Абсолютное и относительное движение точки

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача С1

Дано: ; Н; Н; ; ; м.

Рассмотрим равновесие рамы. Рама находится под действием активных сил , и пары сил с моментом м. Проведем оси xy, начало координат совместим с точкой A.

Отбросим связи и заменим на действие реакциями связей. Реакцию неподвижного цилиндрического шарнира A разложим на две составляющие и по осям координатам. Реакцию цилиндрического шарнира В направим вдоль невесомого стержня ВВ1. Теперь раму можно рассчитывать как свободное тело, находящееся в равновесии под действием заданных сил и реакций связей. Неизвестными являются три силы: , и . Система сил, приложенных к раме, является плоской произвольной системой сил. Аналитические условия равновесия имеют вид:

; ; .

При составлении уравнения моментов в качестве центра выбрана точка А, где пересекаются линии действия двух искомых сил и .

Поскольку количество уравнений равно числу неизвестных задачи, то данная задача является статически определимой. При вычислении алгебраических моментов сил и относительно точки А воспользуемся теоремой Вариньона:

,

Модули составляющих сил:

Н

Н

Н

Н

Запишем уравнения равновесия:

, (1)

, (2)

, (3)

из (3)

,

, Н

из (2)

, Н

из (1)

, Н

Для проверки полученных результатов составим уравнение моментов относительно точки B.

, Н

,

Решение задачи является правильным.



Задача С2

Дано: кН; кН; ; ; кН; ; м; ;

Для определения искомых реакций связей рассмотрим равновесие плиты. Плита находится под действием силы тяжести , приложенной в ее центре тяжести о - в точке пересечения диагональной плиты, сил и , пары сил с моментом м. Введем декартову систему координатам AXYZ. Отбросим связи и заменим их действие реакциями связей: реакцию неподвижного сферического шарнира А разложим на три составляющие , и , направленные по заданным осям декартовых координат, реакцию цилиндрического шарнира B - на две составляющие , в плоскости перпендикулярно оси шарнира: реакцию шарнира С направим вдоль невесомого стержня . Тогда плиту можно рассматривать как свободное тело, находящиеся в равновесии под действием заданных сил и искомых реакций связей , , , и .

Система сил, приложенных к плите, является пространственной системой сил. В этом случае аналитические условия равновесия имеют вид:

, ,

, ,

, .

Поскольку количество уравнений равно числу искомых реакций связей, данная задача является статически определимой.

Силу , лежащую в плоскости XZ разложим на две составляющие: , параллельную оси X и , параллельную оси Y, модули которых:

, кН

, кН.

Вектор направленный в пространстве вдоль стержня , разложим на две составляющие , , параллельные осям X и Z. Их величины выразим через искомое значение усилия в стержне :

Запишем уравнение равновесия для рассматриваемой задачи:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

из (5)

кН

кН, кН

из (6)

кН

из (1)

кН

Нужно изменить направление реакции на противоположное.

из (2)

кН

из (4)

кН

из (3)

Сделаем проверку. Проведем оси и и вычислим сумму моментов сил относительно этих осей:

,

,

Реакции найдены верно.



Задача К3

Дано: м; м; м; м; ; ; ; ; ; .

Определить: , , .

Изобразим механизм в заданном положении, соблюдая заданные углы и размеры звеньев в масштабе М 1:20. Звено О1А совершаем вращательное движение. Зная угловую скорость звена О1А, определим скорость точки А:

м/с

Вектор направляем перпендикулярно звену 1 в сторону его вращения. Звено АВ совершаем плоскопараллельное движение. Точка В принадлежит одновременно этому звену и ползуну, движущемуся в горизонтальных направляющих. Направление скоростей и двух точек звена 2 известны. Мгновенный центр скоростей (МЦС) звена - точка находится на пересечении перпендикуляров, приведенные к векторам скоростей и . Скорости точек пропорциональны их расстояниям до МСЦ и связаны соотношением:

м/с

?, ?,

. , тогда

м/с.

Направление угловой скорости определим по направлению вектора скорости точки А. Звено ВЕ совершает плоскопараллельное движение. Скорость точки Е звена 3 можно определить, используя теорему о проекциях скоростей двух точек. Скорость точки Е направлена перпендикулярно звену 4. Проекции скоростей двух точек на прямую, их соединяющую (на прямую ВЕ), равны между собой:

откуда м/с.



Задача К4

Дано: ; см; см; .

Определить: , .

Точка М совершает сложное движение, поскольку она одновременно участвует в двух движениях: В относительном движении по диагонали пластины и в переносном вращении вместе с пластиной вокруг неподвижной оси OZ. Через точку M проведем оси координат MXY. Ось OZ перпендикулярна плоскости пластины.

Абсолютная скорость точки.

Найдем положение точки М на траектории относительного движения в момент времени :

см

Относительная скорость точки М:

см/c

В момент времени

см/c

Вектор направлен по диагонали пластины от точки М к вершине В. При переносном вращении вместе с пластиной точка М описывает окружность радиуса ОМ в перпендикулярной оси ОZ плоскости с центром в точке О. Величина переносной скорости определяется как скорость тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:

, , , см

По теореме Пифагора:

см

см

Вектор направим перпендикулярно радиусу ОМ в сторону переносного вращения. Проецируем векторное равенство на оси X и Y:



см/с

см/с

Модуль абсолютной скорости при

см/с

Абсолютное ускорение точки:

см/с

Траекторией относительного движения является прямая и

см/с2

При

см/с2

Направление векторов и противоположны.

Угловое ускорение переносного вращения:

, т. к

Следовательно, см/с2

Вектор направлен к центру окружности О.

Кориолисово ускорение

Модуль кориолисова ускорения

- угол между векторами и равен 90о,

Получим см/с2

Направление вектора найдем, повернув вектор на 90о в направлении переносного вращения (в направлении ). Проектируем обе части векторного равенства на оси OX и OY:

см/с2

см/с2

Значение в момент времени

см/с2



Задача Д5

Дано: ; ; ; м;

Определить: , .

Поскольку лыжник на каждом участке движется под действием разных сил, его движение будем на каждом участке рассматривать отдельно лыжника принимаем за материальную точку.

Участок АВ.

Траекторией движения на этом участке является прямая B начальный момент лыжник находится в точке А.

Начальные условия:

, ,



в точке B:

, ,

Запишем дифференциальные уравнения движения материальной точки в естественных осях. Проекция на касательную ось:

или

Проекция на прямую ось:

или

(для прямолинейной траектории радиус кривизны )

Сила трения:

Из второго уравнения:



Получим:

Это дифференциальное уравнения описывает движение лыжника на участке АВ.

Проинтегрируем уравнение методом разделения переменных:

Используя начальные условия, находим, что , .

Для точки B имеем:

(1)

(2)

Участок ВС.

Уравнение движения будем составлять для декартовых координат.

В начале движения лыжник находится в точке В, при этом:

,

,

В конце движения материальная точка находилась в точке С, причем:

, ,

,

,

Запишем дифференциальные уравнения движения точки:



Уравнения движения лыжника на участке ВС:

при

Исключим из уравнений время Т:

Подставим Т во второе уравнение:

Скорость лыжника в точке В:



м/с

движение скорость направление относительный

Время движения лыжника на участке ВС:

Тогда

м/с

м

Проекции скорости на оси координат при

м/с

м/с

Скорость лыжника в точке С:

м/с



Задача Д6

Дано: м; м; м; м; кг; ; кг; ; кг; ; ; Н

Определить: .

Равенство, выражающее теорему об изменении кинетической энергии механической системы, имеет вид:

где Т и То - кинематическая энергия системы в начальном и конечном положениях;

и - суммарные работы внутренних и внешних сил, приложенных к системе, при ее переходе из первого положения во второе.

Согласно условию, система начинает движение из состояния покоя, поэтому То=0. Кроме того, поскольку тела, образующие систему, абсолютно твердые и нити не растягиваются, то .

Таким образом,

Кинетическая энергия системы:

Шкив 1 вращается с угловой скоростью , следовательно:

Момент инерции шкива 1 относительно оси проходящей через точку О1 , определяется по формуле:

(масса шкива равномерно распределена по внешнему ободу)

Угловая скорость шкива

Кинетическая энергия груза 3, движущегося поступательно:

Угловая скорость невесомого шкива 2:



Кинетическая энергия катка 5, совершающего плоское движение, определяется по формуле:

Линейная скорость центра масс С5 катка:

Угловая скорость катка (т. к - МЦС катка 5)

Момент инерции катка относительно оси, проходящей через центр С5

Итак

Окончательно

Найдем сумму работ всех действующих внешних сил при том перемещении, которое будет иметь система, когда точка С5 пройдет путь S. Все перемещения выразим через величину S, для чего учтем, что зависимости между перемещениями будут такими же, как и между соответствующими скоростями.

Угол поворота шкива 2:

Перемещение груза 3

Сила трения скольжения, действующая на груз 3, находится по формуле Кулона

Нормальная реакция плоскости

Тогда

Работа силы



Дж

Работа силы тяжести

Дж

Работа момента сопротивления

Дж

Работа силы трения скольжения

Дж

Работы остальных сил равны нулю, т. к. нормальная реакция и сила трения приложены к МЦС катка 5, нормальная реакция и сила тяжести перпендикулярны перемещению S3, реакция оси шкива и сила тяжести и приложены к неподвижной точке О1.

Итак.

Дж

Приравняем выражения для кинетической энергии и суммы работ внешних сил:

Откуда скорость груза 3

м/с

Задача Д7

Дано: ; м; кг; кг; м; м; м; ;

Рассмотрим движение механической системы, состоящей из вала АК, невесомого стержня 1 с точечной массой и стержня 2. Проведем вращающиеся вместе с валом оси AXY. На систему действуют внешние силы: силы тяжести , , составляющие , реакции подшипника и реакцию подшипники.

Согласно принципу Даламбера, присоединим к этим силам силы инерции элементов стержня и груза, считая груз материальной точкой. Так как вал вращается равномерно , то его элементы имеют только нормальные ускорения , направленные x оси вращения, а силы инерции , где - масса элемента, - расстояние элемента от оси. Силы инерции направлены от оси вращения. Поскольку все пропорциональны , то эпюра параллельных сил образует треугольник и их можно заменить равнодействующей , линия действия которой приходит через центр тяжести треугольника, т.е. расстояния Н от вершины О, где

Равнодействующая любой системы сил равна ее главному вектору, а численно главный вектор сил инерции стержня:

где - ускорение центра масс стержня

В результате получим

Н

Аналогично для силы инерции груза найдем, что она тоже направлена от оси вращения, а численно:

Н

По принципу Даламбера приложенные внешние силы и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составим для этой плоской системы три уравнения равновесия:

, (1)

, (2)

, (3)

из уравнения (3)

Н

из уравнения (1)

Н

из уравнения (2)

Н

Задача Д3

Дано: ; м; кг; кг; ; м;

Запишем равенство, выражающее теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно оси вращения z:



где - кинетический момент механической системы.

- главный момент внешних сил, приложенных к системе, относительно оси z.

Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести , , реакции и подлятника и подшипника и вращающий момент M. Силы , , параллельны оси z, а реакции и эту ось пересекают и моменты этих сил относительно z равны нулю.

Тогда

Будем иметь

Умножая обе части этого уравнения на и интегрируя получим:

Для рассматриваемой механической системы:

где и - кинетические моменты относительно оси z платформы и груза Д соответственно.

Поскольку платформа вращается вокруг оси z, то

Момент инерции тела относительно оси , параллельной оси z и проходящей через центр масс C тела, определяется по формуле:

В нашем случае

По теореме гитейнера:

Тогда

Для определения рассмотрим движение груза как сложное, считая его движение по отношению к платформе относительным, а вращение платформы вокруг оси z - переносным движением:

Тогда

По теореме Вариньона



Относительная скорость

, м/с

Переносная скорость

По теореме Пифагора

, м

Получим

Следовательно

Постоянную интегрирования С1 определим по начальным условиям: при t=0

значит

Искомая зависимость угловой скорости платформы от времени:

, с-1

Размещено на Allbest.ru

...