Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 Постановка задачи

1.2 Алгоритм Решения

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 Численное решение и начальные данные

2.2 Графики

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ



ВВЕДЕНИЕ

Задача анализа движения системы двух отдельных математических маятников, с учётом взаимодействия между ними относится к теории синхронизации. Явление синхронизации состоит в том, что несколько искусственно созданных или природных объектов, совершающих при отсутствии взаимодействия колебательные или вращательные движения с различными частотами (угловыми скоростями), при наличии подчас весьма слабых взаимодействий начинают двигаться с одинаковыми, кратными или соизмеримыми частотами (угловыми скоростями), причем устанавливаются определенные фазовые соотношения между колебаниями и вращениями [1].

Принято считать, что одно из первых наблюдений и описаний частного случая синхронизации -- взаимной синхронизации маятниковых часов - принадлежит Х. Гюйгенсу, который еще в начале второй половины семнадцатого столетия обнаружил, что пара часов, ходивших по-разному, самосинхронизировалась, когда их прикрепляли к легкой балке вместо стены [13]. Тенденция к синхронизации находит свое отражение в свойстве нелинейных дифференциальных уравнений определенного вида допускать устойчивые периодические решения. Эта тенденция, как одна из форм упорядоченного поведения, противоположна также существующей в динамических системах тенденции к неупорядоченному (стохастическому) поведению.

Поскольку теория взаимодействия маятников для разных типов взаимодействий представляет большой научный интерес, то нами решается задача с конкретным типом взаимодействия, а именно для дипольного магнитного взаимодействия двух ферромагнитных шаров. В свою очередь это говорит об актуальности проблемы. Также стоит добавить, что поскольку ранее этот тип взаимодействия не изучался в проблеме синхронизации маятников, то это говорит о научной новизне рассматриваемой задачи.



1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 Постановка задачи

маятник дипольный магнитный математический

Имеются два отдельных математических маятника. Считаем, что маятники представляют собой два ферромагнитных шара с магнитными моментами и , массами и , и расположены на расстоянии друг от друга. Они подвешены в одной плоскости. Считаем, что маятники абсолютно одинаковые с длиной подвеса . Произвольные углы отклонения мятников от положения равновесия и .

Рис.1.1 Схема постановки задачи

Наша задача состоит в том, чтобы проанализировать движение этой системы с учётом заданных взаимодействий, вывести уравнения движения, найти их численное решение, а также проиллюстрировать его графически.

1.2 Алгоритм Решения

Поскольку их взаимодействие имеет чисто электромагнитную природу, то его можно описать в рамках магнитного дипольного взаимодействия [7],



1.1

где - объемы шаров, - их магнитные моменты, а расстояние между их центрами. Очевидно, что имеет место следующее векторное равенство

1.2

Поэтому

1.3

Условием синхронизации колебаний обоих маятников назовем равенство

Как видно из (1.3), это возможно только, если

1.4

Решая это уравнение относительно , имеем

1.5

Зависимость (1.6) можно представить как



1.6

Теперь полагаем, что длины обоих маятников одинаковы, то есть . Тогда , а и из (1.6) получим

(1.7)

Из (1.8) видно, что здесь возможны два качественно разных случая:

1. , что возможно, если расстояние между шарами относительно велико, то есть

2. , что возможно в обратном предельном случае, когда или . В общем случае следует использовать решение (1.7).

Составим функцию Лагранжа, и учтем взаимодействие (1.1). Тогда

(1.8)

Составим теперь уравнения Эйлера-Лагранжа с помощью (1.9) [14]. Для (1.9) они имеют вид , где индекс

(1.9)

Введем частоты собственных колебаний маятников

и . Тогда



(1.10)

Согласно выражению (1.1) в энергии диполь - дипольного взаимодействия избавляемся от скалярных произведений. В самом деле, имеем

(1.11)

где углы и связаны друг с другом простым линейным соотношением, элементарно записываемым с помощью рис. 1.1 в виде

(1.12)

Переписывая (1.12) как и подставляя сюда один из углов, выраженный с помощью (1.13), находим

(1.13)



Как видим из (1.14), в нашем распоряжении имеются теперь три независимые переменные и . Экстремум по угловой переменной означает, что . Откуда немедленно следует, что или . То есть

(1.14)

Таким образом, подставляя (1.15) в (1.13) находим

(1.15)

Подставляя сюда (1.3), окончательное выражение для энергии магнитного взаимодействия шариков принимает вид

(1.16)

Дифференцируем (1.17) по и . Тогда

(1.17)



Аналогично

(1.18)

пусть длины одинаковы, то есть . Тогда и с учетом (1.18) и (1.19) имеем вместо системы (1.11) получаем систему уравнений (1.20)

1.19

где новый параметр , а новые частоты , .

Рассмотрим вполне конкретную ситуацию, положив и, считая угловые отклонения маятников малыми (линейное отклонение мало по сравнению с длиной подвеса). В таком случае система уравнений (20) сильно упростится. В самом деле, полагая, что , , получим из (20)

(1.20)



Считая, что маятники одинаковы, то есть, , , , получим отсюда . Учитывая далее, что и, вычитая из верхнего уравнения нижнее из (1.21), находим

(1.21)

где , а постоянная , если воспользоваться явными выражениями для всех частот и параметров, будет

(1.22)

где - плотность шарика. Фактически формула (1.23) отвечает на вопрос о величине времени конечного этапа синхронизации. При этом функция имеет минимум при .

Из (1.23) найдем, что . Если , то значение

(1.23)

которое как раз и означает, что конечный этап «подстраивания» (линейной релаксации) маятников заканчивается через время

(1.24)

Из условия приходим к двум строгим неравенствам



(1.25)

Или

(1.26)

где новый параметр длины . Можно видеть, что неравенство (27) нереально, так как нить будет настолько мала, что не будет самого маятника. Таким образом, имеем только неравенство (26). Как из него видно, должно быть выполнено еще одно необходимое условие, а именно , из которого с учетом явного выражения для длины следует ограничение и на расстояние между маятниками, которое можно записать в виде условия

(1.27)

которое автоматически следует и из условия . Фактически формулы (1.26) - (1.28) позволяют ответить на вопрос о соотношениях между геометрическими факторами, фигурирующими в рамках поставленной задачи, при которых происходит синхронизация ферромагнитных математических маятников.

Фигурирующую в (1.28) спонтанную намагниченность можно довольно легко найти с помощью общих принципов теории магнетизма [12].

Тогда , где - магнетон Бора, - спин атома, - среднее межатомное расстояние.

Поскольку элементарный магнитный момент электрона приблизительно есть , среднее межатомное расстояние , а спин выберем равным , получим для средней намагниченности такое значение . Поэтому, выбрав плотность , и полагая ускорение силы тяжести , получим из (1.28) следующую оценку для расстояния .

(1.28)

Согласно оценке (1.29) расстояние между точками подвеса можно положить равным . Что касается длины маятников, то, в соответствии с неравенствами (1.26) и (1.27) следует предварительно оценить параметр длины . Имеем .

Следовательно, можно выбрать . Таким образом, в свою очередь, согласно (26), длина маятника должна удовлетворять неравенству

(1.29)

Если взять, для примера, шарик с радиусом в , то отсюда имеем . Поэтому можно положить . Расстояние между точками подвеса можно выбрать как .

Вполне реальная оценка, которая говорит нам о том, что при расстоянии между точками подвеса в 10см длина маятника может составлять 8см. Поскольку , а , то для приведенных выше геометрических и физических параметров, взяв , , находим из этой формулы .

Поэтому для шарика радиуса имеем

(1.30)

Вместо функций удобно ввести функции в формальной замене . Тогда

1.31

Введем новые безразмерные функции

(1.32)

и вычитая почленно из верхнего уравнения нижнее, а затем, складывая их, находим

1.33

Положим

(1.34)

Где



(1.35)

безразмерный параметр , безразмерное время, по которому ведется дифференцирование. Время характеризует время обращения знаменателей систем (1.32) и (1.34) в нуль. Если заменить , то получим

1.36

Таким образом, мы получили системы уравнений, численно решив которые, можем построить графики движения этой системы.



2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 Численное решение и начальные данные

Численное решение уравнений надо искать при начальных условиях

что соответствует начальным значениям углов отклонения маятников

.

Покажем несколько примеров численного решения данных уравнений.

При t=1

При t=10

При t=100



2.2 Графики

При построении графиков задаем значение t=300с.

b=10…50см, =20см

Рис. 2.1 График



Рис. 2.2 График u1 от t и u2 от t, a=1.4

Рис.2.3 График



Рис.2.4 График

Рис.2.5 График



Рис.2.6 График

Рис.2.7 График от



Рис.2.8 График от

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе данной работы было проанализировано движение системы двух математической маятников с дипольным магнитным взаимодействием между ферромагнитными шарами. Нам удалось построить систему из двух дифференциальных уравнений, найти её численные значения в среде программирования Maple, а далее по ним построить графики зависимостей а также график . На них мы можем наблюдать, насколько сильно меняется траектория движения, даже при небольших изменениях расстояния между подвесами.

Так как задача, рассматриваемая в настоящей выпускной квалификационной работе, решается впервые, то она помимо актуальности, имеет ещё и теоретическое значение, поскольку полученные результаты можно внедрить в курсе теоретической механики студентам с углублённой физической подготовкой.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. И.И. Блехман. Синхронизация в природе и технике. М.: Наука. 1981. 320 с.

2. Н.Н. Веричев, А.Г. Максимов. О синхронизации стохастических колебаний параметрически возбуждаемых нелинейных осцилляторов. Известия вузов. Радиофизика. 1989. Т. 32. В. 8. СС. 962 - 965.

3. L.M. Pecora, T.L. Carroll. Synchronization in chaotic systems. Phys. Rev. Lett. 1990. V. 64. PP. 821 - 824.

4. M.G. Rosenblum, A.S. Pikovsky, J. Kurths. From phase to lag synchronization in coupled chaotic oscillators. Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. PP. 4193 - 4196.

5. T. Yamada, H. Fujisaka. Stability theory of synchronized motion in coupled - oscillator system. The mapping approach. Progr. Theor. Phys. 1983. V. 70. PP. 1240 - 1248

6. В.Н. Акимов, Л.Н. Белюстина и др. Системы фазовой синхронизации. М.: Радио и связь. 1982. 288с.

7. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Электродинамика сплошных сред. Т.8. М.: Наука. 1982. 620 с.

8. Л.Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. М.: Физматлит. 1969. 424 с.

9. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Механика. Т.1. М.: Наука. 1973. 207 с.

10. С.О. Гладков, М.И. Каганов. К теории релаксации ядерных спинов в ферромагнетиках. ЖЭТФ 1981. Т. 80. № 4. СС. 1577 - 1585.

11. А.И. Ахиезер, В.Г. Барьяхтар, С.В. Пелетминский. Спиновые волны. М.: Наука. 1967. 368 с.

12. Р. Уайт. Квантовая теория магнетизма. М.: Мир. 1985. 303 с.

13. И.И Блехман. Синхронизация динамических систем. М.: Наука.1971 897с.

14. А.В. Вестяк, В.А. Вестяк, С.О. Гладков. Вариационное исчисление и основы оптимального управления.М.: МАИ.2014

15. Л.Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнение и вариационное исчисление. М.:Наука, 1969.

16. А.П.Карташев, Б.Л.Рождественский обыкновенные дифференциальные уравнение и основы вариационного исчисления. М.:Наука, 1986.

17. И.М.Гельфанд, Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.:Физматгиз, 1961.

18. Сборник задач по математика для ВТУЗов. Ч.4 / Под ред. А.В.Ефимова. М.:Наука, 1990

19. С.Г. Михлин. Вариационные методы в математической физике. М.:Наука, 1970

20. К. Ланцош. Вариационные принципы механики. М.: Мир, 1965

21. Л. Янг. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.:Мир, 1965

22. Ф.П. Васильев. Лекции по методам решения экстремальных задач. М.:Изд-во МГУ, 1974

23. С.А. Агафонов, А.Д. Герман, Т.В. Муратова. Дифференциальные уравнения: Т.8. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997.

24. А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высш.шк., 1994.

25. В.И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Наука, 1984



ПРИЛОЖЕНИЕ







Размещено на Allbest.ru

...