Об единственности производной урчуктной непрерывной функции

Размещено на http://www.allbest.ru/

Статья по теме:

Об единственности производной урчуктной непрерывной функции

С. Шарипов, К.С. Шарипов



Описан геометрический смысл исправленной производной, вводится понятие дифференциала урчуктной функции и на их основе разработан новый способ построения обобщенных функций.

Ранее для непрерывной функции (не имеющей производной по Ньютону-Лейбницу) были введены разные понятия производных (в частности субпроизводная [1], обобщенная производная [2-3], симметрическая производная [4]).

Нами для такой функции новым эффективным методом введено понятие исправленная производная [5-7].

Спрашивается, сколько производных может иметь такая функция? (*)

Данная статья дает ответ на этот вопрос.

Рассмотрим непрерывную урчуктную функцию вида

(1)

(2)

(3)

Ее первая исправленная производная определяется формулой

(4)

(5)



(6)

Таким образом, справедливо следующее:

Определение. Исправленной производной от урчуктной функции (1) в точке t называется предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента когда последнее стремится к нулю.

Непрерывная урчуктная функция (1) имеет конечную производную. Исправленная производная (5) дает нам на отрезке [t0,T] разрывную функцию первого рода, которая зависит от параметра А, т.е. в точке t=a она принимает бесчисленное множество значений.

Геометрический смысл исправленной производной

Здесь исследуем задачу на выяснение геометрического смысла исправленной производной (5) определенной в точке t=a;

(7)

производная функция дифференциал кривая

Нас интересует то, что эта задача оставалась открытой до наших дней, несмотря на то, что для функции (1) были введены вышеуказанные производные [1-4].

Мы дадим сейчас общее определение касательной к кривой (1) в точке (a, C(a)).

Рассмотрим пару такой, что

(m-определенное число) (8)



пусть а-1, а+2[t0,T], C(a)= C(a+2)- C(a-1), t=1+2, A=(a-1,C(a-1)), В=(a+2,C(a+2)), C=(a, C(a)), (рис-1)

Рис. 1

Проведем секущую МВ (рис-1).

t=MD=1+2, С(а)=ВD=C(a+2)-C(a-1). (9)

Очевидно, что если 10, 20, то С(а)=ВD стремится к нулю. Видно что МВ0, 10, 20. Значит когда точки М и В будут перемещаться вдоль кривой (1) к точке С, то говорим, что эта секущая (9) будет катится к точке С=(а,С(а)).

Секущая MВ с осью t образует некоторый угол, обозначим его через (=(1,2)). Из ВМD следует, что

(10)

при 10, 20, С(а) 0 и точки М и В, двигаясь по кривой (1) стремиться к точке С.

Ставим вопрос: при этом стремится ли угол к определенному значению ?

В равенстве (10) при 10, 20 переходим к пределу:

(11)

Отсюда, согласно равенства (8), имеем

(12)

Значит при 10, 20 угол стремится к определенному углу :

(13)

итак, имеет место равенство

(14)

при стремлении к секущая MВ катиться по кривой (1) стремясь занять положение некоторой прямой l, проходящей через точку С и образующей угол с осью t. Выясним структуру прямой l. Для чего рассмотрим уравнение секущей MВ:

(15)



При 10, 20 вычислим предел от yak:

(16)

Это означает, что

(17)

Поэтому

(18)

Отсюда, в силу равенства (14), имеем структуру прямой l

(19)

Итак, при 10, 20секущая МВ занимает положение прямой (19), которая с кривой (1) имеет единственную точку С=(а,С(а)) и образует с осью t угол (рис-1).

Такая прямая (19) l называется касательной к кривой (1) в ее точке С=(а,С(а)).

Касательной к кривой (1) в точке С=(а,С(а)) порожденной парой (1, 2) такой, что



называется предельное положение секущей МВ, когда точки М и В вдоль кривой (1) стремятся к совпадению с точкой С=(а,С(а)).

Отметим, что секущая определенная с парой (3, 4) такой, что

(20)

причем nm, порождает другую касательную к кривой (1) в точке С=(а,С(а)), которая имеет уравнение

(21)

причем

(рис-2)

Рис. 2

Очевидно, что совокупность касательных проведенных к кривой в точке С=(а,С(а)) имеет уравнение вида



(22)

Итак, с помощью исправленной производной установили, что к кривой (1) в ее точке С=(а,С(а)) можем провести бесчисленное множество касательных.

Дифференциал урчуктной функции

Рассмотрим непрерывную урчуктную функцию (1):

(1)

(2)

Введем для этой функции понятие дифференциала в точке t=a. В ней функция (1) не имеет производной по Ньютону-Лейбницу. Поэтому, введем это понятие с помощью исправленной производной. Отметим, что задача дифференциала для функции (1) не была решена с ранее введенными производными [1-4]. На отрезке [a-1,a+2)] функция (1) принимает приращение, равное

(23)

Оно представимо так

(24)

Это равенство представимо и в виде



(25)

где (26)

отсюда следуют следующие факты:

1. Если урчуктная функция в точке t=0 имеет исправленную производную, то приращение функции может быть представлено в виде (25).

2. Если урчуктная функция в точке t[t0,T] имеет конечную исправленную производную, то в этой точке функция необходимо непрерывна.

при t0.

Дифференциал

Для функции (1) выполняется равенство (25). По принятой терминологии функция (1) называется исправлено дифференцируемой в точке t=a. Выражение

(27)

называется дифференциалом функции (1) и обозначается символом

(28)

для независимой переменной t дифференциалом называют приращение t [4], т.е., условно полагают



dt=t (29)

учитывая соглашение (29), можно теперь переписать формулу (28), дающую определение дифференциала, в виде

(30)

отсюда получается важная формула вида

(31)

так, что выражение, которое мы раньше рассматривали как цельный символ, теперь можно трактовать как дробь.

Особо отметим, что в точке t=a дифференциал функции (1) является многозначным выражением.

Чтобы истолковать геометрически совокупность дифференциалов dC(a) и его связь приращением С(а) функции (1), рассмотрим график этой функции (1) (рис -3)



Простейшие правила вычисления производных.

Рассмотрим урчуктные функции вида

Для них справедливы формулы:

Эти формулы легко доказываются на основании формулы исправленной производной (4).

На поставленный вопрос (*) ищем ответ на конкретном примере вида

(32)

она в точке t=0 не имеет производной по Ньютону-Лейбницу.

Для нее введены разные производные, приведем некоторые из них:

1. Ее первая обобщенная производная равна (см [2-3])

(33)

2. Ее в точке t=0 субпроизводная равна (см [1])

(34)

В точке t=0 ее первая симметрическая производная равна см [4]

(35)

В точке t=0 ее первая исправленная производная, согласно формулы (5) равна (см [5-7])

(36)

Видно что область определения производной функции (36) есть отрезок А[0,1], а областью значений является отрезок [-1,1].

Следовательно, субпроизводная и исправленная производная (36) функции (32) принимают одни и те же числовые значения, а ее симметрическая производная (35) вытекает из исправленной производной (36) при 1-=2

1-=2= (37)

Как известно, (см [2-3]), что обобщенная производная (33) функции (32) не определена в точке t=0.

Следовательно, из вышерассмотренных задач следует мысль о том, что за производную функции (32) нужно брать исправленную производную (36).

На примере (32) нами показано, что урчуктная функция вида (1) имеет единственную исправленную производную.

Итак, ответ на вопрос (*) таков: функция (32) в точке t=0 имеет единственную совершенную производную-исправленную производную (36).

Теперь мы можем говорить, что ранее введенные производные (33)-(35) функции (32) является несовершенными, т.е. с ними нельзя решить особо важные задачи математики, физики и естествознания.

Можно отметить, что нами разработан новый эффективный способ построения обобщенных функций, чем способ рассмотренный в теории обобщенных функций.

О сути этого нового способа достаточно сказано в выше приведенном определении исправленной производной.



Литература

1. Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. -М.: Наука,1988.

2. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. -М.: Наука, 1974.

3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том III, 1969.

4. Шарипов С. Методы решения нерегулярных и интегральных уравнений типа Вольтерра первого рода. Автореф. дисс. канд.ф.-м.н. -Фрунзе, 1990.

5. Шарипов С., Шарипов К.С. Уравнение с разделяюшимися переменными в классе разрывных функций. //Вестник Иссык-Кульского университета, №5, 2001.

6. Шарипов С., Шарипов К.С. Первообразная функция разрывной функции //Вестник Иссык-Кульского университета, №7, 2002.

7. Шарипов С., Шарипов К.С. Интегрируемость разрывных функций //Вестник Иссык-Кульского университета, №8, 2002.

Размещено на Allbest.ru

...