Расчет жёсткой изогнутой балки с консольным участком. Закон движения точки. Расчет механической системы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольное задание 1

Жёсткая изогнутая балка с консольным участком установлена на двух опорах А и В. Опора А - это неподвижный шарнир; опора В - подвижная.

На балку действует пара сил с моментом М = 100 Н·м; равномерно распределённая нагрузка q₁ = 15 Н/м; сила F₄= 40 Н, приложенная в точке К и сила F₁= 10 Н, приложенная в точке Е. ? = 0,5 м.

Определить реакции в опорах А и В.

Рис. 1 Заданная схема изогнутой балки

Составим уравнения равновесия:

_А=0; Y_B·4? - q·(2?)²/2 - M - F₄·sin60°·5? + F₁·sin30°·4?+F₁·cos30·?=0,

Y_B =[ q·(2?)²/2 + M + F₄·sin60°·5? - F₁·sin30°·4? - F₁·cos30·?]/4? =

= [15·(1)²/2 + 100 + 40·0,866·2,5 - 10·0,5·2 - 10·0,866·0,5 ]/2 = 89,885 H.

5hF_Y = 0; Y_A - F₄·sin60°+ F₁·sin30° + Y_B - q·2? = 0, откуда

Y_A=F₄·sin60°-F₁sin30°-Y_B+q·2?=40·0,866 - 10·0,5 - 89,885+15=-45,245 Н.

Рис. 2 Расчётная схема балки

реакция направлена в противоположную сторону, принятую первоначально.

5hF_Х = 0; X_A + F₄·cos60° + F₁·cos30° = 0 , откуда

X_A = - F₄·cos60° - F₁·cos30 = - 20,0 - 8,66 = - 28,66 H.

Проверка:

5hF_Y = - 45,245 - 40·0,866 + 10·0,5 + 89,885 - 15 = - 45,235 - 34,64 + 5 + 89,885 - 15 = - 94,885 + 94,885 = 0.

5F_Х = X_A + F₄·cos60° + F₁·cos30° = - 28,66 + 20 + 8,66 = 0.

_Н = 0, Y_A·1 - q·1²/2 + M + F₄·sin60°·1,5 - Y_B·1 - F₁·sin30·1 - F₁·cos30·0,5 = -45,235 -7,5 + 100 + 40·0,866·1,5 - 89,885 - 10·0,5 - 10·0,866·0,5 = - 45,235 - 7,5 + 100 + 51,96 - 89,885 - 5 - 4,33 = - 151,95 + 151,96 = 0.

Ответ: X_A = 28,66 Н;

Y_A = 45,245 Н;

Y_B = 89,885 Н.

Контрольное задание 2

Точка С движется по плоскости хОу. Закон движения точки С задан двумя уравнениями:

х = f₁(t). y = f₂(t),

где х и у выражены в сантиметрах, t - в секундах.

х = 6sin(t) ;

у = 4cos²(t);(1)

Определить уравнение траектории точки С, определить скорость, ускорение точки С, а также касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в точке С траектории для момента времени t₁ = 1с и всё изобразить графически.

Решение.

Исключим из системы уравнений время t.

Считая б = t , получим х = 6sinб ; sinб = ; sin²б = x²/36 ;

Воспользуемся формулой cos²б + sin²б =1 . Tогда cos²б = 1 - sin²б.

y = 4(1 - x²/36) = 4 - x²/9 - это уравнение параболы.

Y = - x² + 4.

Изобразим параболу на чертеже.

опора ускорение сила кинематический

Далее определим положение точки С на траектории в момент времени t₁ = 1c.

Для этого в уравнения (1) подставим значение t = 1с. Получим

X = 3, y = 3, т.е. С(3; 3), обозначим т.С на траектории.

Рис. 3

Далее определим две составляющие скорости т.С по осям Х и У:

V_x = xґ = dx/dt = р .

V_y = yґ = dy/dt = - ·.

При t = 1с V_x = cм/с;

V_y = - ·= - ·0,866 = - 1,81 см/с.

Модуль скорости V_с = (V_x² + V_y²) = (2,72² + 1,81²) = 3,27 см/с.

Изобразим все три вектора на чертеже.

Рис. 4

Из построения видно, что скорость V_с направлена по касательной к траектории в данной точке С. По вектору V_с проведём линию в обе стороны - получим касательную ось.

Также проведём через т. С нормаль n- .

Аналогично определим составляющие ускорения т. С:

а_хс = Vґ_x = dV_x/dt = - р²/6·(sin;

а_ус = Vґ_у = dV_у/dt = - [(4р²)/18][cos² - sin²(].

При t = 1с, а_хс = - 0,82 см/с²; а_ус = - 1,096 см/с².

а_с = ( а²_хс + а²_ус) = ( 0,82² + 1,096²) = 1,37 см/с².

Рис. 5

Рис. 6

Касательное ускорение определим по формуле

а_ф=(V_x·a_x + V_y·a_y)/V = [2,72·(- 0,82) +(- 1,81)·(- 1,096)/3,27=-0,0764 см/с².

Точка С в момент t = 1с движется по траектории замедленно.

Нормальное ускорение а_сn = (a²_c - a²_ф) = (1,37² - 0,0764²) = 1,37 см/с².

Радиус кривизны с = V²/a_n; с = 3,27²/1,37 = 7,81 см;

Рис. 7

Контрольное задание 3

Механическая система состоит из сплошного катка 1, ступенчатого шкива 2 и груза 3, соединённых в единую систему тел с помощью невесомых нитей, намотанных на ручьи шкива 2.

Из положения равновесия систему выводит сила F. Определить один из кинематических параметров движения системы, когда система под действием силы F передвинулась на расстояние S₁ (соответствующую перемещению тела 1).

f_тр = 0,2; R₂ = 0,3 м; r₂ = 0,2 м.

m₁ = 15 кг; m₂ = 1,8 кг; m₃ = 10 кг;

М₂ = 1,0 Н·м; F = f(S) = 40(6 + 5S); S₁ = 2,5 м;

Найти V₁.

Рис. 8

Рис. 9

Для решения задачи применим теорему об изменении кинетической энергии системы.

Т - Т₀ = _i^e.(1)

Кинетическая энергия движущейся системы равна сумме кинетических энергий всех тел этой системы:

Т = Т₁ + Т₂ + Т₃.(2)

Тело 3 движется плоско (плоскопараллельно), т.е. его кинетическая энергия:

Т₃ = ·V²_c3 + J_c3·щ²₃,

где V_c3 - скорость центра момента цилиндрического катка;

J_c3 - момент инерции катка относительно оси, проходящей через центр масс, т.е. - т.С₃;

щ₃ - угловая скорость вращения катка относительно оси, проходящей через т. С₃.

Шкив 2 вращается постоянно относительно неподвижности в центре точки О₂, т.е. кинетическая энергия:

Т₂ = ·J₂·щ²₂,

где J₂ - момент инерции шкива относительно оси, проходящей через точку О₂;

щ₂ - угловая скорость шкива относительно оси, проходящей через точку О₂.

Груз 1 движется поступательно, т.е. его кинетическая энергия: Т₁ = m₁·V²₁.

Все скорости выражаем через искомую скорость V₁, т.е. V₁ = щ₂· R₂. следовательно:

щ₂ = V₁/ R₂. V_c3 = щ₂·r₂. щ₂ = щ₃.

Моменты инерции: сплошного цилиндрического катка : J_c3 = 0,5m₃·r²₃; шкива с периферийной массой : J₂ = m₂· R₂². Всё подставляем в выражение (2):

Т = ·( V₁·r₂/R₂)² + 0,5m₃·r²₃·( V₁/ R₂) ² + · m₂· R₂²·( V₁/ R₂)² + m₁·(V₁)² = { ·( r₂/ R₂)² + 0,5m₃·r²₃ ·(1/ R₂)² + · m₂· R₂²·( 1/ R₂)² + m₁} V₁² ={10(0,2/0,3)²+0,5·10·0,2² ·(1/ 0,3)²+·1,8· 0,3²·(1/0,3)² + 15} V₁² = 10,71 V₁².

Далее определим сумму работ всех действующих внешних сил на соответствующих перемещениях тел системы.

Реакции N₁, N₂, N₃ , а также m₁·g, m₂·g, mg·cos30° на направлениях перемещений имеют проекции равные нулю, поэтому работ не совершают.

F_тр,3 - приложенная в точке касания катка 3, не производит работы, т.к. эта точка - мгновенный центр скоростей и тело 3 катится по плоскости без скольжения, т.е. без сопротивления.

Положительные работы производят:

1) Сила F на перемещении S₁, т.е. инициирующая движение всей системы сила:

А(F)==240·S₁+100·S²₁=240·2,5+100·6,25=1225 Н·м.

Отрицательные работы производят:

2) Сила m₃g·sin30° (скатывающая составляющая G₃) на перемещении S₃ даёт отрицательную работу, т.к. направлена против движения системы:

А(G₃) = - m₃g·sin30°· S₃ = - m₃g·sin30°·r₂·?₂ = - m₃g·sin30°·(r₂/ R₂)·S₁ =

= - 10·10·0,5··2,5 = - 83,33 Н·м.

3) Тормозной момент шкива 2 даёт отрицательную работу:

А(М₂) = - М₂·?₂ = - М₂·(S₁/R₂) = - 1·(2,5/0,3) = - 8,33 Н·м.

4) Сила F_тр,1 создаёт отрицательную работу (работу силы сопротивления) на том же перемещении S₁:

А(F_тр,1) = - f_тр· m₁· g·cos30°· S₁ = - 0,2· 15· 10·0,866·2,5 = - 64,95 Нм.

Сумма работ всех сил: ^e = 1225-83,33 - 8,33 - 64,95 = 1068,4 Нм.

Окончательно из выражения (1) находим:

10,71 V₁² = 1068,4, V₁ = = 9,987 с^-1.

Ответ: V₁ = 9,987 с^-1.

Размещено на Allbest.ru