Применение комплексных чисел
Понятие комплексных чисел. Особенности их применение в решении задачи по нахождению тока в цепи с последовательным соединением резистора, конденсатора и катушки индуктивности. Определение величины результирующей силы с помощью комплексного метода.
Рубрика | Физика и энергетика |
Вид | статья |
Язык | русский |
Дата добавления | 12.01.2018 |
Размер файла | 124,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Аннотация
ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
А.О. Толстошеин, Дальневосточный федеральный университет, г. Владивосток.
В данной статье рассматривается понятие комплексных чисел, их применение в электротехнике и механике. Рассмотрена теоретическая часть, приведен и разобран пример.
Ключевые слова: комплексные числа, применение, электротехника, закон Ома, закон Кирхгофа, механика.
Во время прохождения курса высшей математики мы часто сталкиваемся с таким понятием как комплексные числа. Но что же это такое и где они применяются? В данной статье попробуем найти ответ на этот вопрос.
В давние времена ученые столкнулись с такой вещью как мнимая единица i=, это случилось когда стало недоставать действительного числа, при решении, казалось бы, простого квадратного уравнения:
,
где "p" и "q" являются числами действительными. На первый взгляд это уравнение довольно-таки простое, но при его решении, т.е. вычислении его корней по всем известным в те времена формулам, ученые до века XVI сталкивались с проблемой отрицательного корня. При всем этом, не кому не удавалось объяснить есть ли смысл придавать значение данному выражению, и поэтому решили, что корень из числа отрицательного смысла не имеет. И по сей день при прохождении школьной программы, которая не дает представление о комплексных числах, принято говорить, что при отрицательном корне, решением является ни положительное, ни отрицательное числа и даже ни нуль.
Но вскоре, уже при решении кубического уравнения отказываться от отрицательного значения корня было нельзя. Более 400 лет тому назад несколько итальянских математиков все-таки нашли способ как можно решить уравнения третей степени. Одним из тех математиков был Джироламо Кардано, в его честь и назван этот способ, изложил способ в 1543 году в своем учебнике. Этот способ сводится к тому, что корни уравнения:
,
могут быть вычислены по формуле, также названной в его честь формулой Кардано:
,
.
Все было довольно просто, если бы не одно "но", а именно, что при наличии в решении трех различных действительных корней формула не может дать желаемого результата. Это можно доказать на простом примере: корнями уравнения являются числа 0,1,-1,но если попытаться решить данное уравнение вышеизложенным методом, то мы получим следующее: , но же нужно сделать, чтобы извлечь из этого выражения три необходимых нам корня?
После этого математики взялись за данную проблему и приступили к изучению так называемых мнимых чисел. После их изучения было обнаружен весьма приятный факт: многие сложные задачи математик решаются в разы проще, если при их решении применять мнимые числа. Впоследствии К.Ф. Гаусс внес предложение называть мнимые числа комплексными, что впоследствии стало привычным делом.
Даже Ф. Энгельс говорил: "И все же является во многих случаях необходимым результатом правильных математических операций, более того, что было бы с математикой, как низшей, так и высшей, если бы ей было запрещено оперировать с ".
Теперь, когда мы знаем, что такое комплексные числа, мы можем разобрать их применение в различных дисциплинах.
Начнем с того как применяются комплексные числа в электротехнике.
Описание электромагнитных процессов в цепях переменного тока сводится к решению множества интегралов, а решение их становится столь сложным, что взять их не под силу даже опытным математикам. При расчете простых цепей, которые содержат достаточно небольшое число источников, контуров, индуктивных связей, чаще всего используется тригонометрический метод решения, но с усложнением электрической цепи данная форма расчета является весьма сложной для нахождения результата. В этой ситуации на помощь приходят комплексные числа.
Комплексное число - это число вида
=x+iy,
где x, y - действительные числа, i-мнимая единица. Изображается на комплексной плоскости точкой, где ось абсцисс - действительная, ось ординат - мнимая.
Комплексные числа могут быть записаны в двух формах: алгебраической и показательной -
= x+iy и
=z·.
соответственно. Для перехода из одной формы в другую пользуются формулами:
z=,
ц =arctg,
где z - модуль комплексного числа, ц - аргумент.
Рассмотрим на примере применение комплексного метода в электротехнике. Для этого решим задачу по нахождению тока, в цепи с последовательным соединением, в общем виде.
Последовательное соединение элементов R, L, C.
В данной ситуации заданными для нас параметрами являются R, L, С и синусоидальное напряжение:
u= Umsin(щt+ ц)
на цепи, искомой величиной является ток:
i= Imsin(щt+ ц-).
Рис. 1. Схема последовательного соединения элементов электрической цепи
Пусть наше синусоидальное напряжение символизируется комплексной функцией , а синусоидальный ток, который нам необходимо найти, комплексной функцией ; комплексные амплитуды напряжения и тока равны, соответственно
=,
=.
Записав уравнение Кирхгофа для нашей цепи, мы получим:
u=Ri+L+?idt.
Сложение, дифференцирование и интегрирование функций в уравнении (9) заменяются теми же математическими операциями над мнимыми частями комплексных функций:
Im() = RIm(+LIm(+?Im(dt.
Операции над мнимыми частями комплексных функций могут быть заменены операциями над самими комплексными функциями с последующим выделением мнимой части полученного результата. Тогда, исходя из этого, мы получим:
Im() = Im(R+L+?dt).
Полученное уравнение удовлетворяется для любого момента времени. Отсюда, произведя дифференцирование и интегрирование получим:
= R+jL+.
Вынесем ток за скобки и введем условное обозначение полного комплексного сопротивления цепи: комплексное число применение
Z = R+ jL+ = R+j(L-) =R+jX
и получим выражение:
Z,
которое излагает закон Ома для комплексных амплитуд.
Разделив обе части на этого уравнения , мы получим закон Ома для комплексных действующих значений:
=Z.
Из этого выражения следует, что значение комплексного сопротивления есть:
Z=.
Запишем комплексное сопротивление Z в тригонометрической и показательной формах:
Z=z cosц+jz
sinц и Z=
соответственно, где z- модуль комплексного числа Z - представляет собой полное сопротивление цепи, а - аргумент комплексного числа Z. Найдем z и по формулам:
z= и
ц =arctg.
На основании закона Ома для комплексных амплитуд комплексная амплитуда тока:
=
где - начальная фаза тока
Из этого следует, что искомый ток будет иметь вид:
i=Im(= sin(щt+ ц-).
Вот мы и рассмотрели один из способов применения комплексных чисел. Но также они применяются не только в электротехнике.
Разберем применение комплексных чисел в механике. Для этого решим задачу, в которой нужно найти величину и направление результирующей силы.
Условие: Сила A, fa=15Р45,--сила B,--fb=10Р6_,--сила C, fc=15Р12_
Рис. 2. Направление векторов сил
Дня начала найдем величину результирующей силы с помощью комплексного метода:
fa+fb+fc=15Р45+10Р6_+15Р12_---это одна из форм записи комплексных чисел.
Отсюда результирующая сила равна:
15(cos45+jsin45)+10(cos6_+jsin6_)+15(cos12_+jsin12_)=
=(10.606+j10.606)+(5+j8.66)+(-7.5+j12.99)=8.106+j32.256.
Величина результирующей силы есть =33.26Н.
Направление результирующей силы будет .
Таким образом, на простейшем примере, мы увидели, как помогают комплексные числа при решении задач в механике.
В заключение хотелось бы сказать, что комплексные числа в настоящее время используют для решения задач, связанных с самолетостроением и аэромеханикой, а также используются для расчета различных конструкций на прочность. Это говорит о том, что актуальность их с каждым годом возрастает. Также, с помощью комплексных чисел можно решать на первый взгляд не решаемые задачи, что мы и рассмотрели в ходе работы.
Список литературы
1. Атабеков Г.И. Линейные электрические цепи [Текст]; М-во высш. образования СССР. Моск. ордена Ленина авиац. ин-т им. Серго Орджоникидзе. - М.: Оборонгиз, 1957. - 80-84 с.: черт.; 23 см. - 20000 экз.
2. Балк М.Б., Балк Г.Д., Полухин А.А. "Реальные применения мнимых чисел" // изд. "Радянська школа", 1988 г. - 5-16 с.
3. Берд Дж. Инженерная математика. Карманный справочник. М.: Додэка-ХХI, 2008. - 266 - 269 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Влияние величины индуктивности катушки на электрические параметры цепи однофазного синусоидального напряжения, содержащей последовательно соединенные катушки индуктивности и конденсатор. Опытное определение условий возникновения резонанса напряжений.
лабораторная работа [105,2 K], добавлен 22.11.2010Метод комплексных амплитуд. Напряжение на активном сопротивлении. Применение комплексных величин для расчётов цепей переменного тока. Отношение комплексной амплитуды напряжения к амплитуде силы тока. Определение комплексного сопротивления участка цепи.
реферат [280,7 K], добавлен 20.03.2016Исследование характера изменений параметров электрической цепи. Составление компьютерной схемы. Построение графиков при изменении величины активного сопротивления и индуктивности катушки. Исследование при изменении величины активного сопротивления.
лабораторная работа [733,7 K], добавлен 11.01.2014Изучение электрических цепей, содержащих катушку индуктивности. Определение зависимости величины индуктивности от магнитной проницаемости сердечника. Измерение магнитной индуктивности катушки в электрической цепи с сопротивлением и источником тока.
лабораторная работа [24,1 K], добавлен 10.06.2019Величины, характеризующие синусоидальные ток. Мгновенное значение величины. Диапазон частот, применяемых на практике синусоидальных токов и напряжений. Явление электромагнитной индукции. Закон Джоуля-Ленца, формула Эйлера. Модули комплексных чисел.
презентация [966,7 K], добавлен 25.07.2013Практическая проверка и определение физических явлений, происходящих в цепи переменного тока при последовательном соединении резистора, индуктивной катушки и конденсатора. Получение резонанса напряжений, построение по опытным данным векторной диаграммы.
лабораторная работа [32,3 K], добавлен 12.01.2010Задачи на расчет электрической цепи синусоидального тока с последовательным и смешанным соединением приемников. Определение токов в линейных и нейтральных проводах; полная, активная и реактивная мощность каждой фазы и всей цепи. Векторная диаграмма.
контрольная работа [152,2 K], добавлен 22.12.2010Изучение резонансных явлений в последовательном контуре на электронной модели в пакете Multisim. Вычисление значения скорости резистора, емкости конденсатора и индуктивности катушки. Нахождение теоретического и практического импеданса электрической цепи.
лабораторная работа [1,8 M], добавлен 27.12.2014Параметры синусоидальных токов. Алгебра комплексных чисел и законы цепей в символической форме. Фазовые соотношения между напряжением и током. Векторные и топографические диаграммы, передача мощности от активного двухполюсника в цепи синусоидального тока.
реферат [1,3 M], добавлен 24.11.2010Классический метод расчёта и анализ цепи до коммутации. Режим постоянного тока и сопротивление индуктивности. Анализ установившегося процесса в цепи после коммутации. Определение постоянных интегрированием и нахождение собственных чисел матрицы.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 11.03.2012Единицы измерения электрического тока. Закон Ома и электрическое сопротивление. Применение Закона Ома при расчетах электрических цепей. Применение анализа цепи к модели мембраны. Свойства конденсатора в электрической цепи. Понятие электрической емкости.
реферат [1,3 M], добавлен 06.11.2009Определение тягового усилия электромагнита. Расчет неразветвленной магнитной цепи. Вычисление тока в катушке, необходимого для создания заданного магнитного потока в воздушном зазоре магнитной цепи. Определение индуктивности катушки электромагнита.
презентация [716,0 K], добавлен 22.09.2013Применение метода междуузлового напряжения при анализе многоконтурной электрической схемы, имеющей два потенциальных узла. Нелинейные электрические цепи постоянного тока. Цепи с параллельным, последовательно-параллельным соединением резистивных элементов.
презентация [1,8 M], добавлен 25.07.2013Поверочный расчет катушки электромагнита постоянного тока на нагрев. Построение схемы замещения магнитной цепи. Магнитные проводимости рабочих и нерабочих воздушных зазоров, проводимость потока рассеяния. Определение намагничивающей силы катушки магнита.
контрольная работа [413,9 K], добавлен 20.09.2014Применение метода комплексных амплитуд к расчёту цепей гармонического тока, особенности построения векторных диаграмм. Расчет методом контурных токов мгновенного значения токов в ветвях, проверка баланса мощностей, векторной диаграммы токов и напряжений.
курсовая работа [160,3 K], добавлен 19.12.2009Порядок определения степени проводимости электрической цепи по закону Кирхгофа. Комплекс действующего напряжения. Векторная диаграмма данной схемы. Активные, реактивные и полные проводимости цепи. Сущность законов Кирхгофа для цепей синусоидального тока.
контрольная работа [144,6 K], добавлен 25.10.2010Определение силы взаимодействия двух точечных тел. Расчет напряженности электрического поля плоского конденсатора при известных показателях площади его пластины и величины заряда. Нахождение напряжения на зажимах цепи по показателям сопротивления и тока.
контрольная работа [375,3 K], добавлен 06.06.2011Упорядоченное движение электронов в металлическом проводнике. Цепь постоянного тока. Зависимость силы тока от напряжения. Перемещение единичного положительного заряда по цепи постоянного тока. Применение закона Ома для неоднородного участка цепи.
реферат [168,3 K], добавлен 02.12.2010Изучение процессов в электрической однофазной цепи с параллельным соединением приемников, содержащих индуктивные и емкостные элементы, при различном соотношении их параметров. Опытное определение условий достижения в данной цепи явления резонанса тока.
лабораторная работа [104,7 K], добавлен 22.11.2010Особенности измерения силы тока в цепи с помощью амперметра. Методика расчета силы тока в неразветвленной части электрической цепи по первому закону Кирхгофа, проверка его правильности. Анализ абсолютной и относительной погрешностей параметров цепи.
лабораторная работа [155,4 K], добавлен 12.01.2010