Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 Постановка задачи

1.2 Вывод уравнения движения

1.3 Численное интегрирование функций

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 Решение задачи Бернулли о брахистохроне с учетом только сухого трения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЯ



ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

-- радиус-вектор, проведенный из начала координат в произвольную точку на желобе.

-- единичные орты в направлении осей соответственно.

-- мгновенный ортогональный базис в текущей точке M.

-- ускорение свободного падения.

Считаем, что

-- радиус кривизны траектории в точке .

-- начало и конец траектории.

-- масса тела.

-- ускорение свободного падения.

-- коэффициент сухого трения.

ВВЕДЕНИЕ

криволинейный движение желоб тяжесть

Брахистохрона -- кривая скорейшего спуска. Задача о брахистохроне может быть отнесена к задачам из области истории. Впервые она была сформулирована И. Бернулли в 1696 г. Задача состояла в нахождении плоских кривых, соединяющих две точки на плоскости, по которым под действием только силы тяжести, шарик скатывался за кратчайшее время. На поставленную задачу И. Бернулли откликнулись И. Ньютон, Г. В. Лейбниц, Г. Ф. Лопиталь, Э. В. Чирнхаус. Все они (включая и самого И. Бернулли) решили задачу различными способами. Метод решения, полученный 26 января 1697 года Исааком Ньютоном, лёг в основу важнейшей области естествознания -- вариационного исчисления.

В настоящий момент мало изучено решение задачи в том случае, если ставится вопрос о выяснении траектории при учете трения о желоб, по которому скатывается шарик.



1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 Постановка задачи

Запишем систему динамических уравнений движения в подвижном базисе n, ф. Согласно геометрии рис.1.1, проецируя ускорение силы тяжести на подвижные оси n и ф, с учетом явного вида касательного ускорения и нормального будем иметь систему (1.1)

(1.1)

где радиус кривизны

Поскольку то отсюда следует , а с учетом

, получаем

(1.2)



Рис. 1.1 Схематическое исзображение постановки задачи

Заметим здесь, что если придерживаться обычного определения угла наклона касательной, то он должен отсчитываться не как на Рис.1.1, а с противоположной стороны от касательной, т.е. это угол , что будет учитываться в дальнейших расчетах. В этом случае будет и .

Проекции скоростей можно представить в виде первой производной соответствующей координаты по времени. Для это или

(1.3)

Соответственно, для это или

(1.4)

1.2 Вывод уравнения движения.

В случае только сухого трения сила трения запишется в виде



где - коэффициент трения, m - масса тела. Последний множитель (в скобках), добавляется благодаря учету дополнительного нормального давления, возникающего из-за центробежной силы. В результате система (1.1) примет следующий вид

(1.5)

Рассмотрим второе уравнение системы (1.5). Заменим радиус кривизны R полученной ранее формулой (1.2) в выражении . С помощью преобразований получаем . С учетом , в конечном итоге выходит

(1.6)

Подставим (1.6) во второе уравнение системы (1.5) и получим

(1.7)

Выражаем из уравнения (1.7) скорость



(1.8)

и подставляем в первое уравнение системы (1.5), которое примет вид (для случая R > 0)

После преобразования левой части

Сокращаем на и получаем

(1.9)

Дифференциальное уравнение (1.9) решается с помощью замены



(1.10)

После подстановки

После преобразований

С помощью разделения переменных получаем решение относительно z.

Подставляем полученное решение относительно z в нашу замену (1.10). И также методом разделения переменных находим конечное решение дифференциального уравнения



(1.11)

Подставляем полученное решение (1.11) в уравнение скорости (1.8).

А скорость подставляем в уравнения (1.3) и (1.4).

Интегрируя, получаем искомое решение в квадратурах, которое решается с помощью численного интегрирования

(1.12)



где x(0) и y(0) - начальные координаты.

Для случая R < 0 дифференциальное уравнение принимает вид

(1.13)

и решается последовательным интегрированием.

После подстановки в уравнение (1.8)

После подстановки скорости в уравнения (1.3) и (1.4)

Окончательное решение для R < 0



1.3 Численное интегрирование функций

Известно, что для подавляющего большинства функций не удается вычислить первообразные, вследствие чего приходится прибегать к методам приближенного и численного интегрирования функций. Методы приближенного интегрирования используют разложение подынтегральных функций в ряды Тейлора (Маклорена) и дальнейшего почленного интегрирования членов ряда. К недостаткам методов приближенного интегрирования относится требование дифференцируемости подынтегральных функций до порядка, который требуется при разложении функций в ряд Тейлора. От этого недостатка свободны методы численного интегрирования, в которых подынтегральная функция удовлетворяет только условию непрерывности (для существования определенного интеграла).

При численном интегрировании по заданной подынтегральной функции строится сеточная функция. Сеточная функция - это дискретная функция, заданная в виде таблицы (таблица 1.1). Затем эта функция с помощью формул локального интерполирования с контролируемой погрешностью заменяется интерполяционным многочленом, интеграл от которого хорошо вычисляется и сравнительно легко оценивается погрешность.



Таблица 1.1

x[i]	x[0]	x[1]	…	x[n]
y[i]	y[0]	y[1]	…	y[n]

Пусть на отрезке дана непрерывная функция , требуется на вычислить определенный интеграл

(1.14)

Заменим данную функцию на сеточную функцию (таблица 1.1). Вместо точного значения интеграла (1.14) будем искать его приближенное значение с помощью суммы:

(1.15)

в которой необходимо определить коэффициенты и погрешность формулы (1.15).

Для численного интегрирования системы уравнений (1.12) была выбрана формула Симпсона. Полученная сеточная функция интерполируется линейно.



Формула Симпсона

Разобьем отрезок на N пар отрезков , и через каждые три узла проведем интерполяционный многочлен (рис.1.2).

Рис. 1.2 Интерполяционный многочлен

Тогда

Где



Сделаем замену

тогда

Слагаемые в примут вид

При , а при

Тогда



Откуда

(1.16)

Выражение (1.16) называют формулой Симпсона численного интегрирования на паре шагов от до

На всем отрезке выражение (1.16) необходимо сложить N раз, поскольку имеются N пар отрезков длиной h, тогда получим формулу Симпсона численного интегрирования (1.17) определенного интеграла (1.14).

(1.17)



2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 Решение задачи Бернулли о брахистохроне с учетом только сухого трения

В результате численного решения системы (1.12) были получены траектории рис. 2.1 - рис. 2.10 при различных коэффициентах трения и константах.

Рис. 2.1: коэффициент трения = 0.1, константа с1 = 1.37

Рис. 2. 2: коэффициент трения = 0.2, константа с1 = 1.88



Рис. 2.3 коэффициент трения = 0.3, константа с1 = 2.56

Рис. 2.4 коэффициент трения = 0.4, константа с1 = 3.56



Рис. 2.5 коэффициент трения = 0.5, константа с1 = 4.8

Рис. 2.6: коэффициент трения = 0.1.



Рис. 2.7: коэффициент трения = 0.2.

Рис. 2.8: коэффициент трения = 0.3.



Рис. 2.9: коэффициент трения = 0.4.

Рис. 2.1.10: коэффициент трения = 0.5.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

С помощью несложных уравнений криволинейного движения найден класс единственного семейства функциональных зависимостей , описывающих форму желоба, по которому может двигаться под действием одной лишь силы тяжести с учетом трения любое материальное тело.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ФИЗИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА 1, 161101 (2016) Геометрический фазовый переход в задаче о брахистохроне/ С.О. Гладков, С.Б. Богданова

2. Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 400 с. - ISBN 5-9221-0479-9.

3. Гладков С.О. Сборник задач по теоретической и математической физике. М. Наука. Физматлит. 2010.

4. Сивухин Д.В. Общий курс физики. М. Наука. Физматлит. 1996.



ПРИЛОЖЕНИЕ

Код программы

Файл main.cpp

#include "widget.h"

#include <QApplication>

int main(int argc, char *argv[])

{

QApplication a(argc, argv);

Widget w;

w.show();

return a.exec();

}

Файл widget.h

#ifndef WIDGET_H

#define WIDGET_H

#include <QWidget>

#include <QSplitter>

#include "qcustomplot.h"

namespace Ui {

class Widget;

}

class Widget: public QWidget

{

Q_OBJECT

public:

explicit Widget(QWidget *parent = 0);

~Widget();

void resizeEvent(QResizeEvent *r);

public slots:

void paint();

void save();

private:

Ui::Widget *ui;

QCustomPlot* graph;

QSplitter *spl;

};

#endif // WIDGET_H

Файл widget.cpp

#include "widget.h"

#include "ui_widget.h"

double formulSimpson(double(*f)(double, double, double, double), double a, double b, double h,

double k, double c1, double c2)

{

double S = 0;

double n = (b - a) / h;

S = h / 3.0*(f(a, k, c1, c2) + f(b, k, c1, c2));

for (int i = 1; i < n; i++)

{

if (i % 2 != 0)

S += 4.0*h / 3.0*f(a + h*i, k, c1, c2);

else if (i < n - 1)

S += 2.0*h / 3.0*f(a + h*i, k, c1, c2);

}

return S;

}

double fx_i(double t, double k, double c1, double c2)

{

return 9.8*pow(cos(0.5/k*log(abs(2*k*t + c1)) + c2), 2)*(2*k*t + c1);

}

double fx(double t, double x0, double k, double c1, double c2)

{

return formulSimpson(fx_i, 0, t, 0.001, k, c1, c2) + x0;

}

double fy_i(double t, double k, double c1, double c2)

{

return -9.8*0.5*sin(1.0/k*log(abs(2*k*t + c1)) + c2)*(2*k*t + c1);

}

double fy(double t, double y0, double k, double c1, double c2)

{

return formulSimpson(fy_i, 0, t, 0.001, k, c1, c2) + y0;

}

Widget::Widget(QWidget *parent):

QWidget(parent),

ui(new Ui::Widget)

{

ui->setupUi(this);

QRect geom = ui->widget->geometry();

graph = new QCustomPlot(this);

spl = new QSplitter(Qt::Horizontal, this);

spl->addWidget(ui->widget1);

spl->addWidget(graph);

spl->resize(size());

connect(ui->dspb_k, SIGNAL(valueChanged(double)), SLOT(paint()));

connect(ui->dspb_c1, SIGNAL(valueChanged(double)), SLOT(paint()));

connect(ui->dspb_c2, SIGNAL(valueChanged(double)), SLOT(paint()));

connect(ui->dspb_x0, SIGNAL(valueChanged(double)), SLOT(paint()));

connect(ui->dspb_y0, SIGNAL(valueChanged(double)), SLOT(paint()));

connect(ui->doubleSpinBox, SIGNAL(valueChanged(double)), SLOT(paint()));

connect(ui->horizontalSlider, SIGNAL(valueChanged(int)), SLOT(paint()));

connect(ui->pushButton, SIGNAL(clicked()), SLOT(save()));

}

void Widget::paint()

{

double T = ui->doubleSpinBox->value();

double step = 0.01;

QVector<double> vecx;

QVector<double> vecy;

for (double t = 0; t <= T; t += step)

{

vecx.push_back(fx(t, ui->dspb_x0->value(), -ui->dspb_k->value(), ui->dspb_c1->value(), ui->dspb_c2->value()));

vecy.push_back(fy(t, ui->dspb_y0->value(), -ui->dspb_k->value(), ui->dspb_c1->value(), ui->dspb_c2->value()));

}

graph->clearGraphs();

graph->addGraph();

graph->graph(0)->setData(vecx, vecy);

graph->xAxis->setLabel("x");

graph->yAxis->setLabel("y");

graph->xAxis->setRange(0, 20*ui->horizontalSlider->value()/5.0);

graph->yAxis->setRange(0, 10*ui->horizontalSlider->value()/5.0);

graph->replot();

}

void Widget::save()

{

graph->savePng("k=" + tr("%1").arg(ui->dspb_k->value()) + "c1=" + tr("%1").arg(ui->dspb_c1->value()) + ".png");

}

void Widget::resizeEvent(QResizeEvent *r)

{

spl->resize(r->size());

}

Widget::~Widget()

{

delete ui;

}

Размещено на Allbest.ru

...