Расчет разветвленной линейной цепи с источниками электродвижущей силы синусоидальной формы

Размещено на http://www.allbest.ru

Аннотация

В данном курсовом проекте производится расчет разветвленной линейной цепи с источниками ЭДС синусоидальной формы. Проект состоит из введения, 8 основных разделов, заключения, списка используемой литературы.

Рассмотрены следующие методы расчета разветвленных электрических цепей: метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод эквивалентного генератора. Также рассчитана мощность ветви различными способами. Проверен баланс мощности, построены векторные диаграммы напряжений и токов. электрический цепь ток генератор

Пояснительная записка содержит 32 страницы машинописного текста, 11 рисунков, 1 таблицу. Библиографический список содержит 4 источника.

Содержание

Введение

1. Составление расчетной схемы электрической цепи

2. Определение всех токов в цепи с помощью законом Кирхгофа

3. Определение токов в цепи методом контурных токов

4. Определение всех токов методом узловых потенциалов

5. Расчет тока I₃ методом эквивалентного генератора

6. Определение показаний ваттметра и варметра в ветви цепи. Проверка балансов мощности

7. Построение потенциальной диаграммы схемы, совмещенной с векторной диаграммой токов

8. Составление системы уравнений по законам Кирхгофа для цепи с магнитными связями

Заключение

Библиографический список

Введение

Теоретические основы электротехники являются фундаментальной дисциплиной для всех электротехнических специальностей, а так же для некоторых неэлектротехнических. На этой дисциплине основана теория работы всей электротехники. Основными законами являются первый и второй законы Кирхгофа, а так же закон Ома. Используя эти законы можно решить задачи анализа любых электрических схем. Однако большое число уравнений вызывает сложность их решения, поэтому для задач анализа постоянного и переменного тока применяются различные методы упрощенного расчета:

Метод контурных токов -- метод расчёта электрических цепей, при котором за неизвестные принимаются токи в контурах, образованных некоторым условным делением электрической цепи (подробнее в третьем разделе). Данный метод целесообразно использовать когда имеем небольшое количество независимых контуров.

Метод узловых потенциалов -- метод расчета электрических цепей путём записи системы линейных алгебраических уравнений, в которой неизвестными являются потенциалы в узлах цепи. В результате применения метода определяются потенциалы во всех узлах цепи, а также, при необходимости, токи во всех ветвях (подробнее в четвертом разделе). Данный метод целесообразно использовать, когда имеем небольшое количество неизвестных потенциалов.

Метод эквивалентного генератора - метод преобразования цепей, в котором схемы, состоящие из нескольких ветвей с источниками ЭДС, приводятся к одной ветви с эквивалентным значением (подробнее в пятом разделе). Данный метод целесообразно использовать, когда необходимо найти только один ток.

Метод наложения -- метод расчёта электрических цепей, основанный на предположении, что ток в каждой из ветвей электрической цепи при всех включённых генераторов равен сумме токов в этой же ветви, полученных при включении каждого из генераторов по очереди и отключении остальных генераторов (только в линейных цепях), в работе не рассматривается. Удобно использовать при расчете схем с разными источниками (например, несколько источников с разными частотами).

1. Составление расчетной схемы электрической цепи

Составим ERLC-схему, согласно исходных данных (рис. 1).

Рисунок 1. - Исходная схема ERLC

На принципиальной схеме выбираем условно положительные направления токов и обходов независимых контуров (в кружочках обозначены номера контуров).

Запишем данные источников в комплексной форме:

Угловая частота сети:

щ = 2рf = 2 · 3.14 · 50 = 314 с^-1.

Рассчитаем численные значения сопротивлений элементов:

X_L1 = jщL₁ = j · 314 · 159.155 · 10^-3 = j 50 Ом;

R₂ = 40 Ом;

X_С2 = -1/jщС₂ = -1/(j · 314 · 106.103 · 10^-6 )= - j30 Ом;

R₃ = 50 Ом;

R₄ = 80 Ом;

X_L4 = jщL₄ = j · 314 · 190.986 · 10^-3 = j 60 Ом;

R₅ = 40 Ом;

X_С5 = -1/jщС₂ = -1/(j · 314 · 106.103 · 10^-6 )= - j30 Ом;

R₆ = 100 Ом.

Для каждой ветви найдем эквивалентное комплексное сопротивление:

Z₁ = j X_L1 = j 50 = 50 e^j90 Ом;

Z₂ = R₂ - j X_C2 = 40 - j30 = 50 e^-j37 Ом;

Z₃ = R₃ = 50 Ом;

Z₄ = R₄ + j X_L4 = 80 + j 60 = 100 e^j37 Ом.

Z₅ = R₅ - j X_C5 = 40 - j30 = 50 e^-j37 Ом;

Z₆ = R₆ = 100 Ом.

В соответствие с этими данными изобразим EZ-схему цепи:



Рисунок 2. - Схема EZ.

2. Определение всех токов в цепи с помощью законом Кирхгофа

Запишем систему уравнений в общем виде в дифференциально-интегральной форме по ERLC-схеме по законам Кирхгофа.

Запишем систему уравнений в общем виде в символической форме для ERLC-схемы:

Запишем систему уравнений в общем виде в символической форме для EZ-схемы:

Подставим значения и получим систему:

Решим данную систему методом Крамера:

Для этого составляются матрицы (используем программу MathCad):



Итого, имеем полученные токи:



Метод непосредственного применения законов Кирхгофа является довольно громоздким, и плохо годится для решения разветвленных цепей с большим числом неизвестных токов.

3. Определение токов в цепи методом контурных токов

Составим в общем виде уравнения для расчета цепи (рисунок 2) методом контурных токов:

Рассчитаем комплексы контурных сопротивлений:

Контурные ЭДС:



Подставим значения в систему уравнений:

Решим систему методом Крамера:

Итого, имеем контурные токи:



Зная контурные токи, найдем действительные токи в ветвях:

Итого, получаем токи в ветвях:

Полученные токи не отличаются от токов, полученных методом непосредственного применения законов Кирхгофа. Метод контурных токов подходит для цепей, имеющих меньше независимых контуров, чем неизвестных узлов.



4. Определение всех токов методом узловых потенциалов

Составим систему уравнений по методу узловых потенциалов, приняв узел с (рисунок 2) за нулевой потенциал.

Найдем комплексы проводимостей ветвей используя программу MathCad (См):

Свободные члены системы уравнений:

Запишем полученную систему с численными значениями:

Решим данную систему методом Крамера:

Итого, потенциалы:

Зная потенциалы узлов, найдем токи во всех ветвях:

Итого, имеем токи в ветвях:

Токи, полученные методом узловых потенциалов, не отличаются от полученных по методу контурных токов. Данный метод пригоден для решения цепей, содержащих минимум узлов.

5. Расчет тока I₃ методом эквивалентного генератора

В соответствие с теоремой об активном двухполюснике и эквивалентном генераторе составим схему для нахождения тока I₃ (рисунок 3):

Рисунок 3. - Схема эквивалентного генератора

ЭДС эквивалентного генератора равно напряжению U_cb

Найдем это напряжение в цепи без ветви I₃ (рисунок 4):



Рисунок 4. - Схема для нахождения U_cb

Напряжение между двумя узлами находим по методу двух узлов [2, с. 55] U_ad:

Токи в ветвях I₁ и I₅:

Напряжение между узлами cb:

Это напряжение и есть эквивалентная ЭДС генератора.

Найдем эквивалентное сопротивление цепи относительно cb (рисунок 5):

Рисунок 5. - Схема для нахождения эквивалентного сопротивления

Для начала преобразуем треугольник сопротивлений Z₁Z₂Z₄ в эквивалентную звезду Z₁₂Z₂₄Z₁₄ [2, c. 60]:

Теперь, имея схему (рисунок 6), найдем эквивалентное сопротивление:

Рисунок 6. - Схема после преобразования треугольник - звезда.

Ом

Согласно теореме об эквивалентном генераторе найдем ток I₃:

Ток I₃, рассчитанный методом эквивалентного генератора, равен току полученному другими методами.



6. Определение показаний ваттметра и варметра в ветви цепи. Проверка балансов мощности

Для измерения мощности, протекающей в ветви №3 изобразим подключение к ней приборов: варметра и ваттметра (рисунок 7).

Рисунок 7. - Схема для определения мощностей

Напряжение на зажимах bc (потенциалы рассчитаны в разделе 4):

U_bc = ц_b - ц_c = 66,8 - j4,31 - 0 = 66,94 e^-j4 В

Ток I₃ направлен встречно положительным зажимам приборов, поэтому берем его со знаком минус:

-I₃ = 1,34 e^-j4 А

Показания приборов (ваттметра и варметра):

P = U·I·cosц = 66.94·1.34 cos(- 4 + 4) = 89.78 Вт.

Q = U·I·sinц = 66.94·1.34 sin(-4 + 4) = 0 вар.

Получим эти же данные другим способом.

Полная мощность цепи:

S = U·I^* = ( 66.8 - 4.31j) · (1.34 + j0.09) = 89.78 - 0.06j ВА

Активная мощность:

P = Re(S) = 89.78 Вт

Q = Im(S) = 0.06 вар

Разница в результатах небольшая, связана с округлениями при вычислениях.

Положительное значение активной мощности означает, что ветвь является потребителем активной мощности. Нулевая реактивная мощность то, что ветвь не участвует в обмене реактивной мощностью с другими ветвями, в ней отсутствуют реактивные элементы.

Полная мощность источников ЭДС:

Полная мощность приемников:



Разность активных мощностей:

ДP = 0 Вт

Разность реактивных:

ДQ = 0 вар.

Требуемая в условии точность (±0,1 Вт) обеспечена.

7. Построение потенциальной диаграммы схемы, совмещенной с векторной диаграммой токов

Для построения векторной диаграммы обозначим на схеме контрольные точки (рисунок 8) и найдем потенциалы этих точек.

Рисунок 8. - Схема для построения векторной диаграммы



Найдем потенциалы всех точек (номера контуров как в предыдущих схемах):

Контур 3:

Потенциал точки m получился равен напряжению на ЭДС Е₅, что подтверждает выполнение второго закона Кирхгофа для контура 3.

Для первой ветви:

Для второй ветви:

Потенциалы, полученные данным методом совпадают с полученными при расчете по МУП.

По полученным данным построим векторную диагармму (рисунок 9).



Рисунок 9. - Векторная диаграмма токов и напряжений

8. Составление системы уравнений по законам Кирхгофа для цепи с магнитными связями

Предположив, что между катушками L₄ и L₁ существует магнитная связь (рисунок 10), составим уравнения для их согласного включения:

Рисунок 10. - Схема с согласным включением катушек

Обозначим взаимную индуктивность катушек как М, значит сопротивление будет равно jщX_M

В дифференциальной форме:

В комплексной форме:

При встречном включении катушек, они оказывают друг на друга размагничивающие влияния. На рисунке 11 изображена схема такого их включения:



Рисунок 11. - Схема с встречным включением катушек

Составим уравнения в дифференциальной форме:

В комплексной форме:

Согласно векторной диаграмме, токи в катушках разнятся по фазе более чем на 90^о, значит, при согласном их включении полное сопротивление ветвей уменьшится, а токи увеличатся. При встречном включении - наоборот.



Заключение:

В результате выполнения курсовой работы были рассчитаны токи в сложной разветвленной цепи. При расчете использовали следующие методы: метод непосредственного применения законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод эквивалентного генератора. Для проверки расчетов токов составлен баланс активных и реактивных мощностей. Также построена векторная диаграмма, составлены уравнения в дифференциальной и комплексных формах для цепи с индуктивно связанными катушками. Результаты исследований представлены в таблице 1.

Таблица 1. Результаты расчетов.

	ЗК	МКТ	МУП	БМ	ПД
Z1	j50	50 ej90	-	-	-	-	-	-	-
Z2	40 - j30	50 e-j37	-	-	-	-	-	-	-
Z3	50	50 ej0	-	-	-	-	-	-	-
Z4	80 + j60	100 ej37	-	-	-	-	-	-	-
Z5	40 - j30	50 e-j37	-	-	-	-	-	-	-
Z6	100	100 ej0	-	-	-	-	-	-	-
I1	2.8-j1.09	3e-j21	2.8-j1.09	3e-j21	2.8-j1.09	3e-j21	-	-	-
I2	1.46-j1.01	1.78 e-j35	1.46-j1.01	1.78 e-j35	1.46-j1.01	1.78 e-j35	-	-	-
I3	-1.34+j0.09	1.34 ej176	-1.34+j0.09	1.34 ej176	-1.34+j0.09	1.34 ej176	-	-	-
I4	0.6-j1.15	1.3 e-j62	0.6-j1.15	1.3 e-j62	0.6-j1.15	1.3 e-j62	-	-	-
I5	0.86+j0.14	0.87 ej9	0.86+j0.14	0.87 ej9	0.86+j0.14	0.87 ej9	-	-	-
I6	2.2+j0.06	2.2 ej1	2.2+j0.06	2.2 ej1	2.2+j0.06	2.2 ej1	-	-	-
цa	-	-	-	-	-78.5+j135.6	156.7 ej120	-	-78.5+j135.6	156.7 ej120
цb	-	-	-	-	96.8-j4.31	66.9 e-j4	-	96.8-j4.31	66.9 e-j4
цc	-	-	-	-	0	0	-	0	0
цd	-	-	-	-	38.58+j79.85	88.68 e-j64	-	38.58+j79.85	88.68 e-j64
цe	-	-	-	-	-	-	-	121.5+j135.6	182.1 ej48
цg	-	-	-	-	-	-	-	8.34+j36	37 ej77
цh	-	-	-	-	-	-	-	-30.3+j43.7	56.2 ej123
цk	-	-	-	-	-	-	-	4.2+j74.23	74.35 ej87
цl	-	-	-	-	-	-	-	141.42+j141.42	200 ej45
цm	-	-	-	-	-	-	-	100j	100 ej90
P3	-	-	-	-	-	-	89.78	-	-
Q3	-	-	-	-	-	-	0	-	-
PУ	-	-	-	-	-	-	864.79	-	-
QУ	-	-	-	-	-	-	435.44	-	-

Библиографический список:

1. Теоретические основы электротехники. / Под редакцией Ионкина П.А. Т.1. - М.: Высшая школа, 1976.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. - М.: Высшая школа, 1984.

3. Атабеков Г.Н. Основы теории цепей. - М.: Энергия, 1978.

4. Усатенко С.Т. и др. Выполнение электрических схем по ЕСКД. 1989.

Размещено на Allbest.ru

...