Затухание слабых волн в пористой среде, насыщенной газом

Размещено на http://allbest.ru

Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета

ЗАТУХАНИЕ СЛАБЫХ ВОЛН В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ, НАСЫЩЕННОЙ ГАЗОМ

Хусаинов Исмагильян Гарифьянович, доктор наук, доцент, доцент

Под пористой средой понимается множество твердых частиц, тесно прилегающих друг к другу, сцементированных или несцементированных, пространство между которыми (поры, трещины) может быть заполнено жидкостью или газом. Пористые среды бывают естественного и искусственного происхождения. Пример естественных пористых сред это, в первую очередь, грунты и горные породы, древесина, кость и т.д. К пористым средам искусственного происхождения относятся губка, кирпич, керамика, бетон, хлеб и т.д.

На практике пористые среды широко применяются в различных областях техники и технологии, в частности, в аэрокосмических технологиях, в архитектурной акустике, в химической технологии, в строительстве и т.п. Известно, что пористые среды во многих случаях применяются в качестве теплоизолирующих и звукопоглощающих материалов при облицовке помещений, а также в технических устройств, в которых требуется уменьшение уровня шума. В некоторых случаях пористые материалы используются для создания наилучших условий слышимости, например, для улучшения акустических свойств таких помещений, как зрительные залы в театрах, лекционных аудиториях, в студиях звукозаписи и т.п.

Рассмотрим распространение и затухание слабой линейной волны в пористых средах, насыщенных газом. Пористая среда в нашем случае состоит из скелета материала и газа, т.е. является двухфазной средой. Распространение волн в двухфазной среде представляет дисперсионное явление, при котором скорость распространения и коэффициент затухания зависят от круговой частоты. Чтобы учитывать эффекты, описанные выше, в данном случае для описания исследуемого процесса достаточно использовать линеаризованную систему уравнений механики сплошных сред и термодинамики. пористый двухфазный волна затухание

Известно [1-4], что дисперсионное уравнение для пористых сред, насыщенных газом или жидкостью, имеет четвертую степень для волнового числа. Следовательно, в таких пористых средах распространяются две продольные волны: «медленная» и «быстрая». Первая продольная волна возникает вследствие распространения волны по газу, а вторая -- по твердой фазе. Для описания распространения слабых волн в пористой среде примем допущения: все поры имеют сферическую форму и одинаковый радиус, значения длин волн намного больше размеров пор.

Математическая постановка включает следующие уравнения. Уравнение неразрывности

(1)

где , -- скорость и плотность j-й фазы, t -- время, x -- координата. Индекс s соответствует параметрам скелета, а g -- параметрам газа в порах. Дополнительный нижний индекс 0 соответствует невозмущенному начальному состоянию системы.

Уравнение импульсов для системы «скелет -- газ» имеет вид:

(2)

Здесь p_g -- давление газа в порах, -- приведенное напряжение скелета, -- начальная объемная доля твердой фазы.

Запишем модель Максвелла, описывающая поведение скелета [5]:

(3)

где , E_s -- коэффициент сдвига и модуль упругости скелета.

Уравнение импульса газовой фазы имеет вид:

(4)

Здесь начальная объемная доля газовой фазы. Сила определяется по формуле

, (5)

где

,

,

.

Здесь -- частота, -- коэффициент динамической вязкости газа, -параметры, зависящие от пористой среды.

Внутри ячейки, состоящей из сферического газового пузырька, окруженного слоем материала скелета, имеется распределение температуры и плотности газа . Здесь r -- координата. Изменение температуры в ячейке происходит вследствие диссипации энергии при распространении волны. Связь между микро плотностью и истинной плотностью определяется по формуле [5]:

(6)

Запишем кинематические соотношения:

(7)

Распределение температуры в ячейке определяется с помощью уравнения теплопроводности:

, (0 < r < a₀), (8)

, (a₀ < r < a₀ + b₀), (9)

где , c_j (j=g,s) -- теплопроводность и удельная теплоемкость соответственно, a₀ -- средний радиус пор, b₀ -- средняя полутолщина стенок пор.

Граничные условия уравнения теплопроводности

. (10)

(11)

Уравнение состояния газа

(12)

где R -- газовая постоянная.

Решение системы уравнений (1) -- (4),(8),(9),(12) ищем в виде бегущих волн:

, (13)

, (14)

где щ -- круговая частота, K -- комплексное волновое число (K = k + iд). Параметр д, показывает интенсивность затухания гармонических волн.

Для комплексного волнового числа получаем следующее выражение

. (15)

, ,

.

Здесь знак «плюс-минус» означает, что в пористой среде, насыщенной газом, распространяються два типа продольных волн. Знак «минус» в(15) соответствует к «быстрой» волне с волновым числом K_a, а знак «плюс» -- к «медленной» волне с волновым числом K_b.

В выражениях для параметров B₁, B₂ и B₃ величины , и определяются по формулам

,

,

.

Здесь , , , , , , .

Используя формулу можно вычислить зависимостей фазовых скоростей «медленной» и «быстрой» волн, а также зависимостей их затухания от круговой частоты.

Вывод

В работе приведена математическая модель, описывающая распространение и затухание слабых волн в вязкоупругих пористых средах, насыщенных газом.

Получено дисперсионное соотношение, которое может быть использовано для вычисления зависимостей фазовых скоростей и коэффициентов затухания «медленной» и «быстрой» волн от круговой частоты при разных значениях параметров пористой среды.

Список литературы

1. Гельфанд Б.Е., Медведев С.П., Поленов А.Н. и др. О влиянии пористого сжимаемого покрытия на характер ударно-волнового нагружения конструкций // Журнал технической физики. 1987. Т. 57. Вып. 4. С. 831 - 833.

2. Золотарев, П.П. Распространение звуковых волн в насыщенной газом пористой среде с жестким скелетом / П.П. Золотарев // Инженерный журнал. - 1964. - Т.IV. - С. 111-120.

3. Исакович М.А.. Общая акустика. М.: Наука, 1973. - 496 c.

4. Николаевский, В.Н. О распространении продольных волн в насыщенных жидкостью упругих пористых средах / В.Н. Николаевский // Инженерный журнал, - 1963. - Т.3, № 2 - С. 251-261.

5. Рейнер М. Деформация и течение. М.: Гостехиздат, 1963. - 251 с.

6. Скучик, Е. Основы акустики: Пер. с англ. / Е. Скучик. - М.: Мир, - Т.1. 1976. - 512 с.

7. Френкель, Я.И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве / Я.И. Френкель // Изв. АН СССР. Серия географическая и геофизическая. - 1944. - Т.8, № 4. - С. 133-149.

8. Хусаинов И.Г. Акустическое зондирование перфорированных скважин короткими волнами // Прикладная механика и техническая физика. 2013. №1. С.86-93.

9. Хусаинов И.Г. Отражение акустических волн в цилиндрическом канале от перфорированного участка // Прикладная математика и механика. 2013. - Т. 77. №3. С. 441-451.

10. Хусаинов И.Г., Дмитриев В.Л. Исследование эволюции волнового импульса при прохождении через пористую преграду // Прикладная механика и техническая физика. 2011. T. 52. №5. С.136-145.

11. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. II. Highter-frequency range // The Journal of the Acoustical Society of America. 1956. V.28. № 2. P. 179-191.

12. Deresiewicz By.H., Skalak R. On uniqueness in dynamic poroelasticity // Bulletin of the seismological society of America. 1963. V.53. №4. P. 783-788.

Аннотация

Затухание слабых волн в пористой среде, насыщенной газом. Хусаинов Исмагильян Гарифьянович, доктор наук, доцент, доцент. Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета

В работе приведена математическая модель, описывающая распространение и затухание слабых волн в вязкоупругой пористой среде, насыщенной газом.

Получено дисперсионное соотношение, которое может быть использовано для вычисления зависимостей фазовых скоростей и коэффициентов затухания «медленной» и «быстрой» волн от круговой частоты при разных значениях параметров пористой среды.

Размещено на Allbest.ru