Основы термодинамики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция

Тема: «Основы термодинамики»

План

1. Число степеней свободы. Закон равнораспределения энергии по степеням свободы. Средняя энергия многоатомной молекулы

2. Работа и количество теплоты как меры изменения внутренней энергии. Эквивалентность работы и количества теплоты

3. Первое начало термодинамики и его применение к изопроцессам в газах

4. Удельная и молярная теплоемкость. Классическая теория теплоемкости идеального газа

5. Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона

6. Циклические (круговые) процессы. Работа цикла

7. Второе начало термодинамики. Тепловые двигатели

8. Цикл Карно и его КПД для идеального газа

9. Энтропия как функция состояния

10. Явления переноса

1. Число степеней свободы. Закон равнораспределения энергии по степеням свободы. Средняя энергия многоатомной молекулы

Числом степеней свободы называется число независимых координат, определяющих положение молекулы в пространстве. Одноатомная молекула имеет 3 степени свободы, двухатомная - 5 и многоатомная - 6. Сколько бы степеней свободы не имела молекула, три из них поступательные и все эти степени свободы равновероятны. Поскольку ни одна из поступательных степеней свободы молекулы не имеет преимущества перед другими, то на каждую степень свободы должна приходиться в среднем одинаковая энергия. Так как для одноатомной молекулы , а число степеней свободы , то можно утверждать, что на одну степень свободы приходится энергия

1

В классической физике доказывается закон равнораспределения энергии по степеням свободы, согласно которому на каждую степень свободы молекулы приходится в среднем одинаковая энергия, равная .

Следовательно, молекула, имеющая число степеней свободы равное будет обладать энергией многоатомный термодинамика пуассон

2

Умножив (2) на число молекул можно найти энергию системы как сумму энергий входящих в эту систему молекул

. 3

Эта энергия получила название внутренней энергии системы.

К внутренней энергии не относится кинетическая энергия движения системы в целом и потенциальная энергия системы во внешних полях.

Дифференцируя (3) можно найти или в приращениях

, 4

где . Если , то и .

Изменение внутренней энергии не зависит от процесса или совокупности процессов, приведших к изменению состояния газа, а определяется только начальным и конечным состоянием системы. Внутренняя энергия является однозначной функцией состояния, т.е. каждому состоянию системы соответствует одно и то же значение внутренней энергии, независимо от того, какие процессы привели ее в это состояние.

2. Работа и количество теплоты как меры изменения внутренней энергии. Эквивалентность работы и количества теплоты

Внутреннюю энергию можно изменить двумя способами - совершением механической работы и передачей некоторого количества теплоты.

Одного и того же изменения внутренней энергии можно добиться и совершением работы и передачей теплоты и при этом, нельзя определить каким именно путем произошло это изменение. В этом состоит эквивалентность работы и количества теплоты.

Найдем работу, которую совершает газ, при изменении его объема. Пусть газ находится в сосуде под давлением и трение между поршнем и стенками цилиндра отсутствует. Тогда элементарная работа при перемещении поршня (рис. 1). Но и, следовательно,

. 5

Очевидно, что полная работа при переходе системы из состояния I в состояние II, будет равна

, 6

где . Если зависимость задана графически (рис. 2), то работа газа может быть найдена графически. Элементарная работа равна площади выделенного участка (рис.2), а полная работа, совершаемая газом при расширении от объема до объема , определяется площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, кривой и прямыми и .

В частном случае идеального газа и тогда:

а) при изобарном процессе и тогда

; 7

б) при изохорическом процессе и .

в) при изотермическом процессе и

. 8

Процесс изменения внутренней энергии системы без совершения механической работы получил название теплопередачи. Физическая величина равная изменению внутренней энергии системы в процессе теплопередачи получила название количества теплоты .

3. Первое начало термодинамики и его применение к изопроцессам в газах

Пусть система, обладающая внутренней энергией , получив некоторое количество теплоты , переходит в состояние с внутренней энергией , совершая при этом некоторую работу . Изменение внутренней энергии не зависит от пути перехода, т.к. внутренняя энергия системы есть функция состояния системы. Отсюда

9

это и есть первое начало термодинамики.

Количество теплоты, переданное системе, идет на изменение внутренней энергии и совершение работы против внешних сил.

Если система периодически возвращается в исходное состояние, то и, следовательно, , т.е. нельзя построить двигатель, который бы совершал работу большую, чем количество сообщенной ему извне энергии - вторая формулировка первого начала термодинамики.

Применим первое начало термодинамики к изопроцессам в газах.

а) если , то изменение внутренней энергии и вся теплота идет на совершение механической работы ;

б) если работа газа , и, следовательно, вся теплота идет на изменение внутренней энергии ;

в) если , , т.е. в этом случае совершается работа и изменяется внутренняя энергия газа.

Первое начало термодинамики устанавливает количественные соотношения и ничего не говорит о направлении процессов в природе.

4. Удельная и молярная теплоемкость. Классическая теория теплоемкости идеального газа

Опыт показывает, что количество теплоты, полученное или отданное системой, может быть определено по формуле

, 10

где - удельная теплоемкость вещества, величина равная количеству теплоты, необходимого для нагревания 1 кг вещества на 1 К, или в виде

, 11

где - молярная теплоемкость вещества. Удельная и молярная теплоемкости связаны между собой соотношением

. 12

Величина теплоемкости зависит от условий, при которых происходит нагревание.

Наибольший интерес представляет теплоемкость газа для случаев, когда нагревание происходит при постоянном объеме или при постоянном давлении. В первом случае говорят о теплоемкости при постоянном объеме - , во втором - при постоянном давлении .

Найдем молярные теплоемкости идеального газа. Для простоты рассуждений возьмем один моль газа. Тогда

. 13

При нагревании при постоянном объеме работа газа равна нулю, т.е. и, следовательно, . Тогда . Для одного моля газа и дифференцируя данное выражение можно найти, что

. 14

При нагревании при постоянном давлении газ будет совершать работу. Найдем работу, совершаемую молем газа. Так как и из уравнения Клапейрона для моля газа , то

. 15

Установим физический смысл универсальной газовой постоянной R - она равна работе, совершаемой молем газа при нагревании на 1 К при постоянном давлении.

Определим количество теплоты, переданное газу при нагревании при постоянном давлении. Из первого начала термодинамики , учитывая, что и , получим

16

и тогда

. 17

Мы получили уравнение Майера.

В термодинамике важное значение имеет величина

18

называемая адиабатической постоянной. Подставляя значение теплоемкостей можно получить

. 19

Из полученных выражений следует, что теплоемкость газа не зависит от температуры. Однако опыт показывает, что это выполняется только в определенном интервале температур. На рисунке 3 приведена зависимость молярной теплоемкости водорода при постоянном давлении от температуры. Из рис.3 видно, что теплоемкость водорода зависит от температуры и эта зависимость довольно сложная. При различных температурах молекула водорода обладает различным числом степеней свободы. На первом - 3 степени свободы, на втором -5, на третьем - 7.

Это противоречие было устранено в квантовой механике. В квантовой механике доказывается, что энергия колебательного и вращательного движения квантуется и может изменяться только скачкообразно. При низких температурах вклад в теплоемкость водорода вносят только поступательные степени свободы, а при повышении температуры - и вращательные, и колебательные.

5. Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона

Процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой, называется адиабатическим, т.е.

. 20

Из первого начала термодинамики следует, что . Так как для одного моля и , то . Дифференцируя уравнение Клапейрона для одного моля газа, найдем, что . Изменение температуры и тогда после преобразований можно найти

. 21

Учитывая, что , будем иметь

. 22

Разделив переменные и проинтегрировав это выражение, получим

или 23

это и есть уравнение Пуассона.

Используя уравнение Менделеева-Клапейрона это уравнение можно преобразовать к виду

24

или

25

6. Циклические (круговые) процессы. Работа цикла

Всякая система может находиться в различных состояниях, отличающихся температурой, давлением, объемом и т.д. Подобные величины, характеризующие состояние системы, называются параметрами состояния.

Равновесным состоянием системы называется такое состояние, при котором все параметры системы имеют определенное значение, остающиеся при неизменных внешних условиях постоянными сколь угодно долго.

Всякий процесс, т.е. переход системы из одного состояния в другое, связан с нарушением равновесия системы. Следовательно, при протекании в системе какого-либо процесса она проходит через последовательность неравновесных состояний.

Рассмотри процесс сжатия газа в сосуде, закрытом поршнем. Нарушение равновесия при вдвигании поршня будет тем значительнее, чем быстрее производится сжатие газа. Если же поршень вдвигать очень медленно, то равновесие нарушается незначительно. В пределе, если сжатие происходит бесконечно медленно, газ в каждый момент времени будет характеризоваться определенным значением давления. Следовательно, в этом случае состояние газа в каждый момент времени будет характеризоваться определенным значением давления. Следовательно, в этом случае состояние газа в каждый момент времени является равновесным, и бесконечно медленный процесс будет состоять из последовательно равновесных состояний.

Процесс, состоящий из непрерывной последовательности равновесных состояний, называется равновесным. Равновесный процесс может быть проведен в обратном направлении, причем система будет проходить через те же состояния, что и при прямом ходе, но в обратной последовательности. Поэтому равновесные процессы называют также обратимыми. Все количественные выводы термодинамики строго применимы только к равновесным состояниям и обратимым процессам.

Круговым процессом или просто циклом называется процесс, при котором система, пройдя ряд состояний, возвращается в исходное состояние.

На pV - диаграмме цикл изображается замкнутой кривой (рис. 4). Если цикл осуществляется по часовой стрелке (I), то он называется прямым, если в обратном направлении (II) - обратным. Первый осуществляется в тепловом двигателе, второй в холодильных машинах.

Совершив цикл, система возвращается в исходное состояние. Поэтому изменение внутренней энергии за цикл равно нулю, т.е. . Следовательно, работа, совершенная системой, будет равна количеству теплоты, полученному системой. Работа, совершенная системой равна площади цикла на pV - диаграмме. Однако нужно иметь в виду, что в процессе осуществления цикла, система не только получает, но и отдает некоторое количество теплоты и, следовательно

, 26

где - количество теплоты, полученное системой, - отданное системой количество теплоты ().

Поэтому термический коэффициент полезного действия цикла можно найти по формуле

. 27

Цикл называется обратимым, если он может осуществляться как в прямом, так и в обратном направлении и при этом в окружающей среде и в самой системе не происходит никаких изменений. Всякий другой процесс, не удовлетворяющий этим условиям будет необратим.

Процесс будет обратимым, если он является равновесным. Обратимость равновесного процесса следует из того, что его любое промежуточное состояние также является состоянием термодинамического равновесия.

7. Второе начало термодинамики. Тепловые двигатели

Первое начало термодинамики, выражая закон сохранения энергии, ничего не говорит о направлении, в котором протекают процессы в природе. Исторически второе начало термодинамики возникло из анализа работы теплового двигателя.

Периодически действующий двигатель, совершающий работу, за счет получаемого извне тепла, называется тепловой машиной.

Всякий двигатель представляет собой систему, совершающую многократно некий цикл. Пусть в ходе цикла рабочее тело (газ) сначала расширяется до объема , а затем снова сжимается до первоначального объема . Чтобы работа за цикл была больше нуля, давление (а, следовательно, и температура) в процессе расширения должно быть больше, чем при сжатии. Для этого рабочему телу нужно в ходе расширения сообщать теплоту, а в процессе сжатия отбирать у него теплоту. Поэтому любой тепловой двигатель должен иметь рабочее тело, нагреватель с температурой , который передает рабочему телу количество теплоты и холодильник с температурой , который забирает у рабочего тела количество теплоты (рис.5).

Совершив цикл, рабочее тело возвращается в исходное состояние. Поэтому изменение внутренней энергии за цикл равно нулю и результате совершается работа

. 28

Отсюда следует, что невозможно создать двигатель, который всю полученную теплоту превращал бы в работу. Этот принцип называется вторым началом термодинамики в формулировке Кельвина - Планка.

Рассмотрим работу холодильной машины (рис. 6). В этом случае, от более холодного тела отбирается некоторое количество теплоты , а более горячему передается количество теплоты . Чтобы это было возможно, над рабочим телом надо совершить работу

. 29

Из анализа работы холодильной машины вытекает другая формулировка второго начала термодинамики (Клаузиус). Без совершения работы нельзя отобрать теплоту у более холодного тела и передать ее более горячему. Самопроизвольно теплота может переходить только от более горячих тел к менее горячим телам.

Величина

30

называется холодильным коэффициентом.

8. Цикл Карно и его КПД для идеального газа

Основываясь на втором начале термодинамики Карно доказал теорему: из всех периодически действующих машин, имеющих одинаковые температуры нагревателя и холодильника, большим коэффициентом полезного действия обладают обратимые машины; при этом КПД этих машин одинаков и не зависит от конструкции машины и природы рабочего тела.

Карно придумал цикл, коэффициент полезного действия которого является наибольшим. Этот цикл получил название цикла Карно. Он состоит из двух адиабат (1-2, 3-4) и двух изотерм (2-3, 4-1) (рис. 7).

Коэффициент полезного действия такого цикла, как показал Карно, определяется по формуле:

, 31

где - температура нагревателя, - температура холодильника.

Докажем это. В ходе адиабатического процесса рабочее тело теплоту не получает.

При изотермическом расширении и, поэтому количество теплоты, полученное рабочим телом

, 32

а в ходе изотермического сжатия рабочее тело отдает холодильнику количество теплоты

. 33

Из уравнения Пуассона 2.24 для адиабатических процессов и можно записать

34

Разделив почленно эти уравнения, получим

35

И тогда для коэффициента полезного действия цикла Карно получим

36

и если учесть выражение 35, то для коэффициента полезного действия цикла Карно получим выражение

, 37

что и требовалось доказать.

Во второй теореме Карно доказал, что

коэффициент полезного действия реальной машины, работающей с теми же нагревателем и холодильником всегда меньше этого значения.

Формула Карно, таким образом, определяет максимальное значение коэффициента полезного действия теплового двигателя.

Теорема Карно послужила основанием для установления термодинамической шкалы температур. Из формул и , следует, что

. 38

Для сравнения температур двух тел надо осуществить обратимый цикл Карно, в котором одно тело используется в качестве нагревателя, а другое - в качестве холодильника. Из полученного равенства следует, что отношение температур равно отношению количеств теплоты отданного в данном цикле к количеству теплоты, полученному в данном цикле. При этом химический состав рабочего тела не влияет на результат сравнения, поэтому такая температурная шкала не связана со свойствами вещества.

9. Энтропия как функция состояния

Из выражений и можно найти, что . Это выражение можно преобразовать к виду

. 39

Величина равная получила название приведенного количества теплоты. Для цикла Карно, таким образом, сумма приведенных количеств теплоты равна нулю, т.е.

. 40

На бесконечно малом участке любого процесса приведенное количество теплоты может быть записано в виде - . Тогда для цикла Карно мы можем написать, что

. 41

Из равенства нулю этого интеграла, взятого по замкнутому пути, следует, что выражение является полным дифференциалом некоторой функции , которая определяется только состоянием системы и не зависит от пути, по которому система переходит в данное состояние, т.е.

. 42

Эта функция получила название энтропии. Изменение энтропии в обратимом процессе . Если система совершает обратимый цикл, то .

В термодинамике доказывается, что при необратимых процессах энтропия системы возрастает, т.е. .

Полученные результаты, в наиболее общем виде можно записать так

. 43

Это неравенство называется неравенством Клаузиуса. Так как реальные процессы, как правило, необратимы, то можно утверждать, что все процессы в замкнутой системе ведут к увеличению ее энтропии - принцип возрастания энтропии. Этот принцип лежит в основе еще одной формулировки второго начала термодинамики: возможны только такие процессы, происходящие в замкнутой макроскопической системе, которые ведут к увеличению ее энтропии.

Физический смысл энтропии был выяснен Больцманом, предположившим, что энтропия связана с термодинамической вероятностью состояния системы. Термодинамической вероятностью W называется число способов, которыми может быть реализовано данное состояние. Состояние, осуществляемое относительно малым числом способов, называют упорядоченным. Состояние, осуществляемое многими различными способами, называют беспорядочным. Формула Больцмана имеет вид

. 44

Таким образом, энтропия является количественной мерой степени молекулярного беспорядка в системе.

Второе начало термодинамики имеет и статистический смысл: при необратимых процессах, происходящих в замкнутой системе, вероятность состояния возрастает, при обратимых процессах - остается неизменной.

10. Явления переноса

Хаотическое тепловое движение молекул приводит к тому, что в веществе при нарушении равновесия могут возникать потоки тепла, либо массы, либо импульса. Эти явления получили название явлений переноса.

Молекулы газа, находясь в тепловом движении, непрерывно сталкиваются друг с другом. Под столкновением молекул понимают процесс взаимодействия двух молекул, в результате которого они изменяют направление своего движения.

Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы .

Расстояние, которое молекула проходит между двумя последовательными столкновениями, называется длиной свободного пробега .

а) Вязкость (внутреннее трение). Сила внутреннего трения обусловлена переносом импульса из одного слоя к другому и может быть найдена по формуле Ньютона

, 45

где - градиент скорости, - площадь соприкасающихся слоев, - коэффициент динамической вязкости, зависящий от рода жидкости или газа и температуры (рис. 8). Коэффициент динамической вязкости зависит от температуры, но эта зависимость для жидкостей и газов различна. У жидкостей с повышением температуры коэффициент динамической вязкости уменьшается, а у газов растет.

В молекулярно-кинетической теории выводится формула, которая связывает коэффициент динамической вязкости с величинами, характеризующими молекулярную структуру газа: - плотность газа, - средняя скорость молекулы, - длина свободного пробега.

б) Диффузия. Если в направлении оси Х создать градиент плотности вещества , то через площадку будет переноситься некоторая масса вещества (рис. 9), которую можно найти по эмпирической формуле Фика

, 46

где - коэффициент, зависящий от рода вещества, температуры, давления и называемый коэффициентом диффузии. Знак минус говорит о том, что масса переносится в направлении убывания плотности.

в) Теплопроводность. Если в некоторой среде вдоль оси Х создать градиент температуры , то возникает поток энергии (рис. 10), который можно найти по эмпирической формуле Фурье:

, 47

где - коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств среды и называемый коэффициентом теплопроводности. Знак минус говорит о том, что энергия переносится в сторону уменьшения температуры. В теории доказывается, что .

Размещено на Allbest.ru

...