Суперкомпьютерная оптимизация современных стеллараторов

Размещено на http://www.allbest.ru/

СУПЕРКОМПЬЮТЕРНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ СОВРЕМЕННЫХ СТЕЛЛАРАТОРОВ

Специальность 01.04.08 - физика плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

ИСАЕВ Максим Юрьевич

Москва - 2007

Работа выполнена в Институте ядерного синтеза Российского научного центра «Курчатовский институт».

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Брушлинский К.В. (Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН)

доктор физико-математических наук Пустовитов В.Д. (Российский научный центр “Курчатовский институт”)

доктор физико-математических наук, профессор Рожанский В.А. (Санкт-Петербургский государственный политехнический университет)

Ведущая организация:

Институт общей физики им. А. М. Прохорова РАН (Москва)

Защита состоится « » 2008 г. в часов на заседании диссертационного совета Д.520.009.02 при Российском научном центре “Курчатовский институт” по адресу: 123182, г. Москва, пл. Курчатова, д. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РНЦ “Курчатовский институт”.

Автореферат разослан « » 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук Демура А.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Работа посвящена суперкомпьютерной оптимизации современных стеллараторов. Мощные вычислительные машины и разработанные для них численные коды открыли новые возможности в поиске стеллараторов, оптимальных по равновесию, устойчивости и переносам в плазме. Именно такие суперкомпьютерные коды модернизированы и использованы автором при разработке проектов новых стеллараторов. Ожидается, что свойства рассчитанных в работе конфигураций будут испытаны в ближайшее время в реальных экспериментах.

Задачей диссертационной работы является теоретическое изучение равновесия, устойчивости и переносов в плазме новых оптимизированных стеллараторных конфигураций с использованием лучших трехмерных численных кодов, определение пределов по равновесию и устойчивости плазмы в компактных стеллараторах с малым числом периодов, анализ свойств конфигураций с квази-винтовой, квази-полоидальной и квази-аксиальной симметрией магнитного поля, разработка новых численных средств и расчет неоклассических переносов в плазме стеллараторов.

В диссертационной работе представлены четыре основных направления исследований:

1. Суперкомпьютерные расчеты равновесия и устойчивости плазмы в квазисимметричных стеллараторах.

2. Суперкомпьютерные расчеты равновесия, устойчивости и переносов в плазме стеллараторов с квази-аксиальной симметрией NCSX и CHS-qa.

3. Cуперкомпьютерная оптимизация обычных стеллараторов Ливень-5 и LHD.

4. Суперкомпьютерные расчеты переносов с помощью кодов VENUS+f, SPBSC и TERPSICHORE.

Научная новизна работы заключается в следующем:

Рассчитана путем трехмерной суперкомпьютерной оптимизации новая четырехпериодная конфигурация типа Гелиак с квази-винтовой симметрией магнитного поля, имеющая предел по модам Мерсье =4%;

Найдены конфигурации типа Гелиак с квази-полоидальной симметрией с пределом по баллонным модам =3% для четырех периодов и =6% для пяти периодов;

Разработана целевая функция WATER для поиска псевдосимметричных конфигураций и введена в оптимайзер. Численно получена псевдосимметричная конфигурация стелларатора NCSX (США), в которой отсутствуют локально запертые частицы, что приводит к уменьшению в 5 раз коэффициента диффузии (по сравнению с исходной квази-аксиально-симметричной конфигурацией), и в которой сохранен оптимальный для устойчивости плазмы профиль вращательного преобразования;

Для расчета устойчивости плазмы в компактных системах с малым числом периодов проведена модификация кода TERPSICHORE; выполнен анализ устойчивости наиболее опасных для стелларатора NCSX баллонных мод, в результате которого найден предел по равновесию и устойчивости =4.25%;

Выполнена суперкомпьютерная оптимизация двухпериодного стелларатора с квази-аксиальной симметрией CHS-qa (Япония) по вторичным токам (за счет вытянутости сечения магнитных поверхностей по аналогии с токамаками), обеспечивающая расчетный предел устойчивости по критерию Мерсье на уровне =8%;

Посредством суперкомпьютерной оптимизации, включающей встроенную в оптимайзер численную процедуру расчета угловых зависимостей второго адиабатического инварианта, получены конфигурации стелларатора Ливень-5 с улучшенным на три порядка по сравнению с обычным стелларатором временем удержания быстрых частиц и более высоким вращательным преобразованием. Проведен анализ влияния гексапольных и вертикальных магнитных полей LHD на удержание альфа-частиц и устойчивость плазмы, приведший к определению оптимального для удержания частиц положения магнитной оси;

Найден новый класс квази-омнигенных конфигураций с пониженными переносами;

На основе кода VENUS расчета дрейфовых траекторий заряженных частиц создан новый код VENUS+f для расчета на кластерах неоклассических переносов. Выполнены расчеты бутстрэп-тока в стеллараторах W-7X, LHD, NCSX, диффузии и бутстрэп-тока в токамаке JT-60. С помощью модифицированного кода TERPSICHORE-BOOTSP численно найдено самосогласованное равновесие с бутстрэп током для токамака JT-60, стеллараторов LHD и W-7X.

Достоверность и обоснованность. Численные результаты, полученные в диссертации, проверялись с помощью различных численных кодов. Достоверность численных кодов, используемых автором, проверялась также в экспериментах на действующих стеллараторных установках (W7AS, TJ-II, HSX, LHD). Обоснованность расчетов строящихся стеллараторов (NCSX, W-7X) будет проверена в экспериментах в 2009-2014 годах. Обоснованность приводимых выводов базируется на результатах подробного анализа современных экспериментальных и теоретических исследований равновесия, устойчивости и переносов в стеллараторах. Полученные автором результаты прошли апробацию на видных российских и международных форумах, по материалам диссертации опубликованы 20 статей в ведущих журналах по физике плазмы; подготовлено 26 препринтов и докладов на конференциях, это дополнительно свидетельствует об обоснованности и надежности результатов диссертации.

Основные положения, выносимые на защиту:

Обнаружение новой четырехпериодной конфигурации типа Гелиак с квази-винтовой симметрией магнитного поля, имеющей предел по модам Мерсье =4% в результате трехмерной суперкомпьютерной оптимизации;

Получение конфигураций типа Гелиак с квази-полоидальной симметрией магнитного поля с пределом по баллонным модам =3% для четырех периодов и =6% для пяти периодов путем трехмерной суперкомпьютерной оптимизации;

Разработка целевой функции WATER для поиска псевдосимметричных конфигураций и введение ее в оптимайзер. Получение псевдосимметричной конфигурации стелларатора NCSX (США), в которой отсутствуют локально запертые частицы, что приводит к уменьшению в 5 раз коэффициента диффузии (по сравнению с исходной квази-аксиально-симметричной конфигурацией), и в которой сохранен оптимальный для устойчивости профилем вращательного преобразования;

Результаты анализа устойчивости наиболее опасных для стелларатора NCSX баллонных мод, в результате которого найден предел по равновесию и устойчивости =4.25% с помощью модифицированного кода TERPSICHORE для расчета устойчивости плазмы в компактных системах с малым числом периодов;

Выполнение суперкомпьютерной оптимизации двухпериодного стелларатора с квази-аксиальной симметрией CHS-qa (Япония) по вторичным токам, обеспечивающей расчетный предел по критерию Мерсье на уровне =8%;

Проведение суперкомпьютерных расчетов равновесия, устойчивости и удержания альфа-частиц в конфигурациях стелларатора Л-5 (ИОФАН). С помощью численной процедуры расчета угловых зависимостей второго адиабатического инварианта, встроенной в оптимайзер, получение квази-омнигенных конфигураций Л-5 с повышенным на три порядка по сравнению с обычным стелларатором временем удержания быстрых частиц и повышенным вращательным преобразованием. Анализ влияния гексапольных и вертикальных магнитных полей LHD на удержание альфа-частиц и устойчивость плазмы, приведший к определению оптимального для удержания частиц положения магнитной оси;

Обнаружение нового класса квази-омнигенных конфигураций с пониженными переносами;

Создание на основе кода VENUS для расчета дрейфовых траекторий заряженных частиц нового кода VENUS+f для расчета на кластерах неоклассических переносов. Проведение расчетов бутстрэп тока в стеллараторах W-7X, LHD, NCSX, диффузии и бутстрэп тока в токамаке JT-60; с помощью модернизированного кода TERPSICHORE-BOOTSP получение самосогласованного численного равновесия с бутстрэп током для токамака JT-60, стеллараторов LHD и W-7X.

Теоретическая и практическая значимость

Новые численные коды, разработанные автором, используются для анализа экспериментов и при разработке новых стеллараторных проектов (NCSX, W-7X, Л-5, CHS-qa, QPS). Свойства новых стеллараторных конфигурации с различными видами квазисимметрии и квази-омнигенностью, которые были рассчитаны в диссертации, будут исследованы в реальных экспериментальных установках (HSX, NCSX, LHD, W-7X).

Полученные в диссертации результаты могут быть рекомендованы для использования в институтах и организациях, занимающихся проблемой управляемого термоядерного синтеза на основе тороидальных систем с магнитным удержанием плазмы, в том числе, на основе установок типа стелларатор, в Институте общей физики РАН, Харьковском физико-техническом институте, а также в Физико-техническом институте им. А.Ф. Иоффе, МГУ им. М.В. Ломоносова, в Московском инженерно-физическом институте, в РНЦ "Курчатовский Институт".

Апробация работы:

Cодержание диссертации опубликовано в 46 печатных работах. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на международных конференциях по стеллараторам (Мадрид-1995, Токи-1998, Мэдисон-1999, Канберра-2002, Грайфсвальд-2003, Мадрид-2005), конференциях МАГАТЭ по физике плазмы и УТС (Севилья-1994, Йокогама-1998, Сорренто-2000), конференциях Европейского физического общества по УТС и физике плазмы (Киев-1996, Берхтесгаден-1997, Прага-1998, Маастрихт-1999, Мадейра-2001, Монтре-2002, С.-Петербург-2003), Конференции по теории плазмы в Варенне (2000), на семинарах в РНЦ “Курчатовский Институт”, Институте физики плазмы Макса Планка (Грайфсвальд, ФРГ), Лаборатории физики плазмы Принстонского университета (США), Центра исследований по физике плазмы (Лозанна, Швейцария), Национального института термоядерных наук (NIFS, Япония).

Публикации.

По материалам диссертации опубликовано 46 работ, из них 20 в реферируемых журналах.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 218 страниц. Диссертация содержит 80 рисунков, 4 таблицы и список литературы из 183 наименований.

стелларатор плазма код численный

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из Введения, четырех Глав и Заключения:

В первой главе диссертации рассматриваются квазисимметричные системы с винтовой и полоидальной симметрией.

В п.1.1 первой главы приводятся основные соотношения и уравнения, полученные для параметров квазисимметричных конфигураций в первом и втором порядке параксиального приближения. Форма магнитных поверхностей описывается набором зависящих от продольной координаты параметров. Влияние квазисимметрии на равновесие и устойчивость исследуется во втором порядке разложения по степеням расстояния от магнитной оси, в котором D-образная форма смещенных относительно магнитной оси сечений магнитных поверхностей описана с помощью двух функций треугольности и двух смещений (по двум осям). Учет условия квазисимметрии во втором порядке приводит к линейной зависимости смещений от треугольностей. Полученные уравнения равновесия квазисимметричных систем решаются численно с учетом условий периодичности. Полученные соотношения между квазисимметричными параметрами первого и второго порядком параксиального приближения значительно упрощают критерий устойчивости Мерсье и используются для численного определения предельно допустимого по устойчивости значения . Оптимальные по равновесию и устойчивости плазмы квазисимметричные конфигурации найдены численно для случаев магнитной оси в виде винтовой линии на круглом и сплющенном опорном торе. Получены зависимости предельно допустимого от числа периодов системы, начальной эллиптичности и параметров магнитной оси.

В конце параграфа 1.1 обсуждаются ограничения параксиального приближения и необходимость более точных трехмерных расчетов. Данный вопрос оказывается особенно важным для задач оптимизации, поскольку предельно допустимое значение по равновесию в параксиальном приближении пропорционально радиусу плазмы. Таким образом, наиболее интересные для оптимизации области плазменного шнура находятся там, где параксиальное приближение становится неприменимым, либо требует учета громоздких членов более высокого порядка малости по расстоянию от оси.

В параграфе 1.2 описываются численные коды VMEC и TERPSICHORE, используемые автором в данной диссертации для расчета идеальных МГД равновесия и устойчивости в различных трехмерных конфигурациях. Форма магнитной поверхности задается в виде разложения в конечный ряд Фурье по полоидальным и тороидальным гармоникам. Для точного описания равновесия требуется большое число компонент спектра. Соответственно, для быстрой работы данные коды требуют суперкомпьютерных ресурсов по памяти и быстродействию.

Расчетам точного равновесия и устойчивости с помощью данных кодов в стеллараторах типа Гелиак с винтовой квазисимметрией посвящен параграф 1.3. В качестве исходной используется граница магнитной конфигурации с малым числом параметров, полученная с помощью параксиального приближения. Данная исходная конфигурация обладала слабой винтовой квазисимметрией и низким значением предельного по равновесию и устойчивости параметра . Однако затем, варьируя компоненты спектра граничной поверхности, удалось получить новую конфигурацию с более точной квазивинтовой симметрией, предельным значением параметра по равновесию, равным 9%. Предел по устойчивости оказался значительно ниже - 4% по критерию Мерсье и 1% по баллонным модам.

Исследованию и оптимизации стеллараторов типа Гелиак с квази-полоидальной симметрией посвящен параграф 1.4. В системах Гелиак сечение магнитной поверхности вращается одновременно с главной нормалью к магнитной оси. В результате оптимизации в работе была найдена четырехпериодная система Гелиак, обладающая, однако, свойствами полоидальной квазисимметрии, т.е. с пониженными неоклассическими потерями. Одновременно в указанном квази-полоидальном Гелиаке численно были получены высокие значения предельно допустимых параметров по Мерсье - 4% и по баллонным модам - 3%. Таким образом, в результате проведенной автором оптимизации расчетный предел по балонным модам в Гелиаке с квази-полоидальной симметрией в три раза выше, чем соответствующий предел в квази-винтовой системе.

В заключительном параграфе первой главы, параграфе 1.5, приводятся результаты оптимизации двух пятипериодных квазисимметричных систем. Напомним, что крупнейший строящийся пятипериодный стелларатор W-7X имеет предел по устойчивости на уровне 5%. Полученный численно в данном параграфе Гелиак с квази-полоидальной симметрией является устойчивым по отношению к модам Мерсье вплоть до = 6.15%, по отношению к баллонным модам - вплоть до 5.9%, что на один процент выше, чем расчетный предел в W-7X.

Точность выполнения условия квазисимметрии может быть описана отношением X амплитуд основной симметричной компоненты Фурье спектра модуля магнитного поля и максимальной несимметричной компоненты Фурье на границе плазмы. В расчетах автора всех вышеуказанных системах условие квазисимметрии было выполнено приближенно, значение X равно 2-4, достижение больших значений параметра X обычно приводило к ухудшению равновесия и устойчивости плазмы.

Вторая глава диссертации посвящена численной оптимизации систем с квази-аксиальной симметрией. В оптимизации таких систем численно была испытана идея псевдосимметрии, предложенная ранее М.И. Михайловым. Псевдосимметрия характеризуется отсутствием замкнутых линий B=const на магнитной поверхности. Число локально запертых частиц в таких системах становится минимальным, следовательно, неоклассические потери уменьшаются. Одновременно для расчета компактных стеллараторов была проведена модернизация кодов VMEC, TERPSICHORE и соответствующая настройка оптимайзера.

Параграф 2.1. посвящен возможным путям минимизации неоклассических потерь в стеллараторе NCSX. Данный компактный стелларатор, сооружаемый в настоящее время в Принстоне, обладает симметрией квази-аксиального типа, близкой к двумерной симметрии поля токамака. Для достижения более точной квазисимметрии необходимо уменьшить несимметричные гармоники бузеровского спектра магнитного поля. Но полная минимизация несимметричных гармоник во всем плазменном объеме невозможна. В данном параграфе изучаются возможности приближения к псевдосимметрии (менее строгой, чем квазисимметрия) с помощью трех целевых функций - X, HILL и WATER.

С помощью данных целевых функций в расчетах были получены несколько конфигураций NCSX - max2, max3, max5, max6 с различными свойствами. Оказалось, что конфигурации с высоким значением X = 20 (отношение симметричной и максимальной несимметричной компоненты спектра модуля магнитного поля) могут иметь много малых несимметричных компонент спектра магнитного поля, вследствие чего увеличиваются флуктуации магнитного поля вдоль силовой линии (так называемые эффективные риплы), увеличивается число запертых частиц и неоклассические потери.

Наилучшие результаты были получены с помощью целевой функции WATER, суммирующей площадь локальных минимумов вдоль силовой линии. Отсутствие таких локальных минимумов означает выполнение условия псевдосимметрии, или отсутствие локально запертых частиц. Уменьшение данной целевой функции в десять раз по сравнению с исходной позволила в пять раз уменьшить неоклассическую диффузию в NCSX. Расчет неоклассической диффузии в оптимизированной псевдосимметричной конфигурации NCSX выполнен с помощью кода GC3, основанного на методе Монте-Карло. Данный расчет занимает примерно один час на суперкомпьютере С90, т.е. слишком большое время, чтобы включить его в оптимайзер. В отличие от полного расчета диффузии, вычисление целевой функции WATER занимает гораздо меньше машинного времени и очень удобно для оптимизации системы по переносам. Данная целевая функция включена в оптимайзер STELLOPT, который используется в различных задачах оптимизации стеллараторов.

В параграфе 2.2 приводятся основные результаты суперкомпьютерных расчетов устойчивости стелларатора c квази-аксиальной симметрией NCSX и стелларатора с квази-полоидальной симметрией QPS. Акцент в данном случае делается на компактность и, соответственно, на низкую цену этих установок - их аспектное отношение A=3.4 (NCSX) и 3.5 (QPS).

При расчете стелларатора NCSX автором были найдены и устранены причины так называемых нефизических баллонных мод, возникающих при расчетах. Данные баллонные моды возникали в расчетах вследствие нарушения положительности коэффициента баллонного уравнения, связанного с неточным равновесием на некоторых магнитных поверхностях. Для проверки точности расчетов проведено детальное сравнение расчетов (бенчмарк) устойчивости NCSX, выполненных автором с помощью модифицированного кода TERPSICHORE и нового кода COBRA. В частности, были выполнены расчеты сходимости решения для баллонных мод в зависимости от длины интервала интегрирования, числа точек на нем и т.д. В результате была найдена небольшая зона неустойчивости вблизи границы плазмы стелларатора NCSX при =4.25% и определены зоны неустойчивостей стелларатора QPS при =1%, 2%, 2.5% и 3%.

В параграфе 2.3 приводятся результаты расчетов по оптимизация другого стелларатора с квази-аксиальной симметрией, CHS-qa. Двухпериодный квазисимметричный стелларатор CHS-qa с малым аспектным отношением 3.2-3.9 разрабатывается в настоящее время в Национальном институте термоядерного синтеза (NIFS, Япония). В последние годы были предложены несколько конфигураций CHS-qa с различными свойствами. Мы рассматриваем в данном параграфе влияние минимизации токов Пфирша-Шлютера на устойчивость плазмы и на удержание альфа-частиц. В результате проведенной оптимизации токи Пфирша-Шлютера были уменьшены в четыре раза, предел по равновесию поднялся выше уровня =20%, предел устойчивости по критерию Мерсье достигается при =8.5%, предел по баллонным модам - при =2%. Полученный вариант стелларатора CHS-qa, однако, имеет очень сильную вытянутость сечения магнитной поверхности в точке начала периода системы, что может осложнить поиск модульных катушек для данного варианта. Дополнительные исследования необходимы также для переносов в плазме CHS-qa.

Третья глава диссертации посвящена проекту стелларатора Ливень-5 и некоторым возможностям оптимизации обычных стеллараторов, включая крупнейший действующий стелларатор LHD. Для большинства новых квазисимметричных систем сложную оптимизированную границу плазмы можно создать только с использованием модульных катушек. В данной главе рассматривается вопрос - можно ли с помощью обычных винтовых проводников и дополнительных полоидальных катушек создать магнитную конфигурацию, в которой плазмы имела бы низкие неоклассические переносы и большие по равновесию и устойчивости?

Параграф 3.1 посвящен трехмерным расчетам равновесия, устойчивости и удержания плазмы в стеллараторе Ливень-5. Краткое физическое обоснование проекта разработано в Институте общей физики (ИОФАН, Москва) в 2001 году. Шестипериодная магнитная конфигурация с большим радиусом плазмы 1.1 м и аспектным отношением 3.3 создается обычными двухзаходными винтовыми проводниками. Четыре пары осесимметричных компенсационных витков позволяют варьировать форму граничной магнитной поверхности. Дополнительные винтовые проводники дают возможность контролировать модуляцию магнитного поля.

В параграфе 3.1 рассмотрены свойства равновесия, устойчивости и удержания плазмы в двух вариантах, которые отличаются граничной магнитной поверхностью, Л-5 - TQ (с магнитной ямой, магнитная ось смещена наружу) и TUD (с магнитным бугром, магнитная ось смещена внутрь). Как и в стеллараторе LHD, в обычном стеллараторе Л-5 наблюдается известный эффект вертикального поля. При смещении оси наружу (вариант TQ) улучшается устойчивость плазмы (по отношению к модам Мерсье до =3.67%), но ухудшается удержание плазмы. И наоборот, при смещении оси внутрь (вариант TUD) ухудшается устойчивость плазмы (предельное по Мерсье значение до 1%), зато на порядок улучшается удержание плазмы. Вакуумное вращательное преобразование на оси для данных двух вариантов равно 0.2, что приводит к довольно низкому пределу по равновесию (=2-3%).

Суперкомпьютерная оптимизация стелларатора Л-5 рассмотрена в параграфе 3.2. В качестве основной целевой функции использовалось условие постоянства второго адиабатического инварианта на магнитной поверхности (условие так называемой квази-омнигенности), а значение вакуумного вращательного преобразования на оси, выбиралось равным 0.3-0.4. В результате оптимизации были получены две магнитной конфигурации - Л-5-MI10 и Л-5-MI14, в которых за счет выполнения условия квази-омнигенности удержание альфа-частиц улучшено на несколько порядков. Одновременно предельное по равновесию значение параметра удалось повысить до 5-10%. Дополнительная оптимизация по устойчивости не проводилась. Полученные конфигурации с улучшенным переносом предлагается рассматривать в качестве вариантов стелларатора Л-5 с модульными катушками, расчет которых еще предстоит провести.

В параграфе 3.3 приведены результаты расчетов влияния гексапольного и вертикального магнитных полей на удержание альфа-частиц и устойчивость плазмы стелларатора LHD. В данном случае изучались различные магнитные конфигурации, которые можно получить в реальной установке. Обнаружено, что удержание альфа-частиц можно улучшить при смещении магнитной оси внутрь вертикальным полем. В противоположность вертикальному, сильные гексапольные поля как положительные, так и отрицательные, не приводят к улучшению удержания и не улучшают устойчивость по отношению к идеальным модам Мерсье. Таким образом, возможности оптимизации в обычных стеллараторах ограничены системой имеющихся проводников. Расчеты показали, что в отличие от гексапольных, вертикальные поля оказывают существенное влияние на устойчивость и перенос в LHD, однако с помощью данных полей одновременно получить низкие переносы и высокие значения предельного по устойчивости до сих пор не удалось.

Параграф 3.4. посвящен новому классу квази-омнигенных конфигураций, открытых в результате численной оптимизации обычного стелларатора LHD. Квази-омнигенная конфигурация характеризуется постоянством второго инварианта на магнитной поверхности, это постоянство удалось получить с высокой точностью. В полученной конфигурации высокоэнергетичные альфа-частицы удерживаются в течение почти 10 секунд, что намного больше, чем во всех имеющихся в настоящее время стеллараторных конфигурациях. Рассчитанный предел по равновесию находится на уровне =10%. Конфигурация имеет магнитный бугор и требует дополнительной работы по улучшению устойчивости. Таким образом, даже в обычных стеллараторах путем численной оптимизации в направлении выполнения условия квази-омнигенности возможно уменьшение неоклассических потерь. Однако, вопрос об одновременном улучшении как переносов, так и устойчивости для подобных магнитных систем еще требует дополнительного рассмотрения.

Четвертая глава посвящена суперкомпьютерным расчетам переносов с помощью нового кода VENUS+f и расчетам самосогласованного равновесия с бутстрэп током. Как уже было сказано, расчеты переносов являются ключевой задачей теории стеллараторов как при оптимизации новых систем, так и при анализе экспериментальных данных. Описанные выше известные численные коды для расчета бесстолкновительного удержания частиц и переносов (DKES, MCT, GC3, NEO) обладают рядом достоинств и ограничений. Новый трехмерный код VENUS+f является наиболее мощным средством расчета неоклассических переносов без ограничений, имеющихся в вышеприведенных численных кодах.

В параграфе 4.1 приводятся уравнения дрейфового движения заряженной частицы в электромагнитном поле. Данные уравнения, имеющие наиболее простой вид в бузеровских координатах, являются основой для расчета траекторий движения частиц в плазме в коде VENUS. В качестве входных данных код использует точную информацию о трехмерных магнитных равновесных полях, полученную из кода TERPSICHORE. В частности, спектр магнитного поля может содержать сотни гармоник разложения Фурье по полоидальным и тороидальным бузеровским углам. Для улучшения гладкости радиальных и угловых функций VENUS проводит дополнительную интерполяцию всех величин на трехмерной сетке. Затем численное вычисление траектории производится методом интегрирования дифференциальных уравнений Рунге-Кутта второго либо четвертого порядка.

Для адекватного воспроизведения оператора столкновений Лоренца в коде VENUS используется изменение питч-угла частицы на каждом шаге траектории. Точное представление оператора Лоренца обеспечивается только после нескольких соударений частицы. Для расчета неоклассической диффузии и бутстрэп тока в код VENUS введен расчет так называемого веса f каждой частицы, который меняется вдоль траектории частицы пропорционально радиальному смещению и градиентам плотности плазмы. Основываясь на данном методе f - линейном приближении уравнения Фоккера-Планка, можно получить соответствующие выражения для суммарных потоков частиц, диффузии и бутстрэп-тока.

Результаты расчетов неоклассической диффузии и бутстрэп тока для токамака кодом VENUS+f приведены в разделе 4.2. Здесь же приводятся сравнения численных расчетов с известными аналитическими результатами, полученными в параксиальном приближении для двух предельных случаев - режима Пфирша-Шлютера и режима “банановой” диффузии. Приводятся результаты расчетов, показывающих уменьшение флуктуаций стационарного решения с ростом числа частиц в соответствии известными статистическими закономерностями метода Монте-Карло.

Результаты расчетов бутстрэп-тока для стелларатора W-7X, выполненных автором с помощью кода VENUS+f, приведены в параграфе 4.3. Как известно, в данном режиме для бутстрэп-тока в стеллараторе W-7X существует разница в 2.5 раза между результатами расчетов, полученных кодом DKES и полуаналитическим пределом Шейнга-Каллена. Известно, что в этом пределе код DKES имеет очень большую погрешность расчетов или не имеет сходимости. С помощью нового кода VENUS+f автору численно удалось найти решения в зоне перехода между решениями DKES и полуаналитическим пределом Шейнга-Каллена.

Расчетам самосогласованного равновесия с бутстрэп-током в токамаке JT-60 и стеллараторах W-7X и LHD посвящен последний параграф диссертации, 4.4. Автор использовал японский код SPBSC, позволяющий найти самосогласованное равновесие с бутстрэп-током в пределе редких соударений. Аналогичный подход был использован и проверен автором для LHD и ряда других конфигураций с помощью швейцарского кода TERPSICHORE-BOOTSP. Как показали наши расчеты, бутстрэп-ток изменяет вращательное преобразование LHD и тем самым оказывает влияние на устойчивость плазмы. В отличие от LHD, стелларатор W-7X имеет малый бутстрэп-ток, однако, в некоторых случаях он может быть значительным и также сильно влиять на равновесие и устойчивость магнитной конфигурации.

Диссертация оканчивается Заключением, Благодарностями и Списком литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации с помощью расчетов на суперкомпьютерах решено несколько больших задач теории современных стеллараторов. С использованием модернизированных численных кодов проведены расчеты равновесия, устойчивости плазмы и процессов переносов в плазме различных стеллараторных конфигураций. Развиты и дополнены методы суперкомпьютерной оптимизации трехмерных конфигураций. Найдено несколько новых оптимизированных по различным параметрам конфигураций с рекордными пределами по равновесию и устойчивости удерживаемой в них плазмы. Получено несколько принципиально новых магнитных конфигураций, обладающих свойствами квазисимметрии, псевдосимметрии и квази-омнигенности. Разработан новый трехмерный численный код для расчета неоклассических переносов для любых столкновительных режимов и произвольной геометрии магнитного поля.

Кратко сформулируем основные результаты, полученные в настоящей диссертации.

1. Проведены суперкомпьютерные расчеты равновесия и устойчивости плазмы в квазисимметричных стеллараторах с помощью трехмерных численных кодов VMEC и TERPSICHORE. Найдена новая стеллараторная конфигурация с винтовой квазисимметрией типа гелиак, оптимизированная по равновесию и устойчивости, предел по модам Мерсье в которой равен =4%, по баллонным модам - около =1%.

2. В результате оптимизации трехмерных систем с малым числом переменных, описывающих граничную магнитную поверхность, найдена компактная четырехпериодная конфигурация с полоидальной квазисимметрией с рекордными значениями предела по устойчивости на уровне =4% по отношению к модам Мерсье и на уровне =3% по отношению к баллонным модам. Найдены две оптимизированные по критерию Мерсье и баллонным модам пятипериодных конфигурации с полоидальной квазисимметрией. В квазиполоидальном гелиаке предел по критерию Мерсье и баллонным модам находится на рекордном уровне =6%. В квазиполоидальном гелиасе данный предел находится на уровне =5%. Предложена соответствующая модернизация сечения магнитных поверхностей вдоль тороидальной координаты для уже существующих обычных гелиаков.

3. Проведена оптимизация стелларатора с квазиаксиальной симметрией NCSX, который сооружается в настоящее время в Принстонской лаборатории физики плазмы (США), по переносам с помощью условий псевдосимметрии. Для достижения псевдосимметрии, при которой в конфигурации значительно уменьшаются неоклассические переносы без дополнительных ограничений, накладываемых более строгими условиями квазисимметрии, были рассмотрены несколько целевых функций. Наиболее удачной оказалась так называемая WATER, пропорциональная объему локальных неоднородностей магнитного поля вдоль силовой линии. Расчет целевой функции WATER включен в международный код STELLOPT (оптимайзер), минимизирующий до 40 целевых функций, связанных с другими параметрами плазмы. С помощью данной целевой функции получена псевдосимметричная конфигурация стелларатора NCSX с уменьшенным в 5 раз коэффициентом диффузии и профилем вращательного преобразования, оптимальным для устойчивости плазмы.

4. При численном анализе равновесия и устойчивости компактного стелларатора NCSX обнаружены и устранены несколько численных проблем, характерных для систем с малым аспектным отношением. Найдена и устранена причина так называемых численных баллонных мод, связанных с неточностями в расчетах равновесия кода VMEC2000 и формулировках уравнения баллонных мод кода TERPSICHORE. Большая работа по сходимости решения уравнения привела к открытию зон неустойчивостей по отношению к баллонным модам на уровне =4%.

5. Проведена оптимизация стелларатора с квазиаксиальной симметрией - CHS-qa, проект которого в настоящее время разрабатывается в Японии (NIFS). В результате минимизации токов Пфирша-Шлютера предел по равновесию в оптимизированной конфигурации chs67 получен на уровне 20%, предел по критерию Мерсье - на уровне 8.5%.

6. Выполнены трехмерные суперкомпьютерные расчеты равновесия, устойчивости и переносов для нового стеллараторного проекта Л-5, работа над которым продолжается в настоящее время в Институте общей физики (ИОФ РАН). Рассмотрены параметры двух предельных конфигураций с магнитным бугром и с магнитной ямой, получаемых в вакуумных магнитных полях, создаваемых планируемой системой проводников с током. Обнаружено, что вследствие небольшого вращательного преобразования на магнитной оси предел по равновесию в рассматриваемых случаях находится на уровне =2%. Найдено, что в системе со смещенной наружу магнитной осью предел по устойчивость Мерсье равен 2%, удержание альфа-частиц слабое. В системе со смещенной внутрь магнитной осью удержание альфа-частиц лучше примерно на порядок, однако зоны неустойчивости по Мерсье существуют даже при =0.7%.

7. В качестве двух других кандидатов для стелларатора Л-5 предложены две оптимизированные по переносам квази-омнигенные конфигурации с увеличенным до 0.3 вращательным преобразованием на магнитной оси и высоким пределом по равновесию (до 10%). Квази-омнигенные конфигурации были найдены с помощью суперкомпьютерной оптимизации функции второго адиабатического инварианта, для чего был разработан новый численный код JCONT. В новой стеллараторной системе с квази-омнигенной структурой магнитного поля, которую можно создать небольшим изменением граничной магнитной поверхности, альфа-частицы удерживаются в течении секунды, что на несколько порядков превышает время удержания этих частиц в обычном стеллараторе. Новый класс найденных квази-омнигенных систем открывает дополнительные возможности для улучшения удержания в обычных стеллараторах с относительно простыми винтовыми проводниками. Для проверки возможностей магнитной системы действующего в настоящее время стелларатора LHD был проведен численный анализ влияния гексапольного и вертикального магнитных полей на удержание альфа-частиц. Показано, что удержание альфа-частиц улучшается при смещении магнитной оси внутрь вертикальным полем.

8. Для расчета неоклассических переносов в трехмерных конфигурациях создан новый численный код VENUS+f. В точных трехмерных равновесных полях в бузеровском представлении, проводится интегрирование дрейфовых уравнений движения заряженной частицы. Новый f метод учитывает изменение веса частицы вдоль траектории системы, пропорциональное градиенту давления и смещению частицы на каждом шаге вдоль траектории. Соударения между частицами моделируются с помощью метода Монте-Карло. Стационарное решение для коэффициентов переноса возникает после нескольких характерных времен соударений, флуктуации которого уменьшаются при увеличении числа частиц. Код VENUS+f работает на многопроцессорных вычислительных машинах - кластерах, многократно увеличивающих число частиц и уменьшающих тем самым погрешность статистических результатов.

9. Проверка кода VENUS+f была проведена на примере как известных аналитических результатов неоклассической теории для токамака, так и для случаев строящегося в настоящее время крупнейшего стелларатора в мире W-7X (Германия). Результаты, полученные с помощью кода VENUS+f, позволяют найти новые решения в области редких соударений, в которой другие коды не имеют точных решений. Результаты VENUS+f по расчетам неоклассической диффузии и бутстрэп тока для стеллараторов W-7X, LHD, NCSX вошли в международную базу по неоклассическим переносам в стеллараторах, создаваемую в рамках МАГАТЭ.

10. Самосогласованное равновесие с бутстрэп током, рассчитанное с помощью кодов SPBSC и TERPSICHORE в полуаналитическом пределе Шейнга-Каллена, получено для токамака и различных стеллараторных систем. Показано, что в оптимизированном стеллараторе W-7X самосогласованный бутстрэп ток в несколько раз меньше, чем в обычном стеллараторе. Быстрая сходимость самосогласованного равновесия с бутстрэп током получена с помощью метода настройки резонансных значений вращательного преобразования. Полученное самосогласованное равновесие позволило определить влияние бутстрэп тока на устойчивость плазмы в различных трехмерных конфигурациях.

Работа по данной диссертации была поддержана Управлением атомной науки и техники Федерального агентства по атомной энергии РФ, Российской федеральной программой поддержки ведущих научных школ, грантами и контрактами Российского фонда фундаментальных исследований, INTAS, Научным фондом Дж. Сороса, Министерством энергетики (DOE, США), Федеральным министерством образования и исследований (WTZ, Германия), Обществом Макса Планка (MPG, Германия), Федеральным политехническим университетом Лозанны (EPFL, Швейцария), ЕвроАтомом, Швейцарским национальным научным фондом, Министерством образования, науки, культуры, спорта и технологии (Японии), Национальным институтом естественных наук (Япония).

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ СОДЕРЖАТСЯ В СЛЕДУЮЩИХ ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТАХ

М.Ю. Исаев, В.Н. Калюжный, M.И. Михайлов, В.В. Немов, "Диффузия Пфирша-Шлютера в квазисимметричных стеллараторах" // Физика плазмы 1995, Т. 21, C.903-906.

М.Ю. Исаев, M.И. Михайлов "Равновесие и устойчивость плазмы в квазисимметричных стеллараторах в приосевом приближении" // Физика плазмы, 1996, Т. 22, С.47-52.

M.Yu. Isaev, W.A. Cooper, S.Yu. Medvedev, M.I. Mikhailov, V.D. Shafranov, A.A. Subbotin, "Plasma Stability in Heliac-like Quasi-Helically Symmetric Stellarators"// Nuclear Fusion, 1997, V. 37, PP. 1431-1436.

M.Yu. Isaev, W.A. Cooper, M.I. Mikhailov, V.D. Shafranov, "The Local Stability in Heliacs with Different Types of Quasisymmetry"// Journal of Plasma and Fusion Research SERIES, 1998, V.1, PP. 66-69, Proc. of Joint Conf. of 11th Int. Stell. Conf. and 8th Int. Toki Conf. 1997.

M. Yokoyama, M.Yu. Isaev, Y. Nakamura, M. Wakatani, V.D. Shafranov, W.A.Cooper, "Magnetic Configuration Study of L=1 Helical Axis Heliotron"// Proc. of 9th Int. Toki Conf., Japan, 1998, JPFR SERIES, Vol. 2 (1999), p. 282-285.

M.Yu. Isaev, M.I. Mikhailov, D.A. Monticello, H.E. Mynick, A.A. Subbotin, L.P. Ku, A.H. Reiman, "The Optimization of NCSX towards Pseudo-Symmetry"// "Physics of Plasmas", vol.6, N8, p.3174-3179, 1999.

A. Reiman, G. Fu, S. Hirshman, L. Ku, D. Monticello, H. Mynick, M. Redi, D. Spong, M. Zarnstorff, B. Blackwell, A. Boozer, A. Brooks, W. Cooper, M. Drevlak, R. Goldston, J. Harris, M. Isaev, C. Kessel, Z. Lin, J. Lyon, P. Merkel, M. Mikhailov, W. Miner, N. Nakajima, G. Neilson, C. Nuehrenberg, M. Okamoto, N. Pomphrey, W. Reiersen, R. Sanchez, J. Schmidt, A. Subbotin, P. Valanju, K. Watanabe, R. White, "Physics Design of a High beta Quasi-Axisymmetric Stellarator"// 26 EPS Conference on Contr. Fus. and Plasma Phys., Maastricht, Netherlands, 1999, Plasma Phys. and Contr. Fus., 41(1999)B273-B-283.

R. Sanchez, M. Isaev, S.P. Hirshman, W.A. Cooper, L.P. Ku, G.Y. Fu, M.I. Mikhailov, J.A. Jimenez, D.A. Monticello, A.H. Reiman, A.A. Subbotin, "Ideal MHD Stability Calculations for Compact Stellarators"//Computer Physics Communications, 141, p. 55-65(2001).

O. Fischer, W.A. Cooper, M.Yu. Isaev, L. Villard, "Neoclassical Transport and alpha - particle confinement in novel 3D Reactor Systems"// Nucl. Fusion, 2002, v.42, 817-826.

A. Reiman, L. Ku, D. Monticello, S. Hirshman, S. Hudson, C. Kessel, E. Lazarus, D. Mikkelsen, M. Zarnstorff, L. Berry, A. Boozer, A. Brooks, A. Cooper, M. Drevlak, E. Fredrickson, G. Fu, R. Goldston, R. Hatcher, M. Isaev, C. Jun, J. Lewandowski, Z. Lin, J. Lyon, P. Merkel, M. Mikhailov, W. Miner, H. Mynick, G. Neilson, B. Neilson, C. Nuehrenberg, N. Pomphrey, M. Redi, W. Reiersen, P. Rutherford, R. Sanchez, J. Schmidt, D. Spong, D. Strickler, A. Subbotin, P. Valanju, R. White, "Recent Advances in the Design of Quasi-Axisymmetric Stellarator Plasma Configurations"//Phys. of Plasmas, V.8, N5, P.2083-2094 (2001).

W.A. Cooper, M.Yu. Isaev, S. Okamura, K. Yamazaki, "MHD Stability of 3D Plasma Confinement Configurations with Finite Plasma Current", Proc. of Joint Conference of 12th Int. Toki Conference on Plasma Phys. and Contr. Nucl. Fus. and 3rd General Assembly of Asia Plasma and Fusion Association (APFA-01), Toki, Japan, 2001// JPFR SERIES, vol.5, p.57-62, 2002.

M.Yu. Isaev, J. Nuhrenberg, M.I. Mikhailov, W.A. Cooper, K.Y. Watanabe, M. Yokoyama, K. Yamazaki, A.A. Subbotin, V.D. Shafranov, "A New Class of Quasi - Omnigenous Configurations"// Nucl. Fusion, v.43, p.1066-1071, 2003.

М. Исаев С.Е. Гребенщиков, С.В. Щепетов, Ю. Нюренберг, Э. Купер "Компактный торсатрон с улучшенным удержанием альфа-частиц"// Физика плазмы, Т.29, С.727-739, 2003.

M.Yu. Isaev, S. Okamura, W. A. Cooper, "The Effect of Reduced Pfirsch-Schluter Current on the Ideal MHD Stability and alpha Particle Confinement in 2-period Compact Configurations"// JPFR SERIES, vol.6, p.199-202, Proc. of 13th Int. Toki Conference, Japan, 2003.

М. Исаев, К. Ватанабе, М. Йокоуама, К. Ямазаки, "Влияние гексапольных и вертикальных магнитных полей на удержание альфа-частиц в конфигурациях гелиотрона" // Физика плазмы, Т.29, С.831-835, 2003.

G. M. Batanov, E. N. Bondarchuk, S. A. Bulgakov, S. E. Grebenschikov, I. S. Danilkin, Ivanov V. A., M.Yu. Isaev, L.M. Kovrizhnykh, V.A. Krylov, Kuligin V. S., V.G. Kuchinsky, A.A. Malkov, A.I. Mescheryakov, A.B. Mineev, B.G. Mudjugin, V.P. Muratov, F.Yu. Skornyakov, O.I. Fedyanin, V.V. Kharitonov, M.K. Kharchev, S.V. Shchepetov, "The L-5 Stellarator: A Compact Torsatron with a Controlled Structure of the Magnetic Configuration"//Plasma Devices and Operations, vol.11, N3, p.161-184 (2003).

W. A. Cooper, S. Ferrando i Margalet, S. J. Allfrey, J. Kisslinger, H. Wobig, Y. Narushima, S. Okamura, C. Suzuki, K. Y. Watanabe, K. Yamazaki, M. Yu. Isaev "MHD Stability of Free Boundary QA Stellarator Reactor Equilibria with Finite Bootstrap Current"//Proc. of 14th Int. Stellarator Workshop, Greifswald, FRG, 2003, Fus. Science and Technology, v.46, p.365-377, 2004.

S. Ferrando i Margalet, W.A. Cooper, S. J. Allfrey, P. Popovitch, M. Yu. Isaev, "Bootstrap Current and Quasi-Symmetry in Reactor-Size Stellarators", Proc. of 14th Int. Stellarator Workshop, Greifswald, FRG, 2003// Fus. Science and Technology, v.46, p.44-53, 2004.

M. Yu. Isaev, S. Brunner, W.A. Cooper, T. M. Tran, A.Bergmann, C.D. Beidler, J. Geiger, H. Maassberg, J. Nuhrenberg, M. Schmidt, "VENUS+delta f - A Bootstrap Current Calculation Module For 3D Configurations", 15 Int. Stellarator Workshop, 2005, Madrid, Spain// Fus. Science and Technology, v.50, p.440-446, 2006.

G. Fu, M. Isaev, L. Ku, M. Mikhailov, M. Redi, R. Sanchez, A. Subbotin, A. Cooper, S. Hirshman, D. Monticello, A. Reiman, M. Zarnstorff, "Ideal Magnetohydrodynamics Stability of the National Compact Stellarator Experiments"//Fus. Science and Technology", v.51, N2, p.218-231 (2007).

Размещено на Allbest.ru