Эффекты второго порядка в задачах растяжения, кручения и изгиба нелинейно-упругих тел

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Эффекты второго порядка в задачах растяжения, кручения и изгиба нелинейно-упругих тел

Калашников Виталий Владимирович

Ростов-на-Дону 2007

Работа выполнена в Ростовском государственном университете.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Карякин Михаил Игоревич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Юдин Анатолий Семенович

кандидат физико-математических наук, доцент Зеленина Анастасия Александровна

Ведущая организация: Институт проблем машиноведения РАН, г. Санкт-Петербург

Защита диссертации состоится «20» февраля 2007 г. в 15 00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 по физико-математическим наукам в Южном федеральном университете (ЮФУ) по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ЮФУ по адресу: 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан « 18 » января 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Боев Н.В.

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Интерес исследователей к учету нелинейности в задачах деформирования упругих тел вызван несколькими причинами. Во-первых, с помощью линейной теории невозможно описать ряд явлений, которые наблюдаются экспериментально при деформировании этих тел и могут играть важную роль при их практическом использовании. Во-вторых, следует выделить появление новых материалов, которые обладают ярко выраженными нелинейными свойствами: высокоэластичные резиноподобные материалы, вязкоупругие полимеры. Нелинейная теория упругости получает все большее распространение при описании тканей живых организмов.

Создание адекватных математических моделей таких материалов при полном учете нелинейности и их апробация должны основываться, прежде всего, на моделировании классических экспериментов, а, следовательно, на решении основополагающих задач теории упругости, описывающих простую деформацию тел (растяжение, кручение, изгиб и т.д.). В то же время решение краевых задач нелинейной теории упругости в большинстве случае затруднено, поскольку используемые в них упругие потенциалы представляют собой достаточно сложные выражения, приводящие к существенно нелинейным уравнениям, решение которых не удается отыскать в аналитическом виде. Использование же численных методов решения краевых задач может оказаться слишком трудоемким. В таких случаях достаточно близкое приближение к решению можно получить, учитывая «эффекты второго порядка», т.е. квадратичные слагаемые относительно градиента перемещения в уравнении состояния упругого тела. В связи с этим актуальным становится тщательный и корректный анализ эффектов второго порядка в задачах нелинейной теории упругости.

Цель работы состоит в качественной и количественной оценке эффектов второго порядка, получаемых при построении решения основных («классических») задач теории упругости о растяжении, кручении и изгибе методом разложений в ряд, а также в изучении вопросов определения констант второго порядка упругих материалов на основе анализа этих задач.

Научная новизна. Выяснена причина несовпадения двух широко известных формул, описывающих эффект Пойнтинга (удлинение скручиваемого стержня при отсутствии осевой силы) при кручении цилиндра из нелинейно-упругого сжимаемого материала. Показано, что статическая эквивалентность в интегральном смысле двух систем нагрузок на торцах цилиндра, имеющего свободную боковую поверхность, не гарантирует совпадения в этих двух случаях интегральных деформационных характеристик (например, полного удлинения цилиндра).

В плоской задаче чистого изгиба прямого нелинейно-упругого бруса, решаемой ранее методом разложений в ряд только для предварительно изогнутых тел, построено решение, полностью учитывающее эффекты второго порядка. Проблема перехода в недеформированное состояние решена с помощью выделения особенности в полуобратном представлении деформации тела. С использованием нового полуобратного представления с точностью до эффектов второго порядка для ряда общеупотребимых моделей сжимаемых нелинейно-упругих тел построены аналитические выражения для изменения толщины стержня при изгибе и положения нейтральной линии.

Построены аналитические выражения для определения констант второго порядка материала Мурнагана на основе классических статических экспериментов на одноосное растяжение, кручение и чистый изгиб бруса.

Достоверность полученных результатов обусловлена несколькими причинами. В ряде частных случаев, проводилось сравнение найденных решений с результатами других авторов; линейные слагаемые получаемых разложений соответствуют хорошо известным формулам линейной теории упругости; полученные асимптотические выражения сопоставлялись с результатами численных расчетов; в некоторых случаях для решения одной и той же задачи использовались различные методы и подходы, и проводилось сравнение результатов.

Методика исследования. В работе использовались тензорный аппарат механики сплошной среды, полуобратный метод теории упругости, метод разложений в ряд (метод возмущений), методы компьютерной алгебры, метод конечных элементов, метод однородных решений, численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и нелинейных алгебраических уравнений и их систем.

Научно-практическая ценность работы. Результаты диссертационной работы углубляют понимание ряда проблем нелинейной теории упругости и могут быть использованы при их решении. Результаты задачи о кручении и учет эффекта Пойнтинга важны при проектировании и калибровке некоторых высокопрецизионных устройств, например стержневых динамометров. Решения, описывающие эффекты второго порядка, могут служить тестовым эталоном при разработке новых конечно-элементных пакетов в определенном диапазоне деформаций. Новые результаты применения метода разложений в ряд в плоской задаче изгиба могут быть использованы для развития нелинейной теории пространственного изгиба. Аналитические выражения параметров материала Мурнагана могут быть использованы при экспериментальном определении или проверке значений констант второго порядка материалов различной природы.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Международных конференциях «Advanced problems in mechanics» (С._ Петербург (Репино), 2004) и «Математические модели физических процессов» (г. Таганрог, 2004), на III Школе-семинаре «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» (г. Ростов-на-Дону, 2004), на Международной школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (п. Дюрсо, 2005), на XIV Зимней школе по механике сплошных сред (г. Пермь, 2005), на IX и X Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (г. Ростов-на-Дону, 2005, 2006), на научных семинарах по проблемам механики сплошной среды в Ростовском государственном университете. упругость изгиб растяжение нелинейный

Публикации. По теме диссертации опубликованы 9 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Объем работы. Диссертация содержит 119 страниц и состоит из введения, двух глав, заключения и списка цитируемой литературы, включающего 96 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор работ, относящихся к теме диссертации, и кратко описано ее содержание.

Полуобратный метод, в рамках линейной теории впервые введенный Сен-Венаном, был распространен на задачи нелинейной теории упругости в работах Дж. Адкинса, А. Грина, Л.М. Зубова, А.И. Лурье, К. Трусделла, и широко применялся в работах В.А. Еремеева, А.А. Зелениной, М.И. Карякина, Р.С. Ривлина, Дж. Эриксена, А.С. Вайнемана и многих других ученых. Метод разложений в ряд (или, как его еще называют, метод возмущений) был предложен А. Синьорини и применялся в различных задачах нелинейной теории упругости в работах Р.С. Ривлина, Ю.И. Кадашевича, С.П. Помыткина, Р.С. Батра, М. Чен, З. Чен, Ф. Дель Изола, П.М. Хаутона, К.А. Линдсея, Дж.С. Рута и других ученых. Метод однородных решений подробно описан и развит в работах А.И. Лурье, И.И. Воровича, Ю.А. Устинова и других. Задачи о растяжении, кручении и изгибе призм, решенные в рамках линейной теории упругости Сен-Венаном, обобщались в различных постановках на нелинейный случай в работах Дж. Адкинса, Л.Ю. Богачковой, А. Грина, Т.В. Гавриляченко, Ю.В. Захарова, А.А. Зелениной, Л.М. Зубова, М.И. Карякина, А.И. Лурье, К.Г. Охоткина, Р.С. Ривлина, М. Чен, З. Чен, А.С. Вайнемана, В.К. Валдрона и других авторов.

В первой главе «КРУЧЕНИЕ КРУГОВОГО НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО СТЕРЖНЯ» на основе сравнения метода возмущений при учете эффектов второго порядка с полуобратным методом на примере задачи кручения кругового нелинейно-упругого стержня торцевыми моментами изучается влияние способов реализации интегральных граничных условий на торцах на величину эффекта Пойнтинга.

Проблема учета эффектов второго порядка в задаче кручения может считаться классической, однако до сих пор в литературе известны две различающиеся между собой формулы для осевого удлинения стержня с произвольным поперечным сечением. Первая из них, с использованием метода разложений в ряд Синьорини, получена Р. Ривлиным (1953 г.); вторая - на основе другого варианта метода возмущений - приведена в монографии А.И. Лурье (1980 г.). Кроме того, в диссертации Т.В. Гавриляченко (2000 г.) было указано на несовпадение осевого удлинения цилиндра, приведенного в работах А.И. Лурье, и решения, полученного на основе полуобратного метода нелинейной теории упругости.

Удельная потенциальная энергия деформации материала Мурнагана имеет вид

, (1)

где - константы Ламе линейной теории упругости, - константы второго порядка,

- главные инварианты тензора деформации Коши-Грина

( - мера деформации Коши, - единичный тензор).

Формула А.И. Лурье осевого удлинения стержня при кручении при учете эффектов второго порядка в случае материала Мурнагана (для стержня круглого поперечного сечения), имеет вид

,

где - погонный угол закручивания стержня, - радиус цилиндра до деформации. Формула Ривлина отличается от (2) первым слагаемым в круглых скобках: в ней , а не .

Анализ различных моделей материалов показал, что разница в количественном выражении эффекта Пойнтинга при использовании этих двух формул может быть существенна (до 25%). В связи с этим, определение причин расхождения результатов имеет большое значение.

Подход А. И. Лурье основан на замене решения задачи о равновесии нелинейно-упругого тела вида

; (3)

, (4)

где - оператор градиента в отсчетной конфигурации; - плотность тела в отсчетной конфигурации; - вектор массовых сил; - внешняя нормаль к поверхности; - элементарные площадки поверхности в отсчетной и текущей конфигурациях соответственно; - тензор напряжений Пиолы; - отнесенная к деформированной поверхности внешняя нагрузка, которая предполагается «мертвой»:

, (5)

последовательностью двух задач:

-- линейной задачи

; (6)

-- задачи об эффектах второго порядка

, (7)

основанной на уже известном решении предыдущей задачи.

В (6), (7) зависимость тензора от вектора перемещений соответствует классическому закону линейной теории упругости

,

а роль массовых и поверхностных сил в (7) играют векторы

, .

Задачи (6), (7) получаются из (2), (3) в результате разложения вектора перемещений

,

в котором - предполагаемое известным решение линейной задачи, а компенсирует слагаемые второго порядка (конкретное выражение тензора зависит от вида нелинейно-упругого потенциала ).

В ряде случаев постановка (7) позволяет найти некоторые характеристики деформации без определения вектора , т.е. без решения краевой задачи. В случае кручения такой характеристикой является осевое удлинение цилиндра, которое в задаче о кручении упругого призматического стержня торцевыми моментами находится по формуле (2).

Для сопоставления данного подхода с полуобратным методом в работе рассмотрена задача деформирования сплошного цилиндрического вала равными по величине и противоположными по знаку торцевыми моментами. Боковая поверхность цилиндра свободна от нагружения, а длина до деформации достаточно велика. Для материала цилиндра использовалась модель Мурнагана (1).

Процесс кручения цилиндра описывается следующим преобразованием отсчетной конфигурации в актуальную:

(8)

где ,

- неизвестная функция изменения радиуса стержня, - удлинение стержня при кручении, - длина стержня до деформации. Цилиндрические координаты отсчетной конфигурации обозначены , соответствующие им векторы ортонормированного базиса - . Координаты стержня после деформации обозначены , соответствующий им ортонормированный базис - .

Уравнения равновесия сводятся в рассматриваемой задаче к одному соотношению вида

, (9)

а граничное условие незагруженности боковой поверхности цилиндра имеет вид

(10)

Граничные условия на торцах выполняются в интегральном смысле, обеспечивая отсутствие осевой растягивающей силы и совпадение суммарного момента действующих на торце напряжений с заданным крутящим моментом.

В случае материала Мурнагана краевая задача (9), (10) приводит к очень громоздкому уравнению для определения , однако если учесть в нем слагаемые не выше второго порядка, т.е. представить соотношение (8) в виде

,

то линейное уравнение для определения решается в явном виде



Вычисленное с его использованием относительное удлинение с точностью до квадратичных слагаемых имеет вид

, (11)

т.е. совпадает с формулой Ривлина.

В то же время, в работе показана корректность подхода А.И. Лурье к описанию эффектов второго порядка на примере задачи об одноосном растяжении стержня из материала Мурнагана. Полуобратное представление деформации имеет вид (8), где . Выражение функции в этом случае получено в аналитическом виде

,

где обозначено

Из условия ,

где - величина внешней нагрузки, найдено разложение параметра по степеням в виде

,

где

а квадратичное относительное удлинение стержня, налагаемое на «линейное удлинение»

,

имеет вид

. (12)

Формула (12) совпадает с аналогичной формулой, приведенной в монографии А.И. Лурье (после устранения в последней опечатки).

Приведенное в работе точное решение нелинейной задачи кручения стержня из упрощенного материала Блейтца и Ко позволяет установить причину различия при использовании двух подходов к определению величины эффекта Пойнтинга. Для этого постановка задачи кручения в эффектах второго порядка записана в явном виде двумя способами:

1. Рассмотрена постановка задачи (7). Используя явные выражения решения задачи кручения для материала Блейтца и Ко, уравнения и краевые условия в (7) переписаны в виде

(13)

2. С помощью явного выражения решения задачи кручения построено сначала выражение добавочного вектора в задаче о кручении, затем записана постановка задачи в форме (7):

(14)

Краевые задачи (13), (14) записаны в координатах отсчетной конфигурации и отличаются краевыми условиями на торцах. Именно это отличие и вызывает несовпадение в величине относительного удлинения стержня в целом.

Для оценки влияния граничных условий на величину относительного удлинения рассмотрена задача о разности

решений линейных краевых задач (13), (14)

(15)

Задача (15) имеет следующий недостаток: граничные условия противоречат условию симметричности тензора напряжений на окружностях, ограничивающих торцы цилиндра, и, следовательно, приводят к несимметричности тензора в некоторой области, охватывающей эти окружности. Аналогичное нарушение симметричности присуще и задаче (13), иными словами, постановка (7) в задаче кручения приводит к несимметричности тензора напряжений.

При выводе основных уравнений теории эффектов второго порядка существенно использовалось предположение о «мертвом» характере внешней нагрузки. Подобное допущение, естественное для задачи растяжения стержня, не представляется столь же оправданным для задачи кручения.

Действительно, если в исходной нелинейной постановке (3), (4) при выводе краевой задачи об эффектах второго порядка (7) вместо граничного условия типа (4), (5), означающего «мертвый» характер внешней нагрузки, взять достаточно естественное граничное условие

,

то после перехода от координат текущей конфигурации к принятым в задаче координатам отсчетной конфигурации краевые условия становятся симметричными, и решение такой задачи совпадает с решением полуобратным методом.

В работе рассмотрен вопрос о количественном влиянии разницы между способами приложения нагрузки на торцах на величину относительного удлинения стержня. Линейное представление касательных напряжений в (15) заменено кусочно-линейным распределением, которое согласовано с требованием симметричности :

,

Показано, что в линейной задаче (15) нормальные напряжения на торце не вызывают удлинения стержня в целом, поэтому рассматриваются только касательные напряжения на торце. В связи с этим задача (15) переписывается в виде

(16)

На рис. 1 представлено распределение нормальных напряжений по боковой поверхности стержня, построенное методом конечных элементов с применением пакета FlexPDE и методом однородных решений с использованием пакета Maple при значениях

При удалении от торца напряжения быстро убывают и практически обращаются в нуль на расстоянии, равном диаметру вала. Это означает, что принцип Сен-Венана в смысле отсутствия напряжений в зоне, достаточно далекой от области приложения самоуравновешенной нагрузки, в данной задаче выполняется.



Рис. 1 Распределение нормального напряжения по боковой поверхности цилиндра

В работе определена зона стержня, удлинение которой пренебрежимо мало и, следовательно, относительное удлинение которой в исходной задаче кручения зависит лишь от интегральных характеристик граничных условий, а не способа их реализации. Для этого рассмотрен цилиндр длиной

,

расположенный на расстоянии от торцов стержня, и построено выражение относительного удлинения такого цилиндра

при увеличении значения . Полученная зависимость приведена на рис. 2.

Рис. 2 Определение зоны стержня, удлинение которой не зависит от способа реализации граничных условий на торце: зависимость относительного удлинения от параметра

Расчеты для стержней разной геометрии показали, что зоной, свободной от влияния способа задания граничных условий на торце, будет область стержня, для которой .

Полученный результат означает, что принцип Сен-Венана применим и к интегральным деформационным характеристикам, но не для тела в целом, а для его некоторой части, достаточно удаленной от областей приложения нагрузок.

Во второй главе «ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ЧИСТОГО ИЗГИБА НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО СТЕРЖНЯ» методом разложений в ряд исследована плоская задача чистого изгиба прямого стержня для трех видов моделей нелинейно-упругого поведения: полулинейного материала, материала Блейтца и Ко, материала Мурнагана.

Исследование эффектов второго порядка при изгибе призматических тел до настоящего времени было представлено в литературе лишь работами, рассматривающими предварительно изогнутые тела. Это «невнимание» к задачам изгиба прямого стержня связано с наличием некоторой особенности, которая кроется в соотношениях, описывающих деформацию при изгибе.

В работах А.А. Зелениной, Л.М. Зубова (2000 г.) построено новое полуобратное соотношение, позволяющее свести пространственную задачу о чистом изгибе прямого нелинейно-упругого бруса к двумерной краевой задаче на его сечении. В то же время, предложенное полуобратное соотношение не позволяет провести линеаризацию по параметру изгиба (кривизне изогнутой оси) поскольку не допускает предельного перехода в недеформированное состояние прямого стержня.

С целью понимания и устранения проблемы полуобратного представления для возможности дальнейшего применения метода последовательных приближений, вместо пространственной задачи рассмотрена более простая плоская задача изгиба нелинейно-упругого прямоугольника (рис. 3).

Рис. 3 Представление деформации при чистом изгибе

 Через обозначены прямоугольные декартовы координаты отсчетной конфигурации, цилиндрические координаты текущей конфигурации обозначены . Деформация стержня описывается представлением

(17)

Здесь - кривизна стержня, при малых изгибах и являющаяся малым параметром задачи.

Из (17) видно, что при координата , и стержень вырождается в отрезок:

.

Кроме того, как показано далее, функция зависит еще и от параметра , причем эта зависимость является сингулярной в точке , что делает невозможным прямое применение метода возмущений.

Задача плоского изгиба нелинейно-упругой полосы из полулинейного материала, удельная потенциальная энергия деформации которого имеет вид

,

(где - левый тензор искажения), была решена А. И. Лурье с помощью комплексного преобразования координат отсчетной конфигурации через гармонические функции комплексного переменного. При решении этой краевой задачи полуобратным методом, основывающимся на представлении (17), уравнения равновесия без учета массовых сил и граничные условия на боковой поверхности

,

(18)

сводятся к системе уравнений определения функции вида

,

, (19)

которая в случае полулинейного материала может быть решена в явном виде, и разложение ее решения в ряд по степеням содержит особенность в окрестности нуля

. (20)

Слагаемое

определяет положение линии, проходящей через центр тяжести прямоугольника после деформации, иными словами, оно выражает смещение начала координат при увеличении угла изгиба.

С целью выделения особенности в (20), модифицируем полуобратное представление (17), положив

. (21)

С математической точки зрения, замена (21) означает, что мы выделяем особенность при выводе основных уравнений относительно . С геометрической точки зрения, мы разделяем расстояние до точки деформированной конфигурации на расстояние от начала координат до центра тяжести прямоугольника и функцию , геометрический смысл которой - изменение толщины стержня.

При использовании замены (21) не возникает проблем с переходом к начальному состоянию тела: в случае отсутствия деформации, , при этом , а . Предельное состояние является прямоугольником конечной высоты, а начало координат находится на бесконечности. При этом решение исходной краевой задачи относительно функции уже не содержит особенности.

Идея выделения особенности (21) была использована для построения асимптотической схемы решения методом разложения в ряд задачи об изгибе для произвольной модели материала. Эта схема базируется на геометрически оправданной гипотезе об аналитичности функции по параметру в окрестности точки , которая оказалась применима, в частности, для описания эффектов второго порядка при использовании упрощенного варианта материала Блейтца и Ко и материала Мурнагана.

Метод разложения в ряд основан на замене исходного решения отрезком ряда вида

,

в результате которой получается набор линейных краевых задач вида

при решении которых определяются слагаемые ряда.

Оказывается, для всех трех рассмотренных материалов при такой итерационной схеме возникает проблема с определением констант интегрирования, поскольку система краевых условий на боковой поверхности после линеаризации становится линейно-зависимой. Таким образом, после каждого шага определения неизвестных функций остается по одной неопределенной константе. В работе предложено два способа их определения. Неопределенную константу i-го приближения можно найти:

1. из условия разрешимости краевой задачи для (i+2)-го приближения, т.е. из условия совместности системы граничных условий, получаемых на (i+2)-м шаге;

2. из условия отсутствия продольной силы при учете в ней слагаемых порядка (i+1), т.е. из условия равенства нулю коэффициента при в разложении продольной силы.

Первый способ нахождения является недостаточно эффективным, поскольку может требовать решения хотя и линейных, но весьма громоздких краевых задач. Заметим, что использование современных программных комплексов компьютерной алгебры не всегда является панацеей: например, в случае использования модели материала Мурнагана, при попытке решить краевую задачу, соответствующую четвертой степени (для определения константы второго приближения), в пакете Maple не удается даже проинтегрировать уравнение при имеющемся наборе неопределенных постоянных. Более надежным и удобным, поэтому, представляется второй способ.

В работе при учете слагаемых второго порядка получены следующие решения:

-- полулинейный материал:

; (22)

-- упрощенный вариант материала Блейтца и Ко:

; (23)

--материал Мурнагана:

, (24)

где

а константа определена выражением

.

График функции для материала Блейтца и Ко при значении кривизны и отношении длины стержня к толщине представлен на рис. 4 (это соответствует углу изгиба ).

Величина изгибающего момента определяется формулой

(26)

( - компонента тензора напряжений Коши). При учете эффектов вплоть до третьего порядка выражение (26) принимает вид

-- для полулинейного материала

(27)

Рис. 4 Функция искажения формы поперечного сечения

-- для материала Блейтца и Ко

; (28)

-- для материала Мурнагана

, (29)

где обозначено

Линейное слагаемое в выражениях (27)-(29) совпадает с хорошо известным выражением линейной теории упругости, если осуществить в нем переход от плоской деформации к плоскому напряженному состоянию, т.е. заменить . Отсутствие в выражении для момента квадратичных слагаемых подтверждает высокую степень точности линейной теории упругости при его вычислении.

Относительное изменение толщины стержня при изгибе выражается формулой

. (30)

Если рассматривать случай

, то

(поскольку - четная функция), что, вообще говоря, соответствует линейной теории. При учете квадратичных слагаемых , иными словами, относительное изменение толщины стержня (наряду с эффектом Пойнтинга) является эффектом второго порядка.

С точностью до слагаемых второго порядка относительное изменение толщины примет вид

,

угол изгиба)

-- для полулинейного материала

; (31)

-- для материала Блейтца и Ко

; (32)

-- для материала Мурнагана

. (33)

В формулах (31) и (32) при любых значениях параметров , т.е. стержень становится тоньше при изгибе. Из формулы (33) видно, что без конкретизации значений констант второго порядка сказать, становится стержень толще или тоньше, нельзя. Зависимость относительного изменения толщины стержня от угла изгиба для материала Блейтца и Ко представлены на рис. 5 при геометрии стержня .

Рис. 5 Зависимость относительного изменения толщины стержня от угла изгиба

При изгибе стержня в полукольцо (на угол ) толщина стержня уменьшается на 1.2%. Большое количество проведенных расчетов для разных моделей материалов показало хорошее совпадение численных решений и построенных асимптотических формул в широком спектре деформаций.

В работе предложено использовать полученные решения задач об эффектах второго порядка (эффект Пойнтинга, относительное изменение толщины стержня при изгибе), а также выражение для относительного удлинение стержня при одноосном растяжении с учетом слагаемых второго порядка, для экспериментального определения констант второго порядка материала Мурнагана. Аналитические выражения констант записаны в виде

(45)

где обозначено

, (46)

а - определяемые экспериментально значения относительного удлинения стержня при растяжении и кручении соответственно; - относительное изменение толщины стержня при изгибе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

· Проведено сравнение решения задачи о кручении кругового нелинейно-упругого стержня торцевыми моментами методом последовательных приближений при учете эффектов второго порядка с решением той же задачи полуобратным методом.

· Установлено, что причиной расхождения двух известных подходов к определению осевого удлинения при кручении является предположение о «мертвом» характере нагрузки в первом из них.

· Показана возможность применения принципа Сен-Венана при изучении некоторых интегральных эффектов второго порядка, например, эффекта Пойнтинга.

· Предложена модификация полуобратного представления деформации плоского чистого изгиба прямого нелинейно-упругого стержня, пригодная для применения метода последовательных приближений.

· С использованием предложенного представления с точностью до эффектов второго порядка задача об изгибе решена для трех моделей нелинейно-упругого поведения; подтверждена высокая степень точности линейной теории упругости при вычислении зависимости кривизны от изгибающего момента; получено аналитическое выражение относительного изменения толщины стержня при изгибе.

· Предложены аналитические выражения для определения констант второго порядка материала Мурнагана на основе экспериментов на одноосное растяжение, кручение и чистый изгиб стержня.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

1. Kalashnikov V.V., Karyakin M.I. Second Order Effects in a Problem of Torsion of Nonlinear Elastic Shaft // Advanced problems of mechanics. June 24-July 1, 2004, St. Peterburg (Repino), Russia. Book of abstracts. P. 57-58.

2. Калашников В.В. Эффекты второго порядка в задаче кручения упругого вала // Труды аспирантов и соискателей Ростовского государственного университета. Том Х. - Ростов н/Д: Изд-во Рост. ун-та, 2004. C. 28-30.

3. Калашников В.В. Сравнительный анализ нелинейных моделей кручения упругого вала // Математические модели физических процессов. Труды X Международной научной конференции. Таганрог, 2004. C. 96-99.

4. Калашников В.В. Анализ эффектов второго порядка в моделях кручения упругого вала // Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика. Труды III Школы-семинара. Ростов н/Д: Изд-во «ЦВВР», 2004. С. 86-88.

5. Калашников В.В. Об определении характеристик нелинейно-упругих материалов // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Труды международной школы-семинара. Ростов н/Д: Издательство НПК «Гефест», 2005 г. С. 14-15.

6. Калашников В.В., Карякин М.И. Некоторые аспекты применения принципа Сен-Венана в нелинейной теории упругости // Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая). Тезисы докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 2005. С. 143.

7. Калашников В.В., Карякин М.И. Об использовании полуобратного метода для определения интегральных деформационных характеристик // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды IX Международной конференции. Т.1. Ростов н/Д: Изд-во «ЦВВР», 2005. С. 98-102.

8. Калашников В.В., Карякин М.И. Эффекты второго порядка и принцип Сен-Венана в задаче кручения нелинейно-упругого стержня // Прикладная механика и техническая физика. 2006, Т. 47, №6. С.129-136.

9. Калашников В.В., Карякин М.И. Эффекты второго порядка в задаче плоского изгиба нелинейно-упругого стержня // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды X Международной конференции. Т.1. Ростов н/Д: Изд-во «ЦВВР», 2006. С. 148-152.

Размещено на Allbest.ru

...