Автомодельные и бегущие волны в одномерном нестационарном течении вязкого газа с учетом действия силы тяжести

Размещено на http://www.allbest.ru/

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

Автомодельные и бегущие волны в одномерном нестационарном течении вязкого газа с учетом действия силы тяжести

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

кандидата технических наук

Макарова Лия Алексеевна

Казань, 2008

Работа выполнена на кафедре аэрогидродинамики государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Кусюмов Александр Николаевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Егоров Андрей Геннадьевич

доктор технических наук, профессор Крюков Виктор Георгиевич

Ведущая организация: Исследовательский центр проблем энергетики КазНЦ «РАН».

Защита состоится «2» июля 2008г. в ____часов на заседании диссертационного совета Д 212.079.02 при Казанском государственном техническом университете им. А.Н. Туполева (КАИ) по адресу: 420111, г. Казань, ул. К.Маркса, 10, КГТУ.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке КГТУ им. А.Н. Туполева.

Автореферат разослал « 30 » мая 2008г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук, доцент А.Г. Каримова

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Математические модели подавляющего большинства процессов, происходящих в природе, являются нелинейными, и поэтому достаточно точные в количественном отношении характеристики изучаемых процессов можно получать лишь с помощью вычислительного эксперимента. Примерно такие же соображения справедливы для процессов, происходящих в различных технических устройствах. Добыча и транспорт природного газа представляют собой целый комплекс технологий, который реализуется за счет использования различных технических устройств.

Для количественного описания процессов добычи и транспортировки природного газа из земных недр необходимо знать законы его движения. Использование законов сохранения массы и энергии приводит к системе нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, являющейся математической моделью течения газа.

В наиболее общей постановке течение моделируется при помощи уравнений Навье-Стокса для ламинарного режима течения и уравнений Рейнольдса для турбулентного. Известно достаточно небольшое количество решений аналитического характера для уравнений Навье-Стокса, а для уравнений Рейнольдса их практически нет. Поэтому для решения указанных выше уравнений в основном используются численные методы. Однако, непосредственное интегрирование уравнений движения для трубопроводных систем большой протяженности предъявляет высокие требования к ресурсам вычислительной техники, что, в некоторых случаях, делает решение задачи моделирования практически невозможным. В этих условиях весьма целесообразным является подход, использующий более простые модели движения жидкости и газа, и, в частности, моделирование в рамках одномерных нестационарных течений. Используя данную модель можно строить не только численные, но и аналитические решения, проводя параметрические исследования влияния различных режимов течения и параметров системы на характеристики трубопровода. Именно такая задача рассматривается в диссертационной работе и поэтому работа является актуальной.

Целью диссертационной работы является разработка модели течения одномерного нестационарного сжимаемого вязкого газа для различных режимов, построение алгоритмов интегрирования уравнений модели при изучении бегущих и автомодельных волн.

Задачи исследований

- разработка модели одномерного нестационарного течения вязкого газа с учетом действия силы тяжести и сжимаемости газового потока; получение различных моделей течения вязкого газа в зависимости от числа Рейнольдса;

- проведение параметрических расчетов для различных режимов течения газа с учетом влияния вязкости, силы тяжести, числа Рейнольдса, характерного числа Маха (получение точных решений и построение приближенных решений на основе приближенного группового анализа);

- построение и проведение анализа особых решений, возникающих при интегрировании фактор - систем обыкновенных дифференциальных уравнений одномерного нестационарного течения вязкого газа с учетом действия силы тяжести;

- применение метода одноволнового приближения при упрощении уравнений Навье-Стокса для одномерного нестационарного течения вязкого сжимаемого газа; исследование полученной модели как численно, так и аналитически.

Научная новизна состоит в следующем:

- разработана модель одномерного нестационарного течения вязкого газа с учетом действия силы тяжести и проницаемости трубопровода. В математическую модель включены параметры: характеристическое число Маха, коэффициент Буссинеска. Кроме того, математическая модель записана таким образом, что учет вязкости при турбулентном режиме течения осуществляется при помощи различных эмпирических зависимостей, учитывающих влияние числа Рейнольдса.

- доказана теорема, в рамках которой определяется характерная длина трубопровода, для которой изменение плотности газа становится существенным.

- предложен метод построения особых решений уравнений одномерной нестационарной газовой динамики.

- предложен уточненный подход к редукции исходной системы уравнений Навье - Стокса для одномерного нестационарного течения на основе использования одноволнового приближения. В результате получено уравнение, которое отличается от обычно получаемого с использованием данного подхода уравнения Бюргерса.

Метод исследования. В диссертации в качестве метода исследования математических моделей применяется метод непрерывных групп преобразований, приближенный групповой анализ, с помощью которых исходные системы уравнений в частных производных сводятся к системам обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для численного интегрирования дифференциальных уравнений использован математический пакет MAPLE.

В пятой главе используется иной подход к упрощению системы Навье-Стокса: метод одноволнового приближения.

Обоснованность и достоверность результатов

Обеспечиваются строгостью постановок физических и математических моделей, строгостью выполнения математических выкладок и преобразований (символьные преобразования проводились с использованием вычислительной техники), проведением сравнения некоторых, сравнение результатов, полученных аналитически и с помощью численного интегрирования.

Научная и практическая значимость. Результаты параметрических расчетов распространения бегущих и автомодельных волн в трубопроводах могут быть использованы при проведении качественного и количественного анализа характеристик течения газа в магистральных трубопроводных системах. сжимаемость поток вязкий газ

Предложенный метод построения особых решений уравнений одномерной нестационарной газовой динамики может быть распространен на более общий класс задач.

Полученное в рамках одноволнового приближения уравнение распространения акустических возмущений, наряду с уравнением Бюргерса позволяет проводить качественное моделирование течений с распределением скорости разрывного характера.

Личный вклад автора в работу. Результаты работы, полученные лично автором, являются определяющими. Автором разработаны математические модели, получены аналитические решения, выполнено численное интегрирование уравнений и проведен анализ результатов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на XVII Всероссийской межвузовской научно-технической конференции «Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий». 2005г. Казань; всероссийской молодежной научной конференции с международным участием «VIII Королевские чтения». 2005г. Самара; XVIII международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях». Казань 2005; второй Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». 2005г. Самара; Международной молодежной научной конференции, посвященной 1000-летию города Казани «Туполевские чтения». Казань, 2005г; V Школе - семинаре молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е. Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении». Казань, Россия, 2006г; международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ - 2007», Санкт-Петербург, 2007; международной молодежной научной конференции, «ХV Туполевские чтения». Казань, 2007г.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 12 публикациях, из них 2 в перечне журналов, утвержденных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 101 наименования. Основной текст изложен на 136 страницах.

Автор выражает благодарность доктору технических наук, профессору Павлову Валентину Гавриловичу, который являлся научным руководителем при написании дипломной работы и неоднократно консультировал по вопросам диссертационной работы.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируются цель, научная новизна, практическая значимость, дается краткий обзор литературы, касающейся темы диссертации, а также излагается содержание работы по главам.

Первая глава является вводной, дается постановка задачи, выводятся уравнения нестационарной газовой динамики с помощью осреднения по площади поперечного сечения канала.

Особенностью полученной в работе записи системы уравнений является то, что в нее как параметр входит характерное число Маха, определенное по начальным параметрам течения газа. В наиболее полной постановке математическая модель движения газа определяется системой уравнений

(1.1)



Здесь - соответственно, временная и пространственная координаты; - средняя по сечению величина скорости; - плотность газа; - площадь поперечного сечения; - распределенный приток массы через боковую поверхность на единицу времени; - скорость присоединяющихся частиц; - диаметр трубы; - высота некоторого сечения трубы, отсчитываемая от фиксированной горизонтальной плоскости. При получении системы использовалось уравнение состояния баротропного процесса вида ( - давление газа в трубе). Конкретный вид функции определяет характер термодинамического процесса. Кроме того,

(1.2)

где - квадрат характерного числа Маха.

Теорема. Для стационарного и квазистационарного режимов при малых числах Маха характерный линейный масштаб определяется величиной , для которой изменение плотности газа становится существенным.

Из данного утверждения следует, что величина является критерием подобия (числом), определяющим безразмерную дистанцию переноса потока. При малых значениях переменной относительная дистанция переноса мала и параметры потока изменяются незначительно. Существенное влияние дистанции переноса на характеристики течения будет проявляться для относительных , то есть, при , когда изменение плотности газа значительно.

Математическая модель (1.1) содержит слагаемое учитывающие вязкие свойства газа. Данное слагаемое принимает различный вид, в зависимости от исследуемого режима течения. Так, для чисел Рейнольдса 2300<Re<10, можно воспользоваться формулой Блазиуса. Другая модель применяется в том случае, если сопротивление не зависит от числа Рейнольдса. Кроме того, в работе получена степенная зависимость для больших чисел Рейнольдса на основе аппроксимации графических данных. Таким образом, в работе используются следующие зависимости, учитывающие вязкие свойства газа

I. Невязкий газ:

(1.3)

II. Ламинарный режим течения:

, (1.4)

III. Турбулентный режим течения:

1.

, (1.5)

2.

, (1.6)

3.

, (1.7)

Во второй главе производятся параметрические расчеты для автомодельных волн. Системы уравнений в частных производных сводятся к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Расчеты приводятся для различных значений наклона трубопровода, числа Рейнольдса, характерного числа Маха.

Рис.1. Структура параметрических расчетов для автомодельных волн

В частности, рассматривается неустановившееся одномерное изотермическое течение вязкого газа в непроницаемом трубопроводе постоянного диаметра (D=const, =const) с учетом действия силы тяжести (в диссертационной работе данный пример соответствует выражению (2.3.1)). В изотермическом процессе показатель политропы , тогда выражение (1.2) примет вид: . Для модели (1.5) исходная система уравнений (1.1) примет вид

(2.1)

Уравнения (2.1) не допускают точного решения в виде автомодельной волны. Автомодельное решение возможно найти, если использовать приближенный групповой анализ. Примем (где и являются решениями системы уравнений, описывающих изотермическое течение невязкого газа). Линеаризуя систему уравнений (2.1), получим

(2.2)

При принятых условиях полученная система допускает однопараметрическую группу растяжений по временной и пространственной координатам. Это позволяет привести систему (2.2) к системе четырех обыкновенных дифференциальных уравнений.

Оператор группы преобразований имеет вид:

Данной группе преобразований соответствуют инварианты :

отсюда

,

Система обыкновенных дифференциальных уравнений, записанная в инвариантах группы, примет вид:

(2.3)

На рис. 2.1-а и 2.1-б приводятся решения системы (2.3) в различные моменты времени t при значении характерного числа Маха =0.05 .

Рис. 2.1. Распределение скорости (2.1-а) и плотности (2.1-б) по длине трубопровода при =0.05, = - 0.1.

Система уравнений (2.3) при М=0.05 интегрируется на интервале [0.1..20]. Видно, что при больших значениях параметра t скорость и плотность в зависимости от продольной координаты изменяются более существенно, нежели при меньших значениях t. Скорость в зависимости от продольной координаты при различных t монотонно растет, плотность - падает.

Аналогичным образом проводятся параметрические расчеты для всех случаев течения газа, приведенных в структурной схеме 1.

Во третьей главе производятся параметрические расчеты для бегущих волн. Системы уравнений в частных производных сводятся к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Расчеты приводятся для различных значений наклона трубопровода, чисел Рейнольдса, характерного числа Маха.



Рис. 2. Структура параметрических расчетов для бегущих волн

Рассмотрим неустановившееся одномерное изоэнтропическое течение невязкого газа () в трубе постоянного диаметра (D=const, =const) с учетом действия силы тяжести (в диссертационной работе пример соответствует (3.2.1)). Примем показатель политропы , где - показатель адиабаты газа. Будем также полагать, что трубопровод непроницаем. Система уравнений (1.1) в этом случае примет вид:

(3.1)

При принятых условиях полученная система (3.1) допускает однопараметрическую группу переносов по временной и пространственной координатам. Оператор группы переносов



где const, const. Решение уравнения определяет функцию , которая является инвариантом группы.

Фактор-система в данном случае

(3.2)

Первое уравнение системы (3.2) имеет первый интеграл. Тогда из второго уравнения имеем:

или

(3.3)

На рисунке 3.1 приводятся численные решения системы (3.2) при M=0.05, , . Решения приводятся при различных значениях наклона трубопровода.



Рис. 3.1. Распределение скорости v (3.1-а) и плотности (3.1-б) в зависимости от автомодельной переменной .

Решения системы (3.2) представлены на интервале [0.1…100000] для трубопровода достаточно большой длины. Наклон трубопровода оказывает существенное влияние на решения системы. При k= - 0.001 (отрицательный наклон трубопровода) скорость течения газа падает, плотность газа растет, при положительном наклоне - наоборот (скорость течения газа растет, плотность газа падает). В связи с тем, что в данном примере не учитываются вязкие свойства газа, то при отсутствии наклона трубопровода и скорость, и плотность газа величины постоянные.

В данной главе приводятся все параметрические расчеты в соответствии со структурной схемой 2.

Четвертая глава посвящена исследованию фактор - систем обыкновенных дифференциальных уравнений, получающихся при изучении автомодельных волн. Исследуемые в работе системы обыкновенных дифференциальных уравнений относятся к классу систем, которые могут иметь неединственное решение. В разрешенной (относительно производных) форме правые части этих уравнений представляются в виде дроби, а, следовательно, уравнения могут иметь сингулярный характер. Наличие сингулярности при определенных краевых условиях приводит к появлению неединственности решений.

Рис. 3. Структура параметрических расчетов при анализе особых решений для автомодельных волн

Рассмотрим неустановившееся одномерное изоэнтропическое течение невязкого газа в трубе постоянного диаметра с учетом действия силы тяжести. Будем также полагать, что трубопровод непроницаем (в диссертационной работе пример соответствует (4.3.1))

Фактор - система обыкновенных дифференциальных уравнений, записанная в инвариантах группы, имеет вид:

 (4.1)

Здесь инвариантная переменная .

Будем обозначать решение системы (4.1) при через и . Отметим, что при уравнения (4.1) при определенных краевых условиях обладают неединственностью. В частности, тривиальное решение системы имеет вид

Покажем, что для некоторых краевых условий можно найти другое решение системы (4.1). Для этого запишем систему уравнений в разрешенном виде

Для разрешенная система принимает вид:

(4.2)

При определенных условиях система (4.2) помимо тривиального решения

=const, const (4.3)

имеет другое решение

(4.4)

Здесь - скорость распространения звука. Выражения (4.4) определяют условия, при которых система (4.2) имеет неединственное решение.

Наличие неединственности решения системы (4.1) при порождает определенные сложности с точки зрения численного моделирования. В частности, для начальных условий, соответствующих решению системы (4.2), стандартный математический пакет Maple V позволяет получить только тривиальное решение (4.3).

Аналогичные сложности возникают и при интегрировании системы (4.1) для произвольного значения .

Для получения особых решений системы (4.1) и других систем уравнений (в соответствии со структурной схемой главы 4) в работе предложен метод интегрирования с использованием опорных решений.

Решение системы (4.1) представим в виде

(4.5)

где - новые искомые функции. После подстановки в (4.1) получаем систему

(4.6)

Рис. 4.1. Зависимости скорости и плотности при различных значениях

На рисунке 4.1 представлены решения (4.6) при различных значениях . В качестве опорного решения и в выражениях (4.5) и системе (4.6) использовано нетривиальное решение (4.4). Из рисунков видно, что изменение числа влияет на начальное значение скорости, На характер изменения скорости (в зависимости от продольной координаты) число значительного влияния не оказывает. Что касается поведения плотности газа, то, чем больше значение , тем сильнее падение плотности.

На рисунке 4.2 представлены решения системы (4.6), но в качестве опорного решения используется тривиальное решение =const и =const. Из рисунков видно, что только при относительно большом значении характеристического числа Маха =0.5 скорость и плотность газа существенно зависят от автомодельной переменной . В остальных случаях и скорость и плотность газа практически на всем интервале интегрирования не изменяют своего значения, то есть const, const.

Рис. 4.2. Зависимости скорости и плотности при различных значениях

В работе приводятся расчеты для всех случаев течения газа, представленных на схеме 3.

В пятой главе используется несколько иной подход к упрощению системы Навье-Стокса: параметры течения зависят только от одной пространственной координаты. Метод исследования заключается в упрощении уравнений газовой динамики на основании так называемого одноволнового приближения при построении решения в виде малого возмущения некоторого равновесного (стационарного) состояния. В этом случае система уравнений газовой динамики сводится к одному уравнению в частных производных, порядок которого зависит от вида слагаемого, учитывающего вязкие свойства газа. Вид уравнения, получаемого в результате упрощений, может зависеть также от способа учета нелинейных слагаемых, входящих в систему уравнений газовой динамики. Подобным образом, в частности, можно получить хорошо известное в акустике уравнение Бюргерса.

В настоящей работе методика упрощения уравнений газовой динамики используется для вывода уравнения, определяющего распространение малых возмущений в сжимаемом вязком газе. При этом, получено уравнение

(5.1)

где

На рисунках 5.1, 5.2 приводится решение уравнения (5.1).

Рис.5.1 Зависимости Рис.5.2 Зависимости при =0.001, =0.002, при =0.002, =0.001, (0.001)= , (-0.001)= (0.0001)= , (-0.0001)=

Уравнение (5.1) позволяет строить решения в виде гладкого «скачка вверх» (вместо гладкого скачка вниз для уравнения Бюргерса»).

Кроме того, полученное уравнение позволяет строить решения разрывного типа: при - мгновенное опрокидывание волны, - «растягивание» волны, что противоположно поведению разрывных решений для уравнения Бюргерса.

Основные результаты диссертационной работы

1. Получены математические модели различных режимов течения газа, которые отличаются способом учета вязкости течения, числа Рейнольдса и характером термодинамического процесса.

2. Для стационарного и квазистационарного режимов при малых числах Маха характерная длина трубопровода определяется величиной ( - диаметр трубопровода), для которой изменение плотности газа существенно.

3. Предложена безразмерная форма уравнений одномерного нестационарного течения вязкого газа с учетом характеристического числа Маха и коэффициента Буссинеска.

4. Ряд рассматриваемых моделей течения газа позволил получить точные решения в виде автомодельных волн и бегущих волн. В тех случаях, где получить точные решения не представлялось возможным, применялся приближенный групповой анализ.

5. Проведены параметрические расчеты, в ходе которых получены зависимости изменения скорости и плотности газа от временной и пространственной координат при различных значениях наклона трубопровода, характерного числа Маха, числа Рейнольдса.

6. Показано, что наличие конечного интервала существования решений уравнений одномерной нестационарной газовой динамики связано с сингулярностью (наличием особенности) уравнений.

7. Предложен метод построения особых решений уравнений одномерной нестационарной газовой динамики, который может быть распространен на более широкий класс задач. Получены решения на различных опорных решениях при изоэнтропическом течении вязкого сжимаемого газа. Показано, что результаты интегрирования, полученные на нетривиальных решениях, отличаются от результатов, построенных на тривиальных решениях.

8. Уточнен подход редукции исходной системы уравнений Навье - Стокса для одномерного нестационарного течения сжимаемого газа к одному уравнению на основе использования одноволнового приближения. В результате уточненной процедуры редукции получено уравнение, которое отличается от обычно получаемого с использованием данного подхода уравнения Бюргерса.

9. Полученное уравнение позволяет строить решения разрывного типа: либо с мгновенным опрокидыванием волны, либо с - «растягиванием» волны. Данные решения аналогичны разрывным решениям для уравнения Бюргерса, но получаются для краевых условий иного типа.

Основные результаты работы опубликованы

1. Макарова Л.А. О некоторых решениях уравнений одномерного нестационарного течения сжимаемого газа с учетом действия силы тяжести / Кусюмов А.Н., Павлов В.Г. // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. - 2007. - N 2. - с.45-49.

2. Макарова Л. А. Одномерное неустановившееся течение газа с учетом градиента давления / Кусюмов А. Н // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2006// Материалы научной конференции. - СПб.,2006.- 251с.

3. Макарова Л.А. Об одной форме записи уравнения Бернулли для течения вязкой несжимаемой жидкости в гладкой трубе / Кусюмов А.Н., Романова Е.В. // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-18: Сб. трудов XVIII международной научной конференции. В 10 т. Т.9. Секция 11/ Под общ. Ред. Балакирева. - Казань: изд-во гос. технол. ун-та, 2005. - 244 с.

4. Макарова Л.А. Одномерное неустановившееся течение вязкого газа с учетом действия силы тяжести / Кусюмов А.Н. // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды второй Всероссийской научной конференции. - Самара - 2005г.

5. Макарова Л.А. Одномерное неустановившееся изотермическое течение газа с учетом градиента давления / Кусюмов А.Н. // Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении. V Школа - семинар молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е. Алемасова 3-9 сентября 2006г.: Материалы докладов/ Под ред. Ю.Г. Назмеева, В.Н. Шляпникова. - Казань: Иссл.центр пробл.энерг. КазНЦ РАН, - 2006. - 426 с.

6. Макарова Л.А. Об автомодельной волне для уравнений одномерного нестационарного адиабатного течения вязкого газа / Кусюмов А.Н. // Нелинейный динамический анализ - 2007: Тезисы докладов международного конгресса, Санкт-Петербург, 4-8 июня 2007 г. - СПб.: Санкт-Петербургский государственный университет, 2007. - 402 с.

7. Макарова Л.А Об одноволновом приближении для одномерной акустической бегущей волны в вязком газе / Кусюмов А.Н. // Известия вузов. Авиационная техника -2007. - N 2 - c.19 - 22.

8. Макарова Л.А. Одномерное неустановившееся течение идеальной жидкости с учетом действия силы тяжести// Сборник материалов XVII Всероссийской межвузовской научно-технической конференции «Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий» - Казань - 2005.

9. Макарова Л.А. Об одной задаче моделирования течения газа в трубопроводе// Сборник трудов Всероссийской молодежной научной конференции с международным участием «VIII Королевские чтения». - Самара - 2005.

10. Макарова Л.А. Одномерное неустановившееся течение идеальной жидкости с учетом проницаемости стенки трубы и действии силы тяжести// Туполевские чтения: Международная молодежная научная конференция, посвященная 1000-летию города Казани, 10-11 ноября 2005 года: Материалы конференции. Том I. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та. 2005. 252 с.

11. Макарова Л.А. Об особенности решений уравнений одномерного нестационарного течения сжимаемого газа// XIV Туполевские чтения: Международная молодежная научная конференция, 10-11 ноября 2006 года: Материалы конференции. Том I. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та. 2006. 246 с.

12. Макарова Л.А. Одномерная бегущая волна в вязком газе// XV Туполевские чтения: Международная молодежная научная конференция, 9-10 ноября 2007 года: Материалы конференции. Том I. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та. 2007. 245 с.

Размещено на Allbest.ru

...