойчивость и неустойчивость компактных инвариантных множеств.

Результаты по п.п. (1-4) для модельной нелинейной задачи, где перенос описывается в многогрупповом диффузионном (Р1-) приближении.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы отражены в 42 публикациях.

Результаты исследований, изложенные в диссертации, по мере их получения докладывались на семинарах в следующих организациях: «ГНЦ РФ - Научно-исследовательский институт атомных реакторов»; ГНЦ РФ - Физико-энергетический институт им. академика А.И. Лейпунского; Московском инженерно-физическом институте (кафедра прикладной математики, кафедра «Ядерные реакторы и энергетические установки»); Всероссийском научно-исследовательском институте по эксплуатации атомных электростанций; Научно-исследовательском и конструкторском институте энерготехники им. академика Н.А.Доллежаля; Научно-исследовательском технологическом институте им. академика А.П.Александрова; Институте прикладной математики им. академика М.В. Келдыша; Санкт-Петербургском техническом университете; Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН; Ульяновском государственном университете; Ульяновском государственном техническом университете; Новосибирском государственном университете; Институте математики СО РАН; Факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих научных форумах:

XXXIV ежегодная научно-техническая конференция МИФИ. Москва, 1988 г.

Третья Международная научная конференция Ядерного Общества России. С.-Петербург, Россия, 1992 г.

7-ой Европейский Симпозиум по моделированию (ESS'95), Эрланген - Нюрнберг, Германия, 1995 г.

12-ая Международная конференция по моделированию (SI'95), Феникс, Аризона, США, 1995 г.

Международный семинар «Days on Diffraction», С.-Петербург, 2005 -2008 г.г.

10-е Харитоновские чтения.г. Саров, 2008 г.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 8 глав, 29 параграфов, заключения и 3 приложений, а также содержит 12 рисунков и 498 библиографических ссылок. Общий объем диссертации 372 страницы.

Основное содержание работы

Введение содержит обзор работ по методам нелинейной динамики и нелинейной теории переноса излучения и вещества, выделены возникающие здесь узловые вопросы. Во введении обоснована актуальность диссертации, определен предмет и цели исследований, приведено краткое описание содержания диссертации по главам.

В главе 1 «Нелинейная нестационарная система уравнений переноса» дана постановка задачи для общей нелинейной модели переноса излучения в размножающих распределенных средах. В рамках рассматриваемой модели определены основные операторы и установлены их свойства, для чего приведены необходимые сведения из теории операторов в банаховых пространствах (параграф 1 и Приложение 1).

В параграфе 2 представлена математическая модель (семейство моделей), в рамках которой функция распределения излучения (нейтронов) удовлетворяет газокинетическому уравнению переноса, ядерно-физические характеристики которого функционально зависят от температуры среды; температура среды в свою очередь подчиняется уравнению, записанному в общем виде, так что все встречающиеся на практике варианты являются его частным случаем Крянев А.В., Шихов С.Б. Вопросы математической теории реакторов: Нелинейный анализ. М.: Энергоатомиздат, 1983.:

(1)

начальные и граничные условия:

(2)

(3)

Здесь коэффициенты и ядра даются выражениями:

(4)

Функции , характеризуются макроскопическими нейтронными сечениями; р - тип взаимодействия излучения (нейтронов) с ядрами l-го нуклида, входящего в состав среды.

Система (1) - (3) описывает эволюцию во времени пространственно - энергетического (скоростного) распределения плотности излучения (нейтронов) , пространственного распределения М групп запаздывающего излучения (нейтронов) , и температуры среды в некотором (мультиплицирующем) объеме G с границей . Температура отсчитывается от температуры окружающей среды; по физическому смыслу задачи . Далее предполагается, что соответствует состоянию системы с .

Заметим, что операторное уравнение для температуры в системе (1) записано в достаточно общем виде, позволяющем охватить практически все случаи переноса тепла в размножающих и замедляющих средах. Конкретизация линейного, вообще говоря, неограниченного оператора соответствует конкретизации способа и характера переноса тепла в различных частях объема G; конкретизация нелинейного оператора соответствует конкретизации характера выделения тепла (энерговыделения) в процессе деления ядер делящихся материалов и (или) других актов выделения тепла.

В качестве примера конкретизации нелинейного оператора можно принять, что (см. (4))

(5)

Простым, но важным примером конкретизации линейного неограниченного оператора можно считать оператор теплопроводности (типа диффузионного)

(6)

Более сложный пример конкретизации оператора доставляет распределенная активная среда, состоящая из технологических каналов, в которых тепло выделяется в результате процесса деления ядерного топлива. В то же время система технологических каналов охлаждается с помощью жидкого теплоносителя, который прокачивается через активную среду в пространстве между тепловыделяющими элементами12. Отметим, что в определение линейного оператора с областью определения D() входят краевые условия на Г типа (6); они могут быть более сложными.

Система (1) - (3) представляет собой наиболее общее семейство моделей описания переноса излучения (нейтронов) и температурных распределений в неоднородных размножающих средах.

Далее предполагаются выполненными следующие условия относительно областей G, V, а также коэффициентов и ядер системы (1) - (3), которые не носят ограничительного характера.

Условие 1. Пусть - ограниченная выпуклая область в трехмерном евклидовом пространстве Е3 с границей - внешняя нормаль к Г в точке - ограниченная область, причем для всех . Область G может быть разбита на (N+1) подобластей Gi поверхностями Гi, i=1,…,N, являющимися поверхностями Ляпунова, гомеоморфными сфере и не пересекающимися между собой и Г.

Условие 2. Функции ; , представляют из себя неотрицательные измеримые в соответствующих областях определения функции, удовлетворяющие следующим условиям ограниченности и суммируемости:

При функции , где . Функция .

Пусть Е1, Е2 - банаховы пространства с нормами , соответственно; - оператор, действующий из Е1 в Е2. Множества линейных замкнутых, ограниченных и вполне непрерывных операторов обозначим через и , соответственно.

Относительно операторов , входящих в выражения (4), далее используется одно из следующих предположений.

Условие А. Нелинейные операторы , , имеют производные Фреше , липшицево непрерывные по Т, так что для всех . При любых фиксированных значениях являются ограниченными измеримыми в функциями и справедлива равномерная по оценка

(7)

причем хотя бы для одного .

Условие В. Операторы , представимы в виде:

(8)

где функции удовлетворяют неравенству (7); - зависящие от линейные над функционалы, такие, что

(9)

- измеримые в области функции с оценкой почти всюду в , и неотрицательные почти всюду на множестве , p=s,f.

В параграфе 3 определено пространство как прямая сумма соболевских пространств функций f(x), определенных на Gi и имеющих две производные на , суммируемых с квадратом. Норма в определяется как ; здесь производные понимаются в смысле обобщенных функций. Пространство очевидным образом гильбертово, а из теорем вложения следует, что ; здесь - пространство непрерывных вместе с k-ой производной функций в G; .

Пусть , Ei - банаховы пространства с конусами . Оператор называется положительным, если . Замкнутое множество называется конусом, если , и по крайней мере один из элементов х или -х не принадлежит . Конус является нормальным и воспроизводящим Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962..

Пусть оператор , порождает С0-полугруппу . Для положительности полугруппы , т.е. , достаточно, чтобы резольвента для достаточно больших л.

Лемма 1. Замкнутый линейный неограниченный оператор системы (1) обладает следующими свойствами: (1) ; (2) уравнение однозначно разрешимо в ; (3) существует положительный обратный оператор ; (4) оператор положительно определен, т.е. , ; - скалярное произведение в гильбертовом пространстве .

Далее для определенности воспользуемся реализацией (6) оператора . Введем оператор диффузии с областью определения , состоящей из множества функций , для которых выполнено граничное условие из (6) и условия сопряжения на поверхностях Гi, i=1,…,N:

(10)

здесь - производная по конормали к поверхности Гi в точке х; - внешняя по отношению к Gi нормаль к Гi, i=1,…,N.

Введем в гильбертовом пространстве функций f(x), квадратично суммируемых на G с весом б(х), линейный оператор с областью определения , состоящей из множества функций , удовлетворяющих граничному условию из (6) и условиям сопряжения (10). Установлена

Лемма 2. Линейный оператор обладает следующими свойствами: (1) ; (2) уравнение однозначно разрешимо в ; (3) спектр оператора состоит из счетного множества изолированных точек , точечного спектра , расположенного на вещественной оси. В спектре существует ведущее собственное значение , которому отвечает единственная (с точностью до нормы) собственная функция , такая, что ; (4) существует , для которой справедлива оценка . При этом оператор положителен ; (5) оператор является производящим оператором С0-полугруппы положительных сжимающих операторов , для которых справедлива оценка

(11)

Введем в операторы

 (12)

здесь Т(х) - некоторая фиксированная функция из . Свойства оператора хорошо изучены2,3. С помощью оценки (7) установлено, что для любой фиксированной функции оператор из (12) обладает аналогичными свойствами.

Лемма 3. Пусть выполнены Условия 1,2,А. Тогда для любой фиксированной функции справедливы следующие утверждения: (1) ; (2) уравнение однозначно разрешимо в ; (3) существует оператор , положительный относительно конуса ; (4) спектр пуст; справедлива равномерная по оценка

(5) оператор является производящим оператором положительной -полугруппы .

Введем операторы:

(13)

Лемма 4. Пусть выполнены Условия 1,2,А и - фиксированная функция. Тогда: (i)  ; (ii) ; ; ; (iii)  (iv) если для какого-нибудь , то операторы -положительны, ; (v)  и совпадает с ведущим собственным значением оператора (здесь - спектральный радиус оператора ). При этом можно считать, что равномерно по справедлива оценка . Оператор - любая фиксированная функция, обладает следующими свойствами: (а) ; (в) .

Введем в рассмотрение следующие линейные операторы:

(14)

Из свойств коэффициентов и ядер системы (1)-(3) установлена

Лемма 5. Пусть выполнены Условия 1,2,А. Тогда фиксированных, операторы p=s,f; .

С помощью Условия А найдено, что линейные операторы (14) являются производными Фреше в точке от нелинейных операторов , соответственно.

Аналогичные утверждения справедливы при выполнении Условия В.

В главе 2 «Теоремы о существовании решений» установлены соответствующие теоремы о существовании сильных решений исходной задачи (1) - (3) при выполнении Условия 1,2,А и Условия 1,2,В, соответственно. Установлены условия продолжимости и непродолжимости решений задачи (1) - (3) на всей временнуй оси.

Для этого введено в рассмотрение гильбертово пространство вектор-функций с обычным определением нормы и скалярного произведения:

;

Конус неотрицательных в вектор-функций обозначен через ; он является воспроизводящим и нормальным13.

Тогда исходную систему (1)-(3) запишем в виде абстрактной задачи Коши (АЗК)

. (15)

Здесь - линейный оператор с ; ; - нелинейный оператор вида:

(16)

В случае конкретизации (6) оператора в (15) он заменяется на оператор .

Под решением АЗК (15) на отрезке понимается вектор-функция , удовлетворяющая уравнению (15) на .

В параграфе 2 установлены важные свойства операторов и в Условиях 1,2,А и 1,2,В. В частности, в Условиях 1,2,А установлено: (i) оператор является производящим оператором С0-полугруппы сжимающих положительных операторов ; (ii) нелинейный оператор ограничен и имеет сильно непрерывную производную Фреше по Ф с оценками Липшица в каждом шаре :

 (17)

С помощью этих свойств и теоремы о продолжении АЗК в банаховом пространстве доказана теорема о существовании сильного глобального решения задачи (1) - (3) (АЗК (15)) . Более того, в Условиях 1,2,А установлена устойчивость решения задачи (1) - (3) по возмущению коэффициентов и начальных условий системы, т.е. смешанная задача для системы (1) - (3) поставлена корректно.

В параграфе 3 АЗК (15) исследована в Условиях 1, 2, В и установлено, что в отличие от предыдущего глобальное решение уже может не существовать. Такое решение называется непродолжимым в отличие от локального, которое существует на компакте [0,h] и может быть продолжено на более широкий интервал. Не исключается возможность того, что уход на бесконечность решения задачи (1) - (3) по норме может происходить за счет ухудшения дифференциальных свойств (по пространственным переменным), и норма решения может оставаться конечной. Показано, что для задачи (1)-(3) такой сценарий невозможен.

Содержание параграфа 1 главы 2 составляют необходимые общие сведения о продолжимости решений АЗК типа (15) в банаховом пространстве.

В главе 3 «Качественные свойства решения нелинейной задачи» при некоторых дополнительных предположениях о характере ядерно-физических и начальных данных установлены интересные и полезные свойства задачи (1) - (3).

Содержание параграфа 1 составляют результаты о положительности АЗК (15), полученные на основе обобщения известных теорем сравнения Сабаев Е.Ф. Системы сравнения для нелинейных дифференциальных уравнений и их приложения в динамике реакторов. М.: Атомиздат, 1980.. В параграфе 2 данной главы рассмотрен важный вопрос о положительности решений задачи (1) - (3). В частности, указаны требования на коэффициенты и начальные данные задачи (1) - (3), при которых наблюдается положительность решений исходной задачи (АЗК (15)) для случая справедливости Условия А. Аналогичные результаты о положительности получены при выполнении Условия В, в частности, когда операторы , линейны по температуре. Отметим, что указанные результаты не требуют монотонности операторов сдвига по траекториям системы и поэтому легко проверяемы на практике.

Содержание параграфа 3 составляет рассмотрение вопроса о несуществовании глобального решения задачи (1) - (3) при выполнении Условия В. В частности, опираясь на свойство положительности решения Ф(t) АЗК (15) установлено, что решение уходит на бесконечность по норме пространства Н за конечное время (имеет «взрывной» характер) в условиях положительной обратной связи; дана оценка времени ухода через параметры задачи (1) - (3).

Заметим, что предлагаемый подход является достаточно общим и применим для широкого класса нелинейных (диссипативных) систем эволюционного типа с распределенными параметрами.

Глава 4 «Стационарная нелинейная задача» посвящена рассмотрению свойств нелинейной стационарной задачи, отвечающей системе (1) - (3):

(18)

Параметр в системе (18) соответствует «эффективному коэффициенту размножения kэф», который используется в практических расчетах размножающих систем1,3. Отметим, что указанный способ введения спектрального параметра является типичным, но не единственным. Все определяется удобством исследования возникающей при этом спектральной задачи.

С помощью установленных в леммах 1-4 свойств входящих в систему (18) операторов удобно записать ее в следующем виде:

(19)

В параграфе 1 главы 4 для задачи (19), рассматриваемой в пространстве вектор-функций , установлено, что эта задача при выполнении Условий 1,2,А имеет малые по норме в Н положительные (в соответствующем конусном пространстве ) решения при , если функционал , или при , если . В соответствии с леммой 5 знак функционала определяется характером температурной связи по сечениям процессов,

Здесь , определяются из решения линейной в задачи

(20)

и им отвечает простое собственное значение ; - собственная функция линейной краевой задачи отвечающая при ; здесь - скалярное произведение. Аналогичные результаты получены при выполнении Условия В. Случай требует отдельного рассмотрения.

В параграфе 2 главы 4 продолжено рассмотрение нелинейной системы (18) и эквивалентного ей нелинейного операторного уравнения

(21)

здесь - ограниченный, положительный, вполне (квазивполне) непрерывный оператор, дифференцируемый по Фреше, причем . Очевидно, что уравнение (21) имеет тривиальное решение при всех л, поскольку . Поэтому при исследовании вопроса о существовании ненулевых решений уравнения (21) полезно ввести понятие точки бифуркации13.

Число называется точкой бифуркации уравнения (21) (оператора ), если любому е>0 соответствует такое л, , при котором уравнение (21) имеет по крайней мере одно ненулевое решение , причем . Отсюда и из результатов М.А. Красносельского следует, что каждое нечетнократное (в частности, простое) собственное значение оператора является точкой бифуркации оператора (21). В частности, - точка бифуркации операторного уравнения (21).

Параграф 3 главы 4 посвящен установлению существования у задачи (19) (системы (18)) условно-непрерывной ветви полусобственных векторов.

Решение задачи (19) называется полусобственным вектором оператора , если . Соответствующее этому решению значение называется полусобственным. Говорят, что полусобственные векторы оператора образуют условно-непрерывную ветвь длины , если для границы любого открытого в множества из шара , существует такой полусобственный вектор оператора , что . Если R - любое число, то говорят, что ветвь имеет бесконечную длину.

Установлено, что при выполнении Условий 1,2,А относительно коэффициентов и ядер задачи (1) - (3) отвечающая ей нелинейная стационарная система (18) имеет условно непрерывную ветвь полусобственных векторов бесконечной длины.

Содержание параграфа 4 главы 4 посвящено существованию стационарных решений исходной задачи (1) - (3). Вопрос о существовании нетривиальных стационарных решений задачи (1) - (3) сводится к вопросу о существовании неподвижных точек оператора в конусе . При выполнении Условий 1,2,А задача (1) - (3) имеет по крайней мере одно положительное стационарное решение ; при этом отсутствуют требования монотонности макроскопических сечений процессов. Полученные здесь результаты говорят о том, что если задача (1) - (3) удовлетворяет Условиям 1,2,В, то система, охваченная положительной температурной обратной связью, может работать на любом стационарном уровне мощности.

Затронутые в §4 вопросы тесно связаны с вопросами устойчивости стационарного решения задачи (1) - (3) , чему посвящен параграф 5 главы 4. Из многочисленных определений устойчивости в общей теории устойчивости систем с распределенными параметрами рассмотрена устойчивость по норме, более удобная для нашей задачи. Стационарное решение задачи (1) - (3) (АЗК (15)) называется устойчивым (по Ляпунову), если по любому наперед заданному е>0 можно указать д>0 такое, что для любых решение Ф(t) задачи (1) - (3) (АЗК (15)) остается в шаре , если в начальный момент . Если, кроме того,

для любых , (22)

то стационарное решение задачи (1)-(3) называется асимптотически устойчивым. Стационарное решение задачи (1)-(3) (АЗК (15)) называется устойчивым в большом (в области ), если оно устойчиво и условие (22) выполняется для всех начальных возмущений , таких, что . Область в этом случае называется областью притяжения (аттрактором) стационарного решения .

Установлено, что если выполнены Условия 1,2,А и полугруппа , отрицательного типа, , то область притяжения к непуста и содержит некоторый шар в Н, а стационарное решение задачи (1) - (3) существует и устойчиво асимптотически; здесь - линеаризованный в окрестности стационарного решения АЗК (15) оператор.

Свойство оператора порождать С0-полугруппу тесно связано со структурой и свойствами спектра оператора ; этому важному вопросу посвящена глава 6.

В главе 5 «Свойства оператора нелинейной стационарной задачи» продолжено исследование свойств оператора стационарной задачи (18) для ряда практически важных моделей теории переноса. В частности, для несамосопряженной условно-критической задачи второго рода (20) получен важный результат о полноте корневых векторов. Другая серия результатов позволяет уточнить и обобщить результаты главы 4. Оказывается, можно выделить новый класс линейных положительных операторов, который естественным образом возникает при спектральном анализе некоторых задач теории переноса. С его помощью установлен ряд важных свойств решений задачи (20), например, принадлежность к системам типа чебышевской (Т-системам), свойство не повышения числа перемен знака, что весьма важно с точки зрения построения эффективных вычислительных алгоритмов, методов ускорения сходимости и других прикладных вопросов.

Параграф 1 главы 5 посвящен установлению полноты корневых векторов условно-критической задачи второго рода, т.е. для оператора . А именно, с помощью классической теоремы М.В. Келдыша Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965. при выполнении Условий 1,2,А (1,2,В) доказана полнота системы корневых векторов оператора (линейной в Н0 операторной задачи (20)) в области ; спектр оператора (задачи (20)) в области является счетным, точечным, с предельными точками на прямой . Более того, при выполнении Условия 1,2,А в точечном спектре оператора существует положительный собственный элемент и отвечающее ему простое собственное значение i=1,2,…, такие, что . Других собственных элементов, принадлежащих собственным значениям из , оператор не имеет.

Если же выполнен принцип детального равновесия для ядра и условие четности для него, то система корневых векторов оператора (задачи (20)) в области будет составлять некоторый базис Рисса в .

Интересно отметить, что в рассматриваемой постановке задачи оператор трактуется как возмущение (в смысле М.В. Келдыша) самосопряженного оператора вполне непрерывным оператором . С этой точки зрения физической причиной, порождающей существование положительного решения задачи (20), следует признать особые свойства мультиплицирующей среды .

Установленные результаты позволяют строить и реализовывать эффективные численные алгоритмы решения рассматриваемых задач. Прежде всего это относится к нахождению ведущего собственного значения - центральной задаче математической теории переноса, и связанной с ней задачей оценки спектрального зазора . Установленная базисность (по Риссу) системы корневых векторов задачи позволяет успешно применять эффективные методы ускорения сходимости, в частности, чебышевские методы ускорения сходимости.

Оказывается, что в ряде частных случаев, например, в однородной среде, спектральные результаты §1 можно существенно уточнить, чему посвящен параграф 2 главы 5. Поскольку постановка задачи носит общий характер, рассмотрена абстрактная задача на собственные значения в банаховом пространстве Е с конусом

(23)

причем и . Здесь - производная по конусу оператора , , где - некоторый абстрактный аналог условно-критической задачи (18).

В главе 4 установлено, что если и u0 - положителен (это так, например, в Условиях 1,2,А), то задача (23) имеет единственное простое позитивное полусобственное значение , которому отвечает единственный положительный полусобственный элемент . Очевидно, что в общем случае возможны другие полусобственные значения в спектре оператора , которые также могут являться точками бифуркации задачи . Для исследования этого случая при малых по норме в считаем справедливым представление13

; (24)

здесь - однородный оператор порядка , т.е. ; - оператор более высокого порядка по сравнению с , т.е. при .

Хорошо известно Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. М.-Л.: Гостехиздат, 1950., что в ряде случаев в точечном спектре оператора можно установить существование счетного (конечного) множества простых вещественных собственных значений с соответствующими собственными функциями, которые в общем случае не являются положительными, т.е. . Известны классы линейных положительных операторов, для которых устанавливается наличие не одного, а целой группы ведущих собственных значений. Один из таких классов образуют знакорегулярные (осцилляционные, квазизнакорегулярные) операторы16, для анализа которых применяется теория конусов.

В параграфе 2 главы 5 установлены тонкие результаты о детальном поведении решений задачи , {классу вполне положительных (ВП), осцилляционных операторов} в окрестности точек бифуркации и в условиях (24) в зависимости от знака функционала , ; -собственный элемент, которому отвечает собственное значение оператора . Основным результатом здесь является появление нового класса решений - инвариантного множества , такого, что ;впервые для задач теории переноса оно было введено автором, близкие результаты для задач эллиптического типа получены Matano.

Если при каких-то , то вопрос о количестве и характере решений задачи на множествах , зависит от вида оператора более высокого порядка малости, нежели чем в представлении (24), и проводится по той же схеме с введением функционала катастрофы первого порядка. Тем самым, продолжая процесс, решаем проблему существования и количества стационарных решений эволюционного уравнения с оператором .

В параграфе 3 главы 5 изложены общие результаты о точках бифуркации для бифуркационного уравнения общего вида

, , (25)

полезные для нас далее, которые имеют также самостоятельный интерес. Здесь: - линейный замкнутый неограниченный оператор; - линейный оператор Фредгольма, - изолированное собственное значение оператора ; - нелинейное отображение, и - окрестность нуля в Е; л - спектральный параметр; - множество всех непрерывно дифференцируемых по Фреше (по u и л) отображений. Нас интересуют нетривиальные решения бифуркационного уравнения (25). Сводка основных результатов о спектре замкнутого оператора представлена в Приложении 1.

Известны две основные серии результатов, относящихся к проблеме бифуркации (не обязательно для уравнения вида (25))13: (1) при соответствующих условиях всегда возникает бифуркация, если кратность собственного значения оператора нечетна (такой подход реализован выше в параграфе 2 главы 5); (2) ничего не предполагается относительно кратности , но предполагается, что оператор есть градиентный (потенциальный) оператор. При установлении этих двух серий результатов не подчеркивалась связь между ними.

В параграфе 3 главы 5 установлено, что обе серии результатов являются специальными случаями более общего геометрического принципа, а именно: если определенное касательное векторное поле, зависящее от , на единичной сфере в , имеет нуль, то возникает бифуркация; здесь - обобщенное нуль-пространство оператора . Интересно, что эта связь исчезает явно при .

Изложенные в §3 результаты применены для рассмотрения нелинейной стационарной задачи (18), отвечающей исходной системе (1) - (3). Введение спектрального параметра л можно осуществлять технически различными способами (но разумными в рамках физического содержания рассматриваемой задачи). Выбор того или иного подхода определяется возникающими сложностями технического характера, иногда трудно преодолимыми. Предлагаемый подход продемонстрирован на двух достаточно простых примерах в §4; показано, что один из них приводит к более простому техническому анализу нелинейной (по л) задачи. При рассмотрении более сложных спектральных задач, например, с полиномиальным и (или) дробно-рациональным вхождением параметра л, отличие в различных подходах может быть весьма существенным и в результате может приводить к успешному анализу, что продемонстрировано в главе 6.

...