Растяжение, сдвиг, срез и кручение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Растяжение, сдвиг, срез и кручение

1. Растяжение. Закон Гука при растяжении

Расчет на прочность

Если круглый стержень, нагрузить двумя равными по величине и противоположно направленными вдоль его продольной оси силами F, то он получит деформацию растяжения, которая приведет к увеличению длины и уменьшению диаметра стержня (рис. 1).

Рис.1.

Первоначальная длина l увеличится на величину l, которая называется абсолютным удлинением, а первоначальный диаметр d стержня уменьшится на величину d, называемую абсолютным поперечным укорочением.

Более общей характеристикой деформированного состояния стержня являются относительные величины:

- относительная продольная деформация ;

- относительная поперечная деформация .

Многочисленные эксперименты показали, что величины продольной и поперечной деформации пропорциональны друг другу:

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом Пуассона. Таким образом, коэффициент Пуассона - это отношение абсолютных значений поперечной и продольной деформации при растяжении образца:

(1)

Значения этого коэффициента, используемые во многих расчетах на прочность, определяются опытным путем для различных материалов. Вот некоторые значения:

- для пробки 0;

- для резины 0,5;

- для алюминиевых сплавов = 0,32 0,36;

- для стали = 0,25 0,33.

Если вектор силы перпендикулярен поперечному сечению стержня, то в этом сечении возникает нормальное напряжение:

Экспериментально установлено, что в пределах малых деформаций для пластичных материалов имеет место прямая пропорциональная зависимость между напряжениями и деформациями. Эта зависимость носит название закона Гука:

(2)

Коэффициент пропорциональности Е называется модулем продольной упругости, или модулем упругости первого рода, или модулем Юнга. Сформулируем еще раз закон Гука - в пределах упругих деформаций напряжения прямо пропорциональны деформациям.

Модуль продольной упругости характеризует способность материала сопротивляться упругой деформации при растяжении (и сжатии). Можно сказать, что модуль продольной упругости характеризует жесткость материала при растяжении. В таблице 1 приведены значения модуля продольной упругости для некоторых материалов.

Таблица 1

Чугун не является пластичным материалом, поэтому его модуль упругости является условной величиной, однако, пригодной для расчетов: Е = 0,9105 МПа.

В одной из принятых гипотез нашего курса было сказано, что при расчетах на прочность, точнее, в результатах этих расчетов деформации тел не учитываются. Деформации тел, здесь и в дальнейшем, будем учитывать только для вывода расчетных зависимостей между внешними силами, размерами сечений тел и напряжениями. Такие зависимости называются условиями прочности.

При растяжении стержня напряжения определяются методом плоских сечений, то есть, поперечных сечений стержня. Считаем, что эти сечения при растяжении стержня не деформируются и внутренние силы распределяются по сечению равномерно. Если напряжения в разных сечениях стержня неодинаковы из-за разных размеров сечений, то строится эпюра напряжений.

Рис. 2.

На рис. 2 показан ступенчатый стержень, нагруженный продольной растягивающей силой F. В сечениях 1-1, 2-2 и 3-3 внутренние силы N одинаковы, что показывает эпюра этой силы. Нормальные напряжения в этих сечениях = N/S различны, так как площади указанных сечений не одинаковы. Эпюра нормальных напряжений показана на рисунке справа.

Прочность стержня будет обеспечена, если максимальное напряжение в нем (говорят, напряжение в опасном сечении, в данном случае, в сечении 2-2) не превышает допускаемого напряжения для материала стержня. Условие прочности запишется так:

(3)

Напомним, что допускаемое напряжение [] рассчитывается из механических характеристик материала - предела текучести Т, предела прочности В или предела выносливости -1 - с учетом коэффициента безопасности, значение которого зависит от многих факторов: материала, термообработки, вида нагружения, требуемой точности расчетов и пр.

Расчетам на растяжение подвергаются шатуны стержневых механизмов.

2. Срез. Закон Гука при срезе. Расчет на срез

Если на грани элементарного объема бруса действуют только касательные напряжения, то такое напряженное состояние называется чистым сдвигом. Это состояние показано на рис. 3а - к брусу приложены поперечные, равные и противоположно направленные силы Q, действующие близко друг от друга. При достаточной величине этих сил произойдет срез - отделение нижней части бруса от верхней.

Рис. 3.

Перед срезом происходит перекашивание прямых углов параллелепипеда элементарного объема (рис. 3б). Такая деформация называется сдвигом. На гранях параллелепипеда возникают касательные напряжения, величина которых определяется по формуле:

(4)

где S - площадь поперечного сечения бруса.

Деформацию параллелепипеда элементарного объема характеризует величина абсолютного сдвига и угол сдвига , представляющий относительную деформацию при сдвиге.

Закон Гука при сдвиге выражается так: в пределах упругих деформаций касательные напряжения пропорциональны углу сдвига:

(5)

Коэффициент пропорциональности G - это модуль упругости при сдвиге. Его называют еще модулем сдвига или модулем упругости второго рода. Его величина характеризует жесткость материала при сдвиге. Величину модуля сдвига можно определить, зная модуль продольной упругости Е и коэффициент Пуассона для материала бруса:

(6)

Напряженное состояние чистого сдвига учитывается при расчетах на срез и кручение.

Примером расчета на срез может служить расчет штифтового соединения двух деталей, нагруженных силами Q (рис. 4).

Рис. 4.

При расчете действуют следующие допущения:

а) в поперечном сечении штифта действует только поперечная сила;

б) касательные напряжения распространены равномерно по сечению.

Условие прочности выглядит так:

(7)

где: ср - напряжение среза в сечении штифта;

Sср - площадь сечения;

[ср] - допускаемое напряжение среза.

3. Кручение. Напряженное состояние и условие прочности

Напомним, что брус, работающий на кручение, называется валом. Вал деформируется под действием только одного силового фактора - крутящего момента. Напряженным состоянием при кручении является сдвиг элементарных площадок.

Рассмотрим элемент вала с радиусом r и длиной dx, один конец которого закреплен неподвижно, а другой нагружен крутящим моментом Мк (рис. 5а).

Под действием крутящего момента элемент вала закрутится, в результате чего сечение, к которому этот крутящий момент приложен, повернется на абсолютный угол закручивания d, а образующая цилиндра вала повернется на угол сдвига . Этим углам соответствует дуга закручивания, ее величину можно определить по r и d, а также по и dx, то есть:

Рис. 5.

Отсюда угол сдвига:

(8)

Величина d/dx называется относительным углом закручивания, обозначается 0 и характеризует рассматриваемое деформированное состояние. То есть можно записать:

(9)

Чтобы узнать величину касательного напряжения К в материале элемента вала на дуге закручивания, применим закон Гука при сдвиге (5):

(10)

Характер распределения касательных напряжений по диаметру вала узнаем, выделив внутри него призматический элемент, подобно тому, как это было сделано при рассмотрении чистого сдвига (рис. 3). Этот элемент расположен на расстоянии от оси вала и имеет площадь грани ds (рис. 5б). Согласно (10), касательное напряжение на грани этого призматического элемента:

(11)

Исходя из этого выражения, можно сделать вывод, что касательные напряжения в сечении вала пропорциональны радиусу: min = 0 при = 0 и max = G 0 r при = r. Можно сказать, что касательные напряжения внутри вала меняются по закону прямой линии пропорционально расстоянию от оси вращения. В центре поперечного сечения вала напряжение равно нулю, на поверхности вала оно максимально (к на рис. 5в). Внутренние слои материала вала напряжены мало, поэтому часто валы выполняют полыми (пустотелыми, трубчатыми) для экономии металла и облегчения конструкции. В частности, в самолетостроении и вертолетостроении используют только полые валы. Эпюра напряжений в полом валу показана на рис. 5г. При одинаковом крутящем моменте площади эпюр касательных напряжений сплошного вала на рис. 5в и полого вала на рис. 5г должны быть одинаковыми.

Условие прочности может быть выведено из (10), если связать касательное напряжение и крутящий момент.

Элементарный крутящий момент (рис. 5б):

С учетом (11) получаем:

Суммируя элементарные крутящие моменты по всей площади поперечного сечения вала, получим выражение для крутящего момента:

гук растяжение сечение вал

Интеграл обозначается Jр и называется полярным моментом инерции сечения - это сумма произведений всех элементарных площадок поперечного сечения на квадрат их расстояния от центра:

Выражение крутящего момента теперь запишется так:

(12)

Из (10) имеем:

Подставив это выражение в (12), получим:

Откуда:

Отношение полярного момента инерции сечения к его радиусу называется полярным моментом сопротивления сечения и обозначается Wp:

(13)

Максимальное касательное напряжение вала:

(14)

Полярный момент сопротивления имеет размерность мм3, он является основной расчетной величиной сечения при расчетах на кручение. Формулы полярного момента сопротивления зависят от формы сечения и приведены в справочниках. Например, для круглого сечения (рис. 5в):

Для кольцевого сечения (рис. 5г):

Условие прочности при кручении выглядит так:

(13.15)

где [] - допускаемое напряжение при кручении.

Рекомендуемая литература

1. Авиационные зубчатые передачи и редукторы. Справочник. Под редакцией Булгакова Э.Б. Москва, «Машиностроение», 1981.

2. Анурьев В.И. Справочник конструктора-машиностроителя. В трех томах. Москва, «Машиностроение», 1982.

3. Артоболевский И.И. Механизмы в современной технике. Том III. Зубчатые механизмы. М., Наука, 1973.

4. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. М., Наука, 1975.

5. Бернштейн С.А. Сопротивление материалов. М., «Высшая школа», 1961.

6. Гавриленко Б.А. и др. Гидравлический привод. М., Машиностроение, 1968.

7. Детали машин. Атлас конструкций. Под ред. Решетова Д.Н. Москва, «Машиностроение», 1989.

8. Иванов М.Н. Детали машин. Москва, «Высшая школа», 1991.

9. Коловский М.З. Динамика машин. Л., Ленинградский политехнический институт, 1980.

10. Основы расчета и конструирования деталей летательных аппаратов. Под ред. Кестельмана В.Н. Москва, 1989.

11. Пневмопривод систем управления летательных аппаратов. Под ред. Чашина В.А. М., Машиностроение, 1987.

12. Прикладная механика. Под ред. Осецкого В.М. М., «Машиностроение», 1977.

13. Пятаев А.В. Теория механизмов и машин. Учебное пособие. Ташкент, Ташкентский государственный авиационный институт, 2001.

14. Пятаев А.В. Динамика машин. Ташкентский политехнический институт. Ташкент, 1990.

15. Пятаев А.В. Детали машин. Учебное пособие. Ташкент, Ташкентский государственный авиационный институт, 2004.

16. Справочник машиностроителя, том 3. Под редакцией Ачеркана Н.С. Москва, Машгиз, 1963.

17. Справочник машиностроителя, том 4, книги I и II. Под редакцией Ачеркана Н.С. Москва, Машгиз, 1963.

18. Теория механизмов и машин. Под ред. Фролова К.В. М., Высшая школа, 1987.

19. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М., Физматгиз, 1959.

20. Трение, изнашивание и смазка. Справочник. Под редакцией Крагельского И.В. и Алисина В.В. Москва, «Машиностроение», 1978.

Размещено на Allbest.ru