Вариант решения уравнений тепло- и влагообмена в зерновом слое при СВЧ-конвективном воздействии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Всероссийский научно-исследовательский институт электрификации сельского хозяйства

Вариант решения уравнений тепло- и влагообмена в зерновом слое при СВЧ-конвективном воздействии

Васильев А.Н., ORCID:0000-0002-7988-2338, Доктор технических наук

Будников Д.А., Кандидат технических наук

Васильев А.А., Научный сотрудник

Аннотация

В предлагаемой статье рассматривается один из вариантов расчета процессов тепло и - влагообмена в слое зерна, когда он продувается агентом сушки и на него действует поле СВЧ. Показано, что при описании процесса дифференциальными уравнениями в частных производных первой степени иногда достаточно выполнить преобразование Лапласа и перейти к численному моделированию с использованием имитационных моделей передаточных функций.

Ключевые слова: зерно, зерновой слой, СВЧ - конвективное воздействие, тепло и - влагообмен, моделирование

Abstract

Vasilyev A. N.¹, Budnikov D.A.², Vasilyev A.A.³

¹ ORCID: 0000-0002-7988-2338, PhD in Engineering, ² PhD in Engineering, ³ Researcher, All-Russian Federal Research Institute of Electrification of Agriculture

Solving equations of heat exchange and moisture exchange in a grain layer under microwave-convective impact

Subject of the proposed article is a variant of calculation of heat exchange and moisture exchange in a layer of grain when a flow of drying agent blows through it, and microwave field creates an impact on it. It is shown that if to describe the process as a set of partial differential equations of the first order, it is sometimes enough to perform Laplace transform and proceed with numerical modelling using imitational models of transfer functions.

Keywords: grain, grain layer, microwave-convective impact, heat exchange, moisture exchange, modelling.

Использование полей СВЧ позволяет интенсифицировать конвективную сушку зерна, снизить её энергоёмкость. Моделирование СВЧ - конвективной сушки должно помочь в выявлении её основных параметров и конструкции установок, позволяющих повысить эффективность процесса. Основными элементами математической модели являются дифференциальные уравнения тепло - и влагообмена. Которые требуют своего решения.

Дифференциальные уравнения тепло - и влагопереноса при СВЧ обработке записываются как [1, 2]:

; (1)

; (2)

, (3)

где - коэффициент температуропроводности, м²/с; - коэффициент фазового превращения жидкость - пар; - удельная теплота парообразования, кДж/кг; - удельная мощность, рассеиваемая в диэлектрике при воздействии СВЧ поля, Вт/м³; - плотность сухого вещества зерна, кг/м³; - коэффициент диффузии жидкости, м²/с; - относительный коэффициент термодиффузии; - избыточное давление в образце, Па; - емкость тела по отношению к влажному воздуху, , ; - давление пара материала при данном влагосодержании, Па; - температура зерна, °С; - коэффициент конвективной диффузии пара, м²/с.

При СВЧ - конвективной сушке зерно поочерёдно подвергается воздействию электромагнитного поля, совместно с воздухом, или только агентом сушки. Поле СВЧ воздействует на зерновой слой до того момента, пока его температура не достигнет требуемого предельного значения, например 55оС. После этого магнетроны отключают, и на зерновой слой действует только агент сушки. В это время происходит вынос влаги с поверхности зерна.

Конвективную сушку принято описывать известной системой уравнений [3,4]:

; (4)

; (5)

; (6)

, (7)

где T- температура агента сушки, °C; D - влагосодержание сушильного агента, г/кг; - текущая влажность зерна, %; V - скорость агента сушки, м/с; , - теплоемкость воздуха и зерна, кДж/кг·°С; - порозность зернового слоя; - удельная поверхность семян, 1/м; - коэффициент теплоотдачи, ккал/кг· ч·°C; - объемная масса зерна, кг/м³; - удельный вес воздуха, кг/м³; K - коэффициент сушки, 1/ч; - равновесная влажность зерна, %; х - пространственная координата, м; - время, ч.

При СВЧ - конвективной сушке изменение температуры зерна происходит за счёт действия поля СВЧ, а тепло - и влагообмен между агентом сушки и зерном - за счёт конвективного обмена. В моменты, когда действие поля СВЧ прекращается тепло и - влагообмен осуществляется за счёт конвективного обмена. Поэтому целесообразно добавить к системе уравнений (4…7) уравнение (1) и использовать полученную систему для расчёта процесса тепло и влагообмена в зерновом слое.

Процессы тепло и - влагообмена в реальных установках отличаются существенной неравномерностью, за счёт конструктивных особенностей устройств, влияющих на глубину проникновения микроволнового поля и распределение агента сушки. Существенное значение имеет зависимость глубины проникновения поля в зерновой слой от его влажности. Поэтому необходимо при разработке модели иметь возможность варьировать значениями скорости воздуха и величинами удельной мощности поля СВЧ в требуемых точках зернового слоя. Для этого целесообразно представить в виде набора элементарных слоёв зерна плотный зерновой слой.

Элементарным будем считать слой в одно зерно. Это позволит для описания процесса использовать максимально возможное количество элементарных слоёв и при необходимости учитывать процессы тепло - и влагообмена непосредственно внутри единичного зерна. С учётом такого допущения в уравнениях (1) и (4…7), пространственная координата х может быть заменена радиусом R зерновки, или её приведённым диаметром d_пр.

При разработке математической модели использован ступенчатый метод расчёта [5], при котором температура и влажность агента сушки, прошедшего через элементарный слой становятся температурой и влажностью воздуха, поступающего к следующему элементарному слою. Дополним систему (1) и (4…7) необходимыми уравнениями:

(8)

(9)

, (10)

По параметрам агента сушки на входе зернового слоя рассчитывают его равновесную влажность W_p. (8). С учётом данного параметра определяют коэффициент сушки К (9). Далее рассчитывают влажность зерна W (7). Потом, температуру агента сушки Т, которую он приобретает при следовании через единичный слоя зерна (5). Затем рассчитывают температуру зерна . При СВЧ нагреве используют уравнение (1), а при отключении поля - уравнение (5). После этого определяют влагосодержание D (6) и относительную влажность на выходе из зернового слоя агента сушки (10).

Последовательное выполнение расчетов для каждого элементарного слоя позволит иметь полную картину динамики сушки зерна. Задачи моделирования предусматривают изменение в процессе сушки скорости V воздуха и удельная мощности поля СВЧ. Это позволит достаточно точно выполнять расчет сушки зерна в установках, при различных алгоритмах управления процессом.

Прикладное программное обеспечение позволяет построить необходимую имитационную модель. Для построения такой модели элементарного слоя преобразуем дифференциальные уравнения (1), (4…7) в передаточные функции. Для уравнения (7) воспользуемся правилом замены [6] и получим .

Уравнения (1), (4), (5), (6) содержат частные производные. Для промежуточного их решения воспользуемся методом интегрального преобразования Лапласа. В этом случае преобразование частных производных осуществляется по следующему правилу [7]:

Если и преобразование Лапласа производится по переменной , то обозначив , можно интегрированием по частям установить соотношение:

,

где - начальное значение температуры.

Выполним преобразование Лапласа по для (4). Для производных температуры зерна и влажности зерна начальные условия учитывать не будем:

,

где , .

Записав уравнение относительно частной производной и заменив координату x на приведённый диаметр зерновки получим следующее выражение:

. (11)

Используя принцип суперпозиции запишем дифференциальное уравнение только с переменной T: .

При этом р играет роль переменной. Решим дифференциальное уравнение относительно , записав в качестве граничного условия .

Решение уравнения с использованием пакета MATLAB [8] дало следующий результат:

, (12)

где - время задержки при скорости воздуха V в одном зерновом слое.

Подставив в (12) слагаемые температуры и влажности зерна, получим в операторной форме зависимость изображения температуры теплоносителя T(р) на выходе элементарного слоя от изображений температуры агента сушки Т₀(р) на входе в зерновой слой, от изображения текущей температуры зерна (р), от изображения текущей влажности зерна :

_. (13)

По классической схеме, чтобы получить уравнение описывающее зависимость необходимо выполнить обратное преобразование Лапласа уравнения (13). Попробуем упростить процедуру, представив данную зависимость в виде передаточных функций.

Аналогичную процедуру выполним для уравнения (3) и (4). Из уравнения (3) найдём зависимость для изменения температуры зерна элементарного слоя при конвективной сушке, а из уравнения (4) зависимость для влагосодержания агента сушки на выходе его из зернового слоя . Представив и выполнив преобразование Лапласа для (4) получим следующую зависимость: влагообмен зерно сушка лаплас

, (14)

где .

Для получения зависимости изменения температуры зерна при воздействии электромагнитным полем преобразуем уравнение (1).

Полное уравнение зависимости температуры зерна от его влажности и удельной мощности СВЧ излучения будет иметь следующий вид:

(15)

где , .

Если достаточно контролировать температуру поверхности зерна, то в этом случае и уравнение (15) значительно упрощается:

. (16)

В результате проведенных преобразований получен набор уравнений и передаточных функций, с использованием которых осуществляется расчет тепло - и влагообмена в элементарном слое зерна. Запишем его ещё раз:

, (17)

; (18)

; (19)

(20)

; (21)

; (22)

; (23)

С использованием полученной системы может быть разработана система компьютерного имитационного моделирования и найдено численное решение уравнений с получением значений параметров зерна и агента сушки.

Литература

1. Лыков А.В. Теория сушки - Москва: Энергия, 1968. - 472 с.

2. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло и массопереноса - Ленинград; Москва: Госэнергноиздат, 1963. - 535 с.

3. Анискин В.И., В.А. Рыбарук Теория к технология сушки и временной консервации зерна активным вентилированием - М.: Колос, 1972. - 200 с.

4. Васильев А.Н., Руденко Н.Б. Построение математической модели процесса сушки зерна в плотном слое // Современные проблемы использования электрооборудования в сельском хозяйстве (Межвузовский сборник научных трудов. Выпуск 2) - Зерноград, ФГОУ ВПО АЧГАА, 2003. - С. 63-73

5. Демин А.В. Методические рекомендации по математическому моделированию процесса сушки и охлаждения зерна в установках плотного слоя - М.: ВИЭCX, - 42 с.

6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Функции комплексного переменного: Учебник для вузов. - 4-е изд. - Ростов н/Д: «Феникс», 1988. -512 с.

7. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики: учебник для вузов под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - Изд. 4-е, стер. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. - 367 с.

8. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 1104 с.

Размещено на Allbest.ru