Компьютерное моделирование нелинейных колебаний

Размещено на http://www.allbest.ru/

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Е.Е. Гетманова

С помощью пакетов MathCAD и Flash промоделированы нелинейные колебания, затухающие под действием кулоновского трения, колебания тел, заключенных между двумя пружинами, жесткость которых задается кусочно-линейной характеристикой. Показано, что математическое и графическое моделирование позволяет легко понять основные особенности данных нелинейных колебательных процессов.

Ключевые слова: Flash-технологии, нелинейные колебания, кулоновское трение, компьютерное моделирование.

Компьютерное моделирование быстро становится эффективным средством обучения. Оно включает визуализацию, интерактивность, помогает студентам развить способности к построению физических моделей и пониманию научных концепций. Традиционный метод обучения представляется достаточно сложным для восприятия вследствие громоздкости материала, его абстрактности, отсутствия связи с реальными задачами. В настоящее время образовательное физическое сообщество интенсивно использует пакеты Flash и Java [1-3] для моделирования физических явлений.

При графическом моделировании физического процесса студенты вначале просто наблюдают анимацию, а затем начинают понимать физическую идею, которая воплощена в ней. При этом внимание фиксируется на главной физической концепции. Компьютерное моделирование увеличивает объем излагаемого материала, помогает студентам работать самостоятельно. Оно усиливает структуру концептуального мышления благодаря физической точности, высокой степени визуализации, динамическому представлению физики. Занятия, проводимые с использованием интерактивных компьютерных технологий, представляют собой активный способ обучения, обеспечивают возможность самоконтроля, поскольку физические величины вычисляются вначале самостоятельно учащимися, а при нажатии соответствующей кнопки выводятся на экран. Этот новый способ оказался привлекательным для большей части студентов. Тестовые опросы после проведения занятий с использованием описанных ниже Flash-фильмов показали, что компьютерное моделирование создает более устойчивое представление о физических явлениях, приводит к более быстрому и эффективному пониманию физического процесса, стимулирует изучать материал более глубоко, чем при традиционном методе изложения. При этом большинство студентов выразили желание научиться самостоятельно создавать анимационные фильмы с использованием физических законов. Если при изложении материала используются компьютерные технологии, то предмет становится доступен и интересен не только физикам, но и студентам инженерных, экономических и других профессий.

Как показал опыт проведения подобного рода занятий в Белгородском государственном технологическом университете им. В. Г. Шухова, пояснение материала, сопровождаемое моделированием физических явлений с помощью математических и графических пакетов, способствует более быстрому пониманию излагаемого материала, помогает понять связь между теорией и реальными задачами.

Затухающие колебания, как правило, связываются с вязким трением. Это обусловлено возможностью получения несложного аналитического решения. Кулоновское трение описывается нелинейным уравнением и представляется достаточно трудным для понимания. Использование компьютерных технологий позволяет представить нелинейные колебания весьма понятными, доступными для анализа, с легко запоминающимися особенностями.

В статье описано моделирование колебательного процесса, происходящего под действием сухого (кулоновского) трения [4] (рис.1) , график которого показан на рис.2.

Рис. 1. Колебания тела под действием кулоновского трения

Уравнение движения тела имеет вид

(1)

компьютерный моделирование нелинейный колебание

где масса тела; коэффициент жесткости пружины; ускорение свободного падения, коэффициент трения (безразмерная величина). Моделирование данной задачи состоит в решении двух линейных уравнений, причем при решении второго уравнения в качестве начальных условий надо взять те условия, которые получились в конце движения, описываемого первым уравнением, и т.д. Таким образом, решение нелинейной задачи составляется (припасовывается) из решений линейных уравнений. Решение уравнений (1) изображают незатухающие гармонические колебания вокруг сменяющихся положений равновесия. Когда масса попадает в полосу , так называемую «мертвую зону», движение прекращается. Количество колебаний, которое совершает система до попадания в «мертвую зону», определяется выражением . При начальных условиях решение уравнений (1) представляется в виде .

Рис. 2. Зависимость силы сухого трения от скорости

В случае вязкого трения движение тела описывается уравнением

, (2)

где коэффициент затухания.

Решение уравнения (2) представляется в виде

,

где начальное смещение; начальная фаза колебания. Колебания в этом случае прекращаются через бесконечное время. Амплитуда колебаний при сухом (кулоновском) трении в течение всего времени движения убывает за одно отклонение (половину периода колебаний) на одну и ту же величину , т.е. уменьшается по закону арифметической прогрессии. При вязком трении изменение амплитуды двух последовательных отклонений составляет . Периоды колебаний в случае одинаковых параметров () систем при вязком и сухом трении совпадают: . Графики, показывающие колебания систем с вязким и сухим трением (рис. 3), выполнены с помощью пакета MathCAD.

Рис. 3. Колебания при действии: 1 - сухого трения; 2 - вязкого трения

Графическое моделирование рассматриваемых колебаний, выполненное с использованием пакета Flash, показано на рис.4. После задания параметров колебательного процесса (массы, жесткости пружины, коэффициентов трения (затухания) и начального смещения) запускается анимация. Тела, показанные на экране, совершают колебания, причем в одном случае на тело действует вязкое трение, а в другом - сухое. На экран выводятся прямые линии, соответствующие последовательным отклонениям при сухом трении. В текстовых окнах появляются количество отклонений от положения равновесия при сухом трении и период колебаний. Представленный метод изложения имеет ряд преимуществ по сравнению с обычным пояснением материала. Во-первых, это наглядность, позволяющая студентам на глаз отличать и запоминать основные характеристики колебательных процессов, во-вторых, быстрота освоения материала. После проведения занятий по описанной методике все студенты правильно отвечали на вопросы о законе изменения амплитуды колебаний при вязком и сухом трении, количестве колебаний, совершаемых системой до остановки, и т.д.

Аналогично методом припасовки можно промоделировать колебания тела, зажатого между двумя пружинами [5] (рис.5).

Рис. 4. Анимация колебаний при действии кулоновского трения

Симметричная кусочно-линейная характеристика силы, действующей на тело (рис.6), задается уравнением

Рис. 5. Колебания тела, зажатого между пружинами

Рис.6. Кусочно-линейная характеристика силы, действующей на тело

На участке дифференциальное уравнение движения имеет вид

,

где . С учетом начальных условий решение представляется в виде

.

Время прохождения первого участка (от максимального смещения до положения равновесия ) равно

Поскольку задача симметричная, то период колебаний системы . На участке дифференциальное уравнение движения имеет вид

С учетом начальных условий уравнение движения представляется в виде

В области (возвращение в крайнее правое положение) уравнение движения имеет вид

,

Рис. 7. График колебаний тела, представленного на рис. 5

На рис.7 показан график изменения координаты тела за один период, а также положения равновесия, относительно которых происходят колебания.

Интерфейс Flash-фильма, который осуществляет графическое моделирование, показан на рис.8. После введения значений массы тела, амплитуды силы , силы, которая действует на тело в положении равновесия и характеризует степень его «сдавленности», начального смещения в левой нижней части экрана строится характеристика силы.

Рис. 8. Анимация колебаний тела, помещенного между пружинами, и тела, совершающего гармонические колебания

После нажатия кнопки начинается анимация: тело совершает колебания между двумя пружинами. Для сравнения показано тело, совершающее гармонические колебания. В текстовых окнах выводятся значения периодов колебаний обоих тел. Чем меньше , тем меньше сжата пружина (и тело) в положении равновесия и тем больше совпадают периоды колебаний.

Рис. 9. Колебания тела между двумя пружинами

Если тело совершает колебания между двумя несоприкасающимися, несжатыми пружинами [5] (рис.9), то симметричная кусочно-линейная характеристика силы, действующей на тело (рис.10), определяется уравнением

Рис. 10. Кусочно-линейная характеристика действующей на тело силы

Уравнение движения тела при начальных условиях для одного периода колебаний представляется в виде

,

.

График изменения координаты тела за один период представлен на рис.11. Как следует из графика, на участках и (области 1 и 3) тело совершает колебания, на участке (область 2) - движется равномерно.

Рис. 11. График колебаний тела, представленного на рис. 9

Период колебаний тела составляет . Графическое моделирование рассмотренного колебания показано на рис. 12. После введения значений массы тела , амплитуды силы , амплитуды колебаний , расстояния от положения равновесия до нерастянутых пружин пользователь нажимает кнопку, и на экране внизу слева появляется график, показывающий характеристику силы. Далее запускается анимация, и два тела начинают совершать колебания. На экран выводятся прямые линии, соответствующие отклонениям , положению равновесия, а также область, в которой тело двигается равномерно. Пружины сжимаются, когда на них действует тело. Ниже второе тело совершает колебания, которые описываются гармоническим законом. В текстовых окнах выводятся жесткость пружины и периоды колебаний двух тел. Чем ближе положение к , тем больше увеличение периода колебаний первого тела относительно второго.

Рис. 12. Анимация колебаний тела, движущегося между разнесенными пружинами, и тела, совершающего гармонические колебания

Применение компьютерных технологий позволяет расширить диапазон изучаемого материала, предложив вначале ознакомительное, а затем и более детальное изложение трудных с традиционной точки зрения разделов физики.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Design Simulation. - http://interactivephysics.design-simulation.com, 2009.

2. Физика. - http://physics.ru/index.php, 2009.

3. Гетманова, Е.Е. Интерактивная лекция по электростатике /Е.Е.Гетманова// Открытое образование. - 2009. - № 2. - С.14-17.

4. Мандельштам, Л.И. Лекции по теории колебаний / Л.И. Мандельштам. - М.:Наука, 1972. - 470 с.

5. Пановко, Я.Г. Введение в теорию механических колебаний / Я.Г.Пановко. - М.:Наука, 1991. - 256 с.

Размещено на Allbest.ru