Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 631.6; 626/627; 631.3

Аналитическое решение уравнения стационарных нелинейных колебаний прыжкового сопряжения методом малого параметра

М.В. Землянникова, ФГОУ ВПО МГУП, г. Москва, Россия

В.А. Фартуков ЗАО «Бюро сервиса и эксплуатации» BSM, г. Москва, Россия

В публикациях целого ряда исследователей, а также наших, было отмечено, что даже в случае установившегося режима поступления расхода в нижний бьеф в области прыжка всегда будет иметь место неустановившийся колебательный режим течения, который сопровождается волнами с характерной амплитудой и длиной. Величина этих волн иногда значительна и может составлять большие величины. Уравнение же сопряженных глубин имеет место только в случае увеличения периода временного сглаживания до такого его значения, при котором производные ?(VcЩ)/?t и ?Щ/?t обратятся в нуль (1), (2), где Vc - скорость центра массы объема W; Щ - площадь боковой поверхности прыжка.

Так как система уравнений Сен-Венана есть следствие уравнений Рейнольдса, которое получено осреднением уравнений Навье-Стокса, обеспечивающего сглаживание лишь турбулентных пульсаций так называемого нормального уровня, то есть тех, которые порождены трением на границе жидкость-омываемая твердая поверхность, а не турбулентных пульсаций, возникающих в зонах отрывных течений, то в зоне прыжка, как и во всех других случаях отрывных течений, имеет место макротурбулентность с характерным временным масштабом Tm, который существенно больше временного масштаба Tn,, отвечающего обычному уравнению турбулентности без отрывных течений. Именно поэтому правомерна система уравнений с зависимыми от времени t (Tm>t>Tn) характеристиками прыжкового потока (1).

В настоящей работе преследуется цель получения аналитического решения уравнения стационарных нелинейных колебаний прыжкового сопряжения, полученного в предыдущих наших работах (1,2,3), где отмечалось, что даже в случае установившегося режима поступления расхода в нижний бьеф в области прыжка имеет место неустановившийся колебательный режим течения, и уравнение сопряженных глубин имеет место только в случае увеличения периода временного сглаживания. Рассмотрим основную систему дифференциальных уравнений нестационарного режима движения потока в зоне прыжкового сопряжения, приведенную со всеми принятыми условными обозначениями в работах (1,2,3), которые из-за ограниченности объема публикаций здесь не приводятся:

l2/ (3gh2) d(h2dh2/dt)/dt + q22/(gh2) - q21/(qh1) + (h22-h21) = 0, (1)

2l/3 dh2/dt = q1 - q2 . (2)

Было получено нелинейное уравнение локальной нестационарности в зоне прыжкового сопряжения в безразмерном виде:

d2ж/dt2 - м3/2(4h3/2kp/3) dж/dt + м 4/3(dж/dt)2 - м2 4ж/9 (dж/dt)2 + м2 5ж2/36 - м2 ж/18 + мж/3 = 0

или

d2ж/dt2 - м2(4ж/9 (dж/dt)2 - 5ж2/36 + ж/18) - м3/2 (4h3/2kp/3 dжdt) + м(ж/3 +4 (dж/dt)2) = 0 (3)

Итак, мы имеем нелинейное уравнение, в котором энергия рассеивается при больших амплитудах и генерируется при малых. Такая система имеет предельные циклы, которые колеблются около состояния, при котором приток и диссипация энергии сбалансированы. Таким образом, в дальнейших наших исследованиях можно наметить рассмотрение бифуркаций векторных полей течения воды в зоне прыжкового сопряжения.

Решение данного уравнения (3) будем искать асимптотическим методом, который позволяет получить результат аналитическим способом и избежать ошибок вычислений при применении численных методов решения.

Основное содержание этого метода сводится к применению такой замены переменных, которая позволяет отделить «быстрые» переменные от «медленных». Такая замена переменных позволит представить решение уравнения в виде асимптотического ряда (4), (6).

Согласно идее метода, общее решение уравнения (3) ищем в виде ряда разложенного по степеням малого параметра м

y = yo + мy1 + м2y2 + . . . , (4)

ограничиваясь квадратичным членом разложения, мы тем самым сохраняем нелинейность исходной системы. Так как частота искомого процесса k = 1/h2 может не совпадать с собственной частотой линеаризованной системы k0, тем самым приводя к появлению секулярных членов, примем аналогичные разложения:

k0 = k2 + мг1 + м2г2 + . . . , (5)

где г1 и г2 - неизвестные постоянные.

Произведем подстановку выражений (4) и (5) в основное уравнение (3). Получим слагаемые, пропорциональные различным степеням малого параметра м

y0!! + мy1!! + м2y2!! + q12 /(3h2) - 4/3q1(y0! + мy1! + м2y2! + …) + 4/3h2(y0! + мy1! + м2y2! + …)2 + (y0 +мy1+м2y2 + …)2/(6(h02+мг1+м2г2 + …)) + (y0 +мy1+м2y2+ …)/3--q12/(3h1h2)=0 (6)

Раскроем скобки, полученные таким образом члены, при которых м имеет степень больше двух, исключим. Имеем

4/3h(y0! + мy1! + м2 y2! + …)2 = 4/3h2 ((y0! + мy1!)2 + 2 (y0! + мy1!) м2y2! + м4y22 = 4/3h2 ((y02+2мy0!y1!+м2y12)+2м2y0!y2!) = 3/4h2y02 +8/3мh2y0!y1!+4/3h2м2y12+8/3м2h2y0!y2! (7)

Другой член уравнения (6) будет выглядеть следующим образом

(y0 + мy1 + м2y2 + …)2 / (6(h02 + мг1 + м2г2 + …) = (y02 + 2мy0y1 + м2y12 + м4y22) /(6(h02 + мг1 + м2г2 + …)) = (y02 + 2мy0y1 + м2y12) / (6(h02 + мг1 + м2г2 + …). (8)

Подставив полученные выражения (7) и (8) в уравнение (6), получим:

y0!! + мy1!! + м2y2!! + q12/(3h2) - 4/3 q1y0! - м4/3q1y1! - м2 4/3q1y2! + 4/3 h2y02 + 8/3 мh2y0!y1! +4/3 h2м2y12 + 8/3 м2h2y0!y2! + (y02 + 2мy0y1 + м2y12) / (6(h02 + мг1 + м2г2)) - q12 / (3(h2h1)) + y0/3 + мy1/3 + м2y2/3 = 0. (9)

Произведем группировку слагаемых уравнения (9) при одинаковых степенях параметра м, но прежде преобразуем выражение

(y0! + 2мy0y1 + м2y12) / (6(h02 + мг1 + м2г2)) = (y02 + 2мy0y1 + м2y12) / (6(1 + (мг1 + м2г2) / h02))= 1/6 (y02 + 2мy0y1 + м2y12) (1 - (мг1 - м2г2) / h02 + (м2г12 + 2м3г1г2 + м4г22) / (2h04)) =y02/6 - мy02г1 / (6h02) - м2 y02г2 / (6h02) + м2y02г12 / (12h04) + мy0y1/3 - м2y0y1г1/(3h02) -м2y12/6. (10)

прыжковый сопряжение нелинейный колебание

Подставив выражения (10) в (9), получим

y0!! + мy1! + м2y2!! q12 / (3h2) - 4/3q1y0! - м 4/3q1y1! - м2 4/3q1y2! + 4/3 h2y02 + 8/3 мh2y0!y1! + м2 4/3 h2y12 + м2 8/3 h2y0!y2! + y02/6 - мy02г1/(6h02) - м2y02г2/(6h02) + м2y12/6 + y0/3 + мy1/3 + м2y2/3 - q12 /(3h2h1) = 0. (11)

Произведем группировку членов уравнения (11) согласно степеням малого параметра м

(y0!! + q12 / (3h2) - 4/3 q1y0! + 4/3 h2y02 + y02 / 6 + y0 / 3 - q12 / (3h2h1)) + м(y1!! - 4/3 q1y1! + 8/3 h2y0!y1! - y02г1 / (6h02) + y0y1/3 + y1/3) + м2(y2!! - 4/3q1y2! + 4/3h2y12 + 8/3h2y0!y2! - y02г2 / (6h02) + y02г12 / (12h04) - y0y1г1 / (3h02) - y12 /6 + y2/3 = 0. (12)

Так как полученное уравнение (12) должно выполняться при любом значении м, необходимо, чтобы порознь равнялись нулю выражения, стоящие при разных степенях м. Исходя из этого, получим следующую систему уравнений:

y0!! + q12 / (3h2) - 4/3 q1y0! +4/3 h2y02 +y02/6 +y0/3 -q12 / (3h2h1) = 0; (13)

y1!! - 4/3q1y1! + 8/3h2y0!y1! - y02г1/(6h02) + y0y1 + y1/3 = 0; (14)

y2!! - 4/3q1y2! + 4/3h2y12 + 8/3h2y0!y2! -y02г2/(6h02) + y02г12/(12h04) - y0y1г1/(3h02)- y12/6 + y2/3 = 0. (15)

Полученная система уравнений представляет собой асимптотическое решение уравнения стационарных нелинейных колебаний прыжкового сопряжения бьефов.

В рассмотренной колебательной системе незатухающие колебания практически могут существовать при наличии некоторого источника энергии, который компенсирует расход энергии, обусловленный наличием диссипативных сил. Этот источник, воздействующий на колебательную систему, играет роль «отрицательного» трения, которое компенсирует обычное «положительное» трение, вносимое диссипативными силами. В нашем случае это член системы уравнений (13),(14),(15), стоящий при первой производной 4/3q1y1! . Возникшие таким образом колебания являются автоколебательными. В автоколебательных системах положение равновесия нарушается и возникает режим стационарного периодического колебания, совершающегося с постоянной амплитудой и фазой. Существование такого режима возможно при наличии трех составляющих: самой колебательной системы; источника энергии, управляемого колебательной системой, которая делает положение равновесия неустойчивым, а колебания - нарастающими; ограничителя, переводящего нарастание колебания в стационарное состояние (4,7). Таким образом, мы видим, что в зоне прыжкового сопряжения присутствует автоколебательный режим с постоянной амплитудой и фазой. Их количественное определение может внести существенные поправки как в объем строительных работ по креплению нижнего бьефа в зоне прыжкового сопряжения, так и в сами конструкции крепления. Дальнейшие наши исследования нелинейного колебания прыжкового сопряжения бьефов будут предусматривать изучение полученной системы уравнений на фазовой плоскости и получение количественных величин амплитуд волн и фаз.

Библиографический список

1. Землянникова М.В. Фартуков В.А. Обобщенные нелинейные уравнения локальной нестационарности. //Сборник материалов Всероссийской научно-технической конференции Экологическая устойчивость природных систем и роль природообустройства в ее обеспечении. М., 2003. с.136-137.

2. Землянникова М.В. Фартуков В.А. «Уравнения локальной нестационарности при прыжковых сопряжениях». Сборник материалов Всероссийской научно-технической конференции «Экологическая устойчивость природных систем и роль природообустройства в ее обеспечении». М., 2003, С. 137-138.

3. Землянникова М.В. Фартуков В.А. «Нелинейные уравнения локальной нестационарности в безразмерных переменных в зоне прыжкового сопряжения». Сборник научных трудов «Проблемы научного обеспечения развития эколого-экономического потенциала России». М.:МГУП, 2004, стр. 196-199.

4. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969.

5. Кузьмина Р.П. Асимптотические методы для обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2003.

6. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

7. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1955.

Размещено на Allbest.ru