Диссипативные структуры и нестационарные процессы в межфазной гидродинамике

Количественные измерения амплитуды волн производились при помощи лазерно-оптического датчика перемещений «OMRON» модели ZX-LD30V, соединенного при помощи интерфейсного блока с COM портом персонального компьютера. Оптический датчик перемещений располагался на высоте 2,5-3,5 см над волновой поверхностью жидкости на стальной пластине, прикрепленной к двухкоординатному столику, который позволял перемещать датчик в двух перпендикулярных направлениях горизонтальной плоскости, и фиксировать положение датчика с точностью до 10 микрон. Для опроса датчика использовалось программное обеспечение «SmartMonitor»; возможности программы позволяли опрашивать датчик с частотой 100 Гц, что позволило получить полную информацию о поведении любой точки волнового фронта жидкости. Явление неслияния для последующего анализа фиксировалось видеокамерой и цифровым фотоаппаратом.

Эксперимент происходил следующим образом: после установления на вольтметре эмпирически подобранного оптимального для работы напряжения, равного 32,29 В, в среднюю дорожку кюветы при помощи шприца наливалось 18 см3 изопропилового спирта. При помощи двухкоординатного столика лазерно-оптический датчик устанавливали так, что его падающий сканирующий луч попадал в один из двух максимумов (находящийся на расстоянии 2,5 мм от внутренней стенки кюветы) волнового профиля. Далее, с помощью программного обеспечения, в течение 20 секунд происходил опрос датчика. За это время в компьютер поступало 2000 значений амплитуды. Обрабатывая данные, получали единственное значение амплитуды волн в максимуме для данной частоты вибраций. Затем частоту генератора изменяли, и измерения повторялись вновь. Ввиду частичного испарения изопропилового спирта необходимо было контролировать толщину слоя. В результате были получены амплитуды капиллярных волн как функции частоты генератора для диапазона частот от 19 до 50 Гц, с шагом 10 Гц, и для диапазона частот от 22 до 22,6 Гц, с шагом 0,1 Гц. Основная часть экспериментов была направлена на регистрацию критического напряжения подаваемого сигнала, при котором капля не коагулировала с общим объемом жидкости. Также были поставлены задачи исследования зависимости частоты вращения и размера капли от времени существования, и исследования поведения капли на волновой поверхности в зависимости от объема наливаемой жидкости.

Анализ результатов проведенных экспериментов содержит вывод, что одной из причин неслияния капли с жидкостью кюветы может быть всасывание воздуха в зазор между ними. Найден также критический диаметр капли, равный 3,9 мм, при котором происходит эффект коагуляции капли с общим объемом жидкости.

Экспериментальная кювета представляла собой склеенный из стеклянных пластинок куб с длиной ребра 7,5 см. Кювета заполнялась исследуемой жидкостью заподлицо с краями. В процессе опытов в жидкость вставлялась укреплённая сбоку на шарнире стеклянная пластинка, которая позволяла менять угол наклона «дна» и «глубину» кюветы.

Рис. 3

Эксперимент проходил следующим образом. Высокоскоростная видеокамера настраивалась на скорость съёмки в 1000 кадров за секунду и фокусировалась на область подготовленной заранее капли. Затем, к моменту выдавливания капли, включались прожектор и видеокамера. Весь эксперимент продолжался не более 5 секунд. Из полученного фильма вырезались около сотни фотокадров, на которых зафиксировано столкновение капли с жидкостью и выброс струйки (рис. 3). Для выяснения вопроса, отдаёт ли капля при ударе часть своей массы внешней жидкости, были поставлены специальные эксперименты с подкрашенными жидкостями. Опыты показали, что обмена не происходит: при падении подкрашенной капли воды на чистую воду возникает подкрашенные «султан» и капелька-лидер, а жидкость в кювете остаётся прозрачной; наоборот, выброшенная вверх из подкрашенной воды в кювете чистая капелька остаётся прозрачной.

Теоретическое исследования явления кумуляции, в частности объяснению эффекта наклона струи в сторону «берега». При ударе о свободную поверхность жидкости капля прогибает её, что приводит к увеличению поверхностной энергии. В соответствии с принципом Гиббса система сразу начинает восстанавливать своё равновесное состояние с минимальной энергией и схлопывает образовавшуюся полость, выбрасывая каплю вместе с «султаном» вверх. Если при этом будет сказываться влияние наклонного дна, то образовавшаяся при ударе капли полость будет несимметричной. В более мелкой области падающая капля «расчистит» себе более плоское ложе, чем в более глубокой. В воздушной прослойке образуется градиент давлений, направленный в сторону глубоких слоёв жидкости в кювете. Давления сформируют наклонную к вертикали силу, которая и вытолкнет каплю в сторону уменьшения глубины слоя.

В тех же разделах определено последовательное изменение формы капли в начальные моменты времени и сила сопротивления движению капли. Задача решена методом разложения в ряды по предполагаемому малым числу Рейнольдса в полной гидродинамической постановке с учётом вязкости капли, внешней жидкости и прослойки воздуха между ними. Решение доведено до третьего порядка, что позволило определить максимальную силу сопротивления капле, её форму и форму образующейся полости во внешней жидкости. Констатируется количественное и качественное совпадение результатов исследований для частного случая капель воды, падающих на воду.

Исследуется влияние линейного натяжения на устойчивость плавающих капель. Для проверки приведённой в п. 2.9.1 гипотезы об определяющей роли линейного натяжения для малых капель, была проведена серия экспериментов с каплями насыщенного водой четырёххлористого углерода, удерживаемого капиллярными силами на поверхности воды, предварительно насыщенной CCl4. Капля четырёххлористого углерода выдавливалась из шприца на поверхность воды, налитой в чашечку Петри. Затем, через несколько минут, в течение которых капля, испаряясь, превращалась в шайбочку примерно миллиметрового диаметра D, включалась цифровая видеокамера и производилась съёмка коллапса капли. По результатам построен график D(t), (рис. 4), имеющий резко выраженный минимум вблизи момента, когда капля перед тем, как полностью испариться, взрывообразно расползается по поверхности воды тончайшей плёнкой. В том же разделе показано с помощью предложенной симметричной модели системы и принципов Гиббса, что обнаруженный в эксперименте сценарий процесса растекания капли летучей жидкости по другой жидкости может свидетельствовать об определяющей роли линейного натяжения в удержании на поверхности жидкости капиллярными силами крайне малых тяжёлых капель. Для таких капель роль силы тяжести (энергия системы, обусловленная силами тяжести, пропорциональна кубу линейных размеров капли) и поверхностного натяжения (поверхностная энергия пропорциональна квадрату линейных размеров) становится ничтожной по сравнению с линейными капиллярными эффектами, которые и распрямляют каплю, превращая её в плёнку.

Рис. 4

Экспериментально и теоретически исследуется морфологическая неустойчивость тонких пленок на примере процесса разрушения мыльных пузырей. В описанных экспериментах для получения пузырей использовалась жидкость Fairy®, разбавленная дистиллированной водой до концентрации по объёму 1/3. Разрушение оболочки с помощью нагретого стержня фиксировалось с помощью высокоскоростной камеры, которая настраивалась на скорость съёмки 1000 кадров в секунду (рис. 5).

Рис. 5

Разложение формы отверстия в пузыре рядами Фурье. Для этого определялся центр отверстия 0 по отмеченным координатам двухсот точек периметра. Затем из точки 0 были проведены равноотстоящие друг от друга 100 лучей (рис. 5). Точки пересечения лучей с периметром изображения отверстия заносились в таблицу, что позволяло определить расстояние Rn(t) каждой точки периметра отверстия до его центра 0 для всех десяти моментов времени. Полученные на этом пути результаты нанесены на график «амплитуда an моды как функция соответствующей длины волны » (рис. 6).

Рис. 6

На графике точками отмечены усреднённые по выборке нормированные на единицу по максимальному значению амплитуды гармоник в рядах Фурье, которыми аппроксимировались контуры плёнки. Для наглядности вокруг ромбиков нарисованы контуры окружностей, деформированные соответствующими модами. Фиктивная мода с = 2, которая всегда присутствует в разложении Фурье благодаря принятой методике обработки результатов, на графике не указана. На основании проведённых расчётов можно утверждать, что схлопывающаяся плёнка, остающаяся от пузыря на последних этапах коллапса представляет собой грубой формы овал, модулированный по периметру пяти-, реже шестиконечными звёздноподобными фигурами (рис. 5).

Промоделированы завершающие моменты схлопывания пузыря на этапе «часового стекла». С помощью первой теоремы Грина и вычисленной функции Лагранжа получено уравнение Лагранжа, решение которого позволило определить средний радиус плёнки как функцию квадрата времени.

3. Образование пространственных диссипативных структур во вращающихся жидкостях

Аналитически решена задача о конвективной устойчивости жидкости, заполняющей сферическую полость, выфрезерованную в однородном твёрдом массиве, в котором на бесконечности поддерживается постоянный градиент температуры Т = Аеz и который вращается с постоянной угловой скоростью ez, направленной против ускорения силы тяжести g = -gez. Проведена аналогия различных аспектов процесса с классическими результаты Сильвестона и других авторов по определению кризиса теплового потока через горизонтальный и почти горизонтальный слой, подогреваемый снизу (так называемая «задача Рэлея»).

Рис. 7

Решение задачи в приближении Буссинеска с учётом несжимаемости и вязкости жидкости выполнено методом Галёркина с минимальным числом функций, которое позволяет проследить влияние на процессы вращения полости. Результаты представлены формулой:

(Ra - критическое число Рэлея, при котором начинается лавинообразное перемешивание жидкости, Re - числo Рейнольдса, определённого по угловой скорости вращения полости, - отношение теплопроводностей жидкости и массива) и в виде линий тока в аксонометрической проекции для трёх значений числа Рейнольдса (рис. 7). Из графиков видно, что в не вращающейся жидкости линии тока расположены в меридиональных плоскостях полости, при медленном вращении жидкости кориолисова сила разворачивает струйки вбок, закручивая их в спираль при дальнейшем увеличении Re.

Рис. 8

Исследовано влияние вращения на конвективное движение жидкой смеси, заполняющей сферическую полость в неоднородно нагретом твёрдом массиве, вращающемся с постоянной угловой скоростью , направленной против ускорения силы тяжести. Задача решается в полной постановке с учётом несжимаемости, вязкости и термодиффузии в приближении Буссинеска методом разложения в степенные ряды по числу Рейнольдса, определённому по скорости вращения полости. Решение доведено до функций третьего порядка. Результаты представлены в виде графика зависимости безразмерной амплитуды скорости в центре шара как функции числа Рейнольдса Re для трёх значений чисел Рэлея 1, 2, 4 (рис. 8). Видно, что до чисел Re порядка 10 конвективное движение в полости практически незаметно. При числах Ra 1 скорость в центре шара с увеличением Re меняет знак, что соответствует движению жидкости по оси вращения сверху вниз. Этот результат можно связать с действием центробежной силы, которая разбрасывает в стороны более холодные слои жидкости. При малых скоростях вращения силы Архимеда заставляют эти тяжёлые слои опускаться вдоль стенок к нагретому дну полости, где они, нагреваясь, поднимаются вверх вдоль оси вращения. Ситуация меняется при увеличении чисел Re. В этом случае при относительно малых мощностях подогрева, то есть малых числах Ra, силы Архимеда уже не могут противостоять центробежным. Результатом такого положения оказывается ситуация, когда в центре полости, где центробежные силы малы, скапливаются холодные слои, которые под действием сил Архимеда погружаются, давая начало новому направлению конвективного движения.

Экспериментально и теоретически изучен эффект подавления дрейфа шаров и процесс образования областей вихревого движения жидкости за шаром или перед ним (Тэйлоровские колонны). Определена физическая причина эффекта - появление вихревых обтекающих шар потоков, формирующих в приполярных областях застойные зоны, образующие своеобразные присоединённые к шару массы. Таким образом, в задачах обтекания тел во вращающихся жидкостях возникает конкурентная борьба между двумя факторами, определяющими скорость дрейфа. С одной стороны - это действующая на шар внешняя сила, с другой - сила Кориолиса, формирующая застойные области. Приведённый качественный анализ задачи подкреплён экспериментом и аналитическим расчётом, результаты которых находятся в количественном согласии.

Рис. 9

Наблюдение дрейфа шаров осуществлялось на установке, собранной на основе центрифуги, скорость вращения которой менялась от нуля до 30 об/мин. В качестве экспериментальной кюветы использовался прозрачный плексигласовый цилиндрический сосуд квадратного сечения со стороной 10 см и высотой 40 см, заполненный водой. Шарами служили различные по плотности и материалу шары. Для визуализации течения вблизи шаров использовалась подкрашенная перманганатом калия вода, две-три капли которой с помощью тонкой стеклянной трубочки выдавливались перед дрейфующим шаром. По другой методике шары дрейфовали через слой подкрашенной перманганатом калия воды. Движение шара записывалось как видеоролик на персональный компьютер с помощью цифровой видеокамеры, установленной на вращающейся вместе с кюветой платформе. Скорость дрейфа измерялась в средней части кюветы при условии осевого движения шара. Длина рабочего участка 36 см. Время движения измерялось с точностью до 0,04 с. Результаты экспериментов и теоретических расчётов с помощью метода Галёркина и разложения по степеням Re представлены на рис. 9 в виде графика зависимости числа N (отношения скоростей дрейфа в неподвижной и вращающейся жидкости) от числа Рейнольдса.

3. Образование пространственно-временных диссипативных структур в различных конвективных задачах

Представлены результаты изучения электроконвективной неустойчивости слабопроводящей жидкости в вертикальном конденсаторе. Содержит подробный обзор работ по устойчивости течений в слое между двумя вертикальными параллельными плоскостями, нагретыми до разных температур и классификацию типов неустойчивости, Даётся классификация механизмов электризации жидких диэлектриков и их влияние на электроконвекцию.

Изложено численное решение задачи о электроконвекции в плоском вертикальном слое слабопроводящей жидкости при следующих допущениях: величина тока, протекающего по жидкости, мала, что позволяет не учитывать джоулево тепловыделение при определении поля температур и пренебречь влиянием возникающих магнитных полей; электризация жидкости создается токами проводимости, и, следовательно, возникающие в объёме жидкости силы обусловленные неоднородной поляризацией, значительно меньше сил Кулона; свободные заряды возникают только вследствие неоднородности электропроводности, вызванной неизотермичностью жидкости. Влияние механизма инжекционного зарядообразования считается пренебрежимо малым; жидкость механически несжимаема, течение ламинарное, нестационарное, плоское; уравнение свободной конвекции записано в приближении Буссинеска; все термодинамические параметры жидкости постоянны, кроме проводимости, линейно изменяющейся с температурой.

В этих условиях известная система уравнений электроконвекции имеет следующий вид:

Здесь , , , , 0 соответственно плотность, вязкость, температуропроводность, диэлектрическая проницаемость и средняя электропроводность жидкости, и коэффициенты температурной зависимости массовой плотности и плотности заряда, плотность заряда, E и Ф напряженность и потенциал электрического поля, v, T, p - скорость, температура и давление жидкости. Слой жидкого диэлектрика заключен между вертикальными, твердыми, идеально тепло- и электропроводящими стенками (теплообменниками-электродами), находящимися на расстоянии 2h друг от друга. В системе координат с вертикально расположенной осью z, осью y - горизонтально вдоль слоя и осью x горизонтально поперек слоя с границами слоя совпадающими с плоскостями x = h и условиями на них v = 0, T = , Ф = U, где h полуширина слоя жидкости, и U - половина разности температур и потенциалов между границами слоя, найденное основное стационарное решение исследовано на устойчивость. Как известно, для стационарного конвективного течения между вертикальными параллельными плоскостями наиболее опасными являются плоские возмущения, при которых отсутствуют продольная горизонтальная компонента vy скорости и зависимость от продольной горизонтальной координаты y. В работе рассмотрены именно такие возмущения.

Результаты численного расчёта представлены в виде зависимости числа Грасгофа G = gh3/2 от числа Gs = U2/gh3. Такой способ представления результатов удобен для сравнения с экспериментальными данными, поскольку число G зависит от перепада температур, а число Gs зависит от напряжения. Это означает совпадение с точностью до масштабных множителей графика зависимости критической температуры от квадрата напряжения с графиком зависимости G от Gs. Для выяснения влияния поля на волновое число k исследовалась форма нейтральных кривых для разных значений электрических параметров.

Для изучения были выбраны различные комбинации чисел Прандтля P = и Pe = /0h2, позволяющие устанавливать произвольные соотношения для времен релаксации скорости, температуры и заряда. На рис. 10 представлен случай P = 0,1, когда характерное гидродинамическое время (время релаксации скорости) много больше характерного теплового времени (времени релаксации температуры); такие возмущения условно считают "изотермическими". Штриховая линия показывает критическое число Грасгофа в отсутствии электрического поля. При Pe = 0 (кривая 1, случай, когда характерное тепловое время много больше времени релаксации заряда), с ростом Gs поначалу наблюдается стабилизация стационарного течения, сменяющаяся затем дестабилизацией при больших значениях Gs.

Рис. 10

Если тепловое время сравнимо с электрическим (Pe = P = 0.1, кривая 2), то начальной стабилизации уже не наблюдается; электрическое поле монотонно уменьшает устойчивость течения при своем возрастании. При электрическом времени, существенно превосходящем гидродинамическое (Pe = 1, кривая 3) также существует дестабилизация, но уже не монотонно усиливающаяся, а имеющая более сложный вид. В средней части графика наблюдается S-образный изгиб, означающий возможность трехкратного перехода границы устойчивости одной и той же моды при фиксированном Gs (в диапазоне значении от 66 до 134) и плавно возрастающим от нуля G. При минимизации параметрической зависимости по волновому числу k ширина изгиба уменьшается (с 68 до 21 по Gs), но возможность неоднократного перехода между областями устойчивости и неустойчивости сохраняется (под термином «ширина» подразумевается расстояние между крайними левым и правым выступами изгиба). С ростом числа Pe изгиб расширяется и перемещается в область больших Gs, причем величина сдвига гораздо больше увеличения ширины. Это приводит к расширению участка слабой изменяемости G в области малых Gs.

Во всех случаях неустойчивость приобретает колебательный характер, причем при малых Gs частота зависит от значения Gs линейно.

В работе, кроме того, приведены несколько десятков графиков нейтральных кривых для различных комбинаций значений чисел Gs, P и Pe; зависимости числа Грасгофа G и частоты колебательной моды от числа Gs при различных значениях Р и Pe; зависимости критического числа Грасгофа от числа Прандтля при значениях электрического числа Грасгофа Gs = 0; области чисел Прандтля P и электрического Прандтля Pe, в которой существует дополнительная стабилизация за счет электрического поля и т.д.

Экспериментальная ячейка, в которой проводились исследования ЭТК-неустойчивости течения представлена на рис. 11. Ячейка представляла собой вертикальный конденсатор, образованный прозрачной плексигласовой рамкой 1 и электродами 2 размерами 43Ч10Ч0,3 см. Толщина рамки определяла расстояние между электродами конденсатора и в разных сериях опытов была равна 8,0, 5,0 и 3,5 мм. Толщина вертикального слоя изменялась с целью исследования ЭТК-неустойчивости в более широком интервале электрического и обычного чисел Грасгофа. Градиент температуры в слое задавался теплообменниками 3, представляющими массивные алюминиевые блоки 45Ч14Ч5,5 см с цилиндрическими каналами 4 в каждом. По каналам прокачивалась вода от двух термостатов UTU-2. Такая массивная конструкция позволяла поддерживать температуру каждого теплообменника с точностью до 0,1 0С при неравномерности температуры вдоль его поверхности не более 0,02 0С. Между теплообменниками и электродами устанавливались тонкие электроизолирующие пластины: 5 - из гетинакса толщиной 0,10 см и 6 - из плексигласа толщиной 0,38 см. Плексигласовая прокладка 6 служила образцовой пластинкой постоянной теплопроводности в методе Шмидта_Мильвертона исследования устойчивости равновесия жидкости.

Методика эксперимента заключалась в сравнении теплового сопротивления жидкого слоя и изолирующей прокладки путем измерения перепадов температуры на слое жидкости ДTs и на изолирующей прокладке ДTp. Если электрическое поле не влияет на основное термогравитационное течение и теплоперенос определяется только молекулярной теплопроводностью, то отношение падения температуры на слое жидкости Ts к падению температуры на образце ДTp есть постоянная величина при различных перепадах температуры между теплообменниками.

Рис. 11

При возникновении ЭК эффективная теплопроводность жидкости увеличивается, а отношение падений температур уменьшается. По построенной зависимости ДTp от ДTs определялось критическое значение разности температуры на слое жидкости ДT*, при котором начинается ЭК. Вплоть до этого значения зависимость представляет собой прямую линию, выходящую из начала координат. После кризиса угол наклона прямой изменяется, что свидетельствует о возникновении ЭК.

Рис. 12

Характерные зависимости перепада температуры на датчике теплового потока от перепада температуры на слое жидкости для нескольких фиксированных значений напряжения на электродах (от 0 до 3500 В) представлены на рис. 12. Видно, что для нулевого напряжения (1) зависимость представляет собой прямую, проходящую через начало координат. Такая зависимость характеризует молекулярный режим теплопередачи, потому что основное термогравитационное течение не переносит тепла поперек слоя. Зависимость ДTp - ДТs в присутствии поля при малых значениях перепадов температуры на слое жидкости совпадает с соответствующей для U = 0 В, что соответствует отсутствию ЭК. Однако при дальнейшем увеличении перепада температуры зависимость терпит излом и перепад температуры на прослойке увеличивается быстрее, чем перепад на слое жидкости. Это свидетельствует о том, что в модели возникает ЭК, которая увеличивает тепловой поток и, соответственно, уменьшает перепад температуры на слое жидкости.

Рис. 13

Таким образом, для каждого фиксированного значения напряжения на электродах были найдены критические значения перепадов на слое жидкости ДT*, соответствующие точке излома характеристик теплопередачи ДTp - ДTs. По измеренным параметрам рабочей жидкости и полученным критическим перепадам температур была построена карта устойчивости термогравитационного течения (рис. 13) в безразмерных координатах электрическое Gs и традиционное G числа Грасгофа. Безразмерные параметры вычислялись в соответствии с формулами и . На рисунке приведены данные теоретических расчетов для соответствующих данным сериям экспериментов электрическому и обычному числам Прандтля. Видно, что результаты экспериментов согласуются с расчетами.

Исследование обнаруженного эффекта возникновения звуковых автоколебаний в акустическом резонаторе. Показано, что процесс образования пространственно-временных диссипативных структур в парогазовых генераторах может быть объяснен, в отличие от предыдущих исследований, без привлечения дополнительных подгоночных параметров.

Термокапиллярное течение от линейного источника тепла.

Стационарная задача о термокапиллярной конвекции от линейного источника тепла постоянной мощности, расположенного на горизонтальной поверхности вязкой несжимаемой жидкости. Полученное аналитическое выражение для погранслойного приближения слишком громоздко, поэтому для определения параметров задачи используется модифицированный метод Кармана-Польгаузена, который в комбинации с методом Галеркина позволил найти выражения для составляющих скорости как функций поперечной координаты. Исследована устойчивость найденного погранслойного течения от линейного источника тепла, расположенного на свободной поверхности жидкости, по отношению к плоским возмущениям: на основное стационарное течение и стационарное поле температуры наложены возмущения поверхности, зависящие от продольной координаты x и времени t. С помощью метода разделения переменных задача сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд возмущений, которые решены методом Галёркина. В качестве иллюстрации полученных результатов приведены нейтральные кривые устойчивости для воды (рис. 14). На рис. 14а и 14б представлены нейтральная кривая гидродинамической моды для воды и соответствующие частоты колебаний. В линейной задаче декремент предполагался чисто мнимым i, а волновое число - комплексным k = kr+iki. Нейтральный режим определялся условием ki = 0 и на рис. 14 представлены нейтральные кривые в координатах (k, Ма) и (k, ).

Рис. 14

4. Результаты экспериментального и теоретического исследования меандрирования струй, стекающих по наклонной плоскости

Приведен обзор работ по изучаемой теме. Излагаются результаты тестовых экспериментов и проведённых теоретических исследований неустойчивости стекающих струй к меандрированию, на основании которых констатируется, что меандрирование струек происходит вследствие неконтролируемых в эксперименте самых разнородных случайных причин. Поэтому результаты опытов предлагается анализировать, используя метод, предложенный Ланжевеном для анализа движения броуновской частицы.

Стекание струйки как броуновское движение гармонического осциллятора.

Описываются эксперименты и способ обработки результатов, при котором вся струя сопоставляется одной броуновской частице. В качестве случайного события рассматривается получение в заданных контролируемых условиях видеокадра струи воды, снятой в течение трёх минут. Условиями, которые фиксировались в экспериментах, были углы наклона подложки, мощности струй, постоянная в течение всех опытов температура и одинаковая по условиям очистки перед съёмкой каждого видеокадра поверхность подложки (плоское стекло площадью 50150 см2 и доска 90120 см2, покрытая пластиком). Каждый из видеокадров разбивался на 180 фотокадров, соответствующих последовательным моментам времени (временной интервал менялся в ходе экспериментов и составлял от 0.08 до 1.0 с). Затем на каждой фотографии в случайной декартовой системе координат измерялись в условных единицах координаты , (n менялось от 5 до 20) точек струи, отделённых друг от друга фиксированным расстоянием z вдоль струи (интервал z составлял в разных опытах от одного до пяти сантиметров для различных используемых подложек). По измеренным точкам определялся методом наименьших квадратов линейный трэнд . Средний тангенс угла m(l) отклонения струи вбок рассматривался как одномерная координата «броуновской частицы», задающая случайное положение струи: m(l) Полученные таким образом выборки для каждого k-того видеокадра, снятого для выбранного угла наклона i и заданного напора струи j, рассматривались как элемент теоретически бесконечной генеральной совокупности {с(l)} с некоторой плотностью вероятности {с(t)} реализации каждого значения с(l). В экспериментах число элементов выборок менялось от 180 до 4000.

При статистическом описании процесса меандрирования струи использовалось уравнение Эйлера для виртуальной «броуновской частицы» в вязкой среде при наличии действующей на неё упругой силы и ланжевеновского источника в следующей форме:

Функция зависит от времени в общем случае случайным образом и соответствует одномерному отклонению от положения равновесия «броуновской частицы», с которой отождествляется вся струя, а диссипативный фактор и ланжевеновский источник y(t) являются различными, хотя и «родственными по происхождению» характеристиками подложки. И тот и другой определяются взаимодействием струи с поверхностью: - характеризует, кроме вязкости, силу сцепления струи с подложкой, а y(t) - силу случайных толчков, вызванных хаотически распределёнными по поверхности подложки микроскопическими неровностями. Поэтому окончательный результат анализа оказался зависящим от единого комплекса, содержащего оба параметра на паритетных началах. Упругая сила 2 возникает из-за наличия в системе возвращающих сил: гравитационные и капиллярные силы стремятся выпрямить изогнувшуюся струю. Параллельно был проведён анализ броуновского движения струек методом Эйнштейна.

Объединённые результаты всех экспериментов представлены на рис. 15 в виде карты режимов стекания струек для различных расходов в интервале от 0.5 до 5.0 см3/с и углов наклона 24.60, 33.40, 37.50, 49.60, 60.30. Как и ожидалось, единственным параметром, формирующим режим, может служить отношение параметра Ланжевена к диссипативному фактору: D. (D - коэффициент диффузии в пространстве скоростей). Среднее отклонение а русла струи от прямой линии при монотонном (прямоточном или меандрированном) не превышает в выбранных условных единицах 0.5. Выше расположена широкая горизонтальная полоса, в которую не попала ни одна экспериментальная точка. При D/2 струи начинают метаться из стороны в сторону, а амплитуда а испытывает резкий скачок, увеличиваясь сразу на порядок. Таким образом, переход от стационарного течения к динамическому происходит при D/ 2 скачком, при резком, на порядок, увеличении средней амплитуды колебаний струи. Все процессы, и стационарные, и динамические, характеризуются характерным для броуновских движений стопроцентным разбросом экспериментальных данных с пренебрежимо малой корреляцией всех измеряемых величин.

Рис. 15

Анализ течения струек проводится методами физической кинетики. Струя, стекающая по наклонной плоскости вниз, вдоль оси z, под действием силы тяжести из-за различных не контролируемых в эксперименте причин (непредсказуемое изменение в ходе процесса формы поперечного сечения струи и углов натекания и оттекания, обычно неизвестное качество обработки подложки и т.д.) отклоняется в сторону от первоначального направления. Это отклонение (имеется в виду отклонение конечной точки z струи поперёк движения на x) при заданном угле наклона плоскости к горизонту и определённой мощности струи Q см3/с непостоянно из-за вероятности заметных флуктуаций. Обозначим неизвестную функцию распределения через f(, Q, z, x). Нормированная на единицу функция f(z, x), (аргументы , Q далее не будем указывать) представляет собой вероятность того, что конец струи длиной z отклонится в сторону на величину x, лежащую между x и x + dx. Заметим, что вероятности для струй повернуть по и против часовой стрелки одинаковы из-за зеркальной симметрии задачи, поэтому далее будем регистрировать сам факт меандрирования, отмечая поворот в любую сторону на x как «благоприятное событие». Кинетическое уравнение можно получить, приравняв изменение функции на расстоянии dz «интегралу столкновений», который определяется разностью между количеством струй, повернувших на , и числом струй, выпавших из этого множества:

.

Здесь w() - плотность вероятности того, что струя на единице длины пути отклонится в сторону на . Далее будем писать w(), хотя аргументами вероятности w являются, естественно, все параметры задачи. Полученное уравнение Фредгольма решается путём преобразований Лапласа по координате x. Используя далее обратное преобразование Лапласа и теорему запаздывания, определим функцию распределения в общем случае:

.

Для возможности её применения нужно экспериментально определить функцию w(), зависящую от всего комплекса физико-химических параметров задачи. В предварительных экспериментах было установлено, что при угле наклона, больше 10о наблюдалось течение струйки со случайными смещениями в сторону. Поэтому изучалось стекание струйки воды под действием силы тяжести при заданном расходе Q по плоской подложке с углом наклона от 10о до 80о. Основные эксперименты проводились по следующей схеме. Проточная вода фиксированной температуры под строго выдерживаемым давлением, который обеспечивал намеченный расход, подавалась на инжектор, установленный вдоль продольной оси подложки. Струя воды, стекающая из инжектора по пластине в течение получаса от начала пуска, фиксировалась затем каждые четверть минуты цифровым фотоаппаратом. Вытекающая вода периодически, каждые 30 минут, собиралась в мензурку для определения постоянства расхода. Затем поверхность плексигласа промывалась, высушивалась и опыт повторялся 5 раз при том же расходе и угле наклона подложки. Меандрирование струек происходит вследствие неконтролируемых в эксперименте самых разнородных случайных причин, что приводит к большому разбросу экспериментальных данных. Это вынуждало использовать для определения функции w(, Q, ) стандартными методами большой объём выборок. В соответствии с этим обработка экспериментов сводилась к определению формы струек по координатам шести выделенных на ней точек при определённых и постоянных для всех серий экспериментов значений zi. На рис. 16 эти шесть точек являлись точками пересечений струёй горизонтальных линий, разделённых интервалом z = 10 см. Видно, что струя в первой горизонтальной полосе «помнит» об импульсе, заданном инжектором. Течение струи на второй полосе соответствует переходному режиму от детерминированного к хаотическому. Течение струй на последних трёх полосах полностью хаотическое.

Рис. 16

Для каждого из пяти углов наклона плоскости к горизонту и каждого из пяти идентичных получасовых экспериментов фиксировались отклонения xn струи в пяти заданных точках на расстояниях nzn (n = 1,..., 5; zn = 10 см). В результате для каждой серии получена информация о средних отклонениях на каждой из пяти полос. При дальнейшей обработке учитывались отклонения только на последних трёх полосах. Соответствующие результаты представлены одним из графиков на рис. 17, на котором показано число попаданий из 2500 реализаций в пятипроцентный интервал отклонений , нормированных на единицу. Точки соответствуют одному из экспериментов по стеканию струи мощностью струи 0,1 л/мин по плоскости, наклоненной к горизонту на угол 64о. Кривая представляет из себя ненормированную функцию N() = 300 exp(-5.5).

Рис. 17

Рис. 18

С помощью полученных экспериментальных результатов методом наименьших квадратов определена функция w() = 300 exp(-5.5). После нормирования и подстановки w() в выражение для функции изображения, получаем выражение для оригинала f(z, x) (рис. 18) для четырех значений безразмерного x = 0,5; 1,0; 1,5; 2,0 (единица длины 10 см). Форма кривых напоминает известные распределения Максвелла молекул газа по скоростям. Как и у функции распределения Максвелла, кривые f(z, x) имеют максимумы, которые смещаются вправо и становятся ниже с ростом x. Максимальный и самый острый экстремум из числа приведённых здесь относится к безразмерному x = 0.5. На такое расстояние, вероятнее всего, отклонится в сторону струя вблизи точки z 19. Как и следовало ожидать, при больших значениях z все функции распределения асимптотически стремятся к нулю: как очень малые, так и очень большие значения x в этих областях одинаковы и маловероятны.