Динамика разгона жесткого тела упруго сжатым стержнем при неудерживающей связи (волновая модель)

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДИНАМИКА РАЗГОНА ЖЕСТКОГО ТЕЛА УПРУГО СЖАТЫМ СТЕРЖНЕМ ПРИ НЕУДЕРЖИВАЮЩЕЙ СВЯЗИ (ВОЛНОВАЯ МОДЕЛЬ)

С.Ю. Волынщиков, В.К. Манжосов

Представлена волновая модель процесса движения упруго сжатого стержня и жесткого тела, взаимодействующего со стержнем, с учетом неудерживающей связи. Для анализа процесса движения использован метод бегущих волн. Приведены аналитические зависимости для расчета параметров прямых и обратных волн на различных интервалах движения. Определены интервалы движения и время, когда возможен разрыв связи.

Для обеспечения движения твердых тел во многих механизмах ударного действия используется потенциальная энергия упругой пружины [1; 2]. Механизм взвода периодически сжимает пружину массой вместе с жестким телом (бойком) массой и освобождает ее для разгона жесткого тела, наносящего удар.

При разгоне движется не только жесткое тело, но и витки пружины. На движение витков пружины затрачивается определенная доля накопленной потенциальной энергии, которая практически уже не используется для нанесения удара. При проектировании таких механических систем важно знать параметры, обеспечивающие эффективность системы. Процесс движения можно проанализировать, представляя пружину как некоторый эквивалентный по упругим свойствам стержень с распределенной по длине массой , равной массе пружины.

Такая постановка задачи рассмотрена, в частности, в работе С. П. Тимошенко [3] при анализе колебаний стержня с грузом на торце. Решение предложено в виде бесконечного тригонометрического ряда, для которого существует проблема построения дополнительных вычислительных процедур, связанных с определением множества корней частотного уравнения, итерационными процедурами усечения ряда.

В известных работах практически не рассматриваются модели, связанные с учетом неудерживающей связи между стержнем и жестким телом, определением момента разрыва связи и состояния системы в момент разрыва.

В статье рассматривается волновой процесс движения упруго сжатого стержня и жесткого тела при неудерживающей связи, которая существует до тех пор, пока в сечении контакта стержня с жестким телом продольная деформация - деформация сжатия.

Волновая модель взаимодействия упруго сжатого стержня и жесткого тела при неудерживающей связи. Схема взаимодействия стержня 1 с жестким телом 2 представлена на рис. 1.

В начальный момент времени стержень упруго сжат, его сечения неподвижны. Если исчезнет усилие Р₀, удерживающее стержень в сжатом состоянии, то стержень начнет перемещать тело 2. Движение поперечных сечений стержня описывается волновым уравнением

, , (1)

где - перемещение поперечного сечения стержня, положение которого определяется координатой x; - время; a - скорость распространения волны в материале стержня; Е - модуль упругости материала; - время разрыва связи между стержнем и жестким телом; - плотность материала стержня.

Если стержень моделирует свойства пружины, то материал стержня - некоторый эквивалентный материал, при котором продольная жесткость стержня равна жесткости пружины:

, , , ,

где - жесткость пружины; А - площадь поперечного сечения стержня; - масса стержня (масса пружины); - длина стержня.

Перемещения и скорость поперечных сечений при = 0 равны

, . (2)

Граничные условия для сечений и определяются равенствами

, (3)

а также условием существования неудерживающей связи

, если .

Решение уравнения (1) по методу бегущих волн представляется в виде суммы двух неизвестных функций [4]:

,

где - функция, описывающая параметры волны, распространяющейся по направлению оси х (прямая волна); - функция, описывающая параметры волны, распространяющейся в обратном направлении (обратная волна).

Скорость поперечных сечений и продольная деформация определяются из зависимостей

(4)

Важно отметить следующее свойство функций и . Если t и x получают приращения и (причем такие, что = ), то

f [a(t+)?(x+)] =, [a(t+)+(x?)] = , = /а, (5)

т.е. параметры волны деформаций и , распространяющихся по однородному участку стержня со скоростью , не изменяются.

Это свойство удобно использовать при расчете волновых состояний. Так, определив значение функции в сечении x для времени t, можно использовать это значение для сечения x + в момент времени t + . Определив значение функции в сечении х для времени t, можно использовать его для сечения x? в момент времени t + .

Схема формирования прямых и обратных волн при взаимодействии однородного стержня с жёстким телом представлена на рис. 2.

В начальный момент при стержень охвачен начальными прямой и обратной волнами. В этот момент в сечении начинает формироваться новая обратная волна , которая при достигнет сечения . При все поперечные сечения стержня будут охвачены новой обратной волной , а в сечении начнет формироваться новая прямая волна .



При новая прямая волна достигнет сечения , а при все поперечные сечения стержня будут охвачены новой обратной волной и новой прямой волной .

При в сечении начинает формироваться новая обратная волна , которая в момент времени достигнет сечения . Далее цикл формирования и распространения волн повторяется.

В соответствии со схемой формирования волн (рис. 2) скорость поперечных сечений стержня на интервалах ( = 1, 2, 3…) может быть определена как (за интервал принимаем время )

, , ,

, , ,

, , ,

, , . (6)

Продольные деформации в поперечных сечениях могут быть найдены как

, , ,

, , ,

, , ,

, , . (7)

Из уравнений (4) и начальных условий (2) следует:

, .

Дифференцируя по х первое равенство и учитывая второе равенство, получим

, , , (8)

где - модуль относительной продольной деформации стержня при = 0.

Дальнейшие значения прямых и обратных волн определяются из условий преобразования этих волн на границах стержневой системы и свойств функций и из равенств (5).

Формирование волн при движении жесткого тела. В сечении формируется обратная волна. На i-м интервале движения из (6) и (7) скорость и деформация в сечении равны

, , .

Из граничного условия (3) с учетом данных равенств находим

,

откуда на интервалах ()

, (9)

где - скорость сечения в начале i-го интервала движения; - начальное время i-го интервала движения.

Учитывая, что , находим после дифференцирования по обеих частей равенства (9)

+ = -, . (10)

Из граничного условия (3) следует, что на i-м интервале движения для

, (.) (11)

Если учесть свойства функций прямой и обратной волн (5), а также (11), то

 = = ,

= .

Тогда из (10) следует, что на интервале ()

+=+. (12)

На первом (=1) интервале движения величина - время, предшествующее началу движения. Примем его равным = 0. С учетом (8) имеем из (12)

+ =, . (13)

Решение (13), обозначив , представим в виде

, , . (14)

Решение (14) определяет параметры обратной волны , формируемой в сечении . Используя из (5) свойства функции , запишем параметры обратной волны для произвольного сечения :

, .

Из уравнения (10) в сечении действует прямая волна . Для первого (=1) интервала из (8) это волна . Продольная деформация в сечении равна

 =, .

На первом интервале движения продольная деформация в сечении является отрицательной, т. е. представляет собой деформацию сжатия. Следовательно, на интервале разрыва связи между стержнем и жестким телом не происходит.

На втором ( = 2) интервале уравнение (12), у которого правая часть определяется уже найденным решением (14) для при = 1, преобразуется к виду

+= - + , .

Решение данного уравнения для интервала , :

= +.

Используя из (5) свойства функции , запишем параметры обратной волны для произвольного сечения :

= +, .

Из уравнения (10) в сечении действует прямая волна . Для второго (=2) интервала , это волна

= - = , , .

Используя из (5) свойства функции , запишем параметры прямой волны для произвольного сечения :

 = , .

Продольная деформация в сечении равна

= , . (15)

На втором интервале возможен разрыв связи, если в (15) сомножитель

= .

Для выполнения данного неравенства необходимо, чтобы . Момент разрыва связи определим как . Учитываем, что ( - плотность материала стержня). Тогда

, , , (16)

где - отношение массы стержня к массе жесткого тела .

Время разрыва связи зависит от соотношения масс стержня и жесткого тела . Если отношение масс , слагаемое , а время разрыва связи (стремится к началу второго интервала движения).

В таблице даны значения относительного времени разрыва связи в зависимости от соотношения масс для второго интервала движения ( - время распространения волны на расстояние, равное длине стержня).

На рис. 3 представлена диаграмма изменения относительного времени разрыва связи в зависимости от соотношения масс для второго интервала движения.

При соотношении масс относительное время разрыва связи практически можно принять равным 2 (различие с точным значением не превышает 1 %).

Соотношение масс , при котором слагаемое в (16) = 2 и разрыв связи произойдет в конце второго интервала, определим как

= 2, , .

Таблица 1. Влияние соотношения масс на время разрыва связи и скорость

Соотношение масс	Относительное время разрыва связи	Относительная скорость жесткого тела при	Отношение кинетической энергии к потенциальной энергии при =/
0,2	3,6758	0,430447	0,926424
0,3	2,91468	0,520047	0,901497
0,4	2,56166	0,597568	0,89272
0,5	2,36787	0,663972	0,881717
0,6	2,25099	0,720388	0,864932
0,7	2,17614	0,768	0,842605
0,8	2,12618	0,80796	0,815998
0,9	2,09183	0,841348	0,786518
1	2,06766	0,869142	0,755408
1,1	2,05036	0,89221	0,723672
1,2	2,03779	0,911309	0,69207
1,3	2,02856	0,927089	0,661149
1,4	2,02171	0,940105	0,631284
1,5	2,01659	0,950828	0,602715
1,6	2,01273	0,95965	0,575581
1,7	2,00981	0,966904	0,549943
1,8	2,00759	0,972862	0,525811
1,9	2,00588	0,977754	0,503159
2	2,00457	0,981768	0,481934

При соотношении масс разрыв связи произойдет на третьем и последующих интервалах движения. В частности, если масса жесткого тела , то отношение масс , слагаемое и время разрыва связи .

Скорость жесткого тела до разрыва связи определяется скоростью сечения :

волна движение энергия тело

=, ,

=, .

Обозначая , , , получим при значения относительной скорости :

 =, ,

= , . (17)

При соотношении масс разрыв связи произойдет в диапазоне или , а скорость жесткого тела в момент разрыва связи, с учетом что , определится из (17) как

= ,

или, после преобразований,

= . (18)

В таблице даны значения скорости жесткого тела в момент разрыва связи в зависимости от соотношения масс для второго интервала движения. Чем больше соотношение масс , тем больше . В пределе при сомножитель в формуле (18) и относительная скорость .

При в сжатом стержне была накоплена потенциальная энергия

.

Кинетическая энергия жесткого тела в момент разрыва связи, с учетом (18),

= , .

Эффективность преобразования потенциальной энергии в кинетическую энергию жесткого тела определим как

= = , . (19)

В таблице даны значения , определяющего отношение кинетической энергии к потенциальной энергии при . Чем больше соотношение масс , тем меньшая доля начальной потенциальной энергии расходуется на движение жесткого тела. При эффективность преобразования потенциальной энергии, как следует из формулы (19), стремится к нулю ().

Энергия , оставшаяся в стержне, заключена в кинетической энергии движения стержня и потенциальной энергии продольной деформации стержня . Причем

= + = , = = .

На рис. 4 представлена диаграмма изменения = в зависимости от соотношения масс (диаграмма построена для соотношения масс ).

Из анализа диаграммы = следует, что соотношение масс позволяет добиться эффективности преобразования потенциальной энергии в кинетическую энергию жесткого тела выше 90 %.

Построенная диаграмма = может быть использована при решении обратной задачи, когда для заданного значения определяется соотношение масс , обеспечивающее заданную эффективность преобразования потенциальной энергии.

Итак, при взаимодействии упруго сжатой пружины и жесткого тела потенциальная энергия пружины расходуется на движение жесткого тела лишь частично. Часть потенциальной энергии остается в пружине.

Модель пружины в виде эквивалентного по упругим свойствам стержня с распределенной массой позволила описать движение системы с использованием волнового уравнения. Применение метода бегущих волн и решение дифференциальных уравнений, описывающих процесс формирования волн, дало возможность построить точные аналитические зависимости для расчета параметров формируемых волн, продольной деформации в поперечных сечениях, скорости поперечных сечений стержня.

При неудерживающей связи между пружиной и жестким телом определено время разрыва связи для соотношения масс в диапазоне :

.

При соотношении масс относительное время разрыва связи для волновой модели практически можно принять равным 2 (различие с точным значением не превышает 1 %).

Скорость жесткого тела в момент разрыва связи равна

= .

Эффективность преобразования потенциальной энергии в кинетическую энергию жесткого тела равна

= = , .

Эффективность преобразования потенциальной энергии в кинетическую энергию жесткого тела выше 90 % обеспечивается при соотношении масс .

Список литературы

1. Крупенин, В. Л. Ударные и виброударные машины и устройства / В.Л. Крупенин // Вестник научно-технического развития. - 2009. - № 4. - С. 3 - 32.

2. Манжосов, В. К. Динамика и синтез кулачковых ударных механизмов / В.К. Манжосов. - Ульяновск: УлГТУ, 2006. - 218 с.

3. Тимошенко, С. П. Колебания в инженерном деле / С.П. Тимошенко. - М.: Наука, 1967. - 444 с.

4. Кошляков, Н. С. Дифференциальные уравнения математической физики / Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1962. - 768 с.

Размещено на Allbest.ru

...