Схемные функции и частотные характеристики линейных электрических цепей

Нормировку параметров цепи проведем по следующим формулам:

2. Исследование нагрузки

Схема на рисунке 2.1 имеет П-образную структуру (рисунок 2.6а). В соответствии с ее изображением на рисунке 2.6б очевидно, что коэффициент передачи не зависит от значения . В то же время при работе от генератора сигнала () само значение (рисунок 2.6в) безусловно зависит от , так как определяется входным сопротивлением , по этому значение так же зависит от значения .

a) б) в)

Рисунок 2.6 - П-образная модель заданной схемы

Сделаем вывод: в П-образной модели значение зависит от всех сопротивлений , и , а коэффициент передачи определяется только сопротивлениями и . Таким образом, для нахождения коэффициента передачи достаточно рассмотреть часть схемы на рисунке 2.1, соответствующую сопротивлениям и на схеме 2.6а. На рисунке 2.7 представлена схема нагрузки для нахождения характера АЧХ передаточной функции.

Рисунок 2.7 - Схема нагрузки для нахождения характера АЧХ передаточной функции

Построим эквивалентные модели схемы в характерных точках (0, ), что и представлено на рисунке 2.8.

Рисунок 2.8 - Эквивалентные модели схемы для определения на частотах: а), б)

В соответствии с рисунком 2.8:

;.

Соответственно приблизительный характер АЧХ передаточной функции имеет вид представленный на рисунке 2.9.

Рисунок 2.9 - Предполагаемый характер АЧХ коэффициента передачи

2.4 Предполагаемый характер ФЧХ входной функции

Грубая оценка характера ФЧХ входной функции может быть сделана на основе диаграмм реактивных сопротивлений (рисунок 2.2); так как для реактивных двухполюсников , то ФЧХ таких схем принимает только значения , если , то есть , и , если , то есть ; при этом при прохождении через последовательный резонанс ФЧХ меняет знак с минуса на плюс, а при прохождении через параллельный резонанс ФЧХ меняет знак с плюса на минус.

В соответствии с диаграммой на рисунке 2.2 ФЧХ реактивного двухполюсника имеет вид, показанный на рисунке 2.10.

Рисунок 2.10 - Предполагаемый характер ФЧХ входной функции без учёта потерь

На рисунке 2.11 изображены эквивалентные модели исследуемой цепи нагрузки при , и при

а) б)

Рисунок 2.11 - Эквивалентная модель исследуемой цепи при а), и при б)

Цель построения такой схемы - оценить, каким сопротивлением , или определяется входное сопротивление цепи на исследуемой частоте.

Следует иметь в виду, что при последовательном соединении определяющим является большее из сопротивлений, а при параллельном - меньшее. Из рисунка 2.11 становится очевидным, что определяется параллельным соединением активных сопротивлений и при , то есть , а при определяется активным сопротивлением , то есть .

Учитывая, что параллельный резонанс в схеме рисунка 2.1 - не идеальный, ФЧХ в окрестности изменяется плавно; последовательный же резонанс - практически идеален, ФЧХ на изменяется скачкообразно. Примерный вид ФЧХ входного сопротивления показан на рисунке 2.12.

Рисунок 2.12 - Примерный вид ФЧХ входного сопротивления

2.5 Предполагаемый характер ФЧХ передаточной функции

2.7 Проверка выражений схемных функций

Все слагаемые одного полинома должны иметь одинаковую размерность, а размерность для функции в целом должна соответствовать её физическому смыслу (входное сопротивление имеет размерность, а коэффициент передачи - безразмерная величина). При проверке учитываем, что произведениеимеет размерность , а произведение и R - размерность .

;

.

Проверка по размерности подтвердила правильность нахождения схемных функций.

Значения, полученные из выражений для схемных функций при и должны соответствовать результатам для схем при и , так как . Учтём что значение функции от 0 есть отношение свободных членов полиномов числителя и знаменателя, а значение функции от есть отношение коэффициентов при старших степенях полиномов числителя и знаменателя. Выражения и при и дают значения:

.

Эти же значения входного сопротивления нагрузки на крайних частотах были получены в пункте 2.2 при определении предполагаемого характера АЧХ входного сопротивления нагрузки.

.

Полученные значения передаточной функции совпадает со значениями, полученным в пункте 2.3 при определении предполагаемого характера АЧХ передаточной функции нагрузки.

Определение максимального порядка полиномов функции непосредственно по схеме осуществляется по следующему правилу:

где n, m - максимальные степени полиномов числителя и знаменателя соответственно;

- число независимых реактивностей;

- число ёмкостных контуров;

- число индуктивных сечений.

Для определения порядка числителя на вход схемы подключается источник э.д.с., а знаменателя - источник тока.

Из схемы цепи нагрузки видно, что число независимых реактивностей равно 3 и в схеме нет ни индуктивных сечений, ни емкостных контуров, то есть:

.

Из этого следует, что максимальные порядки полиномов числителя и знаменателя в выражении равны отношению , т.е. при определяется активным сопротивлением, следовательно, степень знаменателя m равна степени числителя n.

При определяется активным сопротивлением, т.е. минимальные степени полиномов должны совпадать, что соответствует нашему выражению.

Числитель функции и знаменатель функции совпали с точностью до общего множителя (при определении обеих функций входные зажимы были одни и те же), что также говорит о правильности найденных схемных функций:

;

.

Ограничения на соотношение степеней числителя и знаменателя передаточной функции не устанавливаются.

Проведенная проверка показала, что схемные функции нагрузки найдены верно.

2.8 Нормировка выражений схемных функций

Если в найденные выражения схемных функций подставить не нормированные значения параметров L, C, R, S (обычно в радиотехнических цепях порядок этих величин соответственно, , , ), то числовые коэффициенты при будут различаться на много порядков и тем сильнее, чем больше разница между максимальной и минимальной степенью в полиноме. При этом вычисления существенно затруднены. Использование нормировки снимает эту проблему. Кроме того, нормировка приводит к выявлению общих свойств, присущих данной схеме: если сохранить соотношение параметров L, C, R и частоты неизменным, то схемная функция не изменится при любых значениях перечисленных параметров. Нормировка функций производится путем подстановки в выражения этих функций вместо L, C, R, g, S их численных нормированных значений.

Также для упрощения и наглядности записи будем опускать значок «н», т.е. и . Нормировку произведём используя пакет MathCad, подставляя нормированные параметры цепи.

;

.

2.9 Расчет резонансных частот и резонансных сопротивлений; определение полосы пропускания цепи (ППЦ)

Расчёт нулей и полюсов ведётся на основе нормированных выражений, приведённых к типовому виду. Запишем выражение для входной операторной функции:

. (2.1)

По выражению определим нули и полюса входной функции, учитывая, что нули функции - корни полинома числителя, полюса функции - корни полинома знаменателя. Так как нули и полюсы - корни полиномов с вещественными коэффициентами, то нули и полюса - простые или кратные корни, вещественные или попарно-сопряжённые.

Нули: , ,;

Полюсы: , , ;

Масштабный коэффициент .

Перепишем выражение (2.1) с учётом найденных нулей и полюсов в виде:

. (2.2)

Определение частотных характеристик связано с действием на цепь гармонического сигнала, следовательно, (значок «н» опущен), а операторная функция становится комплексной .

В выражении (2.2) значение в каждой скобке, в общем случае, комплексное число вида , следовательно:

АЧХ: , (2.3)

ФЧХ: , (2.4)

где , если - положительное число,

, если - отрицательное число.

ПНИ для найденных значений показано на рисунке 2.16. Каждой скобке в выражении (2.2) соответствует вектор, проведённый от нуля (полюса) в точку ; для которой проводится вычисление АЧХ и ФЧХ.

Рисунок 2.16 - ПНИ входной функции

Цепь является устойчивой, так как нули и полюсы входной функции находятся в левой полуплоскости.

Перейдем к построению АЧХ и ФЧХ по ПНИ.

1) на частоте :

Рассчитаем модули и аргументы входной функции для частоты , полученные значения занесём в таблицу 2.1.

Таблица 2.1 - Модули и аргументы векторов для .

В соответствии с выражениями (2.3) и (2.4):

.

.

2) при :

Для расчёта частотных характеристик при все векторы «проводятся» от нулей и полюсов «в бесконечность», то есть вверх параллельно оси ординат. Тогда и определяются соотношением максимальных степеней числителя и знаменателя функции .

В нашем случае , поэтому , а , так как:

, так как в начале координат нет ни нуля ни полюса;

. Если частоте дать микроприращение, то углы , дадут в сумме нуль, аналогично для углов и , и . В сумме получаем .

В области функция принимает наибольшие значения, т.к. модуль П₂ принимает наименьшее значение.

В области функция принимает наменьшее значение, т.к. модуль М₂ принимает наименьшее значение. В области частот ФЧХ резко изменит свой знак с минуса на плюс.

Построим в пакете MathCad АЧХ и ФЧХ входной функции (показаны на рисунках 2.17 и 2.18 соответственно), по полученным графикам проверим анализ проведённый по ПНИ.

Рисунок 2.17 - АЧХ входного сопротивления схемы нагрузки

Рисунок 2.18 - ФЧХ входного сопротивления схемы нагрузки

Как видно из рисунков 2.17 и 2.18, наши вычисления ЧХ по ПНИ на крайних частотах полностью оказались верными, так же совпадает расчет по ПНИ на заданной частоте .

2.11 Определение нулей и полюсов передаточной функции; предполагаемый характер ЧХ на основе карты нулей и полюсов; вычисление ЧХ на =1.5

Расчёт нулей и полюсов ведётся на основе нормированных выражений, приведённых к типовому виду. Запишем выражение для передаточной операторной функции:

.

Полюсы: ;

Масштабный коэффициент .

Перейдём к построению полюсно-нулевого изображения (ПНИ) функции. ПНИ для найденных значений показано на рисунке 2.19.

Рисунок 2.19 - ПНИ передаточной функции

Перейдем к построению АЧХ и ФЧХ по ПНИ

1) на частоте :

;.

2) при :

, т.к. в начале координат нет ни нуля ни полюса.

, так как углы , и , в сумме дают нуль, а угол , в сумме .

3) при :

, поэтому , а , так как:

.

Построим в пакете MathCad АЧХ и ФЧХ переходной функции (показаны на рисунках 2.20 и 2.21 соответственно), по полученным графикам проверим анализ проведённый по ПНИ.

Рисунок 2.20 - АЧХ передаточной функции схемы нагрузки

Рисунок 2.21 - ФЧХ передаточной функции схемы нагрузки

Как видно из рисунков 2.20 и 2.21, наши вычисления ЧХ по ПНИ на крайних частотах полностью оказались верными, так же совпадает расчет по ПНИ на заданной частоте .

3. Исследование схемы транзистора с обобщенной нагрузкой

3.1 Вывод операторных выражений входной и передаточной функций

Эквивалентная модель транзистора М2 с обобщенной нагрузкой показана на рис. 3.1.

Рисунок 3.1 - Эквивалентная модель транзистора с обобщенной нагрузкой

Для того чтобы воспользоваться МУП подключим на вход пробный источник тока , обозначим узлы и опишем элементы схемы проводимостями (рисунок 3.2).

Рисунок 3.2 - Модель схемы для МУП

Из рисунка 3.2 видно, что а, . Запишем типовую систему для данной модели схемы:

.

Выразим зависимый источник тока через узловые потенциалы:

.

Подставим полученное выражение в систему и приведём подобные по узловым потенциалам.

.

Запишем полученную систему в матричной форме.

По правилу Крамера найдём узловые потенциалы и .

;

;

где определитель матрицы проводимостей.

;

;

.

Входную и передаточную функции найдём как и .

;

.

Таким образом:

;

.

3.2 Проверка полученных выражений и их нормировка

Проверка по размерности.

.

- безразмерная величина.

Проверка на крайних частотах диапазона.

Эквивалентные модели схемы на крайних частотах, показанной на рисунке 3.1, изображены на рисунке 3.3.

Рисунок 3.3 - Эквивалентные модели схемы на крайних частотах

При и если учесть, что , то выражение для передаточной функции примет вид:

т.е. в схеме есть инверсия, что совпадает со схемой.

Для входной функции при :

.

При , так как .

, что совпадает со схемой (закоротка на С_Э).

Из рисунка 3.3 видно, что (закоротка на С_Э).

При .

Токи в биполярных транзисторах связаны законом Кирхгофа:

(3.1)

в соответствии с физикой работы транзистора.

Анализируя эквивалентную схему при (рисунок 3.3а), можно увидеть, что токи определяются следующими соотношениями:

;;.

Подставляя в (1), получим:

.

Проведём преобразования:

.

Определим коэффициент передачи:

.

Определим коэффициент передачи на постоянном токе по КФЦ цепи:

.

Входное сопротивление определяется как:

.

Определим входное сопротивление на постоянном токе по КФЦ цепи:

.

Числитель функции и знаменатель функции совпали с точностью до общего множителя (при определении обеих функций входные зажимы были одни и те же):

.

Ограничения на соотношение степеней числителя и знаменателя передаточной функции не устанавливаются.

Проведём нормировку полученных выражений.

;

;

;

;

4. Исследование транзистора с избирательной нагрузкой

4.1 Предполагаемый характер ЧХ полной модели и определение ряда численных значений ЧХ в характерных точках (=0, =, =_Р)

Рисунок 4.1 - Полная модель цепи

Предположения о характере ЧХ передаточной функции делаются на основе соотношения

(4.1)

где - коэффициент передачи транзистора;

- крутизна проходной характеристики транзистора;

- сопротивление нагрузки транзистора.

Знак «-» в выражении (4.1) говорит о том что биполярный транзистор при включении с общим эмиттером инвертирует сигнал.

Из (4.1) следует, что для полной цепи

АЧХ: , (4.2)

ФЧХ: (4.3)

где - в рабочем диапазоне имеет нулевое значение и только в области очень высоких частот () ;

- ФЧХ нагрузки.

Выражения (4.1) - (4.3) не являются точными и пригодны для оценки качественного характера ЧХ и оценки характерных численных значений на ЧХ , , .

Найдем значения входной и передаточной функций полной модели в характерных точках

;

.

Построим частотные характеристики на основе проделанного анализа. Зависимость соответствует рисунку 4.2а, соответствует рисунку 4.2б. Ожидаемый результирующий график в соответствии с (4.2) будет иметь вид, показанный на рисунке 4.2в.

Рисунок 4.2

Характер ЧХ для входного сопротивления определяется только транзистором, так как идеальный источник исключает влияние нагрузки на входное сопротивление. Построим эквивалентные схемы поведения транзистора с избирательной нагрузкой на крайних частотах, причём достаточно рассмотреть схему только транзистора, так как идеальный источник исключает влияние нагрузки на входное сопротивление. Эквивалентные схемы транзистора на крайних частотах показаны на рисунке 4.3

Рисунок 4.3 - эквивалентные схемы транзистора на крайних частотах

При входное сопротивление будет больше R_Б, так как:

.

, за счёт закоротки на С_Э.

На крайних частотах диапазона значение ФЧХ равно .

По полученным данным построим качественный характер АЧХ входной функции, что и представлено на рисунке 4.4

Рисунок 4.4 - Предполагаемый характер АЧХ входной функции

4.2 Получение нормированных выражений входной и передаточной функции и их проверка различными способами

Проверка по наибольшему порядку полиномов функции

Отношение максимальных степеней полиномов , что соответствует чисто активному характеру ;

Отношение минимальных степеней полиномов , что соответствует чисто активному характеру.

Из схемы цепи видно, что число независимых реактивностей равно 4 и как до подключения, так и после подключения к схеме каких-либо источников в схеме отсутствуют и не появляются индуктивные сечения и емкостные контура., поэтому максимальные степени числителя и знаменателя определятся из соотношения

.

Порядок полиномов выведенной функции . Это несоответствие объясняется тем, что идеальный источник исключает влияние нагрузки на входное сопротивление полной модели.

4.3 Предполагаемый характер ЧХ для входной функции полной модели на основе карты нулей и полюсов и вычисление ЧХ на =1.5

Запишем выражение для входной операторной функции:

.

Нуль: ;Полюс: ; Масштабный коэффициент .

ПНИ для найденных значений показано на рисунке 4.5.

Рисунок 4.5 - ПНИ входной функции полной модели

1) на частоте :

В соответствии с выражениями (2.3) и (2.4)

;.

2) при :

Для расчёта частотных характеристик при все векторы «проводятся» от нулей и полюсов в начало координат, тогда:

;.

3) при :

, поэтому , а .

4.4 Предполагаемый характер ЧХ для передаточной функции полной модели на основе карты нулей и полюсов и вычисление ЧХ на =1.5

Запишем выражение для передаточной операторной функции:

.

Нули: ,,;

Полюсы: , , , ;

Масштабный коэффициент .

ПНИ для найденных значений показано на рисунке 4.6.

Рисунок 4.6 - ПНИ передаточной функции полной модели

Перейдем к построению АЧХ и ФЧХ по ПНИ

1) на частоте :

В соответствии с выражениями (2.3) и (2.4)

.

.

2) при : , т.к в начале координат нет ни нуля ни полюса ;

, т.к. .

3) при :

, поэтому , а , так как:

.

4.5 Получение выражений АЧХ и ФЧХ входной и передаточной функций полной цепи на основе нормированных выражений и расчет по ним значений ЧХ на частоте =1.5

• Получим выражения АЧХ и ФЧХ для входной функции полной модели:
• .
• ;
• .
• Значения АЧХ и ФЧХ на частоте :
• ;
• .
• Итак, АЧХ и ФЧХ входной функции на основе анализа ПНИ, рассчитанные с помощью пакета MathCad имеют вид, представленный на рисунках 4.7 и 4.8 соответственно.
• Рисунок 4.7 - АЧХ входной функции полной модели на основе анализа ПНИ
• Рисунок 4.8 - ФЧХ входной функции полной модели на основе анализа ПНИ
• 4.7 Получение выражений АЧХ и ФЧХ для передаточной функции полной цепи
• Получим выражения АЧХ и ФЧХ для передаточной функции полной модели:
• .
• .
• .
• Значения АЧХ и ФЧХ на частоте :
• ;
• .
• Итак, АЧХ и ФЧХ передаточной функции полной модели на основе анализа ПНИ, рассчитанные с помощью пакета MathCad имеют вид, представленный на рисунках 4.9 и 4.10 соответственно.
• Рисунок 4.9 - АЧХ передаточной функции полной модели на основе анализа ПНИ
• Рисунок 4.10 - ФЧХ передаточной функции полной модели на основе анализа ПНИ
• По карте нулей и полюсов входной функции (рисунок 4.7) видно, что нули и полюса расположены в левой полуплоскости, т.е. цепь устойчива.
• Так как на ПНИ для передаточной функции отсутствуют нули, лежащие правее мнимой оси, то цепь фазоминимальна, т.е. в данной цепи существует один путь прохождения сигнала от входа к выходу.
• 4.8 Автоматизированный расчёт частотных характеристик полной модели
• Автоматизированный расчёт проводился в пакете OrCAD 9.1. Ввод исходных данных заключается в построение модели схемы с указанием значений параметров элементов, что и показано на рисунке 4.11.
• При расчете частота источника напряжения V1 меняется в заданном интервале. Исходом расчета являются либо все, либо указанные напряжения и токи, из которых и строится необходимые функции. АЧХ и ФЧХ входной функции нагрузки изображены на рисунках 4.12 и 4.13 соответственно. АЧХ и ФЧХ передаточной функции нагрузки изображены на рисунках 4.14 и 4.15 соответственно.
• Исследование входной функции полной модели представлено на рисунках 4.16 и 4.17. АЧХ и ФЧХ передаточной функции представлены на рисунках 4.18 и 4.19 соответственно.
• Укажем на всех графиках положение заданной нормированной частоты , которой соответствует значение частоты МГц. Воспользуемся для этого возможностью трассировки в пакете OrCAD 9.1.
• Рисунок 4.11
• Рисунок 4.12 - АЧХ входной функции нагрузки
• Рисунок 4.13 - ФЧХ входной функции нагрузки
• Рисунок 4.14 - АЧХ передаточной функции нагрузки
• Рисунок 4.15 - ФЧХ передаточной функции нагрузки
• Рисунок 4.16 - АЧХ входной функции полной цепи
• Рисунок 4.17 - ФЧХ входной функции полной цепи
• Рисунок 4.18 - АЧХ передаточной функции полной цепи
• Рисунок 4.19 - ФЧХ передаточной функции полной цепи
• 4.9 Представление входного сопротивления полной цепи последовательной и параллельной моделями на =1.5
• Цепь любой сложности по отношению к входным зажимам выступает как двухполюсник с входным сопротивлением
• , (4.4)
• а входная проводимость этого двухполюсника
• . (4.5)
• Выражениям (4.4) и (4.5) соответствуют последовательная и эквивалентная параллельная модели входного сопротивления.
• Найдем сопротивление полной цепи на заданной частоте. Для этого подставим во входную функцию цепи значение , получим:
• Ом
• рад/с;
• Откуда
• Ом;
• пФ;
• См;
• См;
• См.
• кОм;
• пФ.
• Исходя из полученных результатов, построим параллельную и последовательную модели (рисунок 4.20).
• Рисунок 4.20 - Последовательная и параллельная модели входного сопротивления на частоте
• Выводы
• В результате проведенной работы было проведено исследование транзистора с избирательной нагрузкой. Были определены АЧХ и ФЧХ входной и передаточной функции полной цепи, АЧХ и ФЧХ входной функции нагрузки, определены численные значения ЧХ в заданных точках. Были построены карты нулей и полюсов для входной функции нагрузки, для входной и передаточной функции полной цепи. Произведен автоматизированный расчет цепи.
• Были закреплены навыки по реализации метода МУП, определению схемных функций цепи, построению карты нулей и полюсов.
• Было установлено, что определение предполагаемого характера ЧХ непосредственно перед началом расчета помогает избежать ошибок, предоставляя возможность проверки полученных выражений. Также оказалось, что предварительный анализ схемы позволяет иногда упростить ее для определенного диапазона частот и получить довольно точные значения ЧХ, не прибегая к сложным расчетам.
• Список использованной литературы
• 1. Мельникова И.В. Основы теории цепей. Схемные функции и частотные характеристики линейных электрических цепей: Методические указания по выполнению курсовой работы. Томск: Томский межвузовский центр дистанционного образования, 2001. 65 с.
• 2. Мельникова И.В., Тельпуховская Л.И. Основы теории цепей. Часть 2: Схемные функции цепей. Резонансные цепи. Четырехполюсники и LC-фильтры. Длинные линии: Учебное пособие/ Под общей ред. Мельниковой И.В. Томск: Томский межвузовский центр дистанционного образования, 2014. 186 с.
• Размещено на Allbest.ru