Математическое моделирование профилей изношенных поверхностей тел качения
Аппроксимация профилей поверхностей тел качения с применением на их участках полиномов 4-й степени со стыковкой по координатам граничных точек. Математическое моделирование деформированного состояния железнодорожных колес для оценки их работоспособности.
Рубрика | Физика и энергетика |
Вид | статья |
Язык | русский |
Дата добавления | 27.05.2018 |
Размер файла | 475,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОФИЛЕЙ ИЗНОШЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕЛ КАЧЕНИЯ
А.В. Сакало
Предложен способ аппроксимации профилей поверхностей тел качения с использованием на их участках полиномов 4-й степени со стыковкой по координатам граничных точек и первых производных от аппроксимирующих.
При моделировании движения сложных механических систем и процессов изнашивания возникает необходимость решения контактных задач. В процессе эксплуатации тела изнашиваются, и их поверхности приобретают сложные геометрические формы. Особо актуальной проблемой является описание их профилей. Для замера координат точек профилей изношенных поверхностей используются приборы, не обеспечивающие достаточной точности измерений. Численные эксперименты показывают, что погрешность в задании координат точек контактирующих поверхностей порядка 2-3 мкм приводит к значительным погрешностям при решении контактной задачи в определении законов распределения давлений. На рис.1а представлены эпюры давлений в двухточечном контакте колеса и рельса с изношенными поверхностями при задании координат точек поверхностей детерминированно по результатам измерения профилей. А на рис.1б представлено решение этой задачи для профилей, полученных аппроксимацией экспериментальных данных полиномами. В первом случае давление представлено эпюрами, не характерными для контакта изношенных поверхностей, выглаженных в результате приработки.
Для сглаживания профилей используют аппроксимирующие функции, позволяющие правильно представить закон изменения кривизны их участков в пределах потенциального контакта. В [1] для аппроксимации профиля изношенного локомотивного колеса использованы две функции: вида - на участке от круга катания до гребня и - на внешнем участке контура. В [2] контур разбивается на несколько участков и на каждом из них аппроксимируется кубическим сплайном.
В статье исследуется возможность применения в качестве аппроксимирующих функций полиномов 2-5-й степени с различными условиями стыковки участков.
математический деформированный колесо
Получение информации о топологии изношенных поверхностей. Для получения формы профилей изношенных колес и рельсов с них снимались гипсовые слепки с помощью приспособлений, показанных на рис.2 и 3. Приспособление, показанное на рис.2, предназначено для снятия слепка поверхности вагонного колеса. Оно состоит из двух щек (1, 2) и прокладок (3, 4) между ними, определяющих толщину снимаемого слепка. Контур щеки воспроизводит профиль поверхности неизношенного колеса. Приспособление устанавливается на колесо, базируясь плоскостью А на его внутреннюю торцевую плоскость, и фиксируется на нем с помощью винта 5. Раствор гипса или алебастра заливается в свободное пространство между щеками. Аналогично устроено приспособление для снятия слепка поверхности рельса. На рельсе оно базируется по наклонным граням головки рельса. Приспособление, установленное на рельсе, показано на рис.3.
Оцифровка координат точек профиля проводилась путём сканирования слепка с высоким разрешением. На контуре слепка выбиралось начало координат: в точке, расположенной на круге катания колеса, и в точке, лежащей на оси симметрии неизношенного рельса. Координата x отсчитывалась в поперечном относительно рельса направлении. С использованием программы CorelDraw определялись координаты xi, yi точек (с точностью до трех знаков после запятой), расположенных с шагом 1 мм на контуре профиля.
С использованием шаблона измерен прокат более 200 колес полувагонов и вагонов-цистерн. По значению проката они разделены на 5 групп: с прокатом 1, 2, 3, 4 и 5 мм. С помощью слепков исследованы характерные для выделенных групп профили.
Исследованы также профили рельсов, уложенных в кривых радиусов 600 и 1000 м. Сняты слепки наружного рельса на различных участках переходной кривой и кривой постоянного радиуса, где боковой износ составил 1,8; 5; 8,8; 12 и 14 мм.
Аппроксимация профиля полиномом 4-й степени. В качестве аппроксимирующей функции в работе использован полином .
Для определения его коэффициентов воспользуемся методом наименьших квадратов [3]. Он предполагает условие: коэффициенты должны быть определены так, чтобы сумма квадратов разности детерминированно заданных значений ординат точек профиля и значений функции , где - абсцисса точки i, была минимальной:
.(1)
Это условие выполняется при равенстве нулю производных . Получим систему из пяти алгебраических уравнений с коэффициентами:
(2)
Из нее определяются коэффициенты аппроксимирующего полинома.
Аппроксимируемый профиль разбивается на участки. Присвоим номер 0 участку, для которого определены коэффициенты полинома, и номер 1 - участку, для которого они определяются. Обозначим абсциссу точки, расположенной на стыке двух участков, и - значение производной в ней. Пусть аппроксимирующие функции стыкуются на границе по координатам граничной точки и первой производной . Уравнение полинома на участке представим в виде . Первая производная от него равна .
Из условий стыковки на границе участков
;
;
.
Построив минимизируемую функцию по аналогии с условием (1) и взяв производные по коэффициентам с12, с13 и с14, получим систему из трех алгебраических уравнений с коэффициентами:
(3)
Алгоритм предполагает разбивку профиля на несколько участков и построение аппроксимирующего полинома для каждого из них. Коэффициенты полинома для начального участка определяются из решения системы из пяти уравнений с коэффициентами (2). Для последовательно пристыковываемых к нему участков коэффициенты определяются из решения системы из трех уравнений с коэффициентами (3).
Алгоритм использован для сглаживания профилей поверхностей изношенных колес полувагонов и рельсов. Аппроксимированы профили колеса с прокатом 1 мм и рельса Р65 с боковым износом 1,8 мм.
Структурная схема алгоритма сглаживания профиля поверхности контакта представлена на рис. 4. На первом этапе проводится разделение профиля на участки. Характер разделения существенно влияет на качество сглаживания. Лучшие результаты получаются, если участки выбираются так, чтобы кривизна профиля не сильно менялась в пределах участка. Число точек участка должно быть больше числа определяемых коэффициентов функции: больше 5 для начального участка и больше 3 для стыкуемого. В противном случае аппроксимирующая функция превращается в интерполирующую, её график проходит через заданные точки и сглаживания профиля не происходит.
Определяются коэффициенты аппроксимирующей функции для первого участка, значение функции и её первой производной в точке стыковки со следующим участком. Далее строится аппроксимирующая функция для следующего участка. Если угол его наклона больше 45є, уравнение аппроксимирующей функции представляется в виде f(y). В связи с этим, если тангенс угла наклона в начале участка , в алгоритме предусмотрен переход к построению аппроксимирующей функции f(y). Эта операция выполняется для каждого последующего участка. С использованием аппроксимирующей функции для участка вычисляются ординаты точек профиля и заносятся в базу данных.
Исследована возможность применения в качестве аппроксимирующих функций полиномов 2, 3 и 5-й степени с различными условиями стыковки участков. Если условия стыковки таковы, что методом наименьших квадратов определяется лишь один коэффициент полинома, то аппроксимация получается неприемлемой. Такая ситуация возникает при стыковке полиномов 2-й степени по координатам граничной точки и первой производной и полиномов 3 й степени, стыкуемых, кроме того, и по второй производной. Если методом наименьших квадратов определяются два коэффициента, то получаемая при этом система из двух уравнений не имеет решения.
Выбор в качестве аппроксимирующей функции полинома 4-й степени обусловлен тем, что им могут быть представлены условия тесного контакта с несимметричным распределением давлений и двугорбостью эпюры давлений, характерными для контакта тел с изношенными поверхностями. Задача хорошо решается, если методом наименьших квадратов определяются три коэффициента полинома. Это условие выполняется при стыковке участков по координатам граничной точки и первой производной.
Полином 5-й степени позволяет провести стыковку и по второй производной, вследствие чего на границе участков нет ступенчатого изменения кривизны. Однако такая функция более склонна к осцилляции, чем полином 4-й степени (рис.5).
Использование в качестве аппроксимирующей функции полинома 4-й степени позволяет решать контактные задачи для случаев несимметричного тесного контакта, характерного для тел с изношенными поверхностями. При надлежащем разделении профиля поверхности на участки достигается достаточная для решения контактных задач точность аппроксимации. С помощью предложенных аппроксимирующих функций составлены таблицы координат точек профилей изношенных колёс и рельсов, которые могут быть использованы при решении контактных задач.
Список литературы
1. Царев, И.В. Исследование влияния геометрии профиля бандажа и характеристик упругодиссипативных связей на горизонтальную динамику тепловоза: дис.... канд. техн. наук / И.В. Царёв.- Ворошиловград, 1982. -233с.
2. Шевченко, К.В. Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния железнодорожных колес для оценки их работоспособности: дис.... канд. техн. наук / К.В. Шевченко.- Брянск, 2001. -145с.
3. Гутер, Р.С. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта / Р.С. Гутер, Б.В. Овчинский.- М.: Наука, 1970.- 432с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Расчет напряженно-деформированного состояния ортотропного покрытия на упругом основании. Распределение напряжений и перемещений в ортотропной полосе на жестком основании. Приближенный расчет напряженного состояния покрытия из композиционного материала.
курсовая работа [3,3 M], добавлен 13.12.2016Электрический пробой газов и диэлектриков. Вольт-секундные характеристики изоляции. Разработка импульсного генератора высоких напряжений. Моделирование и построение математической модели, позволяющей проводить расчет электрического разряда в жидкости.
дипломная работа [3,4 M], добавлен 26.11.2011Определение концентрации молекул разряженного газа в произвольном объеме. Моделирование набегающего потока, движения молекулы внутри объема. Генерация вектора скорости молекулы и координат точки влета. Моделирование потока собственных газовыделений.
дипломная работа [1,8 M], добавлен 06.07.2011Математическое моделирование тепловых процессов. Основные виды теплообмена в природе. Применение метода конечно разностной аппроксимации для решения уравнения теплопроводности. Анализ изменения температуры по ширине пластины в выбранные моменты времени.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 22.05.2019Изучение теорий каустик, оптических свойств кривых и поверхностей на примере моделирования оптических систем в СКM Maple. Понятие каустики в рамках геометрической оптики, ее образования. Построение модели каустики, написание программных процедур.
дипломная работа [1,6 M], добавлен 16.06.2017Применения МД для исследования пластической деформации кристаллов. Алгоритм интегрирования по времени. Начальное состояние для кристалла с дефектами. Уравнение для ширины ячейки моделирования. Моделирования пластической деформации ГПУ кристаллов.
дипломная работа [556,7 K], добавлен 07.12.2008Открытый оптический резонатор. Собственные волны и типы поляризации. Методы расчета характеристик оптических резонаторов. Моделирование резонаторов с неплоским контуром. Измерение потерь в исследуемых резонаторах, путем сравнивания с калибровочным.
дипломная работа [1,7 M], добавлен 19.12.2015Трение как процесс взаимодействия твердых тел при относительном движении либо при движении твердого тела в газообразной или жидкой среде. Виды трения, расчет трения покоя, скольжения и качения. Расчет коэффициентов трения для различных пар поверхностей.
практическая работа [92,5 K], добавлен 10.05.2010Основы теории подобия. Особенности физического моделирования. Сущность метода обобщенных переменных или теории подобия. Анализ единиц измерения. Основные виды подобия: геометрическое, временное, физических величин, начальных и граничных условий.
презентация [81,3 K], добавлен 29.09.2013Расчет суммарных потерь на всех участках гидравлической системы с учетом режима движения жидкости, материалов, состояния поверхностей труб, характера местных сопротивлений. Энергоэффективность пневматической системы. Потери энергии при работе компрессора.
курсовая работа [372,7 K], добавлен 14.06.2010Обоснование выбора параметров и математическое моделирование воздушных линий, трансформаторов и автотрансформатора при проектировании электрической сети. Технико-экономическое сравнение двух вариантов сети. Спецификация оборудования и материалов.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 12.06.2011Математическое моделирование устройств промышленной электроники. Задача оптимизации параметров. Процессы в электромеханической системе. Составление математической модели электромагнитного демпфера, проверка его работы в заданных начальных условиях.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 16.07.2009Термобарические условия залегания породы. Влияние температуры и давления на петрофизические зависимости параметров пористости и насыщения. Содержание глинистого материала. Физико-математическое моделирование электромагнитных процессов в горной породе.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 14.01.2015Представление синусоидального тока комплексными величинами. Определитель матрицы, его свойства. Расчет установившихся режимов электрических систем. Методы решения линейных алгебраических уравнений. Прогнозирование уровня электропотребления на предприятии.
курсовая работа [941,2 K], добавлен 25.03.2015Общие сведения о цунами, наиболее известные случаи катастроф. Основные причины и некоторые механизмы возбуждения цунами, математическое описание генерации волны. Проявление сжимаемости воды. Анализ и моделирование нелинейных механизмов образования цунами.
дипломная работа [508,3 K], добавлен 18.11.2011Понятие и физическое обоснование сухого трения, условия его возникновения, разновидности: скольжения и качения. Сущность соответствующих законов, сформулированных Кулоном. Вибродиагностика параметров сухого некулонова трения. Модель Барриджа и Кнопова.
доклад [231,7 K], добавлен 15.10.2014Принцип действия магнитноразрядного измерителя плотности, механизм возникновения самостоятельного разряда. Разработка модернизированной математической модели моделирования аэродинамического взаимодействия набегающего потока с заданными параметрами.
дипломная работа [798,2 K], добавлен 03.02.2012Установление методами численного моделирования зависимости температуры в точке контакта от угла метания пластины при сварке взрывом. Получение мелкозернистой структуры и расчет параметров пластины с применением программного расчетного комплекса AUTODYN.
дипломная работа [6,2 M], добавлен 17.03.2014Квантовые точки Ge/Si. "Кулоновская щель" в плотности состояний. Общее представление о прыжковой проводимости. Нахождение распределения носителей в массиве квантовых точек. Возбуждение и релаксация в массиве квантовых точек, результаты моделирования.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 02.07.2012Общая характеристика котла, его конвективной шахты. Описание основных параметров парообразующих поверхностей нагрева. Устройство пароперегревателя. Рекомендации по проведению теплового расчета, анализ полученных результатов. Составление баланса.
курсовая работа [567,7 K], добавлен 17.02.2015