Периодические колебания неоднородной струны с закрепленным и свободным концами

Размещено на http://www.allbest.ru/

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ НЕОДНОРОДНОЙ СТРУНЫ С ЗАКРЕПЛЕННЫМ И СВОБОДНЫМ КОНЦАМИ Статья написана при поддержке гранта Министерства образования и науки РФ № 1.2640.2014.

И.А. Рудаков

Доказано существование счетного числа периодических по времени решений квазилинейного уравнения колебаний струны с однородными граничными условиями Дирихле и Неймана на отрезке с непостоянными коэффициентами в случае, когда нелинейное слагаемое имеет степенной рост.

Исследуется задача о периодических решениях волнового уравнения

; (1)

,; (2)

. (3)

Уравнение (1) является также нелинейной моделью распространения волн в неизотропной среде [1].

Функция удовлетворяет следующим условиям:

. (4)

Обозначим , , .

Задача о периодических решениях квазилинейного волнового уравнения с постоянными коэффициентами исследовалась в большом количестве работ [2-7]. В работах [1; 8-12] было доказано существование периодических по времени решений для волнового уравнения с переменными коэффициентами в случае, когда функция сохраняет постоянный знак ( в [1; 8-10], в [11]). Целью данной работы является доказательство теоремы о существовании периодических по времени решений для волнового уравнения (1) с граничными условиями (3) в случае, когда функция может изменять знак на отрезке .

Свойства линейной части уравнения. Решение задачи (1)-(3) будем искать как сумму ряда Фурье. Для построения соответствующей ортонормированной системы исследуем задачу Штурма-Лиувилля:

(5)

. (6)

Для будем рассматривать пространство , являющееся замыканием по норме . Обозначим . Для функций , обозначим Рассмотрим также пространство , скалярное произведение в котором задается равенством . Из (5),(6) следует соотношение

. (7)

Поэтому задача (5),(6) имеет положительные простые [13]
собственные значения , которым соответствуют собственные функции . Будем считать, что функции нормированы в . Согласно теореме В.А.Стеклова, система функций является полной ортонормированной в . Заметим, что из (5), (6),(7) следует, что система функций

(8)

также является ортонормированной в .

В [13] для задачи Штурма-Лиувилля (5),(6) доказано следующее асимптотическое представление собственных значений:

(9)

где ,.

Пусть есть пространство Соболева, полученное замыканием пространства по норме . Система функций

является полной ортонормированной в системой.
Обозначим множество конечных линейных комбинаций функций из системы
. Определим оператор , для которого
и Пусть Обозначим в . Функции из системы являются
собственными функциями операторов и с собственными значениями
, которые соответствуют собственным функциям

.

Здесь

Для оператора A справедливы следующие свойства [1]: 1) A самосопряжен в ;2) замкнут в ; 3)

Будем искать периодические решения, для которых период времени имеет вид

(10)

Функция

(11)

принадлежит тогда и только тогда, когда сходится ряд
. При этом .

Обозначим . Из (9) следует, что тогда и только тогда, когда справедливо равенство

. (12)

Если , то при достаточно больших правая часть уравнения (12) принадлежит интервалу (-1,1) и не равна 0. Поэтому при уравнение (12) имеет не более чем конечное число пар решений . Следовательно, в этом случае пространство конечномерно.

Из (9) вытекает следующее представление для :

, (13)

где при .

Если четное число (тогда является нечетным числом), то уравнение (14) имеет решения и справедливо равенство

, (15)

где . Таким образом, при четном множество имеет единственную предельную точку . При нечетном уравнение (14) не имеет целочисленных решений и есть дискретное неограниченное множество без конечных предельных точек.

Легко видеть, что в случае нечетного существует положительная константа , такая, что если , то

. (16)

Квазилинейное уравнение. Предположим, что существуют положительные константы , такие, что при всех выполнено неравенство

, (17)

>2, . (18)

Определение. Обобщенным решением задачи (1)-(3) называется функция , такая, что

.

Теорема. Пусть выполнены условия (4),(10), функция непрерывна на
Т-периодична по , удовлетворяет требованиям (17), (18) и либо функция не зависит от , либо при всех. Предположим также, что либо и функция не убывает по при всех , либо и функция не возрастает по при всех . Тогда существует обобщенное решение задачи (1)-(3), такое, что . При нечетном для обобщенного решения задачи (1)-(3) справедливо включение .

Доказательство. Рассмотрим случай (случай аналогичен). Обозначим . Из (15) вытекает существование , такого, что при всех справедливо включение . При четном обозначим

,

.

При нечетном обозначим . Рассмотрим конечномерные подпространства где , , есть линейные оболочки множеств

,

.

соответственно . При нечетном будем считать .

Рассмотрим на функционал

, где

Доказательство теоремы будет состоять из двух этапов: I. Доказательство существования критической точки на . II. Предельный переход.

I. Существование критической точки на докажем, опираясь на метод Е.Файрайсла [14].

Для любого обозначим и подпространства , являющиеся линейными оболочками тех собственных функций оператора , собственные значения которых больше и не больше числа соответственно.

Из (17)-(18) следует существование положительной константы , такой, что при всех выполнено неравенство

. (19)

Для любого и любого имеем

.

Здесь не зависят от и . Обозначим , где . Тогда

. (20)

Для любой функции будем обозначать через коэффициенты Фурье:

,

. (21)

Возьмем . Обозначим .

Стандартно доказывается сходимость ряда , если .

Лемма 1. Существует , такое, что

колебание квазилинейный волновой уравнение

(22)

и не зависит от и .

Доказательство. Пусть , . Обозначим коэффициенты Фурье функции , вычисленные по формулам (21). Используя неравенства Хаусдорфа-Юнга и Гельдера, выведем

.

Обозначим , . Тогда и выполнено неравенство (22) с константой . Лемма доказана.

Обозначим .

Лемма 2. Для любого существует число , такое, что для любого выполняется неравенство .

Доказательство. Пусть . Заметим, что на собственные значения А положительные. Поэтому . Пусть такое, что , и пусть есть коэффициенты Фурье функции , вычисленные по формулам (21). Тогда



где не зависит от и . Если взять достаточно малое , то утверждение леммы будет доказано. Лемма доказана.

Возьмем произвольное . Выберем такое число , что , где значение определено в лемме 2. Обозначим Докажем, что существует критическая точка функционала на , такая, что

. (23)

Предположим противное. Тогда стандартно [14] доказывается существование непрерывного отображения , такого, что

. (24)

Кроме того, является нечетным отображением, если нечетно относительно , или

,

если не зависит от . Пусть есть ортогональный проектор в . Тогда

. (25)

Действительно, если для некоторого , то . С другой стороны, поскольку , то и из (24) следует . Противоречие. Таким образом, непрерывное отображение удовлетворяет условию (25). Если функция нечетна относительно , то это противоречит теореме Borsuk-Ulam [15]. Если функция не зависит от , то это противоречит версии теоремы Borsuk-Ulam [15].

Следовательно, существует критическая точка функционала на , для которой выполнено включение (23). Поэтому

, (26)

. (27)

II. Если (26) умножить на , положить в нем и вычесть из полученного равенства (27), то получим

Из (17)-(19) следует существование константы , такой, что

при всех . Здесь . Следовательно,

(28)

. (29)

Поскольку , то из (29) выведем

. (30)

Перейдем к пределу при . Из (28) следует существование подпоследовательности, которую также обозначим , такой, что в слабо, в слабо.

Здесь . Докажем, что есть решение (обобщенное).

Пусть , ; . Тогда слабо в .

На оператор А ограничен. Следовательно, слабо в .

Действительно, для любого имеем

.

Здесь есть ортогональный проектор в функции на .

Пусть есть коэффициенты Фурье и соответственно. Обозначим . Возьмем

.

Подставим в (26). Используя лемму 1 и неравенство Гельдера, выведем

.

Следовательно,

при .

Отсюда следует

.

Перейдем к пределу при в (26) при фиксированном :

. (31)

Докажем, что , методом монотонности. Для любого элемента имеем

. (32)

Положим в (26) . Тогда

. (33)

Подставим в (31) и устремим :

.

Отсюда и из (33) получим

. (34)

Перейдем в (32) к пределу при :

Возьмем :

Устремим .

Следовательно, Отсюда и из (31) следует, что является обобщенным решением. Оценка вытекает из (17), (30), (34).

Докажем последнее утверждение теоремы. Пусть является нечетным числом. В этом случае и из (31) вытекает соотношение

 (35)

при всех . Пусть есть коэффициенты Фурье функции по системе . Подставив в (35)

,

где , получим

. (36)

(37)

(частичные суммы данного ряда сходятся в к при ). Обозначим

.

Используя неравенства Хаусдорфа-Юнга и Гельдера, получим

.

Константа не зависит от . Следовательно, ряд (37) сходится равномерно, . Из конечномерности вытекает включение . Таким образом, .

Следовательно,

. (38)

Из (35),(38) следует

. (39)

Из (16) при выведем . Отсюда и из (39) выведем неравенство

. (40)

Из сходимости ряда (39) следует включение .

При , согласно (16), справедлива также оценка . Из этого неравенства, (9) и (39) получим

. (41)

Из (40) и ортонормированности в системы (8) следует включение . Теорема доказана.

В доказанной теореме приведены условия существования периодических по времени решений квазилинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями на отрезке, одно из которых является условием Неймана.

Список литературы

1. Barby, V. Periodic solutions to nonlinear one dimensional wave equation with x - dependent coefficients/ V. Barby, N. H. Pavel // Trans. Amer. Math. Soc.-1997.-V. 349. - № 5.- P. 2035-2048.

2. Rabinowitz, P. Free vibration for a semilinear wave equation/ P. Rabinowitz//Comm. Pure Aple. Math.-1978.- V. 31.- № 1.- P. 31-68.

3. Bahri, A. Periodic solutions of a nonlinear wave equation/A. Bahri, H. Brezis// Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. - 1980.- V. 85. - P. 3130-320.

4. Brezis, H. Forced vibration for a nonlinear wave equations/ H. Brezis, L. Nirenberg //Comm. Pure Aple. Math.-1978.- V. 31. - № 1.- P. 1-30.

5. Плотников, П. И. Существование счетного множества периодических решений задачи о вынужденных колебаниях для слабо нелинейного волнового уравнения/П. И. Плотников// Математический cборник. -1988.-Т. 136(178).- № 4(8). - С. 546-560.

6. Feireisl, E. On the existence of periodic solutions of a semilinear wave equation with a superlinear forcing term/ E. Feireisl //Chechosl. Math. J.- 1988.-V. 38.- № 1.- P.- 78-87.

7. Рудаков, И.А. Нелинейные колебания струны/ И.А. Рудаков//Вестн. МГУ. Сер. 1, Матем., мех. - 1984.- № 2. - С. 9-13.

8. Рудаков, И. А. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с непостоянными коэффициентами/ И. А. Рудаков //Математические заметки. -2004. -Т. 76.- Вып. 3. -С. 427-438.

9. Shuguan, J. Time periodic solutions to a nonlinear wave equation with - dependet coefficients/ J. Shuguan//Calc. Var. -2008.-V. 32. - P. 137-153.

10. Рудаков, И.А. Периодические решения квазилинейного волнового уравнения с переменными коэффициентами/ И.А. Рудаков //Математический сборник. -2007.-Т. 198.- № 4(8). - С. 546-560.

11. Рудаков, И.А. Периодические решения квазилинейного волнового уравнения с переменными коэффициентами / И.А. Рудаков, А.П. Лукавый // Вестник Брянского государственного технического университета. - 2014. - № 3. - С. 147-155.

12. Рудаков, И.А. О периодических по времени решениях квазилинейного волнового уравнения/ И.А. Рудаков // Труды МИАН. -2010. - Т. 270. - С. 226-232.

13. Трикоми, Ф. Дифференциальные уравнения/ Ф.Трикоми. - М.: УРСС, 2003. - 351 с.

14. Feireisl, E. On the existence of periodic solutions of rectangle thin plate/ E. Feireisl //Chechosl. Math. J.- 1988.-V. 37.- № 1.- P.- 334-341.

15. Fadell, E.R. Borsuk-Ulam theorem for arbitrary actions and application/E.R. Fadell, S. Y. Husseini, P.H. Rabinowitz//Trans. Amer. Math. Soc.-1982.-V. 274.- № 1.- P.- 345-360.

Размещено на Allbest.ru

...