Работа и энергия

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция №4

Тема: Работа и энергия

План

1. Работа и энергия

2. Кинетическая энергия. Теорема об изменении кинетической энергии

3. Потенциальная энергия. Работа и изменение потенциальной энергии

1. Работа и энергия

материя кинетический потенциальный энергия

Энергия - универсальная количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи.

При всех превращениях материи энергия остается неизменной. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, внутреннюю, электромагнитную и т.д.

В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, после упругого столкновения оба тела будут двигаться), в других - переходит в другую форму (например, при неупругом столкновении тел механическое движение переходит в тепловое). Однако существенно, что во всех случаях энергия, отданная (в той или иной форме) другому телу, равна энергии полученной этим телом.

Чтобы количественно характеризовать процесс перехода энергии от одного тела к другому, в механике вводится физическая величина, называемая механической работой силы, приложенной к данному телу. Механическая работа мера превращения одного вида энергии в другой.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Если тело движется прямолинейно под действием постоянной силы , составляющей постоянный угол с направлением перемещения (рис. 4.1), то работа этой силы определяется по формуле

. 4.1

В общем случае сила может изменяться как по величине, так и по направлению. Чтобы найти работу переменной силы, пройденный путь разбивается на большое число участков длиной , так чтобы их можно было считать прямолинейными, а действующую силу в любой точке данного участка - постоянной. Тогда элементарная работа

, 4.2

а работа переменной силы на всем пути будет равна сумме элементарных работ:

. 4.3

Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость вдоль траектории тела.

Рассмотрим некоторые примеры.

Определим работу, совершаемую силами упругости при деформации пружины, жесткость которой равна k. По закону Гука , а и тогда

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

Работа силы всемирного тяготения при изменении расстояния между телами определится по формуле:

.

Если зависимость представлена графически, то искомая работа равна площади фигуры, ограниченной осями координат и графиком зависимости (рис. 4.2).

Если тело движется прямолинейно под действием постоянной силы, то . Отсюда следует, что при работа положительна, а при , работа отрицательна. Если , работа силы равна нулю. Если на тело действует не одна, а несколько сил, равнодействующая которых равна , то

Для характеристики скорости совершения работы вводится физическая величина называемая мощностью. Если за время совершается работа , то величина равная

4.4

называется средней мощностью, а

4.5

мгновенной мощностью.

Учитывая, что можно получить

. 4.6

Отсюда следует, что мгновенная мощность равна произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения силы.

2. Кинетическая энергия. Теорема об изменении кинетической энергии

Пусть тело движется под действием нескольких сил, равнодействующая которых равна . Тогда по второму закону Ньютона . Умножив это уравнение на перемещение тела , получим

. 4.7

Выражение в левой части этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции, т.е.

, 4.8

а и тогда

. 4.9

Физическую величину

4.10

называют кинетической энергией тела, т.е.

. 4.11

Проинтегрировав последнее выражение вдоль некоторой траектории, от начальной точки 1 до конечной точки 2 получим:

4.12

Левая часть этого выражения представляет собой разность значений кинетической энергии тела в точках 1 и 2, т.е. приращение кинетической энергии тела, а правая часть - работа силы на пути , т.е.

. 4.13

Работа, равнодействующей всех сил, действующих на тело, равна изменению кинетической энергии тела.

3. Потенциальная энергия. Работа и изменение потенциальной энергии

Если на тело в каждой точке пространства действует сила, зависящая от координат , то говорят, что тело находится в поле сил. Силовыми полями являются: гравитационное, электромагнитное, поле сил упругости и т.д. Если тело предоставить действию этих сил, то будет совершаться работа.

Некоторые из этих силовых полей характеризуются тем, что работа, совершаемая силами поля при перемещении тела, не зависит от формы и длины траектории, а зависит от начального и конечного положения тела в поле. Потенциальное поле можно описать с помощью функции такой, что

4.14

и называемой потенциальной функцией (или потенциалом).

Добавление к функции произвольной постоянной С не изменяет значений , так как производная от постоянной величины равна нулю. Поэтому потенциальная функция определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной С.

Так как

4.15

 и

, 4.16

то

, 4.17

учитывая значения проекций сил, получим

, 4.18

т.е.

. 4.19

Очевидно, что работа на конечном пути равна приращению потенциальной функции поля.

Введем новую функцию такую, что

4.20

которую будем называть потенциальной энергией. Тогда работа сил поля

, 4.21

т.е. работа равна изменению потенциальной энергии взятой с противоположным знаком.

Размещено на http://www.allbest.ru/

В качестве примера определим работу силы тяжести при падении тела с высоты на высоту (рис. 4.3). Если тело падает вертикально (рис. 4.3а), то . Если тело движется под некоторым углом к вертикали (рис. 4.3б), то , но и тогда . Если тело движется по произвольной траектории, то ее можно разбить на малые участки длиной и тогда элементарная работа на пути определяется выражением , но и тогда . Интегрируя полученное выражение в пределах от до получим:

. 4.22

Отсюда следует, что работа силы тяжести не зависит от формы и длины пути, а определяется начальным и конечным положением тела. Следовательно, сила тяжести является консервативной силой, а потенциальная энергия тела поднятого над Землей определяется по формуле

. 4.23

В случае, когда тело деформируется под действием внешней силы, точка приложения деформирующей силы перемещается, и система, со стороны которой действует сила, совершает работу, являющуюся мерой энергии перешедшей к деформированному телу. Если деформируется упругое тело, то работа идет на увеличение запаса энергии деформированного тела, которая называется потенциальной энергией упругой деформации.

Обычно величина деформации закономерно связана с величиной действующей силы. В том случае, когда деформация пропорциональна действующей силе, легко подсчитать работу, которую необходимо совершить для осуществления заданной деформации. Допустим, необходимо деформировать пружину с жесткостью от величины до . Очевидно, что элементарная работа силы упругости будет равна , полная работа

.

Отсюда следует, что потенциальная энергия упруго деформированного тела определяется по формуле

. 4.24

В заключение необходимо обратить внимание на то, что потенциальная энергия (так же как и потенциальная функция) определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной С. Эта произвольная постоянная неизвестна и определена быть не может. Однако это не лишает физические законы их определенности, так как в них входит либо разность потенциальных энергий двух состояний системы, либо производная от потенциальной энергии по координатам. Поэтому при решении задач нулевой уровень потенциальной энергии выбирается произвольно.

Размещено на Allbest.ru