Математические задачи нелинейной теории переноса. Газокинетическое уравнение

Глава 6 «Свойства линеаризованной задачи» посвящена исследованию свойств линеаризованной задачи, отвечающей исходной системе (1) - (3). Основанием для такого анализа являются теоремы существования, установленные в главе 2, и общий принцип линеаризации, примененный для абстрактной задачи Коши (15), который, в свою очередь, опирается на результаты исследований решений стационарной задачи, отвечающей исходной системе (1) - (3), установленные в главах 4,5. Такая постановка задачи естественным образом приводит к изучению спектральной задачи для операторного пучка с нелинейным, полиномиальным и(или) дробно-рациональным, вхождением спектрального параметра л и непустым существенным спектром достаточно общего вида

(26)

Здесь ; определение пространств , дано в §1 главы 6. Поскольку теория спектральных задач с произвольным вхождением параметра л далека от завершения, исследование возникающих в теории переноса модельных задач, приводящих к операторным пучкам вида (26), представляет самостоятельный интерес и задача сформулирована в абстрактной форме. Исследование существенно усложняется, поскольку входящие в (26) операторы в общем случае являются несамосопряженными и имеют сложную структуру спектра.

В параграфе 1 главы 6 введены необходимые основные понятия и определения теории операторных пучков; сводка основных результатов для полиномиальных операторных пучков, которые носят законченный характер, представлена в Приложении 2.

Для семейства операторных пучков вида (26) воспользуемся определением цепочки собственных и присоединенных к ним векторов и соответствующих собственных значений (по М.В. Келдышу) и введем пространство и вектор-функцию , ; ; ; .

В параграфе 2 главы 6 изложен метод сведения операторного пучка (26) к операторному уравнению с линейным вхождением спектрального параметра вида

(27)

Здесь - линейный в оператор из класса операторов Радона-Никольского;

- оператор проектирования на подпространство ; ; .

Результаты анализа операторного уравнения (27), а значит, операторного пучка (26), содержатся в следующей теореме.

Теорема 1. В условиях формулировки операторного пучка (26) (значит, уравнения (27)) справедливы следующие утверждения: (а) спектр оператора состоит из точек , и только из них. Кратность собственного числа совпадает с размерностью подпространства ;
(b) существенный (предельный) спектр операторов и совпадает; (с) существенный (предельный) спектр оператора состоит из нуля и тех точек , которым соответствуют бесконечномерные подпространства , ; (d) спектр оператора является точечным, счетным с предельными точками (точками накопления) в . Точечный спектр оператора определяется оператором . Собственные подпространства, отвечающие точкам точечного спектра, конечномерны и, если нормален, ортогональны.

Параграф 3 главы 6 посвящен исследованию свойств линеаризованной задачи, отвечающей исходной системе (1) - (3). В главе 4 для нелинейного эволюционного уравнения достаточно общего вида (15) определена достаточно гладкая нелинейная (частичная) полугруппа , которую порождает оператор при Условии А (соответственно, при Условии В). В соответствии с общим принципом линеаризации АЗК (15) поставим в соответствие линеаризованную в некоторой окрестности стационарного решения задачи (15) (далее рассматриваем Условие А) задачу

(28)

. Здесь - банахово пространство, состоящее из элементов с нормой ; ;

Математическая корректность процедуры линеаризации АЗК (15) и постановки задачи (28) обеспечена существованием неподвижных точек оператора стационарной задачи (15), а также существованием у оператора сильно непрерывной производной Фреше по Ф, липшицевой в некотором шаре . Установлено, что в Условиях 1,2,А полугруппа , имеет неподвижную точку , т.е. , и - сильно непрерывная линейная на Н полугруппа класса С0 (теорема Хилле - Иосида - Филипса). Соответствующие результаты получены также в Условиях 1,2,В.

АЗК (28) поставлена в соответствие задача на собственные значения

(29)

в области ; . Для последующего анализа рассмотрена вспомогательная задача следующего вида

(30)

с оператором

; . Задача (30) имеет самостоятельный интерес, поскольку соответствует линейной задаче переноса излучения (нейтронов) с учетом запаздывающего излучения. Результатом анализа с помощью лемм (1-4) операторного пучка (30) является важная теорема о кратной полноте корневых векторов.

Теорема 2. Пусть выполнены Условия 1,2,А. Тогда в области система корневых векторов операторного пучка (30) (задачи (29)) (М+1)-кратно полна в пространстве с некоторым новым скалярным произведением (Нs), топологически эквивалентным исходному. Спектр задачи является точечным, счетным, с предельными точками и (-?). Собственные подпространства, отвечающие точкам из , конечномерны.

Более того, обращая дифференциальную часть оператора , задачу (30) удается свести к виду (26) с оператором при m=M, s=1, что позволяет применить теорему 1 и установить: (i) характер и структуру спектра спектральной задачи (29); (ii) условия существования ведущего собственного значения задачи (29) и сопряженной к ней, которому отвечает единственный собственный вектор из конуса .

Вышеуказанные результаты в соответствующей формулировке установлены в Условиях 1,2,В.

В параграфе 4 главы 6 в частном, но важном случае однородной среды результаты теоремы 2 существенно уточнены.

Теорема 3. В условиях теоремы 2 система корневых векторов задачи (30) (пучка ), минимальна и полна в Нs. Более того, для всех справедливы утверждения. (1°) В случае однородной среды система корневых векторов пучка образует ортогональный в Нs базис. Для любых векторов , безусловно сходятся (М+1)-кратные разложения со скобками по набору последовательностей , где - набор собственных и присоединенных функций задачи (30). (2°) Операторный пучок , , принадлежит классу операторов и обладает (квази) осцилляционными свойствами; все собственные значения м являются простыми, вещественными и образуют счетное множество; система отвечающих им векторов образует ряд Маркова.

Опираясь на результаты, полученные для вспомогательной задачи (30), установлен важный результат для спектральной задачи (29).

Теорема 4. Пусть выполнены Условия 1,2,А. Тогда спектр задачи (29) состоит из собственных значений конечной кратности, симметричен относительно вещественной оси и имеет предельные точки , и, возможно, на прямой . Для достаточно больших л все собственные значения, за исключением, быть может, конечного числа, попадают в область , где е>0 - произвольное достаточно малое число. Система корневых векторов задачи (29) полна в .

В рамках теоремы 3 установлен также важный результат об асимптотике спектра оператора спектральной задачи (30), из которого вытекает существование счетного подмножества , состоящего из простых вещественных чисел . При этом не исключается, что часть множества может находиться в области , но они не участвуют в формулировке теорем 2,3. Более того, в случае однородной среды получены двусторонние оценки асимптотического спектра.

В заключение главы 6 приведено несколько полезных замечаний и выводов. Прежде всего, несомненный интерес представляет рассмотрение операторного пучка (30) в случае М=1 (одной группы запаздывающего излучения (нейтронов)); тогда его можно записать в следующем виде

этот абстрактный пучок известен и достаточно хорошо изучен. Для пучка возможен детальный и полный анализ, основным нетривиальным фактом здесь является принадлежность пучка (задачи (30)) к типу так называемых сильно демпфированных систем (в теории колебаний механических систем изучаются квадратичные пучки такого типа).

Остановимся на физической трактовке полученных результатов для задачи (30) (пучка ), . Рассматривая нашу задачу в случае М=1 по аналогии с демпфированными колебаниями механических систем, сделан вывод, что роль внутреннего сопротивления играет запаздывающее излучение. Существует счетное множество нормальных колебаний, которые представляют собой апериодические движения; периодических колебаний нет. Нормальные колебания образуют двухкратно полную систему. Не существует сколь угодно быстро затухающих апериодических движений (м>0). Особо отмечается, что при наличии запаздывающего излучения множество N всегда не пусто.

Другой вывод касается принципа линеаризации - теорема 4 определяет структуру и спектр устойчивости (по В.И. Юдовичу) стационарных решений исходной системы (1) - (3). Если спектр устойчивости расположен внутри левой полуплоскости комплексной плоскости, то стационарное решение устойчиво (асимптотически устойчиво). Если хотя бы одна точка спектра устойчивости находится внутри правой полуплоскости, то стационарное решение неустойчиво. Если в правой полуплоскости нет точек спектра устойчивости, но они имеются на мнимой оси (критический случай), то нельзя сделать заключение об устойчивости, ограничиваясь линейным приближением (см. Гл.5). В конечномерном случае эти утверждения составляют содержание известных теорем А.М. Ляпунова. В главе 6 эти теоремы установлены для одного класса бесконечномерных уравнений, включающих интегродифференциальный оператор переноса и параболический оператор, т.е. для несамосопряженной системы уравнений в частных производных смешанного типа. В этой связи необходимо отметить, что оператор переноса, вообще говоря, не относится к классу классических уравнений математической физики (например, уравнения параболического типа, волновые уравнения, уравнения Навье - Стокса и т.д.).

Глава 7 «Инвариантные многообразия и нелинейные свойства решений» посвящена рассмотрению нелинейных явлений и свойств решений исходной задачи (1) - (3). Анализ нелинейной диссипативной системы уравнений (1) - (3) проведен на основе результатов, полученных в предыдущих главах, с использованием данных о характере и структуре спектра линеаризованной задачи (28), а также с привлечением понятий теории гиперболических множеств, теории бифуркаций и притягивающих инвариантных множеств.

В параграфе 1 главы 7 даны необходимые понятия и определения, в частности, устойчивые и неустойчивые инвариантные (локальные) многообразия, притягивающие множества (аттракторы, квазиаттракторы), гомоклинические и гетероклинические траектории, а также некоторые другие необходимые результаты теории бесконечномерных диссипативных динамических систем.

Параграф 2 главы 7 посвящен рассмотрению в вещественном банаховом пространстве Е абстрактного эволюционного уравнения

(31)

неавтономное слагаемое периодично по t с периодом Т(>0). Класс исследуемых задач определен с помощью системы условий (А1) - (А5). В качестве частного случая он включает в себя системы квазилинейных уравнений в частных производных с линейной главной частью и, возможно, непустым существенным спектром.

(А1) (i) - неограниченный линейный оператор со всюду плотной областью определения ; - неограниченный нелинейный оператор , порождающий однопараметрическую непрерывную полугруппу (группу);

(ii) нелинейные отображения , имеют класс гладкости . При этом, возможно, - производная Фреше в точке ;

(iii) уравнение (31) порождает в локальный по времени полупоток (поток) диффеоморфизмов определен для всех и достаточно малых е>0.

(А2) (i) Неавтономное слагаемое в (31) имеет вид , где ;

(ii) линеаризованное уравнение

(32)

имеет Т-периодическое решение , причем .

(А3) Для семейства операторов

(i) - простые вещественные собственные значения оператора ;

(ii) - простые вещественные собственные значения для достаточно малых е>0 и . Множество состоит из точек спектра с отрицательной действительной частью и , где S - единичная окружность на комплексной плоскости; - образ относительно отображения .

(А4) Состояние равновесия невозмущенного (е=0) семейства операторов имеет гомоклиническую траекторию , т.е. для всех . Предполагается, что при гомоклиническая траектория стремится к нулю, касаясь собственного подпространства оператора , отвечающего собственному значению м. В свою очередь, при , касаясь собственного подпространства , отвечающего собственному значению л.

(А5) Предполагается, что существует кососимметрическая, непрерывная, слабо невырожденная, билинейная (симплектическая)форма и гладкая функция такие, что для всех .

Если у автономной динамической системы имеется гомоклиническая траектория состояния равновесия, то при малых по времени периодических возмущениях она может расщепиться с образованием в ее окрестности «грубой» гомоклинической траектории гиперболической периодической орбиты. В свою очередь это означает существование у возмущенной динамической системы нетривиального гиперболического множества, гомеоморфного канторову совершенному множеству Смейл С. // УМН, 1970. Т.25. №1. с.113-185..

В §2 главы 7 показано, что в Условиях (А1) - (А5) для достаточно малых е>0 гомоклиническая (гетероклиническая) траектория г может расщепиться таким образом, что устойчивое и неустойчивое многообразия периодической гиперболической орбиты , рождающейся из состояния равновесия невозмущенного (е=0) уравнения, будут иметь точку трансверсального пересечения. Для этого введены полупоток (поток) , порожденный уравнением (31), и - каноническая проекция. Определено также отображение Пуанкаре для полупотока (потока) на сечении , причем , Т - периодическим орбитам отвечают неподвижные точки . Пусть - периодическая траектория полупотока и - устойчивое, сильно устойчивое и неустойчивое локальные инвариантные многообразия траектории . С помощью модифицированного метода Мельникова установлено поведение и характер пересечения и при достаточно малых е>0. Для этого рассмотрена функция ; здесь - точка трансверсального пересечения с некоторой гиперплоскостью коразмерности единица, проходящей через точку . Аналогично определяется точка . Для функции установлена справедливость представления

(33)

позволяющая вычислить первый член разложения по е; - известная функция Мельникова. Суть данного подхода составляет обобщенный метод Мельникова.

Если L - линейное подпространство в Е, то , где - касательное подпространство к многообразию в точке v. Гомоклиническая траектория симметрична, если для всех . Основным результатом §2 является

Теорема 5 (обобщенная теорема Биркхофа - Смейла). Пусть выполнены Условия (А1) - (А5) и форма Щ невырождена на подпространстве . Если гомоклиническая (гетероклиническая) траектория симметрична, функция имеет невырожденный нуль, то при достаточно малых е>0 многообразия и неподвижной точки отображения имеют точку трансверсального пересечения.

В силу общности предположений установленное существование трансверсальной гомоклинической (гетероклинической) точки пересечения влечет за собой существование бесконечного, по крайней мере, счетного множества гомоклинических (гетероклинических) точек пересечения с различными траекториями.

Более того, сделан важный вывод: трансверсальные пересечения порождают хаос (в наших условиях); близкие результаты получены в работах Лерман Л.М., Шильников Л.П. // Сиб. матем. ж., 1988. Т.29. №3. с.92-103., Hale J.K., Xiao - Biao Lin // Ann. Math. Pura Appl., 1986. V.144. №4. p.229-259.. Указано также, что установление условий теоремы связано с исследованием конкретной модели динамической системы в соответствующих функциональных пространствах.

В параграфе 3 главы 7 рассмотрены примеры динамических систем, для которых установлены некоторые аналоги теоремы 5. Для этого исходная система (1) - (3) записана в следующем виде

(34)

; T>0 - некоторый период; е?0 - малый параметр. Операторы и определены следующим образом:

Задача (34) порождает в локальный по времени диффеоморфизм , который определен для всех и всех , достаточно малых.

Класс задач вида (34) включает в себя системы уравнений смешанного типа: например, интегродифференциальные и параболические уравнения в частных производных с линейной главной частью и непустым существенным спектром, включая, возможно, континуум непрерывного спектра. Системы подобного типа трудны для анализа, поскольку в общем случае сложно установить структуру и характер спектра; дополнительные трудности возникают вследствие несамосопряженности задачи.

Опираясь на результаты предыдущего анализа, в частности, результаты спектрального анализа главы 5, в §3 главы 7 установлена справедливость системы Условий (А1) - (А5) для задачи (34) при некоторых уточняющих условиях гладкости. Основным результатом такого анализа является

Теорема 6. Пусть выполнены Условия 1,2,А и форма Щ невырождена на подпространстве , т.е. функция Мельникова (33) имеет простые нули и не зависит от е>0. Если гомоклиническая траектория симметрична, то устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия неподвижной точки отображения имеют точку трансверсального пересечения, т.е. при достаточно малых е>0.

Значение данного результата обусловлено возможностью конструктивной проверки существования трансверсальных гомоклинических (гетероклинических - в общем случае) орбит для конкретных динамических систем. Из факта существования таких орбит, в силу теоремы Смейла - Биркхофа, следует, что некоторая итерация отображения Пуанкаре имеет инвариантное гиперболическое множество - подкову Смейла. Это множество содержит счетное множество (неустойчивых) периодических орбит, несчетное множество ограниченных непериодических орбит и плотную орбиту. Представляет большой практический интерес чувствительность к выбору начальных данных, которую придает подкова полупотоку для данной динамической системы.

Фактически анализ хаотического поведения для конкретных динамических систем включает в себя идентификацию гиперболических инвариантных множеств, что должно являться предметом отдельного исследования. В §3 главы 7 с помощью теоремы 6 и на основании гомоклинической теоремы Смейла получен важный результат.

Теорема 7. Пусть выполнены Условия теоремы 6 и -диффеоморфизм, порождаемый задачей (31) (системой (1) - (3)), для которого существует гиперболическая неподвижная точка р. Тогда существует , такое, что и обладает гиперболическим инвариантным множеством Л, на котором топологически эквивалентен подсдвигу конечного типа.

Поскольку нуль-мерные гиперболические множества топологически сопряжены подсдвигам конечного типа, то из теоремы 7 вытекает существование нуль-мерного множества Л, т.е. канторова совершенного нигде не плотного множества, топологически эквивалентного инвариантному множеству подковы Смейла.

В качестве одного из следствий теоремы 7 сделан вывод о возможности введения марковских разбиений для описания динамики инвариантного гиперболического множества Л. Более того, опираясь на результаты главы 4, на марковских разбиениях предлагается ввести топологические марковские цепи, которые являются удобным инструментом для структурного анализа притягивающих множеств (аттракторов, квазиаттракторов) диффеоморфизма 8.

В параграфе 3 главы 7 указан также практический пример хаотического нерегулярного поведения реальной динамической системы, описываемой задачей (1) - (3).

В результате анализа экспериментальных данных была построена модель и дана теоретическая трактовка последовательностям бифуркаций удвоения периода в некотором однопараметрическом семействе при изменении параметра (мощность, давление). Эти последовательности обладают структурой универсальных последовательностей Фейгенбаума, в том числе, масштабной инвариантностью. Установлено, что переход к «хаосу» через последовательности бифуркаций удвоения периода является общим свойством рассматриваемых нелинейных диссипативных систем, приближающихся к гомоклиническому касанию устойчивого и неустойчивого многообразий некоторой периодической орбиты (неподвижной точки).

В качестве более простого примера динамической системы в заключение §3 рассмотрено известное уравнение типа синус-Гордон с нулевыми граничными условиями Дирихле на отрезке [0,1], которое возмущено внешней периодической силой и силой вязкого трения. В форме системы уравнений первого порядка оно имеет вид

(35)

f(x) - заданная гладкая функция. Проверка условий теоремы 5 для системы (35) говорит о том, что при достаточно малых е>0 она будет иметь грубую гомоклиническую траекторию гиперболической периодической орбиты, если у функции Мельникова существует невырожденный нуль. В случае невырожденный нуль существует при условии

Параграф 4 главы 7 посвящен исследованию условий существования и анализу свойств инвариантных экспоненциально притягивающих конечномерных многообразий - инерциальных многообразий для исходной задачи (1) - (3). В последнее время интенсивно обсуждается эффект «конечного» поведения решений диссипативных эволюционных уравнений при Constantin P., Foias C., Nicolaenco B., Temam R. Integral manifolds and inertial manifolds for dissipative partial differential equations. N.-Y. etc.: Springer, 1989.. В ряде случаев такое поведение решений определяется динамикой на некотором инвариантном () конечномерном (гомеоморфном ) многообразии . В известном смысле это обстоятельство позволяет свести уравнение (31) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в (гипотеза Е. Хопфа) Hopf E. // Comm. Pure Appl. Math., 1948. V.1. p.303-322..

В §4 установлено, что в условиях (А1) - (А5) уравнение (31) обладает (универсальным) минимальным глобальным аттрактором (более точно - В-аттрактором) для нелинейной полугруппы , который является основным объектом исследований Ладыженская О.А. // Теорет. и мат. физика: Сб. обзорных статей. 3. Труды МИАН СССР. Т.175. М.: Наука, 1986.. Ввиду конечной размерности А его исследование заключается во вложении в гладкое конечномерное многообразие М, и если М инвариантно, то сужение векторного поля исходной системы на многообразие М означает:
(i) инерциальное многообразие содержит все компактные инвариантные множества уравнения (31), что позволяет свести описание таких множеств к соответствующей задаче ОДУ в ; (ii) множество М обладает свойством нормальной гиперболичности на А, что возникает при рассмотрении уравнения в вариациях (32).

Инерциальное многообразие М является нормально гиперболическим на А, если существует разложение на подпространства, непрерывно зависящие от . Здесь - касательное подпространство множества М в точке ; - некоторое дополнительное (ко)подпространство в точке . Касательные и нормальные пучки с необходимостью положительно инвариантны с потоком, равномерно удовлетворяющим экспоненциальным оценкам для решений :

для всех

для всех

Таким образом, в условиях (А1) - (А5) уравнение в вариациях (32) допускает экспоненциальную дихотомию. Идея данного понятия состоит в том, что множество М испытывает сжатие в нормальном направлении сильнее (л>м), чем в касательном. Как следствие нормальной гиперболичности в условиях (А1) - (А5) установлен принцип сведения: компактные инвариантные множества М уравнения (31) и множества М соответствующей системы ОДУ устойчивы или неустойчивы одновременно. Поэтому существование инерциального многообразия М можно рассматривать как динамическую версию метода Галеркина.

В параграфе 4 главы 7 указаны достаточные условия того, что уравнение (31) обладает инерциальным многообразием. Эти условия фактически сводятся к оценке спектрального зазора (в литературе употребляется термин «условие конуса») для оператора линеаризованной задачи (1).

Теорема 8. Пусть выполнены Условия (А1) - (А5) и к+1 -к2L; к - изолированные вещественные собственные значения конечной кратности оператора , т.е. принадлежащие дискретному спектру ; L - постоянная Липшица из оценки (А1) (ii). Тогда в Е существует k-мерное инерциальное многообразие с асимптотической фазой.

Условия теоремы накладывают достаточно жесткие ограничения на возможность существования инерциальных многообразий; известны контрпримеры20. Это происходит не по причине отсутствия гладкости у оператора , и не по причине того, что аттрактор А слишком большой. Требование нормальной гиперболичности вместе с возможным появлением собственных (и присоединенных) значений высокой кратности для линеаризованной задачи накладывает очень жесткие ограничения на возможную размерность инерциального многообразия М. Вышеуказанный контрпример говорит о том, что возникновение нормального гиперболического инерциального многообразия является весьма тонким и деликатным явлением; оно возникает только в подпространстве достаточно низкой размерности. Требование нормальной гиперболичности инерциальных многообразий не является, очевидно, необходимым условием. Однако без этого свойства нельзя ожидать, что инерциальные многообразия будут грубыми (типичными) и устойчивыми при малых возмущениях.

В §4 указано на возникающее определенное противоречие. Если мы работаем с устойчивыми (в классическом смысле определения Андронова - Понтрягина) инвариантными многообразиями (экспоненциальными аттракторами), тогда действительно нужно принимать во внимание только устойчивые (в определенном смысле) инерциальные многообразия. С другой стороны, известно о существовании квазиаттракторов (странных аттракторов), которые не являются устойчивыми, но мы уверены, что такие системы являются реалистичными моделями хаотического поведения Гукенхеймер Д., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. М.-Ижевск: РХД. 2002.. Укажем также на существование «диких» гиперболических множеств, которые по определению являются неустойчивыми. Таким образом, регулярные (по Андронову - Понтрягину) инвариантные множества могут представлять собой весьма малую часть всех возможных инерциальных многообразий.

В заключение §4 главы 7 установлены условия существования инерциальных многообразий для исходной задачи (1)-(3) в Условиях 1,2,А. Для применения теоремы 8 необходимо провести оценку спектрального зазора (проверить условие конуса), которая проведена на основании результатов в случае однородной среды (см. комментарии к теореме 3).В общем случае такие оценки неизвестны. Проверка других условий теоремы 8 не вызывает затруднений.

Глава 8 «Задачи нелинейной теории переноса в многогрупповом диффузионном (Р1-) приближении» посвящена общей постановке задачи (1) - (3), где перенос излучения и вещества описывается в многогрупповом диффузионном (Р1-) приближении, и кратком обзоре полученных здесь результатов. Эти результаты важны с практической точки зрения, поскольку почти все проектные и инженерные расчеты, комплексы вычислительных программ основаны на много (мало) групповом диффузионном (Р1-) приближении. Для функционирования этих вычислительных комплексов разработана соответствующая система обеспечения многогрупповыми ядерно-физическими константами.

В параграфе 1 главы 8 дана общая постановка модельной задачи (семейства моделей) переноса в многогрупповом диффузионном (Р1)-приближении, которая описывается следующей, наиболее распространенной в практике, системой уравнений:

(36)

, с начальными и граничными условиями

(37)

(38)

Здесь - производная по конормали к поверхности Г, j=1,…,m; - внешняя нормаль к границе Г выпуклой ограниченной области G в точке . За точку отсчета температуры T(x,t) принята температура окружающей среды. В системе (36) - (38) ; ; ; ; ; ; ; - плотность и скорость излучения (нейтронов) в группе j; - концентрация источников запаздывающего излучения в группе k; - действительные неотрицательные постоянные; k=1,…,M(<?); i,j=1,…,m.

Операторное уравнение для температуры в системе (36) записано в достаточно общем виде, позволяющем охватить практически все случаи переноса тепла в размножающих и замедляющих средах. Конкретизация нелинейного оператора соответствует конкретизации характера выделения тепла (энерговыделения) в процессе деления ядер делящихся материалов и (или) других актов выделения тепла.

В качестве примера конкретизации нелинейного оператора можно принять, что

. (39)

Конкретизация линейного, вообще говоря, неограниченного оператора соответствует конкретизации способа и характера переноса тепла в различных частях объема ; в качестве простого примера для оператора можно указать выражение (6). Более сложный пример конкретизации оператора доставляет распределенная активная среда, состоящая из технологических каналов, в которых тепло выделяется в результате процесса деления ядерного топлива. В то же время система технологических каналов охлаждается с помощью жидкого теплоносителя, который прокачивается через активную среду в пространстве между тепловыделяющими элементами.

Система (36) - (38) является наиболее общим семейством моделей переноса излучения (нейтронов) в многогрупповом диффузионном (Р1-) приближении с учетом температурной обратной связи. Условия на область G совпадают с Условием 1. Следующее условие является аналогом Условия 2.

Условие 2D. Функции представляют из себя неотрицательные измеримые в соответствующих областях определения функции, удовлетворяющие следующим условиям ограниченности:

при , , ; . На Гi функции могут терпеть разрывы первого рода, при этом выполнены условия согласования на поверхностях раздела зон Гi, i=1,…,N.

В общей формулировке задачи (1) - (3) нет аналога следующим двум условиям.

Условие 3D. Будем считать, что существуют , такие, что

Условие 4D. Будем считать, что функции при любой фиксированной являются ограниченными измеримыми на G функциями, причем равномерно по справедливы оценки:

здесь - постоянные; t=m,M; i=a,s,f; l,j=1,…,m. Отметим, что возможны случаи, когда для всех , где , , . Кроме того, функции , рассматриваемые как отображения из в , обладают липшицево непрерывной производной Фреше .

Параграф 2 главы 8 посвящен постановке модельной задачи (семейству моделей) об устойчивости пространственного нейтронно-температурного распределения в размножающих средах с учетом поведения предшественников запаздывающего излучения в многогрупповом диффузионном (Р1-) приближении (так называемая ксеноновая неустойчивость). Наиболее общая система уравнений имеет вид:

 (40)

с начальными и граничными условиями (37), (38). Здесь ; - действительные положительные постоянные; - концентрация ядер предшественников (йода и ксенона) запаздывающего излучения (нейтронов).

Задача об устойчивости системы (39), (37), (38) имеет значительный практический интерес и актуальность вследствие экспериментального обнаружения явления ксеноновой неустойчивости. Данная задача рассматривалась при выполнении Условий 1, 2D - 4D; для функций справедливы все положения Условия 4D, l=J, Xe. Анализ задачи (39), (37), (38) проведен на основе результатов исследования задачи (36) - (38) с помощью методов и подходов, примененных к задаче (1) - (3). Это позволило установить ряд важных результатов по п.п. (1 - 5), в частности, о структуре и характере спектра линеаризованной задачи, условиях существования ведущего собственного значения, полноте корневых векторов и ряд других.

Параграф 3 главы 8 посвящен сравнительному анализу результатов, полученных для нелинейных задач (1) - (3) и (36) - (38), где перенос излучения и вещества описывается, соответственно, газокинетическим уравнением и его многогрупповым диффузионным (Р1-) приближением. Указано на качественные отличия в структуре и характере спектра этих двух задач, что, в свою очередь, приводит к различному характеру асимптотического поведения решений. С другой стороны, отмечено, что при определенных условиях может существовать ведущее собственное значение задачи, которому отвечает единственное решение; эти условия существенно различные для задачи (1)-(3) и задачи (36)-(38). Выполненный анализ позволил сформулировать некоторые качественные выводы относительно изменений в спектральной картине модельных задач.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе дано развитие и обоснование строгой математической теории нелинейных уравнений переноса и на этой основе решен ряд проблем теоретического и прикладного характера, относящихся к вопросам устойчивости и нелинейным явлениям для диссипативных динамических (реакторных) систем.

1. Сформулированы условия существования глобального решения и условия существования локального решения для нелинейной системы (семейства) уравнений, описывающей нестационарные нейтронно-температурные распределения в ограниченных (мультиплицирующих) средах. Исследованы свойства операторов нелинейной задачи, включая свойство положительности решений в банаховых пространствах с положительными конусами. Эти результаты обобщают теоремы о продолжимых и непродолжимых решений в теории нелинейных динамических систем с распределенными параметрами.

2. Построена теория нелинейной стационарной задачи, отвечающей исходной; установлены теоремы существования и свойства решений; указаны условия существования ведущего собственного значения; доказаны теоремы полноты собственных (корневых) векторов и условия существования базиса Рисса. Исследованы тонкие свойства спектра в некоторых важных частных случаях, а именно: установлено существование счетного множества простых вещественных собственных значений над некоторым множеством положительных конусов конечного ранга; найдена оценка спектрального зазора; показано существование счетного множества точек бифуркации; обоснованы чебышевские методы ускорения сходимости вычислительных алгоритмов; наконец, проведен качественный анализ количества, характера и устойчивости решений на некотором инвариантном множестве.

3. Построена спектральная теория для линеаризованной задачи, которая базируется на результатах теории нелинейной стационарной задачи и результатах анализа ее спектральных свойств. В частности, установлены принцип линеаризации и спектр линеаризации (по В.И. Юдовичу); исследованы свойства гладкости нелинейной диссипативной полугруппы, разрешающей исходную задачу; доказаны теоремы о структуре спектра операторного пучка (обобщенного в смысле М.В. Келдыша), где спектральный параметр нелинейным образом входит в пучок, найдена асимптотика спектра; установлена полнота корневых векторов (кратная полнота по М.В. Келдышу) и условия сходимости; найдены условия существования ведущего собственного значения и отвечающего ему (единственного) элемента из положительного конуса. В случае однородной среды результаты существенно уточнены: установлена минимальность, полнота и базисность системы корневых векторов; показана принадлежность операторного пучка классу вполне положительных операторов; обнаружено существование собственных элементов, обладающих (квази)осцилляционными свойствами.

4. Для абстрактного эволюционного уравнения достаточно общего вида сформулирована обобщенная теорема Биркхофа - Смейла. Тем самым найдены условия существования (обобщенный метод Мельникова) гомоклинической (гетероклинической) точки пересечения (локальных) устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий для некоторого семейства абстрактных эволюционных уравнений. Установлены условия существования инвариантного гиперболического множества, топологически эквивалентного подсдвигу конечного типа (канторова, топологически эквивалентного подкове Смейла). В качестве примера рассмотрена исходная нелинейная задача и уравнение типа sin-Гордон; сформулировано утверждение: трансверсальная гомоклиническая (гетероклиническая) траектория порождает хаос («динамический реакторный хаос»).

5. Дана трактовка экспериментально наблюдавшегося перехода к «реакторному хаосу» через последовательность бифуркаций удвоения периода в некотором однопараметрическом семействе при изменении параметра от значений, при которых оно имеет лишь неподвижные точки, к значениям, при которых существует бесконечное (по крайней мере, счетное) множество периодических орбит. Каскады бифуркаций удвоения периода обладают структурой универсальных последовательностей Фейгенбаума и свойством масштабной инвариантности. Установлено, что переход к «хаосу» через последовательность бифуркаций удвоения является общим свойством рассмотренных модельных систем, приближающихся к гомоклиническому касанию устойчивого и неустойчивого многообразий некоторой периодической орбиты (неподвижной точки).

6. Развит конструктивный подход в теории нелинейных динамических систем, основанный на существовании инвариантных экспоненциально притягивающих конечномерных многообразий - инерциальных многообразий и на его основе впервые установлены условия их существования для абстрактных эволюционных уравнений с компактной (квазикомпактной) полугруппой и нормальным гиперболическим множеством. Проведен качественный анализ инерциальных многообразий для исходной нелинейной задачи и установлена экспоненциальная дихотомия, асимптотическая k-мерность, свойство притяжения с асимптотической фазой; сформулирован принцип сведения. Для исходной задачи установлено существование конечномерного инерциального многообразия и тем самым сформулирован нелинейный динамический метод Галеркина.

7. Изложенные подходы и методы распространены на семейство модельных задач, где перенос описывается в многогрупповом диффузионном (Р1-) приближении; соответствующие результаты получены для этой задачи. В качестве примера более сложной нелинейной задачи сформулирована достаточно общая модельная задача, которая описывает ксеноновую неустойчивость реакторных систем и представляет практический интерес.

Рассматривая работу, в целом можно сделать вывод, что в ней решена важная научно-техническая проблема, связанная с дальнейшим развитием и обоснованием математической теории нелинейных уравнений переноса излучения (нейтронов), включая семейство модельных задач в многогрупповом диффузионном (Р1 -) приближении, а также с исследованием сложных нелинейных нерегулярных режимов и динамических характеристик с целью обеспечения безопасности эксплуатации ядерных реакторов.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Макин Р.С. О существовании ведущего собственного значения для одной задачи Р1-приближения. // Функц. анализ и его приложения. 1984. Т.18. Вып.4. с.88-89.

2. Макин Р.С. О спектре стационарного односкоростного уравнения переноса с изотропным рассеянием. // Докл. АН СССР. 1984. Т.274. №3. с.536-540.

3. Макин Р.С. О спектре стационарного односкоростного уравнения переноса с линейной зависимостью индикатрисы рассеяния от углов. // Дифференц. уравнения. 1985. Т.21. №.6. с.1032-1036.

4. Макин Р.С. Метод собственных функций решения некоторых задач термализации нейтронов. // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика и техника ядерных реакторов. 1984. Вып.6(43). С.18-22.

5. Makin R.S. On the spectrum of the steady-state single-speed transport equation with isotropic scattering. \\ Soviet Math. Dokl. 1984. V.29. №1. p.59-63.

6. Макин Р.С. О спектре многогруппового диффузионного приближения уравнения переноса нейтронов. // Дифференц. уравнения. 1986. Т.22. №9. с.1623-1626.

7. Либенсон М.Н., Макин В.С., Макин Р.С. Дисперсия поверхностных поляритонов в среде с пространственно неоднородной диэлектрический проницаемостью. // Оптика и спектроскопия. 1985. Т.59. Вып.4. с.916-919.

8. Макин Р.С. О существовании ведущего собственного значения для одной линеаризованной задачи динамики реакторов. // Функц. анализ и его приложения. 1987. Т.20. №1. с.80-81.

9. Макин Р.С., Шихов С.Б. О полноте системы собственных функций многогруппового диффузионного приближения условно-критической задачи с однородной активной зоной и произвольным отражателем. // Дифференц. уравнения. 1987. Т.23. №10. с.1812-1815.

10. Макин Р.С. О спектре стационарного многоскоростного спектра переноса с линейной зависимостью индикатрисы рассеяния от углов. // Ред. журнала «Дифференциальные уравнения». 1987. Деп. статья. №4816-887. с.1-19.

11. Макин Р.С. Об одном классе линейных положительных операторов. // Математические заметки. 1988. Т.43. №1. с.71-81.

12. Макин Р.С. О полноте корневых векторов системы интегродифференциальных уравнений кинетики реактора. // Дифференц. уравнения. 1988. Т.24. №3. с.508-516.

13. Макин Р.С. О полноте корневых векторов одной задачи кинетики реактора в диффузионном приближении. // Дифференц. уравнения. 1988. Т.24. №6. с.1053-1056.

14. Макин Р.С. О свойствах решений и полноте собственных функций одной интегродифференциальной системы уравнений динамики реактора. // Дифференц. уравнения. 1988. Т.24. №10. с.1811-1818.

15. Макин Р.С. О спектре стационарного односкоростного уравнения переноса с краевыми условиями типа отражения. // Функц. анализ и его приложения. 1990. Т.24. Вып.2. с.99-100.

16. Макин Р.С. О полноте корневых векторов одной линеаризованной задачи динамики реакторов. // Дифференц. уравнения. 1990. Т26. №10. с.1800-1805.

17. Макин Р.С. Об ограниченности области притяжения стационарного решения нелинейной диффузионной системы уравнений динамики регулируемого реактора. // Дифференц. уравнения. 1991. Т.27. №3. с.511-520.

18. Макин Р.С. О полноте корневых векторов одной линеаризованной задачи динамики реактора в многогрупповом диффузионном приближении. // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Ядерная техника и технология. 1991. Вып.6. с.29-36.

19. Макин Р.С. О существовании глобального решения одной нелинейной диффузионной системы уравнений. // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Ядерная техника и технология. 1991. Вып.6. с.22-29.

20. Макин Р.С. Об асимптотике решений некоторых задач динамики реакторов. // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Ядерная техника и технология. 1992. Вып.6. с.59-67.

21. Макин Р.С. Об устойчивости кипящего реактора как нелинейной динамической системы. // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Ядерная техника и технология. 1992. Вып.6. с.24-28.

22. Макин Р.С. Свойства решений некоторых интегродифференциальных задач динамики реакторов. // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Ядерная техника и технология. 1992. Вып.6. с.29-38.

23. Макин Р.С. О спектре стационарного односкоростного оператора переноса с анизотропным рассеянием. // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика и техника ядерных реакторов. 1993. Вып.1. с.13-19.

24. Makin R.S. Some Regularity in Simulating of Sophisticated Dynamical Systems. // Proceedings of 7-th European Simulation Symposium ESS'95. Erlangen - Nuremberg, Germany. 1995. p.798-801.

25. Макин Р.С. О свойствах решений одной задачи динамики реакторов с учетом ксеноновых колебаний. // Дифференц. уравнения. 2004. Т.40. №4. с.80-89.

26. Макин Р.С. О гомоклинических траекториях для одной задачи динамики реакторов. // Вестник УлГТУ. 2005. Вып.1(29). с.21-31.

27. Макин Р.С. О гомоклинических траекториях эволюционных уравнений. // Дифференц. уравнения. 2005. Т.41. №4. с.479-489.

28. Makin R.S. On homoclinic trajectories of evolution equations. \\ Differ. Eqts. 2005. V.41. №4. p.506-517.

29. Макин Р.С. О стационарных решениях нелинейной динамики реакторов. // Вестник УлГТУ. 2006. Вып.1(30). с.23-33.

30. Макин Р.С. О свойствах решений одной нелинейной интегродифференциальной системы уравнений переноса. // Сб. статей: Матем. методы теорет. физики. Ульяновск: УлГУ. 2007. с.3-59.

31. Макин Р.С. О гомоклинических траекториях эволюционных уравнений. // Сб. статей: Матем. методы. теорет. физики. Ульяновск: УлГУ. 2007. с.81-100

32. Makin R.S. On one the nonlinear spectrum problem. // Proceedings of the International Seminar “Days on Diffraction - 2006”, 2006. St.-Petersburg. p.161-166.

33. Макин Р.С. Математические задачи нелинейной теории переноса.Газокинетическая теория. Ульяновск-Димитровград. Изд-во УлГТУ,2006. 256 с.

34. Макин Р.С. Введение в теорию инвариантных притягивающих множеств (аттракторов). Учебное пособие. Ульяновск-Димитровград. Изд-во УлГТУ, 2006. 100 С.

35. Макин Р.С. Введение в теорию нелинейных диссипативных динамических систем. Учебное пособие. Ульяновск-Димитровград: Изд-во УлГТУ,2006.

36. Makin V.S., Makin R.S., Vorobyev A.Yu., Guo Ch. Universality of Feigenbaum and dissipative microstructures for highly nonequilibrium nonlinear systems. \\ Proc. of Inter. Seminar “Days on Diffraction-2007”. St.-Petersburg, 2007. p.60-66.

37. Makin V.S., Makin R.S. Feigenbaum universality and Sharkovsky order for dissipative structures of highly nonequilibrium nonlinear systems.\\ Proc. of Intern. Conference “Fundamentals of Laser Assisted Micro- and Nano-technologies ( FLAMN-07)”. St.-Petersburg. 2007. p.56-57.

38. Макин В.C., Макин Р.С., Воробьев А.Ю., Гуо Ч. Диссипативные наноструктуры и универсальность Фейгенбаума в неравновесной нелинейной динамической системе металл-мощное поляризованное короткоимпульсное излучение. // Письма в ЖТФ. 2008. Т.34. Вып.9. с. 55-64.

39. Макин Р.С. Введение в динамическую теорию бифуркаций. Ульяновск-Димитровград: Изд-во УлГТУ, 2008. 59 с.

40. Makin V.S., Makin R.S. Fundumental universality and dissipative microstructures for highly nonequilibrium nonlinear systems. \\ Proc. of Intern. Conference-10-th Charitonov scientific colloquium “ Power laser and investigations of the highly densities energy physics ”. Sarow. 2008. p. 21-23.

41. Makin V.S., Makin R.S., Vorobyev A.Yu.,Guo Ch. Dissipative nanostructures and Feigenbaum's universality in the “Metall-High-Power Ultrashot-Pulsed Polarized Radiation” nonequilibrium nonlinear dynamic system. \\ Techn. Phys. Letters. 2008. V.34. №5. p.387-390.

42. Макин Р.С. Нелинейные задачи теории реакторов. Газокинетическое уравнение. Учебное пособие. Ульяновск - Димитровград: Изд-во УлГТУ,2008.

43. Makin V.S., Makin R.S. Fundamental universality and dissipative micro- and nanostructures for highly nonlinear systems. // Proc. of Conf. “ Applied Optics - 2008 ”. St.-Petersburg, 2008. V.2. p. 187-191.

44. Макин В.С., Макин Р.С., Воробьев Ф.Я., Гуо Ч. Универсальность Фейгенбаума и порядок Шарковского в лазерно-индуцированных периодических структурах на поверхностях и в объеме конденсированных сред. // В сб. статей: Нелинейность в современном естествознании. М.: Изд-во УРСС, 2008. с.319-341.

45. Макин Р.С. О собственных значениях для некоторых классов положительных операторов. // Матем. заметки. 2009. Т.85. №2. с.214-226.

Размещено на Allbest.ru

...