Математическое моделирование колебаний биологических тканей, насыщенных жидкостью

Аналогично исследована модель мягких тканей голени в низкочастотном диапазоне, когда движением костных структур можно пренебречь. Результаты имитационного моделирования подтверждают значительную зависимость вибрационных характеристик от вязкости ткани. При малых значениях вязкости на графиках АЧХ наблюдается большое количество резонансных пиков, что характерно для высокодобротных объемных структур с низким модулем Юнга. При постепенном увеличении диссипации происходит значительное демпфирование вынужденных колебаний с падением амплитуды на высоких частотах, что соответствует характеру вязкого трения. Сравнение численных результатов с экспериментальными данными подтверждает соответствие упругих модулей и вязкости материалов компьютерной модели диапазону значений механических характеристик живых тканей.

Уточненные значения вязкоупругих характеристик тканей включены в полную модель голени и исследованы колебания большеберцовой кости под действием поперечной силы, изменяющейся по гармоническому закону. Первые резонансные частоты, наблюдаемые на АЧХ (рис. 5), соответствуют основным изгибным формам большеберцовой кости преимущественно в двух физиологических плоскостях (рис. 6). При этом малоберцовая кость совершает синфазное или противофазное движение, а мягкие ткани вносят дополнительный вклад в пространственные формы колебаний полной модели голени.

Рис.5

Пятая б)

С помощью разработанного измерительного оборудования проведена дополнительная проверка модели путем сравнения рассчитанных резонансных частот и форм колебаний кости с собственными частотами и формами затухающих колебаний. Последние совместно с диссипативными характеристиками были определены в результате математической обработки затухающего сигнала, измеренного в трех точках поверхности голени, с помощью целевой функции, описывающей отклонение экспериментальных значений ускорений от приближенных решений:

(30)

где - количество датчиков, положение которых заданно продольной координатой ; - число моментов времени , в которые происходит регистрация сигнала; , - компоненты измеряемого сигнала.

Анализ результатов проведенного эксперимента достоверно подтверждает наличие трех основных частот колебаний диссипативной системы, лежащих в диапазоне расчетных значений резонансных частот. Полученный вид основных форм колебаний хорошо соответствует расчетным данным для модели со свободными граничными условиями.

В заключение были решены две модельные задачи, имеющих практическое биомедицинское приложение. Во-первых, была решена задача, моделирующая процесс вибрационной стимуляции костной ткани. Показано, что на резонансных режимах максимальных значений достигают как компоненты вектора перемещений, так и давление и компоненты вектора потока внутритканевой жидкости. Это особенно заметно на частоте 325..330 Гц в Пятая глава диссертации посвящена разработке конечно-элементного алгоритма расчета колебаний пороупругого анизотропного тела.

На основе универсального математического подхода в виде метода взвешенных невязок построены вариационные уравнения, описывающие краевую задачу поровязкоупругости (12). Затем с помощью процедуры конечно-элементной дискретизации непрерывные интегральные соотношения преобразованы в алгебраические уравнения относительно глобальных векторов перемещений и давлений. среднем сечении голени в точках вблизи фронтальной плоскости, что связано с расположением главной плоскости соответствующей формы колебаний.

Как следует из численного анализа, частотные зависимости потока существенно зависят от расположения исследуемой зоны компактного вещества как вдоль продольной оси, так и в плоскости самого сечения. При этом резонансные частоты могут существенно сдвигаться. Данный факт необходимо учитывать при разработке методов и устройств вибрационной стимуляции с тем, чтобы воздействие имело направленный и эффективный характер. Пример пространственного распределения амплитуд потоков, соответствующих основной форме на 330 Гц, в компактном веществе кости показан на рис. 7.

торая практическая задача моделирует динамические свойства большеберцовой кости при увеличении пористости, что может быть использовано при разработке вибрационных методов диагностики остеопороза. Проведена оценка, что увеличение пористости на 0.1 приводит к уменьшению массы кости примерно на 3.9 %. В результате расчета показано, что имеет место повышение амплитуд колебаний во всем диапазоне частот с максимальным возрастанием в зонах Составные устолкиващие влияет и выводы

резонанса. Изменение амплитуды колебаний доходит до 20 %. Кроме этого имеет место снижение резонансных частот и повышение общего уровня диссипации в системе. Наиболее заметен данный эффект на старшей резонансной частоте 305 Гц, смещение которой составило около 10 %. Рассмотренные изменения динамических характеристик большеберцовой кости могут служить диагностическими признаками, позволяющими численно оценить развитие остеопороза в костной ткани.

а) б)

Рис. 7. Распределение поперечной (а) и продольной составляющих амплитуд потоков внутритканевой жидкости в компактном веществе большеберцовой кости на резонансной частоте 330 Гц (MechanicsFE)

В заключении приведены основные выводы диссертационной работы.

В ходе работы достигнуты следующие основополагающие результаты:

1. Развита теоия эффективной пороупругости в части математического описания динамики и вынужденных колебаний пористых упругих структур, насыщенных жидкостью или газом, как анизотропной сплошной среды с дополнительными степенями свободы, характеризующими относительное движение флюида в порах гетерогенного материала. В общем тензорном виде получены системы дифференциальных уравнений динамики пороупругой анизотропной среды в переменных «перемещение скелетона - давление жидкости» («u-p»), учитывающие основные виды взаимодействия фаз материала.

2. Получены новые уравнения, описывающие динамику пороупругой среды с учетом вязкости жидкой и твердой фаз гетерогенного материала, в переменных «перемещение скелетона - перемещение жидкости» («u-w»). Установлена взаимосвязь между «u-p» и «u-w» формулировками.

3. Разработан единый математический подход описания динамического напряженно-деформированного состояния структур из гетерогенных материалов, обладающих двойной связанной системой пор, заполненной флюидом. Получены новые уравнения, описывающие материалы с двойной системой пор в виде анизотропной сплошной среды со сложными внутренними свойствами и дополнительными степенями свободы.

4. На основе полученных уравнений динамики пороупругого тела и определяющих соотношений эффективной среды в «u-p» переменных разработаны математические модели основных твердых и мягких биологических тканей, образующих костные и мышечные структуры опорно-двигательного аппарата человека, как анизотропных сплошных сред с дополнительными степенями свободы, характеризующими движение внутритканевой жидкости.

5. На основе методов микромеханики и дифференциального метода самосогласования разработаны алгоритм и программный модуль для расчета эффективных характеристик пороупругой анизотропной среды в дренированном и недренированном состояниях при изменении пористости от нуля до единицы. Имеется возможность пересчета пороупругих характеристик ср'ды в недренированном состоянии в соответствующие «дренированные» параметры, что требуется для формулировки задачи в «u-p» переменных. Теоретически рассчитаны эффективные материальные характеристики тканей на основе модели трансверсально-изотропного тела.

6. Получены теоретические следствия из построенных соотношений линейной пороупругости в виде уравнений, описывающих вынужденные продольные и поперечные колебания стержня под действием гармонической силы. Проведен подробный параметрический анализ новых уравнений динамики пороупругого стержня и установлены закономерности поведения пороупругих систем при варьировании ключевых параметров математической модели.

7. На основе общего метода взвешенных невязок разработаны конечно-элементные алгоритмы решения систем дифференциальных уравнений, описывающих вынужденные пространственные колебания пороупругого трехмерного тела под действием гармонической силы, в «u-p» и «u-w» переменных. Численный алгоритм решения задачи пороупругости в виде «u-p» формулировки реализован в авторском программном вычислительном комплексе MechanicsFE. Комплекс имеет существенные отличия от известных коммерческих универсальных конечно-элементных комплексов, в которых либо отсутствует возможность пороупругого расчета, либо анализ ограничен квазистатическими задачами без учета вязкости, что не позволяет исследовать резонансные режимы колебательных процессов в пороупругих системах.

8. На основе построенных математических моделей биологических тканей и вычислительного комплекса MechanicsFE разработана система имитационного моделирования в виде конечно-элементной модели голени человека, включающая большую и малую берцовые кости с внутренней структурой, окружающие мышцы, ахиллово сухожилие, соединительные ткани, кожный покров. Методом имитационного моделирования проведен анализ модели и уточнены значения вязкости тканей, образующих модель голени.

9. С помощью системы имитационного моделирования и вычислительного эксперимента рассмотрены актуальные биомедицинские проблемы вибрационной стимуляции и диагностики костных структур опорно-двигательного аппарата. Решенные задачи выявили новые закономерности в движении внутритканевой жидкости в системе пор костного вещества и взаимосвязь вибрационных потоков жидкости с динамическими характеристиками колебаний кости. Проведенное моделирование позволяет оценить влияние механического стимула на ростовые процессы, происходящие в живой костной ткани, и подтверждает гипотезу о биологической эффективности резонансных режимов колебаний.

10. Разработаны математический метод и алгоритм интерпретации результатов натурных экспериментов по колебаниям большеберцовой кости.

деформированный биологический жидкость ткань

Основные публикации по теме работы

Маслов Л.Б. Математическое моделирование колебаний пороупругих систем [Текст]: монография / Л.Б. Маслов. - Иваново: ПресСто, 2010. - 264 с.

Маслов Л.Б. Численное моделирование вибрационных потоков жидкости в системе пор большеберцовой кости [Текст] / Л.Б. Маслов, Д.Г. Арсеньев, А.В. Зинковский // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. - 2009. - Вып. 3. - С. 119-126.

Маслов Л.Б. Численный анализ вынужденных колебаний пороупругой модели лопатки газовой турбины [Текст] / Л.Б. Маслов, И.А. Белов // Теплоэнергетика. - 2010. - № 8. - С. 49-53.

Маслов Л.Б. Пороупругая модель колебаний твердых биологических тканей при гармоническом воздействии [Текст] / Л.Б. Маслов // Вестник ИГЭУ. - 2009. - № 3. - С. 51-53.

Маслов Л.Б. Исследование резонансных свойств биологических объектов в нормальных физиологических условиях [Текст] / Л.Б. Маслов, И.А. Белов, А.А. Лебедева // Вестник ИГЭУ. - 2009. - № 3. - С. 32-34.

Арсеньев Д.Г. Эффективные упругие характеристики анизотропной модели пористого биологического материала, насыщенного жидкостью [Текст] / Д.Г. Арсеньев, А.В. Зинковский, Л.Б. Маслов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2008. - № 3 (59). - С. 230-236.

Арсеньев Д.Г. Математическое моделирование вынужденных колебаний длинных трубчатых костей голени человека методами механики гетерогенных сред [Текст] / Д.Г. Арсеньев, А.В. Зинковский, Л.Б. Маслов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2008. - № 2 (54). - С. 273-280.

Маслов Л.Б. Разработка реалистичных моделей упругих элементов опорно-двигательного аппарата человека [Текст] / Л.Б. Маслов, Н.А. Сабанеев // Вестник ИГЭУ. - 2008. - № 3. - С. 31-35.

Смирнов Д.С. Исследование резонансных свойств мягких упругих тканей голени методами вибрационной диагностики [Текст] / Д.С. Смирнов, Л.Б. Маслов, В.И. Шапин, Н.А. Сабанеев // Вестник ИГЭУ. - 2006. - № 3. - С. 12-18.

Маслов Л.Б. Применение вибрационных неразрушающих методов диагностики в ортопедии [Текст] / Л.Б Маслов, В.И. Шапин, Д.С. Смирнов, С.Е. Львов, Е.В. Блескин // Российский журнал биомеханики. - 2006. - Том 10. - № 1. - С. 15-29.

Маслов Л.Б. Алгоритм численного анализа биологических тканей на основе модели двухфазной среды [Текст] / Л.Б Маслов // Вестник ИГЭУ. - 2005. - № 3. - С. 62-70.

Маслов Л.Б. Применение теории Био к исследованию вынужденных колебаний пористых структур [Текст] / Л.Б. Маслов // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2005. - Том 11. - № 2. - С. 276-297.

Зинковский А.В. Применение теории пороупругости к анализу колебаний биологических структур [Текст] / А.В. Зинковский, Л.Б. Маслов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2005. - № 1(39). - С. 166-173.

Зинковский А.В., Резонансные свойства биологических тканей голени [Текст] / А.В. Зинковский, Л.Б. Маслов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2003. - № 4 (34). - С. 83-88.

Маслов Л.Б. Исследование собственных и вынужденных колебаний пороупругого тела [Текст] / Л.Б. Маслов // Вестник ИГЭУ. - 2003. - № 6. - С. 110-115.

Ликсонов Д.В. Оптимизация механических свойств бедренного компонента композитного эндопротеза тазобедренного сустава [Текст] / Д.В. Ликсонов, Л.Б. Маслов, Т. Баррьер, Н. Будо, Ж.К. Желен // Вестник ИГЭУ. - 2003. - № 1. - С. 98-101.

Маслов Л.Б. Резонансные свойства большеберцовой кости в неповрежденном состоянии и с устройствами внешней фиксации [Текст] / Л.Б. Маслов // Российский журнал биомеханики. - 2003. - Том 7. - № 2. - С.20-34.

Маслов Л.Б. Конечно-элементный программный комплекс “МЕХАНИКА” - приложение в инженерном деле и биомеханике [Текст] / Л.Б. Маслов, М.В. Козлов // Вестник ИГЭУ. - 2002. - № 2. - С. 23-28.

Maslov L.B. Vibromechanical diagnostic criteria for the achilles tendon acute tears [Текст] / L.B. Maslov, V.I. Shapin // Russian J. of Biomechics. - 2000. - № 4(1). - P. 62-70.

Маслов Л.Б. Применение численного моделирования для определения диагностических признаков свежего разрыва ахиллова сухожилия [Текст] / Л.Б. Маслов, С.В. Русских, В.И. Шапин, С.Е. Львов // Российский журнал биомеханики. - 1999. - № 2. - С. 88.

Maslov L.B. Computer simulation of the biomechanical system composed of tibia and external fixative apparatus [Текст] / L.B. Maslov, F. Gouriou // Acta of Bioengineering and Biomechanics. - 2002. - V. 4. - № Suppl. 1. - P. 759-760.

Программная система конечно-элементного анализа пороупругих механических конструкций MechanicsFE [Текст]: прогр. ЭВМ 2009616004 Рос. Федерация / Маслов Л.Б.; заявитель и правообладатель Маслов Л.Б. - № 2009614823; заяв. 04.09.09; зарег. в Реестре программ для ЭВМ 29.10.09; опубл. 20.03.10, RU ОБПБТ № 1(70). - 1 с.

Устройство для моделирования вибрационных резонансных характеристик при исследовании чрескостного остеосинтеза большеберцовой кости в эксперименте [Текст]: полезн. модель 19361 Рос. Федерация / Блескин Е.В., Шапин В.И., Маслов Л.Б., Львов С.Е., Вихрев С.В.; заявитель и правообладатель Ив. гос. мед. академия. - № 2001103342/20; заявл. 08.02.01; опубл. 27.08.01, Бюл. № 24. - 1 с.

Anthropomorphic robot [Текст]: patent 7303031 United States / Maslov L., Son Y., Kwak J.-Y.; appl. and assignee Samsung Electronics Co. - № 11/092747; filed 30.03.05; publ. 04.12.07. - 20 p.

Foot structure for humanoid robot and robot with the same [Текст]: patent 7650203 United States / Maslov L., Son Y., Kwak J.-Y.; appl. and assignee Samsung Electronics Co. - № 11/024815; filed 30.12.04; publ. 19.01.10. - 22 p.

Маслов Л.Б. Конечно-элементное моделирование в биомеханике [Текст] / Л.Б. Маслов, В.А. Пальмов // Математические модели и компьютерное моделирование в биомеханике: учеб. пособие / под ред. А.В. Зинковского и В.А. Пальмова. - СПб.: Политехн. ун-т, 2004. - С. 299-324.

Маслов Л.Б. Биомеханические характеристики нижней конечности человека [Текст] / Л.Б. Маслов, Д.В. Ликсонов // Математические модели и компьютерное моделирование в биомеханике: учеб. пособие / под ред. А.В. Зинковского и В.А. Пальмова. - СПб.: Политехн. ун-т, 2004. - С. 385-438.

Размещено на Allbest.ru