17

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача № 1

Дано:

m_D=4,8 кг

V₀ = 10 м/с

б = 30°

Q= 10 H

R = мVІ (H)

м = 0.2

f = 0.2

AB = L = 4м =400 см

F=4cos (2t), H

Найти:

X = X (t)

X=BD

Решение

Для того, чтобы определить закон движения груза D на участке BC необходимо знать начальные условия движения груза на этом участке.

Поэтому, прежде всего, определим скорость груза в положении B.

1. Рассмотрим движение груза D на участке AB. Изобразим активные (Q - постоянная сила и mg - вес груза) и реактивные (N₁ - реакция опоры, R - сила сопротивления среды) силы, приложенные к грузу D на участке AB.

Составим основное уравнение динамики для груза D на участке AB:

(1)

Из точки A по прямой линии AB проведем ось Z. Спроецируем на эту ось вышеуказанное уравнение. Получим дифференциальное уравнение движения груза D:

(2)

Проекцию ускорения на ось Z выразим в виде a_z=dV_z/dt. Разделим обе части уравнения (2) на m и учтем, что V_z = V, (скорость направлена по AB)

Получим:

Возьмем определенный интеграл на участке AB

движение груз механическая система

По начальным условиям z=0, V=V₀ =10 м/с

По начальным условиям z=l = 4 м, V=V_B

2. Рассмотрим движение груза на участке BC. Составим дифференциальное уравнение движения груза:

Нормальную реакцию определим, спроецировав уравнение (3) на ось, перпендикулярную оси

Х ₀=mg*cos30°-N₂

N₂ = mg*cos30° F/тр = f*mg*cos30°

Подставим силу трения в уравнение (3).

Проекцию ускорения на ось X выразим в виде

Разделим обе части уравнения на m, получим:

Разделим переменные:

Возьмем неопределенный интеграл:

Заменим V_x =dX/dt:

Постоянные интегрирования определим из начальных условий:

V_xo=V_B, X₀=0, тогда

Подставив полученные данные в исходное уравнение, получим:

- уравнение движения груза D на участке BC

Ответ:

Задача № 2

Механическая система состоит из ступенчатых шкивов B и Е, однородного катка D и грузов A и K. Радиусы ступеней шкивов: R_B = 0,4 м; r_B = 0,3 м; R_E = 0,3 м; r_E = 0,2 м. Массы ступенчатых шкивов B и E считаем равномерно распределенными по их внешним ободам. Оси ступенчатых шкивов О и О₁ закреплены неподвижными цилиндрическими шарнирами. Точка С - центр масс однородного цилиндрического катка D.

Тела системы соединены друг с другом невесомыми нерастяжимыми нитями, намотанными на ступени шкивов так, как показано на рисунке. Участки нитей параллельны соответствующим плоскостям.

Под действием силы F = f (s), приложенной к грузу A и зависящей от пе - ремещения S ее точки приложения, система приходит в движение из состояния покоя. При движении системы на шкив B действует пара сил с постоянным мо - ментом сопротивления, равным М. Значения М и F = f (s) заданы в табл.21.

Определить скорость груза A в тот момент времени, когда перемещение точки приложения силы F равно S₁.

Дано:

m_A=50 кг

m_B=2,5кг

m_D=3 кг

m_E=2 кг

f = 0,18

F=F (S) =20 (3+2S)

M=5 Нм

S₁=1,1 м

R_B =0,4 м

r_B=0,3 м

R_E=0,3 м

r_E=0,2 м

Найти:

V_A в момент времени,

когда перемещение точки

приложения силы F равно S₁

Решение:

1. Для того чтобы определить скорость груза A, воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии неизменяемой механической системы, состоящей из тел A, B, E и D (рис.40), на том её перемещении, когда точка приложения силы F проходит расстояние S1:

Т-Т0=) (1)

Так как в начальный момент времени механическая система находилась в покое, то её начальная кинетическая энергия равна нулю, то есть: T0 = 0.

2. Определим кинетическую энергию механической системы в конце перемещения:

(2)

Определим кинетическую энергию элементов механической системы:

T_A=0,5 m_A*V_A²;

T_B=0,5*J_B*ю_B^2;

T_E=0,5*J_E*ю²_E;

T_D=0,5*m_D*V_C²+0,5*J_D* ю²_{D (}3)

Определим моменты инерции, входящие в выражения (3):

J_B=m_B* R_B ²; J_E=m_E* R_E ^2; J_D=0,5*m_B* R_D² (4)

Выразим все скорости, входящие в выражения (3), через искомую скорость груза А:

ю_B = V_A/R_B; ю_E = ю_B *R_B /r_E

V_C = ю_{E *} R_E=

(5)

Подставим выражения (4), (5) в (3), а затем в (2), получим:

T_B=0,5*m_B*R_B²* (V_A/r_B) ²;

T_E=0,5m_E*R²_E* (ю_B *R_B /r_E) ²=0,5m_E*R²_E* (V_A* R_B /r_{E *} r_B) ²;

T_D=

3. Определим сумму работ всех внешних сил, приложенных к механической системе, на рассматриваемом перемещении:

A (N_B) = A (N_E) = A (m_B*g) = A (m_E*g) =0, так как точки приложения этих сил не перемещаются;

A (F_D) = A (N_D) =0, Так как эти силы приложены в мгновенном центре скоростей;

=

=

Итак, ) =

4. Подставив выражения (6) и (7) в уравнение (1), определим скорость груза A:

Ответ:

Задача № 3

Механическая система состоит из ступенчатых шкивов 1 и 2 с радиусами ступеней R₁ = 0,3 м; r₁ = 0,15 м и R₂ = 0,2 м; r₂ = 0,1м, грузов 3, 4 и 5. Радиусы инерции ступенчатых шкивов относительно их осей вращения соответственно равны: с₁ = 0,2 м и с₂= 0,1 м. Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям.

Механическая система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и двух пар сил: пары сил с моментом M₁, приложенной к шкиву 1, и пары сил с моментом M₂, приложенной к шкиву 2.

Пренебрегая трением, определить ускорение тела, имеющего больший вес.

Вес шкивов и грузов задан в ньютонах, а моменты в ньютоно-метрах.

Дано:

P₁=0 Н;

R₁ = 0,3 м;

r₁ = 0,15 м;

с₁=0,2 м,

М₁ = 0,3 Н*м

P₂=10 Н;

R₂ = 0,2 м;

r₂ = 0,1 м;

с₂=0,1 м,

М₂ = 0 Н*м

P₃ =20 Н

P₄ =30 Н

Найти:

Ускорение груза P₄

Решение

Для того чтобы определить ускорение тела 4, имеющего больший вес, воспользуемся обобщенным уравнением динамики для механической системы, состоящей из тел 1, 2, 3, 4 и имеющей одну степень свободы:

(1)

Придадим механической системе возможное перемещение:

дS4, дц1, дS3, дц 2.

Изобразим ускорения элементов механической системы, соответствующие этому возможному перемещению:

a4, е2, a3.

Изобразим активные силы, приложенные к механической системе:

P4, P2, P3, M1,и силы инерции ее элементов, направленные в противоположные стороны соответствующих векторов ускорений:

Ф3, М2Ф, Ф4.

Составим обобщенное уравнение динамики для рассматриваемой механической системы, определив сумму элементарных работ всех активных сил и сил инерции на изображенном возможном перемещении:

P₃дS₃ - Ф₃дS₃ - М₂ дц₂ - P₄дS₄ sin 60⁰ - Ф₄дS₄ - M ₁дц₁=0. (2)

Определим величины сил инерций, входящих в уравнение (2):

Ф₃= (Р₃*а₃) /g; M_2Ф=J₂*E_2, J₂= (Р₃* с₂* с₂) /g; Ф₄= (Р₄*а₄) /g

Выразим возможные перемещения элементов механической системы через возможное перемещение тела 4, имеющего больший вес:

дц ₁=д S₄/R₁; дц ₂= (дц ₁R₁) /R₂=д S₄/R₂;

дS₃= дц ₂r₂ = (дц S₄* r₂) /R₂

Выразим ускорения элементов механической системы через ускорение тела 4, имеющего больший вес:

a₄= е ₁R₁ отсюда е ₁= a₄/R_1,a₃= е 2r2, е 2 = е 1R1/R2 отсюда

е ₂ = a₄/R₂; a₃= (a₄ *r₂) / R₂

Подставим выражения (3), (4) и (5) в уравнение (2), вынося за скобки общий множитель:

Так как , то равно нулю выражение в скобках:

Откуда находим ускорение тела 4, имеющего больший вес:

Учтем, что тогда

,

Знак минус означает, что вектора ускорений всех элементов рассматриваемой механической системы (а, значит, и силы инерции) направлены в стороны, обратные тем, что показаны на рисунке.

Ответ:

Размещено на Allbest.ru

...