Модель однофазного корректора коэффициента мощности с интегрированием внутри такта

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК621.37/39.001.5

Модель однофазного корректора коэффициента мощности с интегрированием внутри такта

А.А. Малаханов



Приведена численно-аналитическая модель однофазного корректора коэффициента мощности, выполненного на базе однотактного преобразователя напряжения повышающего типа с системой автоматического управления, основанной на интегрировании внутри тактового интервала. Рассмотрена возможность исследования переходных процессов, динамики изменения энергетических показателей преобразователя c целью выбора оптимальных значений параметров пассивных элементов, обеспечивающих наиболее выгодные энергетические показатели. мощность такт напряжение

В связи c принятием в нашей стране ГОСТ Р 51317.3.2-99 (МЭК 61000-3-2-95), определяющего уровень эмиссии гармонических составляющих тока в питающую сеть, любое современное техническое средство (ТС) должно иметь ограниченное количество высших гармоник потребляемого тока, т.е. ток должен быть практически синусоидальным и синфазным с напряжением питающей сети, обеспечивая электромагнитную совместимость преобразователя с сетью и коэффициент мощности устройства, близкий к единице.

Коэффициент мощности - показатель, характеризующий линейные и нелинейные искажения, вносимые нагрузкой в электросеть. Типовыми значениями коэффициента мощности ТС можно считать: K_M = 1 - идеальное значение, наблюдается у чисто активной нагрузки; K_M = 0,95 - хороший показатель; K_M = 0,9 - удовлетворительный показатель; K_M = 0,8 - плохой показатель; K_M = 0,7 - оргтехника и компьютерное оборудование; K_M = 0,65 - однофазный двухполупериодный выпрямитель.

Близость коэффициента мощности к единице положительно сказывается на других энергетических показателях (коэффициент гармоник тока К_Г, коэффициент искажения тока К_И, коэффициент полезного действия з). Для достижения максимально выгодных энергетических показателей ТС необходимо наличие в его составе устройства коррекции коэффициента мощности.

Применение корректоров коэффициента мощности (ККМ), построенных на базе систем с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ), позволяет решить задачу электромагнитной совместимости с питающей сетью, уменьшая уровень эмиссии высших гармонических составляющих тока, потребляемого из сети преобразователем. Варианты построения систем с ККМ можно найти в литературе [1-3], однако наибольшее распространение получили ККМ, построенные на базе однотактного преобразователя напряжения повышающего типа.

Существует достаточно много работ, посвященных математическому моделированию ККМ. Однако большинство математических моделей, предложенных в них, являются усредненными и линеаризованными [4, 5], что при исследовании динамики преобразователя сказывается на достоверности получаемых результатов. В частности, используя подобные модели, невозможно в полной мере учитывать высокочастотные динамические процессы, которые приводят к возникновению колебаний тока большой амплитуды, что отражается на режимах работы ключевых элементов. Работы, рассматривающие ККМ с позиций теории нелинейной динамики [6, 7], тоже не в полной мере решают проблему построения точных моделей, поскольку в них также присутствуют допущения и упрощения (например, входное напряжение преобразователя на тактовом интервале считается постоянным).

Одновременно с этим все работы ориентированы на применение классической системы управления (САУ) преобразователем, основанной на перемножении сигналов. Однако существуют и другие САУ, способные осуществлять функцию коррекции коэффициента мощности при меньшем количестве элементов.

Основная задача, поставленная автором, заключается, прежде всего, в выполнении более жестких требований к процессу моделирования ККМ, что полностью позволяет избежать появления неточных результатов.

Во-первых, преобразователь рассматривается как дискретная (импульсная) САУ, в процессе работы которой могут возникать устойчивые и неустойчивые, периодические и непериодические, субгармонические, квазипериодические, а также хаотические колебания токов и напряжений.

Во-вторых, математическое описание формируется с учетом того, что входное напряжение преобразователя внутри тактового интервала изменяется по синусоидальному закону.

В-третьих, дополнительно уточняются моменты коммутации ключевых элементов с заданной точностью.

Рассмотренная в данной статье численно-аналитическая модель ККМ построена на основе САУ с интегрированием внутри тактового интервала и является своего рода пионерской.

Рис. 1. Схема замещения ККМ с OCC: R - сопротивление, характеризующее потери в индуктивности фильтра и преобразователе; L - индуктивность; C - емкость; RН - сопротивление нагрузки; ИМ - широтно-импульсный модулятор; b1, b2 коэффициенты передачи датчиков обратной связи выходного напряжения и тока дросселя соответственно; б1, б2 - коэффициенты усиления ошибок по выходному напряжению и потребляемому току соответственно; UЗ - напряжение задания; x(X,t) - разностная функция

Математическая модель ККМ. На рис. 1 представлена схема замещения ККМ. Основным отличием ее от классических схем с умножителем [6, 7] является то, что для получения синусоидального входного тока не требуется измерения линии переменного тока (отсутствует датчик напряжения на входе), так как вся необходимая информация получается из постоянного напряжения на выходе преобразователя и тока дросселя. Данная методика управления, разработанная и запатентованная сравнительно недавно [8, 9], получила название «one cycle control» (OCC). В отечественной литературе она известна как методика управления с интегрированием внутри такта. ОСС упрощает процесс коррекции коэффициента мощности при обеспечении такого же высокого качества, как и у традиционных методик с умножителем.

При построении схемы замещения [10] принимались допущения об идеальности и линейности всех компонентов.

Как известно, модели автоматических систем на базе полупроводниковых преобразователей с широтно-импульсной модуляцией относятся к классу систем вида [11-13]

, (1)

где - вектор фазовых переменных; - периодическая векторная функция, A - матрица параметров системы.

Решение системы (1) ищется в виде периодического движения:

,



где a - период коммутации силовых ключей.

Функция (1) имеет разрывы первого рода на некоторых гладких поверхностях (гиперповерхностях), которые задаются выражением

, где j = 1, 2, …k.

Поверхности разбивают пространство (, t) на области, в которых движение системы определяется различными дифференциальными уравнениями с «гладкими» правыми частями. На границах областей решения этих частичных систем «сшиваются».

Схема замещения преобразователя (рис. 1) описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений

где i_L - ток в индуктивности; u_C - напряжение на емкости фильтра; - функция, описывающая коммутацию диода; u - функция выпрямленного сетевого напряжения; Т - постоянная времени интегрирования.

Разностная функция имеет вид

,

где - напряжение выхода интегратора.

Коммутационная функция характеризует состояние ключей преобразователя на участках постоянства структуры в каждом периоде ШИМ. определяется видом модуляции, реализуемой САУ, которая в данной работе является однополярной нереверсивной (ОНМ). С учетом этого коммутационная функция представляется выражением

и, как видно из него, принимает два значения: 0 и 1.

Систему (2) можно представить в матричном виде.

,

где A - основная матрица системы, которая является разрывной и может иметь три состояния - А₁, А₂, А₃ - в зависимости от значения коммутационной функции и наличия режима прерывистого тока; - вектор переменных состояния; - вектор вынуждающих воздействий, который также имеет различные значения в зависимости от наличия (отсутствия) режима прерывистого тока дросселя.

Математическое моделирование систем вида (2) сопряжено с трудностями построения обратной системной матрицы, которая является вырожденной.

Автором предлагается методика получения численно-аналитического описания поведения такого рода систем, которая позволяет повысить скорость достижения конечного результата и открывает более широкие возможности при исследовании динамических свойств САУ.

Очевидно, что третье уравнение рассматриваемой системы зависит лишь от напряжения на емкости фильтра , а первые два уравнения не зависят от напряжения на выходе интегратора . Это позволяет разбить решение исходной задачи на два этапа:

1. Решение системы дифференциальных уравнений, (2а) и (2б).

2. Решение уравнения (2в) на основе полученного аналитического решения по п. 1.

Рассмотрим каждый из этапов.

Этап 1. Как отмечено выше, преобразователь в течение такта может изменить структуру в зависимости от значения коммутационной функции и наличия режима прерывистых токов. Ток дросселя может снизиться до нуля только в момент закрытого ключа. Таким образом, разбив рабочий цикл по времени на три участка непрерывности, выражение (3) можно преобразовать к виду

Здесь а - период следования тактовых импульсов; t_k1 - момент коммутации; t_k2 - момент снижения тока до нулевого значения.

Если за период следования тактовых импульсов ток нулю не равен, то можно ограничиться первыми двумя выражениями, при этом t_k2 = ka.

Решение задачи Коши (2а, 2б) в общем виде представляется выражением

.

Раскрыв интеграл, получим решение в виде



где Е - единичная матрица, а функция sign(sin[щt]) указывает на выпрямленное значение входного сигнала и следит за знаком второго слагаемого.

Система уравнений (2а, 2б) решается численно-аналитическим методом, при котором тактовый интервал а разбивается в общем случае на три участка гладкости, границы которых определяются соответствующими поверхностями сшивания:

1. Момент коммутации ключа преобразователя.

2. Момент снижения тока дросселя до нуля.

3. Конец тактового интервала.

Рис. 2. Временные диаграммы работы системы управления:

U_И - напряжение на выходе интегратора; S_y - сигнал управления;

i_L - ток в дросселе; z_k1, z_k2 - относительные длительности участков гладкости

Выражение (5) описывает поведение вектора переменных на каждом участке гладкости. Вектор начальных условий последующего интервала принимается равным значениям переменных состояний в конце предыдущего интервала.

На рис. 2 представлены временные диаграммы, поясняющие положение поверхностей сшивания, а на рис. 3 - топология силовой части схемы замещения преобразователя на этих участках. Участки гладкости (рис. 2) обозначены римскими цифрами. Граница существования каждого участка справа определяется соответствующей поверхностью сшивания.

a)	б)	в)

Рис. 3. Схемы замещения силовой части ККМ на участках непрерывности

Заменим переменные t в выражении (5) на переменные z, что в дальнейшем позволит исключить постоянный пересчет моментов изменения топологии цепи.

Рассмотрим решение (6) системы (2а, 2б) для каждого из участков непрерывности (4). Согласно принципам формирования импульса [11], функция K_F может изменить свое значение только один раз в течение каждого временного интервала [(k-1)a, ka]: в точке t_k1, которую будем называть моментом коммутации. Ток снижается до нулевого значения в точке t_k2 при выключенном ключе. Тогда решение (6) необходимо рассматривать на трех участках постоянства структуры: когда ключ открыт (K_F = 1), ключ закрыт (K_F = 0), ключ закрыт и ток дросселя равен нулю (K_F = 0, i_L = 0).

1. Участок слева от момента коммутации: . Коммутационная функция на данном участке принимает значение . Эквивалентная схема замещения силовой части преобразователя на этом участке представлена на рис. 3а.

Основная матрица системы и вектор вынуждающих воздействий принимают следующий вид:

, ,

где U_m - амплитуда входного напряжения.

С учетом того, что начальные условия определяются из предыдущего тактового интервала: , - решение (6) исходной системы (2а, 2б) на данном участке записывается как

2. Участок справа от момента коммутации: . Коммутационная функция на данном участке принимает значение . Схема замещения силовой части преобразователя представлена на рис. 3б.

Основная матрица системы и вектор вынуждающих воздействий на этом участке имеют следующие значения:



,

.

Начальными условиями являются значения вектора переменных состояния в момент коммутации ключа t_k1: .

Тогда решение системы (2а, 2б) на данном интервале непрерывности записывается как

3. Участок справа от момента коммутации (режим прерывистого тока): . Коммутационная функция на данном участке принимает значение , а ток дросселя i_L = 0. Схема замещения преобразователя на участке представлена на рис. 3в.

Основная матрица системы и вектор вынуждающих воздействий на данном участке имеют следующий вид:

, .

Начальными условиями для этого интервала гладкости являются значения вектора переменных состояния в момент времени t_k2: . Решение системы (2а, 2б) на данном интервале имеет вид



.

Этап 2. Уравнение (2в) решается методом последовательного приближения:

,

где X() - вектор фазовых переменных, являющийся решением двух первых уравнений системы (2).

По аналогии с первым этапом рассмотрим решение (8) на трех интервалах постоянства структуры.

1. Участок слева от момента коммутации: . Следует отметить, что начальные условия для каждого такта будут нулевыми, что обусловлено работой схемы сброса (рис. 1).

2. Участок справа от момента коммутации до момента начала прерывистого тока (если этот режим есть): .



3. Участок справа от момента коммутации (режим прерывистого тока): .

Так как ток дросселя X₁(t) на этом участке равен нулю, а напряжение X₂(t) определяется через разряд конденсатора на нагрузку, решение записывается в виде

Для полного решения системы (2) решение на каждом из участков гладкости дополняется поиском относительной длительности импульса z_k1 и относительной величины z_k2, показывающей положение точки прерывания тока внутри тактового интервала. Поиск z_k1 и z_k2 возможен любым из известных численных методов решения нелинейных уравнений по представленным ниже алгоритмам.

Алгоритм поиска z_k1 формулируется следующим образом:

1) импульс может возникнуть только в начале тактового интервала ;

2) если , то , а относительная длительность импульса z_k1 = 0;

3) если , а , то t_k1 - наименьший корень уравнения , а ; причем для повышающего преобразователя необходимо ограничивать максимальное значение на определенном уровне (обычно 0,85…0,95) для предотвращения короткого замыкания цепи на входе;

4) если в пределах всего тактового интервала, то , а z_k1 принимает максимально возможное значение, ограниченное по 3.

Aлгоритм поиска z_k2. Ток может снизиться до нуля только в момент выключенного транзистора (K_F = 0). Для нахождения коэффициента непрерывности тока z_k2 необходимо рассмотреть поведение тока на втором участке постоянства системы.

1) ток дросселя (X₁) может снизиться до нуля в начале интервала t_k1 < t ? t_k2;

2) если , то ;

3) если а , то z_k2 - наименьший корень уравнения (решение уравнения (7) относительно тока);

4) если в пределах всего интервала закрытого ключа, то z_k2 = 1, т.е. преобразователь работает в режиме непрерывного тока дросселя (участок отсутствует).

Результаты математического моделирования. Программная реализация модели выполнена в среде инженерных и научных расчетов MatLab 7 в виде приложения с графическим интерфейсом.

Перед началом расчета вводятся исходные данные преобразователя, рассчитанные на основе стандартных методик (см., например, [14]), и выбирается вид расчета: временные диаграммы; однопараметрический или двухпараметрический анализ; автоматический поиск оптимальных значений параметров преобразователя. Далее запускается необходимая подпрограмма.

Моделирование проводилось при следующих исходных данных.

Параметры силовой части: действующее напряжение сети - U_с = 220 В; напряжение на выходе - U_вых = 400 В; частота коммутации силового ключа - f_k = 40 кГц; индуктивность - L = 2,4 мГн; емкость - С = 1000 мкФ; сопротивление, учитывающее потери в преобразователе, - R = 1 Ом; эквивалентное сопротивление нагрузки - R_Н = 160 Ом.

Параметры системы управления: делитель выходного напряжения - ₁ = 0,01; напряжение задания - U_З = 4 В; делитель входного тока - ₂ = 1; коэффициент усиления регулятора напряжения - ₁ = 20; постоянная времени интегрирования - Т = 25 мкс; коэффициент усиления регулятора тока дросселя - ₂ = 1.

Рис. 4. Мгновенные значения токов и напряжений ККМ

На рис. 4 показаны временные диаграммы работы ККМ. Как видно, при пуске системы формируется бросок тока до уровня 106 А (рис. 4а), обусловленный разряженной емкостью и прямым пуском модели. В реальных преобразователях необходимо избегать прямого пуска и использовать плавный запуск устройства с целью недопущения чрезмерно больших пусковых токов, способных вывести преобразователь из строя.

На рис. 4б в увеличенном масштабе показаны ток дросселя и ток, потребляемый преобразователем из сети. Можно заметить, что потребляемый из сети ток практически синусоидален и синфазен с напряжением сети. В результате получены следующие энергетические показатели: Ки = 0,9968; cosц₁ = 0,9997; Кг = 0,0802; Км = 0,9965.

Необходимость определения оптимальных значений параметров пассивных элементов, при которых достигаются наиболее выгодные энергетические показатели, требует проведения двухпараметрического анализа динамики изменения энергетических показателей. Известно, что емкость и индуктивность связаны друг с другом через характеристическое сопротивление . Построив зависимости показателей качества электроэнергии от характеристического сопротивления (рис. 5), можно определить наиболее оптимальные значения параметров пассивных элементов или значение одного из них, зная номинал другого.

Рис. 5. Номограммы зависимостей энергетических показателей от характеристического сопротивления при разных емкостях конденсатора

Номограммы построены при 20 значениях емкости конденсатора (через каждые 200 мкФ): от 200 до 4000 мкФ. Стрелкой показано направления увеличения емкости конденсатора. Как следует из рис. 5, при значениях до 1000 мкФ быстро улучшаются энергетические показатели. При дальнейшем увеличении емкости этот положительный эффект снижается.

Для емкости конденсатора в 1000 мкФ (по номограмме для Км) величина характеристического сопротивления, при котором наблюдается экстремум зависимости, с = 4 Ом. При этом значение индуктивности Гн. Аналогичным образом можно рассчитать оптимальное значение индуктивности и для любой другой емкости конденсатора. При полученном выше значении индуктивности энергетические показатели изменились: Ки = 0,9984; cosц₁ = 0,9999; Кг = 0,0561; Км = 0,9984. Очевидно, что все показатели качества улучшились по сравнению с вариантом, рассчитанным по стандартным методикам. В наибольшей степени это относится к коэффициенту гармоник Кг, который уменьшился в 1,4 раза.

Однако эти значения далеко не предельные. Если посмотреть на номограммы (рис. 5), то можно увидеть, что при емкости конденсатора выше 1000 мкФ энергетические показатели улучшаются.

Таким образом, в результате проведенной работы:

1. Разработана численно-аналитическая модель однофазного ККМ с САУ, построенной по технологии OCC, учитывающая синусоидальность входного напряжения и режим прерывистого тока дросселя.

2. Предложена методика поэтапного поиска решений для структур САУ с вырожденной системной матрицей.

3. На основе модели в программной среде Matlab 7 разработан программно-методический комплекс, позволяющий исследовать как медленные, так и быстрые динамические процессы в ККМ, а также проводить автоматическую оптимизацию параметров системы.

4. Для предварительных исходных данных схемы преобразователя построены временные диаграммы токов и напряжений, определены значения энергетических показателей и закономерности их изменения при варьировании параметров пассивных элементов силовой части.

5. По расчетным номограммам определены оптимальные значения параметров элементов схемы, при которых достигаются экстремальные энергетические показатели.



Список литературы

1. Tse, C.K. Theoretical Study of Switching Power Converters with Power Factor Correction and Output Regulation / C.K. Tse, M.H.L. Chow // IEEE Transactions on Circuits and Systems - I: Fundamental Theory and Applications. - 2000. - №7. - P. 1147-1155.

2. Климов, В.П. Схемотехника однофазных корректоров коэффициента мощности / В.П. Климов, В.И. Федосеев // Практическая силовая электроника. - 2002. - №8. - C. 23-28.

3. Статические компенсаторы реактивной мощности в электрических системах: пер. темат. сб. рабочей группы исслед. ком. N39 СИГРЭ / под ред. И.И. Карташева. - М.: Энергоатомиздат, 1990. - 174с. - ( Энергетика за рубежом).

4. Овчинников, Д.А. Корректоры коэффициента мощности на основе дискретной линейной модели повышающего однотактного преобразователя / Д.А. Овчинников // Практическая силовая электроника. - 2003. - №12. - С. 2-11.

5. Белов, Г.А. Расчет процессов в широтно-импульсном корректоре коэффициента мощности / Г.А. Белов, А.А. Алексеев, А.В. Нестеров // Электричество.-2004. - №9. - С. 48-56.

6. Tse, C.K. Bifurcation analysis of a power factor-correction boost converter: uncovering fast-scale instability / C.K. Tse , O. Dranga , H.H.C. Iu // Proc. IEEE Int. Symp. Circ. Syst. - 2003. - P. 312-315.

7. Iu, H.H.C. Fast-scale instability in a PFC boost converter under average current mode control / H.H.C. Iu, Y. Zhou, C.K. Tse // Int. J. Circuit Theory Appl. - 2003. - № 6. - P. 611-624.

8. Qiao, C. Improved Integration Control of Power Factor Correction / C. Qiao, K. Smedley // IEEE Industrial Electronics Conference (IECON). - 1999. - P. 513-519.

9. Smith, M. PWM Controller with One-Cycle Response / M. Smith, K. Smedley // US Patent 6 084 450.

10. Андриянов, А.И. Математическое моделирование динамики импульсного преобразователя напряжения повышающего типа / А.И. Андриянов, А.А. Малаханов // Вестник БГТУ. - 2006. - №1. - С.61-69.

11. Баушев, В.С. О недетерминированных режимах функционирования стабилизатора напряжения с широтно-импульсным регулированием / В.С. Баушев, Ж.Т. Жусубалиев // Электричество. - 1992. - № 8. - C. 47-53.

12. Алейников, О.А. Исследование локальной устойчивости периодических режимов в нелинейных импульсных системах / О.А. Алейников, В.С. Баушев, А.В. Кобзев, Г.Я. Михальченко // Электричество. - 1991. - № 4. - C. 16-21.

13. Андриянов, А.И. Бифуркационные и хаотические явления в замкнутых системах энергетической электроники импульсно-модуляционного типа: отчет по НИР №02.200.406012 / А.И. Андриянов, Г.Я. Михальченко. - Брянск, 2004.

14. Косенко, С. Инженерное проектирование корректора коэффициента мощности / С. Косенко // Вестник электроники. - 2005. - №4. - С. 16-23.

Размещено на Allbest.ru

...