Вариационная задача на условный экстремум

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

• ВВЕДЕНИЕ
• ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
• 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
• 1.1 Уравнение движения
• 1.2 Вариационная задача на условный экстремум
• 1.3 Вывод системы уравнений
• 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
• 2.1 Численное решение системы уравнений
• 2.2 Построение графиков зависимости
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
• ПРИЛОЖЕНИЯ


ВВЕДЕНИЕ

Задача изучения траектории посадки летательного аппарата на поиск экстремалей может быть рассмотрена не только с точки зрения оптимального управления, но и с помощью вариационного исчисления.

Расчет движения ЛА выполняется аналитически и численно. Для решения задачи будем предполагать, что приземление происходит в свободном падении, но с некоторой эффективной массой , которую далее будем обозначать просто как . Это означает, что все силы, действующие на ЛА, уравновешены, но его масса заменяется на некоторую эффективную. При этом траектория полета происходит не по параболе, как в обычных задачах кинематики свободного падения, а по некоторой кривой, которая будет существенно отличаться от параболы ввиду двух дополнительных изопериметрических (по терминологии вариационного исчисления) условий. Эти условия представляют собой фиксированность длины траектории и времени приземления.

Многие законы в физике сводятся к тому, что некоторый функционал в рассматриваемом процессе должен достигать максимума или минимума. Задача изучения траектории ЛА при посадке основывается на том же. Методами нахождения минимальных или максимальных значений функционала занимается вариационное исчисление.

Уравнения, получаемые в таком подходе, могут быть нелинейными и интегральными и не решаться аналитически. В этом случае используются численные методы для приближенного нахождения и анализа корней.

задача эйлер нелинейный уравнение



ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Сформулируем задачу со всеми условиями и упрощениями.

ЛА садится с некоторой начальной высоты H с изопараметрическими условиями: время и расстояния фиксированы.

Будем считать, что на летательном аппарате стоит датчик, измеряющий и контролирующий равенство подъемной силы и силы тяжести. Также примем проекцию силы тяги и силы сопротивления равными, таким образом, чтобы летательный аппарат спускался в условиях свободного падения.

Эти приближения позволят составить функцию Лагранжа и написать уравнение Эйлера на условный экстремум.



1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 Уравнение движения

Для начала определим закон движения летательного аппарата как движение материальной точки. Под этим названием будем понимать тело, размерами которого можно пренебречь при описании его движения в условиях поставленной задачи. Положение материальной точке в пространстве задается радиус-вектором , компоненты которого являются ее декартовыми координатами. Производная радиус-вектора по времени называется скоростью

а вторая производная - ускорением.

Соотношение, связывающее ускорение с координатами и скоростями, называется уравнением движения. По отношению к функциям координат - это дифференциальные уравнения, интегрирование которых позволяет определить эти функции.

Определим принцип наименьшего действия: согласно ему каждую механическую систему можно охарактеризовать определенной функцией , при том такой, что если в моменты времени и система занимает положения, определяемые некоторыми наборами координат, тогда между этими положениями система движется таким образом, чтобы интеграл



имел наименьшее значение. Функция - называется функцией Лагранжа, а интеграл - действием.

Определим функцию Лагранжа для свободной материальной точки. При свободном движении материальной точки относительно инерциальной системы отсчета функция Лагранжа зависит только от квадрата вектора скорости. Для выяснения этого вида зависимости воспользуемся принципом относительности Галилея. Если инерциальная система отсчета движется относительно инерциальной системы отсчета с бесконечно малой скоростью , то . Так как уравнения движения в разных системах отсчета должны иметь один вид, то функция Лагранжа может отличаться лишь только на полную производную от функции координат и времени

Разлагая в ряд это выражение, и пренебрегая бесконечно малыми, получаем

Второй член разложения будет полной производной по времени, только если он зависит от скорости линейно, а тогда - не зависит от скорости, то есть функция Лагранжа прямо пропорциональна квадрату скорости

где m - некоторая постоянная, которую будем называть массой материальной точки.

Таким образом, действие материальной точки при переходе из точки 1 в точку два запишется как

Проведем над данным выражением некоторые предобразования, чтобы привести его к виду исследуемого функционала.

Воспользуемся тем, что скорость - это отношение бесконечно малого участка пути ко времени , или В случае движения летательного аппарата при посадке, длина пройденного пути будет описываться длиной дуги

Тогда

Для исследования такого функционала требуются граничные условия. Так как посадка летательного аппарата происходит с фиксированным временем и расстоянием, то



1.2 Вариационная задача на условный экстремум

Пусть требуется исследовать функционал вида

при наличии условий вида , где .

Для решения такой задачи используют метод, называемый методом неопределенных коэффициентов Лагранжа.

Для начала введем вспомогательный функционал

где

- неизвестные множители, которые следует определить.

Для функционала, заданного такими соотношениями, составим уравнение Эйлера

и дополним его условиями

Это уравнение имеет единственное решение при заданных граничных условиях:



Теорема. Функции , реализующие экстремум функционала

, где при наличии условия связи удовлетворяют при соответствующем выборе множителей уравнениям Эйлера, составленным для функционала . Функции и определяются из уравнений Эйлера и условий При этом считается, что уравнения являются независимыми, а поэтому предполагается, что хотя бы один из якобианов порядка m отличен от нуля, т.е.

Доказательство. Из условия в силу независимости переменных получаем

для задачи с неподвижными границами , . Кроме того, по условию теорем имеется m связей типа

Варьируя , находим



В силу уравнений и в нашем распоряжении имеется всего независимых переменных . Умножим уравнение на и проинтегрируем результат по в пределах от до . Тогда

Складывая теперь уравнения и , находим

Обозначив

Получаем

К полученному выражению пока что нельзя применять основную лемму вариационного исчисления, поскольку компонент вариаций являются зависимыми. Однако множителей Лагранжа мы можем определить из линейных уравнений

Или, если подставить сюда , то найдем

Эти уравнения имеют определитель, отличный от нуля, а именно

а следовательно, однозначным образом определяют решения при ]).

При таком выборе основное необходимое условие экстремума

Принимает вид



Поскольку же входящие в данное условие вариации являются теперь независимыми, то здесь применима основная лемма и мы получаем уравнений

а вместе с уравнением будет еще уравнений

Следовательно, объединив их, мы находим искомую систему из уравнений, определяющих однозначным образом все динамические переменные и :

Теорема доказана.

1.3 Вывод системы уравнений

Для начала запишем полученный функционал, условия связи и важные соотношения:



Тогда для наших условий связи получаем конечный вид вспомогательного функционала:

Вычислим зависимость скорости снижения самолета от высоты.

Будем считать, что на ЛА стоит датчик, который следит за тем, чтобы подъемная сила уравновешивалась силой тяжести, так же учтем, что проекции силы сопротивления и силы тяги равны, тогда

Тогда получаем кинематическую задачу, и высота описывается законом равноускоренного движения:



Откуда

Подставим это в соотношение для скорости

Для получившегося функционала первый интеграл Эйлера будет

Найдем компоненты этого соотношения

Тогда получается



Поделим на

Умножим на

Умножим на .

Будем считать коэффициент равным нулю, другая ситуация рассматривается отдельно.

Произведем замену , тогда



где

Поделим на

Введем коэффициенты

Рассмотрим



Разделим на

Обозначим , откуда

Тогда

Рассмотрим



Тогда, разделяя переменные в

Воспользуемся условиями связи

Учитывая, что



Получим окончательные уравнения

Вводя параметр и , получим итоговую систему уравнений



2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 Численное решение системы уравнений

Решим полученную систему уравнений.

Для установления зависимости между и необходимо найти коэффициенты и из двух нижних уравнений. Метод простых итераций в данном случае не применим, так как привести систему интегральных уравнений к виду

крайне сложно и требует раскрытия интегралов. То же самое относится к методу Зейделя.

Воспользуемся методом Ньютона для решения нелинейных систем уравнений.

Расчетные формулы могут быть получены за счет замены исходного уравнения линейным в окрестности корня

Геометрическая интерпретация метода состоит в том, что график функции заменяется на прямую - касательную к нему в точке и очередным приближением является точка пересечения этой касательной с осью абсцисс.



Для системы уравнений

Расчетные формулы выглядят как

где

Сформулируем теорему.

Теорема. Пусть в некоторой окрестности решения системы уравнений функции и якобиан системы отличен от нуля в этой окрестности. Тогда существует -окрестность точки такая, что при любом выборе начального приближения из этой окрестности последовательность не выходит из неё и имеет место квадратичная сходимость этой последовательности.

В качестве критерия сходимости будем считать

где - некоторое маленькое положительное число, которое при вычислениях примем равным .

Исходный код метода Ньютона в приложении 1.

Этот метод требует, во-первых - вычисления производной, во-вторых - вычисление интеграла, в-третьих - начального приближения.

Чтобы не вычислять аналитически производную функций по каждой переменной воспользуемся численными методами нахождения производной.

Подходящим численным приближением в данном случае будет

Такое приближение дает достаточно точные результаты и не требует большой вычислительной мощности. Код вычисления производной в приложении 2.

Определимся с вычислением интегралов. Так как метод Ньютона вычисляет весьма конкретные значения функций в каждой точке при итерации, то необходим способ вычисления интегралов с хорошей точностью и низкими требованиями вычислительной мощности, так как этот процесс будет повторяться на каждом шаге метода.

Воспользуемся для этого методом прямоугольников. Идея этого метода заключается в том, что значение интеграла аппроксимируется площадью прямоугольника на каждом шаге. Точность определяется длиной шага.

Расчетная формула будет выглядеть как

Исходный код вычисления интегралов в приложении 3.

Для определения начального приближения воспользуемся графическим методом. Вычислим значения интегралов в зависимости от и во всех точках некоторого разбиение (расчетная сетка). В случаях, когда это невозможно, примем его равным , чтобы впоследствии отсеять такие значения. Получим такие изображения для .



2.3 Значения интеграла 0

Белыми линиями отмечены изолинии, при которых первый (левая изолиния) и второй (правя изолиния) интегралы равны единицам. При этом стоит учитывать значения первого интеграла в этой области.

Это позволяет задать начальное приближения в окрестности .

Результат работы программы:

2.2 Построение графиков зависимости

Для полученных значений и построим графики зависимости от .

Для этого напишем программу, визуализирующую полученные результаты и позволяющую управлять параметрами

Интерфейс программы выглядит следующим образом

Справа от графика находятся ползунки позволяющие регулировать значения и , а также шага отрисовки, коэффициента , положения графика и его размеры. Также есть возможность включить моментальную отрисовку и поменять режим аппроксимации. По умолчанию график функции аппроксимируется линиями, но можно делать это точками.

2.5 Интерфейс программы



Можно заметить изменение траектории в зависимости от значений . Учитывая, что физический смысл коэффициента в отношении длины к начальной высоте, можно заметить, что график становится более резким при увеличении коэффициента.







ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Заканчивая работу, отметим три основных положения:

· Решена задача Эйлера на условный экстремум при двух изопараметрических условиях (длина и время фиксированы).

· Проведен анализ полученной системы нелинейных уравнений и численно проанализировано ее решение.

· Разработана математическая программа численного расчета и построены графики зависимости.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - М.: Наука. 1969.

2. Вестяк А.В., Вестяк В.А., Гладков С.О. Вариационное исчисление и основы теории оптимального управления - М.: Изд-во «МАИ», 2014.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. Т. 1. М.: Наука. 1970.



ПРИЛОЖЕНИЕ

1. Метод ньютона

double* newton(double (*int1)(double a, double b), double (*int2)(double a, double b))

{

double* newroot;

double* oldroot;

double tau = 0.9;

double grad = 0;

int stopper = 500;

int counter = 0;

int cont;

double I1, I2;

double starta = -0.01, startb = -1000;

newroot = (double*)malloc(sizeof(double)*2);

oldroot = (double*)malloc(sizeof(double)*2);

newroot[0] = 0;

newroot[1] = 0;

do

{

oldroot[0]=newroot[0];

oldroot[1]=newroot[1];

grad = determinant(fullgradient(int1, int2, oldroot[0], oldroot[1]));

newroot[0]=oldroot[0]-tau*(int1(oldroot[0], oldroot[1])*gradientb(int2, oldroot[0], oldroot[1])

-int2(oldroot[0], oldroot[1])*gradientb(int1, oldroot[0], oldroot[1]))

/grad;

newroot[1]=oldroot[1]-tau*(int2(oldroot[0], oldroot[1])*gradienta(int1, oldroot[0], oldroot[1])

-int1(oldroot[0], oldroot[1])*gradienta(int2, oldroot[0], oldroot[1]))

/grad;

counter++;

I1 = int1(newroot[0], newroot[1]);

I2 = int2(newroot[0], newroot[1]);

if(!(I1==I1) || !(I2==I2)){

newroot[0] = oldroot[0];

newroot[1] = oldroot[1];

tau = tau*0.5;

cont = 1;

}else{

cont = 0;

}

printf("new int: %g %g\n", I1, I2);

printf("|-------------------|\na = %g\nb = %g\nerr = %g\ndet = %g\ntau = %g\n",

newroot[0], newroot[1], rooterror(oldroot, newroot), grad, tau);

}while((cont || rooterror(oldroot, newroot) > EPS) && counter < stopper && tau>1.e-12);

if(counter >= stopper)

printf("Too much steps\n");

return newroot;

}

2. Нахождение производной.

double gradienta(double (*integral)(double a, double b), double a, double b)

{

double l, r;

r = integral(a+EPS, b);

l = integral(a-EPS, b);

if(l==l && r==r){

return (r-l)/(2*EPS);

}

if(!(l==l) && r==r){

l = integral(a, b);

return (r-l)/(EPS);

}

if(l==l && !(r==r)){

r = integral(a, b);

return (r-l)/(EPS);

}

return l;

}

3. Метод прямоугольников.

double quadrature(int apxlevel, double t1, double t2, double a, double b, double (*func)(double t, double a, double b))

{

double h = (t2-t1)/apxlevel;

double res = 0;

double f;

int i;

for(i = 0;i < apxlevel;i ++)

{

f = func(t1+h*i+h/2, a, b);

res += h*f;

}

return res;

}

Размещено на Allbest.ru

...