Вопросы квантовой динамики частицы в структурах с обычной и фрактальной геометрией

Остальные параметры рассеяния - и - удовлетворяют двум связанным функциональным уравнениям. После замены их можно записать в виде

; (25)

где , если , иначе ; фаза находится в первой четверти на комплексной плоскости, причем . Обнаружено три типа решений, с разной асимптотикой в области :

;

; (26)

;

здесь ; и - произвольные вещественные константы, не равные нулю; - вещественная функция - .

На всей шкале значений параметра решение имеет вид ; и - указанные выше асимптотики, а функции и () определяются рекуррентными соотношениями

Для СФП на обобщенном канторовом множестве, в котором СФП -го уровня состоит из одинаковых СФП -го уровня и одинаковых лакун (внебарьерных областей), модель строится аналогично (теперь , а ).

Следует лишь отметить, что в данном случае рекуррентные соотношения, связывающие параметры рассеяния СФП соседних уровней, выводятся на основе явных выражений для параметров рассеяния системы одинаковых барьеров (см. (13)).

В общем случае обнаружены те же три типа решений (другими словами, три типа СФП), что и для .

Отметим наиболее характерные особенности поведения функции для каждого из них.

Для первого типа СФП выделяются две области на шкале : в левой области , в правой -; здесь - нижняя огибающая функции .

Две области выделяются и для СФП второго типа: в левой области , в правой - . Для СФП третьего типа выделяются три области.

Для в крайней левой области ; в средней - , если значения и достаточно велики, в противном случае ; в крайней правой области .

Эти три области выделяются и в том случае, когда не является константой. Однако зависимость для СФП третьего типа в этом случае становится сложнее; см. рис.2 для . В этом случае параметры рассеяния СФП зависят от числа лакун, т.е., от , для всех значений .

Этой зависимости нет только в области для СФП второго типа. Таким образом, полуэмпирический метод решения этой задачи на основе модельных уравнений с дробными производными, в которых не учитывается параметр , не получает оправдания в нашем подходе.



Рис.2. Зависимость от для , , жирная линия - ; пунктирная - ; точками изображены асимптоты и

В пределе , СФП первых двух типов рассеивают как -потенциал с той же мощностью . В этом случае, для СФП второго типа , а для первого типа (см. асимптоты (26)). Таким образом, для СФП первого типа возникает ограничение на параметры , и .

Что касается потенциала в форме канторовой лестницы, то здесь не удалось продвинуться так же далеко, как и в случае СФП. Тем не менее, здесь удалось получить функциональное уравнение для матрицы переноса и решить его в предельном случае, когда .

Если СФП, являясь производной канторовой лестницы, рассеивает, согласно первым двум решениям, как -потенциал, то сама канторова лестница, согласно найденному для нее решению, рассеивает в пределе как обычная потенциальная ступенька. В то же время изменение обоих фрактальных потенциалов, в отличие от -потенциала и ступеньки, происходит в интервале , а не в отдельной точке.

Пятая глава посвящена решению проблемы времени туннелирования, которая возникает в рамках стандартной модели одномерного законченного рассеяния и которая предсказывает аномально короткие (эффект Хартмана) и даже отрицательные времена туннелирования. Этот результат неприемлем с точки зрения физики, и поэтому данный эффект больше известен как парадокс, требующий объяснения (см., например, [8]).

Как видно из обзорных работ по проблеме времени туннелирования, все трудности, связанные с описанием временных аспектов одномерного законченного рассеяния, обусловлены, в конечном счете, тем, что на последнем этапе рассеяния исходный волновой пакет, описывающий состояние частицы, распадается на прошедший и отраженный волновые пакеты, локализованных в разных пространственных областях.

В связи с этим, первый вопрос, который неизбежно возникает при решении проблемы времени туннелирования, - это вопрос о том, как хронометрировать движение прошедших и отраженных частиц в данной задаче - раздельно или совместно. Проблема заключается в том, что существующая модель этого процесса не позволяет в принципе ответить на него корректно.

Действительно, с одной стороны, одномерное законченное рассеяние предполагает, что все измерения над частицами должны проводиться на последнем этапе рассеяния, причем с помощью двух детекторов - один для прошедших, а другой для отраженных частиц.

Уже это подсказывает, что данный процесс следует рассматривать как объединение двух одночастичных подпроцессов - прохождения и отражения - и не имеет смысла вводить времена рассеяния как средние значения, общие для этих подпроцессов. Этот вывод следует и из теории вероятностей, согласно которой два (статистических) набора экспериментальных данных, полученных с помощью разных детекторов, не могут описываться одним и тем же (колмогоровским) вероятностным пространством.

Но дело в том, что существующая модель одномерного законченного рассеяния рассматривает этот процесс как единый процесс и не предполагает раздельное описание подпроцессов на всех этапах рассеяния. Это делает невозможным определение времен рассеяния для подпроцессов, поскольку для этого нужно знать их эволюцию в области барьера.

Таким образом, в рамках стандартной модели одномерного законченного рассеяния определение характеристических времен рассеяния невозможно ни для его подпроцессов, ни для всего процесса в целом.

Причем первое не предполагает сама модель (и в ней нет необходимого формализма раздельного описания подпроцессов на всех этапах рассеяния), а второе противоречит теории вероятностей. Определение времени туннелирования в обход этих ограничений как раз и ведет к парадоксу Хартмана.

Таким образом, на наш взгляд, единственный разумный выход из этого тупика, согласующийся с теорией вероятностей (и с принципом соответствия), - это предположить, что одномерное законченное рассеяние есть объединение двух случайных подпроцессов - прохождения и отражения - и попытаться извлечь необходимую информацию об эволюции обоих подпроцессов на всех этапах рассеяния из волновой функции, описывающей весь процесс. Реализация этой программы представлена ниже.

Пусть - энергия электрона, падающего слева на симметричный потенциальный барьер , расположенный в интервале . И пусть и - нечетная и, соответственно, четная вещественные функции - решения уравнения Шредингера в области барьера, причем

; ; .

Волновая функция , описывающая стационарное состояние всего ансамбля частиц в этой задаче, имеет вид



для ,

для , и для ;

,

Поставим задачу найти такие два решения и уравнения Шредингера, что , причем в области

;

.

Можно показать, что существуют две пары функций и , удовлетворяющих этим условиям. В одной паре - четная функция относительно точки , а в другой - нечетная, которая определяется выражениями

,

; , .

Как видно, это решение содержит волны, которые падают на барьер справа (это относится и к функции в данной паре). При этом функция описывает ансамбль частиц, которые не пересекают точку . Учитывая, что в ансамбле частиц, который описывается функцией нет частиц, падающих на барьер справа, мы полагаем, что волновая функция, описывающая в данной задаче подпроцесс отражения, определяется следующими выражениями: для , и для . Соответственно, для подпроцесса прохождения имеем для , и для Обе функции и соответствующие плотности потока вероятности всюду непрерывны (заметим, что четное решение не позволяет построить функции для подпроцессов, удовлетворяющие этому условию непрерывности).

Очевидно, , где, окончательно,

для;

,

для ;

для;

здесь ,

.

Заметим, что не только , но и ! Функции и - это и есть искомые функции, которые описывают в данной задаче подпроцессы отражения и прохождения, соответственно. Заметим, свойства согласуются с тем фактом, что для классических частиц, падающих слева на гладкий симметричный потенциальный барьер и отражающихся от него, центр барьерной области является крайней правой точкой поворота, независимо от массы частицы, а также размеров и формы симметричного барьера.

Заметим также, что хотя функции и , а также соответствующие плотности потока вероятности всюду непрерывны, их первые производные разрывны в точке .

В этой точке обе функции, в отличие от их суммы, не удовлетворяют уравнению Шредингера. Все это относится и к достаточно узким в -пространстве волновым пакетам , и , сформированным, соответственно, из , и . Центр симметричного барьера является особой точкой для подпроцессов. В частности, на отражающиеся частицы в этой точке действует дополнительная сила, возвращающая их обратно в область :

;

- среднее значение импульса. Для подпроцесса прохождения аналогичный вклад описывается выражением .

Для узких пакетов это выражение равно нулю. Заметим также, что в этом случае для любого момента времени справедливы соотношения

, ,

, .

Последнее равенство означает, что в данном случае подпроцессы прохождения и отражения несовместимы, то есть, каждая частица исходного ансамбля, на всех этапах рассеяния, участвует только в одном из этих подпроцессов.

Разложение остается в силе и в общем случае, когда ширина волнового пакета в -пространстве не мала в начальный момент времени. Кроме того, в общем случае сохраняется также и норма функции .

Однако норма функции постоянна и равна только на этапах до и после прохождения через барьер. На самом этапе прохождения ее норма может меняться (уравнение непрерывности нелинейно, поэтому выполнение этого уравнения в точке для стационарных состояний, имеющих разрывную первую производную в этой точке, не гарантирует его выполнение для суперпозиции таких состояний).

Таким образом, в общем случае, при разделении одномерного законченного рассеяния на подпроцессы, линейный формализм квантовой механики не позволяет полностью избавиться от интерференционных вкладов в .

Следует, однако, заметить, что в проведенных численных расчетах для гауссовых волновых пакетов, ширина которых сравнима с шириной потенциального барьера, относительное изменение нормы не превышало семи процентов.

Это объясняется тем, что такие пакеты достаточно быстро расплываются, и в момент рассеяния лишь малая часть пакета находится в области барьера, за счет чего роль точки в эволюции подпроцессов ослабляется. Таким образом, и в общем случае функции и фактически описывают несовместимые подпроцессы.

Теперь, когда эволюция подпроцессов известна на всех этапах рассеяния, можно определить для каждого из них времена рассеяния. Для стационарных состояний в работе вводятся времена пребывания и .

Что касается нестационарных состояний, то здесь рассматриваются только узкие в -пространстве волновые пакеты (для них норма сохраняется). Для таких пакетов вводятся локальные (, ) и асимптотические (, ) групповые времена рассеяния, и ларморовы времена рассеяния (, ):

,

;

;

;

;

угловые скобки обозначают усреднение по in- и out-состояниям, а штрих - производную; для симметричных барьеров .

Пусть

;

где определяется из начального условия для , тогда

,

где .

Заметим, что все эти концепции времени рассеяния были известны и раньше. Новым является то, что здесь они вводятся на основе функций и , а не . В результате, свойства времен рассеяния в новой и стандартной моделях одномерного законченного рассеяния различаются качественно. Выделим два, на наш взгляд, наиболее важных различия.

1) Стандартная модель базируется на неявном предположении, что прошедшие и отраженные частицы стартуют, в среднем, из той же точки, что и частицы всего ансамбля. Однако в новой модели это не так. Рассмотрим, например, -потенциал, полагая без потери общности, что . В этом случае в стандартной модели равно

, где ,

при этом .

В новой модели

, , .

2) Согласно стандартной модели, для электрона с заданной энергией, туннелирующего через широкий прямоугольный барьер, конечные показания ларморовых часов дают время пребывания частицы в области барьера (напомним, что ларморова процедура хронометрирования предполагает включение в области барьера слабого магнитного поля, направленного ортогонально движению частиц).

С ростом ширины барьера, эта характеристика выходит на насыщение (эффект Хартмана). Это означает, что эффективная скорость туннелирования электрона в этом случае может превышать скорость света. Однако в новой модели ситуация иная.

Действительно, время (которое определяется через параметры прошедшего волнового пакета и, следовательно, одинаково в обеих моделях) выходит на насыщение с ростом ширины барьера.

Однако дело в том, что эта характеристика не равна времени пребывания частицы в области барьера .

Согласно новой модели

,

где - показания ларморовых часов перед вхождением в область барьера,

- длительность ларморовой прецессии спина электрона в слабом магнитном поле,

- вклад, описывающий вращение (среднего) спина проходящих через барьер частиц, связанное с особенностью в эволюции процесса прохождения в точке (этот вклад может иметь любой знак).

Для узких пакетов . С ростом ширины барьера эта характеристика растет экспоненциально и, следовательно, эффективная скорость туннелирования частицы экспоненциально убывает.

В этом случае

, если .

Заметим, что появление вклада , связанного с тем, что центр симметричного барьера является особой точкой для подпроцессов, играет важную роль в объяснении парадокса Хартмана.

Наличие этого вклада означает, что для подпроцесса прохождения в области барьера существует не один, а два механизма, которые приводят к вращению (среднего) спина электрона.

Это означает, что прямое измерение времени туннелирования электронов с помощью “ларморовых часов” невозможно, и насыщение величины вовсе не является признаком того, что эффективная скорость туннелирования частицы может быть как угодно большой. (Однако в случае отражения это сделать можно, поскольку ; если частица рассеивается на широком прямоугольном потенциальном барьере, .)

С точки зрения представленной модели, время туннелирования, которое определено в рамках стандартной модели, характеризуют не частицу, туннелирующую через барьер, а проходящий через него локальный интерференционный максимум, который является результатом наложения двух когерентных волновых процессов, описывающих прохождение и отражение. Его скорость не связана с движением частицы и, следовательно, может быть любой.

шредингер фрактальный квантовомеханический

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработан новый вариант метода матрицы переноса с численно устойчивыми рекуррентными соотношениями, на основе которых получены условия прозрачности для ограниченных двухбарьерных систем общего вида. Введено понятие "фазовых точек поворота" и на этой основе дана наглядная физическая интерпретация условия прозрачности для фаз. Получены условия появления "широких резонансов" в системах, состоящих из трех и четырех одинаковых прямоугольных потенциальных барьеров.

2. Показано, что введение в формализм ВКБ-разложений достаточного количества дифференциальных следствий уравнения Риккати позволяет получать всюду регулярные асимптотические разложения для любого гладкого потенциала с классическими точками поворота, заданного в ограниченном пространственном интервале. При этом достаточно ограничиться лишь главным членом разложения, увеличивая точность приближения за счет включения в формализм новых дифференциальных следствий.

3. Разработан новый подход к решению ванье-штарковской проблемы, в котором определение спектра энергии тесно связано с нахождением решений уравнения Шредингера, удовлетворяющих условию симметрии задачи. Показано, что для бесконечных периодических структур с любым (не обязательно гладким) потенциалом, ограниченным по величине в пределах одной ячейки, электронный спектр непрерывный и существуют два комплексных независимых решения, удовлетворяющих условию симметрии. Оба решения растут неограниченно в классически недоступной области, и, следовательно, (вещественная) волновая функция, описывающая состояния электрона в бесконечной структуре, не удовлетворяет условию симметрии.

4. Аналогичный подход к решению ванье-штарковской проблемы разработан на основе уравнения Шредингера для частицы с переменной массой. Это уравнение совпадает по форме с уравнением для огибающей волновой функции (оно широко использовалось в работах по ванье-штарковской проблеме для сверхрешеток), но, в отличие от этого уравнения, не связано с ограничениями метода эффективной массы. В частности, в данном подходе не предполагается зависимость массы частицы от ее энергии. Показано, что если масса частицы является периодической кусочно-постоянной функцией, то спектр энергии дискретный, а решения уравнения, удовлетворяющие условию симметрии, не существуют. Данный подход может быть использован для решения любых физических задач, где возникает такого же вида уравнение и где его применение обосновано. Что касается сверхрешеток, то в этом случае нужно учитывать зависимость эффективной массы частицы от энергии. Однако, как следует из данной модели, при любой напряженности внешнего электрического поля решение вопроса об энергетическом спектре и исследовании симметрии данной задачи требует знания эффективной массы частицы на всей шкале энергии, включая запрещенные зоны, где понятие эффективной массы теряет смысл. Поэтому решение обоих вопросов в рамках приближения эффективной массы невозможно в принципе. Это уравнение может быть использовано лишь для анализа состояний электрона в ограниченных сверхрешетках при условии, что энергия электрона в процессе движения под действием внешнего электрического поля практически не меняется.

5. Показано, что при решении задачи о рассеянии частицы на идеальных фрактальных потенциалах, заданных на канторовом множестве, точный учет геометрии канторова множества приводит к функциональному уравнению для матрицы переноса, из которого следует, что борновское приближение в принципе не годится для решения задачи рассеяния на таких потенциалах. В случае самоподобного фрактального потенциала получено три класса решений для матриц переноса и параметров рассеяния. Соответствующее уравнение для канторовой лестницы исследовано лишь в пределе, когда фрактальная размерность канторова множества равна единице. Показано, что в этом случае канторова лестница рассеивает как обычная потенциальная ступенька, а самоподобный фрактальный потенциал (согласно двум решениям из трех) - как -потенциал.

6. Разработана новая модель одномерного законченного рассеяния, согласно которой этот квантовый процесс является объединением двух когерентно протекающих подпроцессов - прохождения и отражения. Показано, что линейный формализм квантовой механики позволяет однозначно восстановить эволюцию подпроцессов на всех этапах рассеяния по волновой функции, описывающей весь процесс. Показано, что в случае туннелирования частицы через широкий прямоугольный потенциальный барьер время туннелирования, определенное в рамках данной модели, растет экспоненциально с ростом ширины барьера, а не выходит на насыщение, как это следует из существующей модели одномерного законченного рассеяния.

БИБЛИОГРАФИЯ

Список цитируемой литературы

1. Захарьев Б. Н., Чабанов В. М., Минеев М. А. Послушная квантовая механика. Новый статус теории в подходе обратной задачи. - 2002. Москва. Институт компьютерных исследований. - 300 с.

2. Nenciu G. Dynamics of band electrons in electric and magnetic fields: rigorousjustification of the effective Hamiltonians//Rev. Mod. Phys. - 1991. - V.63. -P.91-127.

3. Vladimirov V. S., Volovich I. V. p-Adic Schrцdinger equation//Lett. Math. Phys. - 1989. - V. 18. - P.43-53.

4. Хренников А. Ю. Эксперимент ЭПР-Бома и неравенства Белла: квантовая физика и теория вероятностей // ТМФ. - 2008. - Т.157. - С.99-115.

5. Славнов Д. А. Квантовые измерения и колмогоровская теория вероятности//ТМФ. - 2003. - Т.136. - Вып.3. - С. 436-443.

6. Rakityansky S. A. Modified transfer matrix for nanostructures with arbitrary potential profile // Phys. Rev. B. - 2004. - V.70. - P.205323(1-16).

7. Maltsev N. E. New family of asymptotic solutions of Helmholtz equation // J. Math. Phys.- 1994. - V.35. - P.1387-1398.

8. Winful H. G. Tunneling time, the Hartman effect, and superluminality: A proposed resolution of an old paradox//Physics Reports. - 2006. - V.436. - P.1-69.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Чуприков Н. Л. Матрица переноса одномерного уравнения Шредингера//ФТП. - 1992. - т. 26. - № 12. - С.2040-2047.

2. Караваев Г. Ф., Чуприков Н. Л. Туннелирование в многобарьерных квантовых структурах в условиях полной прозрачности//Изв. вузов, Физика. - 1993. - Т.27. - №3. - С.51-56.

3. Чуприков Н. Л. Временные характеристики одночастичного рассеяния в одномерных системах//ФТП. - 1993. - Т. 27. - № 5. - С.799-807.

4. Чуприков Н. Л. Уравнения для элементов матрицы переноса одномерного уравнения Шредингера//Изв. вузов, Физика. - 1993. Т. 27. - № 6. - С.48-51.

5. Караваев Г. Ф., Чуприков Н. Л. Особые случаи резонансного туннелирования в многобарьерных квантовых структурах//Изв. вузов, Физика. - 1993. - № 8. - С.49-53.

6. Чуприков Н. Л. Времена рассеяния частицы на одномерных потенциальных барьерах//ФТП. - Т. 31. - 1997. - С.427-431.

7. Chuprikov N. L. The even asymptotic solution of the 1D-Schrodinger equation with non-degenarate turning points//Proc. of Intern.Simpos. "Physics and Engener. of Millimiter and Submillimiter Waves". - Kharkov, 1994. - P.243-246.

8. Chuprikov N. L. The even asymptotic solution of the 1D-Schrodinger equation with N-fold genarate turning points//Proc. of International Simposium "Physics and Engenering of Millimiter and Submillimiter Waves". - Kharkov, 1994. - P.240-242.

9. Чуприков Н. Л. Туннелирование в одномерной системе N одинаковых потенциальных барьеров//ФТП. - Т. 30. - № 3. -С.443-450.

10. Chuprikov N. L. Stationary states of an electron in periodic structures in a constant uniform electrical field//J. Phys.: Condens. Matter. - 1998. - V.10. - P.6707-6716.

11. Chuprikov N. L. The role of the spatial dependence of the electron effective mass in forming the Wannier-Stark spectrum//J. Phys.: Condens. Matter. - 1999. - V.11. - P.1069-1079.

12. Chuprikov N. L. The transfer matrices of the self-similar fractal potential on the Cantor set//J. Phys. A: Math. Gen. - 2000. - V.33. - P.4293-4308; corrigendum in J. Phys. A: Math. Theor. - 2008. - V.41. - P.379801.

13. Chuprikov N. L. and Zhabin D. N. The electron tunneling through a self-similar fractal potential on the generalized Cantor set//J. Phys. A: Math. Gen. - 2000. - V.33. - P.4309-4316.

14. Чуприков Н. Л., Жабин Д. Н. Электронный транспорт через одномерную фрактальную структуру//Изв.вузов, Физика. - 2000. - Т.43. - №12 - С.51-56

15. Чуприков Н. Л., Жабин Д. Н. Фазовые времена туннелирования электрона через самоподобный фрактальный потенциал//Изв. вузов, Физика. - 2000. - Т. 43. № 12. - С.57-61.

16. Chuprikov N. L. and Spiridonova O. V. A new type of solution of the Schrodinger equation on a self-similar fractal potential//J. Phys. A: Math. Gen. - 2006. - V.39. - P.L559-L562; corrigendum in J. Phys. A: Math. Theor. - 2008. - V.41. - P.409801.

17. Жабин Д. Н., Чуприков Н. Л. Матрица переноса фракт. потенц. в форме канторовой лестницы//Изв. вузов, Физика. - 2003. - Т. 46. - № 9. - С.64-70.

18. Чуприков Н. Л. Новый взгляд на квантовый процесс туннелирования: волновые функции для прохождения и отражения//Изв. вузов, Физика. - 2006. Т. 49. - № 2. - С.3-9.

19. Чуприков Н. Л. Новый взгляд на квантовый процесс туннелирования: характерные времена для прохождения и отражения//Изв. вузов, Физика. - 2006. Т.49. - № 3. - С.72-81.

20. Chuprikov N. L. A new model of a one-dimensional completed scattering and the problem of quantum nonlocality//Proc. Conf. Foundations of Probability and Physics - 4/Ed. By G. Adenier, C.A. Fuchs and A.Yu. Khrennikov. - Ser. Proc. Conf. AIP, Melville, New York, 2007. - V.889. - P.283-288.

21. Chuprikov N. L. The continuity equation as a bridge between quantum and classical probabilities//Proc. Conf. Quantum Theory: Reconsideration of Foundations - 4/Ed. By G. Adenier, A.Yu. Khrennikov, Pekka Lahti, Vladimir I. Man'ko and Theo M. Nieuwenhuizen. - Ser. Proc. Conf. AIP, Melville, New York, 2007. - V.962. - P.238-241.

22. Чуприков Н. Л. О новой математической модели туннелирования//Вестник СамГУ - Естественнонаучная серия - 2008. - Вып.8/1. - Т.67. - С.625-633.

Размещено на Allbest.ru

...