Динамика твердого тела

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция

Тема: Динамика твердого тела

План

1. Движение твердого тела

2. Центр масс. Движение центра масс твердого тела

3. Момент силы относительно точки и оси. Пара сил. Момент пары сил

4. Момент импульса материальной точки и твердого тела

5.Момент инерции материальной точки и твердого тела. Теорема Штейнера

6. Основное уравнение динамики вращательного движения

7. Работа и мощность во вращательном движении. Кинетическая энергия вращающегося тела

1. Движение твердого тела

Любое движение твердого тела может быть представлено как наложение двух основных видов движения. Покажем это для случая плоского движения. Плоским называется такое движение твердого тела, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях (например, качение цилиндра по плоскости).

Произвольное перемещение тела из состояния I в состояние II (рис. 5.1) можно представить как сложение двух движений: поступательное перемещение из состояния I в промежуточное состояние III и вращение из состояния III в конечное состояние II. Очевидно, что такое разбиение может быть осуществлено бесчисленным множеством способов, однако в любом случае поворот происходит на один и тот же угол .

Элементарное перемещение твердого тела при плоском движении всегда можно представить как поворот вокруг некоторой оси вращения, называемой мгновенной осью вращения (ось О на рис. 5.1.). Эта ось может лежать в пределах тела, либо вне его (например, в случае катящегося цилиндра, мгновенная ось совпадает с линией касания цилиндра с плоскостью).

2. Центр масс. Движение центра масс твердого тела

Разбив твердое тело на элементарные массы , его можно рассматривать как систему материальных точек, взаимное расположение которых не меняется при любых воздействиях на данное тело. В любой системе частиц имеется одна точка С, называемая центром масс. Положение каждой элементарной массы определяется радиус-вектором . Назовем центром масс (центром инерции) точку С (рис. 5.2), положение которой определяется выражением

( 5.1)

Или

На каждую элементарную массу действуют как внутренние силы, обусловленные ее взаимодействием с другими элементарными массами, так и внешние силы (например, в поле тяготения Земли на каждую элементарную массу действует сила тяжести ).

Запишем для каждой элементарной массы второй закон Ньютона

, (5.2)

где - равнодействующая внутренних сил, - равнодействующая внешних сил.

Суммируя уравнения (5.2) записанные для всех элементарных масс, получим:

. (5.3)

Но сумма внутренних сил равна нулю, т.е. и тогда

. (5.4)

Дважды дифференцируя равенство можно получить,

. (5.5)

И тогда получаем уравнение

. (5.6)

Из этого уравнения следует, что центр масс (инерции) твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, под действием всех приложенных к телу сил.

3. Момент силы относительно точки и оси. Пара сил. Момент пары сил

Необходимость введения момента силы очевидна из простых опытов с равновесием тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, под действием нескольких сил. Например, на вал с диском действуют две силы (рис. 5.3). Опыт показывает, что равновесие имеет место только при условии, что , т.е. когда моменты сил равны по величине и противоположны по направлению. Следовательно, при определении покоя или равновесия тела, свободно вращающегося вокруг неподвижной оси, нужно знать моменты сил относительно оси вращения.

Запишем уравнение второго закона Ньютона для i - ой материальной точки . Умножив это уравнение векторно слева на получим:

. (5.7)

Рассмотрим правую часть полученного выражения, обозначив ее . Псевдовектор

(5.8)

называется моментом силы относительно точки О. Вектор момента силы перпендикулярен плоскости содержащей (рис. 5.4), его направление определяется с помощью правила правого винта.

Модуль вектора определяется по формуле

, (5.9)

где - плечо силы, т.е. кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы. Проекция этого вектора на ось OZ, проходящую через точку О, называется моментом силы относительно этой оси,

, (5.10)

где - угол между направлением вектора и осью OZ. Направление этой проекции и определяет направление вращения тела.

Тело, способное вращаться относительно неподвижной оси, находится в равновесии, если сумма моментов сил, приложенных к телу, относительно этой оси равна нулю, т.е.

. (5.11)

Две равные по величине, направленные в разные стороны, но не действующие вдоль одной прямой силы, называются парой сил (рис. 5.5).

Под действием пары сил тело перемещаться не может, но будет поворачиваться. Величина называется моментом пары сил. Модуль момента пары силы определяется по формуле , где плечо пары сил.

4. Момент импульса материальной точки и твердого тела

Рассмотрим левую часть выражения . Для абсолютно твердого тела от времени не зависит его можно внести под знак производной и тогда . Величину

(5.12)

называют моментом импульса материальной точки относительно точки О (рис. 5.6). Величину

(5.13)

называют моментом импульса точки относительно оси Z. Величину

(5.14)

называют моментом импульса твердого тела относительно точки О.

5. Момент инерции материальной точки и твердого тела. Теорема Штейнера

Учитывая, что и выражение можно преобразовать к виду .

Физическую величину

(5.15)

называют моментом инерции материальной точки относительно оси вращения, а величину

(5.16)

моментом инерции твердого тела.

Любое твердое тело можно разбить на элементарные массы , расположенные на расстоянии от оси вращения. Тогда момент инерции твердого тела может быть определен по формуле , где интегрирование должно быть распространено на весь объем тела. В качестве примера определим момент инерции тонкого стержня длиной , относительно оси проходящей через центр масс С (рис. 5.7).

Выделим элемент стержня длиной расположенный на расстоянии от оси вращения, тогда , где - площадь поперечного сечения стержня. Подставляя в формулу

,

получим

.

Введя массу стержня , окончательно получим .

Моменты инерции тел правильной геометрической формы:

- тонкий диск радиуса - ; (5.17)

- тонкий обруч радиуса - ; (5.18)

- шар радиуса - . (5.19)

Момент инерции тела зависит от положения оси вращения. Для определения момента инерции тела относительно оси, не проходящей через центр масс, можно пользоваться теоремой Гюйгенса - Штейнера

, (5.20)

где - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, - момент инерции относительно новой оси, - расстояние между осями, - масса тела.

6. Основное уравнение динамики вращательного движения

С учетом введенных величин второй закон Ньютона для вращающегося тела можно записать в виде:

. (5.21)

Так как

,

то можно найти и другую форму записи,

. (5.22)

Это выражение получило название основного уравнения динамики вращательного движения.

Момент инерции во вращательном движении играет ту же роль, что и масса в поступательном движении, т.е. является мерой инертности тела во вращательном движении.

импульс инерция динамика вращательный

7. Работа и мощность во вращательном движении. Кинетическая энергия вращающегося тела

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Будем рассматривать его как систему материальных точек массой расположенных на расстоянии от оси вращения. При вращении тела отдельные точки тела описывают окружности радиуса , и будут иметь различные линейные скорости, но угловая скорость всех точек будет одинакова.

Кинетическую энергию вращающегося тела можно найти как сумму кинетической энергии отдельных точек

.

Мы получили выражение аналогичное кинетической энергии поступательного движения

. (5.23)

Пусть на твердое тело в точке В, расположенной на расстоянии от оси вращения, действует сила . При повороте тела на малый угол точка приложения силы совершает перемещение и при этом будет совершена работа . Но и тогда

. (5.24)

Полученная формула аналогична формуле

.

Размещено на Allbest.ru