Некоторые дополнения к вопросам о многомерных интегральных операторах с осциллирующими коэффициентами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Некоторые дополнения к вопросам о многомерных интегральных операторах с осциллирующими коэффициентами

Волосатова Т.А.

Данекянц А.Г.

Аннотации

В статье представлены многомерные интегральные операторы с однородными ядрами и радиальными осциллирующими коэффициентами вида |x|iд, действующие в пространстве L2(Bn). Для операторов такого вида определен символ, в терминологии которого получены необходимые и достаточные условия нётеровости и вычислительная формула для индекса. Так же сформулирован критерий нётеровости и формула индекса для близкого класса операторов, действующих в L2(Bn). В данной статье, приведены некоторые важные дополнения и уточнения к основным результатам, опубликованным ранее, и в качестве дополнения рассмотрен частный случай интегрального оператора.

Ключевые слова: интегральные операторы с однородными ядрами, интегральные операторы с осциллирующимикоэффициентами, критерий нётеровости, многомерные интегральные уравнения.

Volosatova T.A.1, Danekiants A.G.2

1ORCID: 0000-0001-6416-0212, PhD in Physics and Mathematics,

Don State Technical University (Rostov-on-Don)

2ORCID: 0000-0002-0409-0694, PhD in Physics and Mathematics,

Don State Technical University (Rostov-on-Don)

SOME ADDITIONS TO THE PROBLEM OF MULTIDIMENSIONAL INTEGRAL OPERATORS WITH OSCILLATING COEFFICIENTS

The paper presents multidimensional integral operators with homogeneous cores and radial oscillating coefficients of |x|iд, acting in space L2(Bn). A symbol is defined for operators of this type in the terminology while necessary and sufficient conditions for noethericity and the computational formula for the index are obtained. A criterion for noethericity property and the index formula for a similar class of operators acting in L2(Bn) have been established. In this paper, we give some important additions and refinements to the main results published earlier. We have also considered a special case of an integral operator as a supplement.

Keywords: integral operators with homogeneous cores, integral operators with oscillating coefficients, criterion for noethericity, multidimensional integral equations. интегральный осциллирующий ядро

В современном мире уровень развития страны во многом определяется уровнем развития и эффективностью инновационной деятельности. Инновационная деятельность компаний различных секторов экономики основывается на научно-технических разработках и их реализации. На начальном этапе работы проекта необходимо построение модели процесса, ее исследование, и нахождение оптимальных путей решения поставленной задачи. При решении прикладных задач зачастую возникают сложные математические модели. Для проведения таких научных исследований, зачастую, требуются глубокие и специфические знания. Поэтому с развитием и усложнением технических задач должен разрастаться и совершенствоваться математический аппарат. Так интегральные уравнения и теория интегральных операторов, имеют широкое применение во многих областях науки: в физике, в строительстве, в теплоэнергетике, в биологии и медицине. Теория интегральных операторов с однородными ядрами в современной математики достаточно изучена. Но зачастую возникает необходимость строить и исследовать новые алгебры и для них строить символические исчисления. Данная статья посвящена многомерным интегральным оператором с однородными ядрами и специфическими коэффициентами вида |x|iд, действующим в пространстве L2(Bn).

Напомним некоторые общие обозначения, принятые в работах [1, С. 149],[2, C. 124], [3, C. 360] и которые, мы будем использовать в дальнейшем: ? n-мерное евклидово пространство точек

-

площадь сферы ? компактификация пространства R одной бесконечно удаленной точкой;

? преобразование Фурье функции,

.

Внесем некоторые дополнения в схему рассуждений, приведенных, в [1, С. 149],[2, C. 124], [3, C. 361]. Сформулируем постановку задачи. В пространстве L2(Bn) проанализируем оператор

(1)

где

,

а функция удовлетворяет надлежащим условиям:

1) однородность степени (-n), то есть

;

2) инвариантность относительно группы вращений , то есть

;

3) суммируемость, то есть

.

В L2(Bn) представлен интегральный оператор с ядром, удовлетворяющим условию (1):

, (2)

Оператору A поставим в соответствии оператор

, (3)

где - оператор вида (2) с ядром . В работах [2, C. 124],[3, C. 360], было доказано, что оператор A нетёров ? оператор нетёров, причем

.

Далее, осуществим переход к интегральному уравнению. Обратимся вновь к оператору A. В пространстве L2(Bn) подвергнем рассмотрению уравнение, порожденное оператором A:

. (4)

Существование функций , таких что

,

обосновывается тем фактом, что функции удовлетворяют условию (2). Используя это, и переходя в уравнении (4) к сферическим координатам , получаем:

Опираясь на однородность функции , имеем:

Умножая правую и левую часть равенства на , получим следующее выражение:

Отметим, что функция удовлетворяет условию суммируемости

. (7)

Действительно, применяя формулу (6), далее, применяя к интегралу по отрезку формулу Каталана, имеем:

С помощью увеличения обеих частей выражения на сферические гармоники , интегрирования по сфере единичного радиуса, и с помощью формулы Функа-Гекке, получим следующую бесконечную диагональную систему одномерных интегральных уравнений:

(8)

где ? размерность пространства сферических гармоник порядка m.

при этом - многочлены Лежандра.

Покажем связь многомерного оператора с одномерным. В пространстве оператор , формирует левую часть уравнения (8)

.

Чтобы получить критерий нётеровости оператора , в работах [2, C.124]; [3, C. 361], был приведен переход к интегральным операторам с разностными ядрами. С этой целью был определен изоморфизм формулой

.

В оператор

,

определялся формулой

Символом оператора назвали функцию

.Подвергнем функцию преобразованию, а именно:

Применяя к интегралу по отрезку формулу Каталана, получили:

Окончательно, имеем:

. (9)

В [3, C. 360] доказано, что оператор нётеров , при этом .

Рассмотрим частный случай оператора A, а именно, введем оператор

где Kопределяется формулой (2).

Следствие. Оператор C нётеров в пространстве L2(Bn) в том и только в том случае, когда . В этом случае .

Доказательство. Заметим, что в этом случае . Применяя теорему, получаем, что нётеровость оператора C равносильна условию . Далее, так как .

Таким образом, дополнительные исследования, представленные в данной статье, позволили вывести критерий нётеровости и получить развернутые формулы для индекса в случае частного вида интегрального оператора. Такая развитая теория позволяет применять полученные результаты при решении прикладных задач, которые могут возникать в различных областях экономики, физики, биологии, химии. Следует отметить, что операторы с однородными ядрами и радикальными (по меньшей мере, в окрестности точки x=0) коэффициентами используются одним из авторов при решении некоторых практических задач теплоэнергетики, которые приводят к задачам математической физики [4, C.146], [5, C.134],[6, C. 68].

Список литературы

1. Данекянц А.Г. К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве L2(BN) / А.Г. Данекянц // Инженерный вестник Дона. - 2013. - Т. 27. - № 4. - С. 149.

2. Данекянц А.Г. Интегральные операторы с однородными ядрами и осциллирующими коэффициентами / А.Г. Данекянц // Интернет-журнал Науковедение. - 2013. - № 5 (18). - С. 124.

3. Данекянц А.Г. Связь многомерного интегрального оператора с осциллирующими коэффициентами с одномерными операторами в L2(BN) / А.Г. Данекянц // Научное обозрение. - 2014. - № 10-2. - С. 360-362.

4. Волосатова Т.А. Некоторые вопросы энергоэффективности тепловых сетей в разрезе текущего состояния комплекса ЖКХ России / Т.А. Волосатова // Инженерный вестник Дона. - 2013. - Т. 27. - № 4. - С. 146.

5. Волосатова Т.А. Основные вопросы энергоэффективности тепловых водяных котельных и варианты их решения / Т.А. Волосатова // Инженерный вестник Дона. - 2013. - Т. 26. - № 3 (26). - С. 134.

6. Волосатова Т.А. Современные способы повышения энергетической эффективности жилых зданий / Т.А. Волосатова // Инженерный вестник Дона. - 2015. - Т. 36. - № 2-2. - С. 68.

Размещено на Allbest.ru