Решение задачи о брахистохроне

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 Задача в постановке И. Бернулли

1.2 Анализ существующих решений

1.2.1 Решение Г. Галилея

1.2.2 Решение И. Ньютона

1.2.3 Решение И. Бернулли

1.2.4 Решение И.М Беленького

1.2.5 Решение Л.Э. Эльсгольца

1.3 Подведение промежуточных итогов

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 Основные уравнения динамики

2.2 Анализ радиуса кривизны кривой

2.3 Нахождения угла наклона касательной

2.4 Вывод функций координат

2.4 Сравнение полученных результатов

2.4.1 Сравнение с решением И.М. Беленького

2.4.2 Сравнение с решением Л.Э Эльсгольца

2.5 Роль констант интегрирования

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ



ВВЕДЕНИЕ

задача бернулли брахистохрон трение

Рассматриваемая задача, поставленная И. Бернулли в 1696 г. На сегодняшний момент рассмотрена многими именитыми учёными, имеет множество всевозможных способов решения. Но стоит учесть, что в большинстве этих решений применяются знания из таких математических дисциплин, как Функциональный анализ, Методы оптимизации, Методы вариационных исчислений. Это затрудняет понимание задачи для людей, ранее не сталкивавшимися с понятием функционала и методами минимизации.

Исходя из этого, мною была сделана попытка решить задачу о брахистохроне на основе более широко известных принципах теоретической механики и знаний азов математического анализа.

Были учтены и разобраны несколько наиболее распространённых методов решения данной задачи.

Проводилось исследование различных известных и распространённых способов нахождения линии наискорейшего спуска и их сравнении с собственными вычислениями. На основе этого сравнения был сделан вывод о состоятельности проведённой работы.

На практике с вопросом о линии наискорейшего спуска под действием силы тяжести, получившей название брахистохроны (от греч. всЬчйуфпт “кратчайший” + чсьнпт “время”), так или иначе, явно или косвенно, сталкивается огромное количество людей.

К примеру, при перемещении грузов с некоторой высоты логично использовать пандус, по которому груз сам, под действием силы тяжести, скатывался бы к нужному месту. Очевидно, что изменение формы такого пандуса приведёт к изменению времени ската груза. Из этих предпосылок мы получаем закономерный вопрос: какая же форма будет наиболее подходящей, т.е. приведёт с наискорейшему спуску? Ответом на него и становится вычисленная брахистохрона. Данная кривая, став образующей пандуса, даст нам возможность переместить груз за наименьшее время.

Тот же принцип можно заложить и в форму спасательных трапов, получивших сегодня широкое распространение. Надувные трапы входят в состав оборудования всех широкофюзеляжных гражданских самолётов и используются при экстренной эвакуации пассажиров в чрезвычайных ситуациях.

Так же стоит отметить, что такие устройства нашли применение в системе эвакуации людей из производственных зданий и жилых построек.

Более того, такую траекторию можно использовать при разработке конструкции устройств подачи материалов в автоматических производствах. Такая форма направляющих позволит при экономии энергии ускорить подачу необходимых материалов, что, в свою очередь, повысит эффективность производства.

При некоторой адаптации задача может найти своё применение в военной и космической отраслях. Это, в первую очередь, расчёт оптимальных траекторий запуска ракет с неподвижных объектов, находящихся на возвышенности или над поверхностью земли, например зависший в воздухе летательный аппарат, высокая башня или пусковая установка. Во вторую, система подачи снарядов в различных комплексах пушечного вооружения.

Упрощение же самих расчётов и принципа нахождения линии наикротчайшего спуска, само по себе может внести маленький вклад в популяризацию прикладной физики и математики в обществе. Примером тому может стать проведение демонстраций нахождения решения в общеобразовательных школах (среди учеников 10-11 классов), в колледжах, техникумах, профессионально-технических училищах, среди студентов начальных курсов ВУЗов и других людей знакомых с основами физики, механики, и имеющих первый опыт в интегрировании. Под первым опытом подразумевается знание лишь основ интегрирования, так как интегралов, вызывающих большую сложность в решении, в работе не присутствует. В случае затруднений решённые интегралы можно найти во всевозможных источниках, чему способствует их общеизвестность.



1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 Задача в постановке И. Бернулли

Задача о брахистохроне, т.е. прямой наискорейшего спуска, впервые была поставлена Иоганном Бернулли в его статье, опубликованной в первом научном журнале Германии “Acta Eruditorum” в июне 1696 года. Он представил её следующим образом:

“Я, Иоганн Бернулли, обращаюсь к самым блестящим математикам в мире. Ничто не является более привлекательным для умных людей, чем честная, сложная задача, решение которой, возможно, дарует славу и останется вечным памятником. Следуя примеру Паскаля, Ферма и т.д., я надеюсь получить благодарность всего научного сообщества, указывая лучшим математикам нашего времени проблему, на которой они смогут проверить свои методы и силу своего интеллекта. Если кто-то представит мне решение предлагаемой задачи, я публично объявлю его достойным похвалы''.

Задача звучала так: Имеются две точки A и B, лежащие в вертикальной плоскости. Каковой будет траектория материальной точки, движущейся только под действием силы тяжести, которая начинает своё движение в точке A и достигает точки B за кротчайшее время?

На данную статью откликнулось множество именитых учёных, в их числе И. Ньютон, Я. Бернулли, Г. В. Лейбниц, Г. Ф. Лопиталь, Э. В. Чирнхаус. Сам И. Бернулли тоже представил своё решение данной задачи.

Интересно отметить, что на момент выпуска своей статьи И. Бернулли знал самой известной задаче Б. Паскаля, связанной с циклоидой. Существует мнение, что И. Бернулли так же знал о том, что циклоида является решением поставленной им задачи о брахистохроне, и что его метод решения использовал идеи Ферма.



1.2 Анализ существующих решений

1.2.1 Решение Г. Галилея

Стоит сказать, что И. Бернулли не был первым, кто рассматривал задачу о брахистохроне. В 1638 году Г. Галилей изучал эту проблему в его исторической работе “Беседы о двух новых науках”. Первый представленный им вариант задачи звучал так: “Найти прямую линию, соединяющую точку A с точкой B на вертикальной прямой, которую можно достичь за наименьшее время.”

Он правильно рассчитал, что такая прямая из точки A будет составлять угол в 45 градусов к вертикали при достижении необходимой вертикальной прямой в точке B (Рис.1).

Рис.1 Лучшая прямая Галилея.



Он вычислил время, которое понадобится точке, чтобы перейти от точки A к точке B по прямой линии. Затем он показал, что тело достигнет точки B быстрее, если будет двигаться по двум отрезкам AC и CB, где точка C - точка на окружности, проходящей через точки A и B (Рис.2).

Рис. 2 Результат Галилея.

1.2.2 Решение И. Ньютона

В январе 1697 года в трудах Лондонского королевского общества по развитию знаний о природу было анонимно опубликовано решение рассматриваемой задачи И. Ньютоном. Оно было объяснено президентом Королевского общества, Ч. Монтегю, таким образом:

Необходимо найти кривую ADB, по которой тело, под действием силы тяжести наиболее быстро спустится из точки A в точку B.

Пусть через точку A проходит неограниченная прямая линия AFCE. Пусть на ней будет описана произвольная циклоида ALF, проходящая через прямую AB (подразумевается, что прямая нарисована и может быть представлена при необходимости). Точка L является точкой пересечения данной циклоиды ALF и прямой AB. Пусть на ней так же будет описана вторая циклоида ADC, высота и основание которой соотносятся с основанием и высотой первой циклоиды как AB к AL соответственно. Точка B является точкой пересечения циклоиды ADC и прямой AB. Тогда рассматриваемая циклоида ADC пройдёт через точку B, и она будет той кривой, по которой тело под действием силы тяжести спустится наиболее быстро из точки A в точку B. (Рис.3)

Рис. 3 Решение Ньютона.

Необходимо пояснить, что под циклоидой подразумевается трансцендентная кривая, описываемая системой параметрических уравнений:

Или в декартовых координатах:



1.2.3 Решение И. Бернулли

В мае 1697года в Acta Eruditorum было опубликовано решение самого автора задачи, И. Бернулли. Он представил плоскость множества полос и предположил, что частица на каждой полосе движется по прямой. Таким образом, он аппроксимировал путь тела совокупностью отрезков, тем самым сделав его кусочно-линейным. Сама задача тем самым свелась к определению угла, под которым пройдёт каждый отрезок относительно вертикальной оси. Для этого И. Бернулли обратился к принципу ферма.

Принцип Ферма (принцип минимального времени): “В пространстве между двумя точками свет распространяется по тому пути, вдоль которого время его прохождения минимально.”

И так, если v- скорость в одной полосе, направленная под углом б к вертикали, и u- скорость в соседней полосе, направленная под углом в

к вертикали, то по закону косинуса:

При рассмотрении в пределе, когда полосы становятся бесконечно узкими, отрезки составляют кривую, в каждой точке которой угол отрезка с вертикальной осью обращается в угол касательной к кривой, который она составляет с вертикальной осью. Если v- скорость в точке (x, y), а б- угол, который составляет касательная с вертикалью, то кривая удовлетворяет уравнению



Г. Галилей показал, что скорость v удовлетворяет условию

где g-ускорение свободного падения. Подстановкой получим

Убрав постоянные из левой части придём к

Используя тот факт, [17] что

Получим

где . Этому уравнению удовлетворяет циклоида



Дабы проверить этот факт, учтём что

Тогда получим

Таким образом, Иоганн Бернулли пришел к брахистохроне, заданной в параметрическом виде:

При учёте направление оси y получаем график циклоиды. (Рис.4)



Рис.4 Решение И. Бернулли

1.2.3 Решение И.М. Беленького

Рассматривается множество плоских кривых, проходящих через заданные точки и , по которым без трения движется тело в консервативном поле сил.(Рис.4)

Рис.5 К решению И.М. Беленького



Время t, за которое тело M (материальная точка), по одной из рассматриваемых кривых переместиться из точки A в точку B можно выразить интегралом:

где ds- элемент дуги выбранной кривой, а v-величина скорости.

Скорость тела в начальный момент времени берётся равной нулю. Тогда время перемещения тела будет зависеть только от формы кривой, по которой будет совершаться движение. То есть время будет представлять из себя функционал, зависящий от вида функции, задающей кривую.

Далее И.М. Беленький демонстрирует эквивалентность между задачей о брахистохроне, и задачей о распространении света. Действительно, следуя принципу Ферми для оптически неоднородной среды, можем сказать, что свет между двумя точками распространяется по траектории, для движения по которой затрачивается меньшее время, иными словами время прохождения можно представить в виде:

где n- показатель преломления, ds-элемент дуги кривой, по которой происходит распространение света. Эквивалентность двух задач становится очевидна, если n взять равной .

Из принципа наименьшего действия Гамильтона известно, что:



где (в нашем случае) полная механическая энергия E=0, а потенциальная энергия U=. Если n положить равной , то U= и задача о нахождении траектории тела, совершающего перемещение в консервативном поле сил опять сводиться к задаче о движении света.

В поле силы тяжести можем сказать что:

Исходя из того, что начальная скорость равна нулю, а начало координат проходит через начальную точку искомой траектории, получаем:

И, следовательно,

Воспользовавшись дифференциальным уравнением траектории [1]

придём к следующему дифференциальному уравнению для нахождения брахистохроны:



Делая подстановку и , приходим к уравнению с разделяющимися переменными:

и после интегрирования

где С- постоянная интегрирования.

Далее И.М. Беленький вводит угол б, такой что

И пользуясь подстановкой, находит

Тогда



После интегрирования:

Легко понять, что в выбранной системе отчёта константа интегрирования равна нулю и уравнение брахистохроны в параметрическом виде выглядит как

График такой циклоиды будет выглядеть следующим образом. (Рис.6)

Рис. 6 Решение И.М. Беленького



1.2.4 Решение Л.Э. Эльсгольца

Подобно решению И.М. Беленького, Л.Э. Эльсгольц в книге “Дифференциальные уравнения и вариационные исчисления” переносит начало координат в начальную точку искомой траектории. Ось x направляет горизонтально, ось y вертикально вниз.(См. Рис.4)

Скорость движения тела (материальной точки) определяется как:

Откуда находится время, необходимое телу для перемещения из точки A в точку B:

Как далее указывает Л.Э. Эльсгольц, данный функционал принадлежит к простейшему виду и его подынтегральная функция не содержит явно x, что приводит нас к тому, что уравнение Эйлера имеет первый интеграл

или в данном случае



или же

Далее вводится параметр t, такой что

Тогда с помощью данной подстановки из предыдущего уравнения получаем:

Таким образом, в параметрическом виде уравнение найденной траектории будет выглядеть как:



А если учесть, что вторая константа равна нулю (из начальных условий) приходим к системе вида:

Являющейся системой уравнений, задающих циклоиду. (Рис.7)

Рис.7 Решение Л.Э. Эльсгольца

Рассматривая конкретно промежуток величины угла (0, Pi/2) имеем решение изначальной задачи. (Рис.8)



Рис.8 Решение во временном промежутке (0, Pi/2)

При сравнении решения, с решением И.Бернулли, видим их совпадение.



2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 Основные уравнения динамики

Укажем систему динамических уравнений в подвижном базисе з, ф.

Рис.9 Геометрия решения

Из основного уравнения динамики имеем

Реакция желоба в осях з, ф:

При движении по параболе имеем:



При движении же по брахистохроне в соответствии с [18] имеем:

Учитывая явный вид касательного ускорения

и нормального ускорения

Получаем систему уравнений движения в осях з, ф:

где радиус кривизны[2]



2.2 Анализ радиуса кривизны кривой

Рассмотрим радиус кривизны конкретнее. Так как в геометрическом смысле производная функции есть тангенс угла наклона

Получаем выражение для кривизны кривой в форме

Взяв во внимание тот факт, что

получим:

Поделим составляющие системы динамических уравнений друг на друга, тем самым придём к



Заменив R на полученное ранее выражение получим

или же

Далее, следуя цепочке простых равенств получим:

Проинтегрируем это выражение и найдём скорость.

где >0- константа интегрирования.

2.3 Нахождения угла наклона касательной

Из первого уравнения приведённой выше системы найдём выражение для угла б



,

2.4 Вывод функций координат

Спроецировав скорость тела на оси глобальной системы координат, получим систему уравнений движения в переменных v и б.

Добавив с систему два ранее выведенных соотношения, получим

Теперь имеем все необходимые выражения для нахождения функций x(t) и y(t).

Найдём x(t):



При учёте, что

Аналогично найдём y(t):

При учёте, что

Таким образом, получаем уравнение циклоиды в параметрическом виде

2.4 Сравнение полученных результатов

2.4.1 Сравнение с решением И.М. Беленького

В главе 2.3 была получена система трансцендентных уравнений, описывающих циклоиду, являющуюся решением задачи И. Бернулли о нахождении кривой вида:

(1)

Сравним его с решением И.М. Беленького этой же задачи, рассмотренное в главе 1.2.4:



(2)

Положив в системе (1) , , , получим:

Положив в системе (2) , , получим:

Видим, что решения совпадают и описывают циклоиду (См. Рис. 6).

2.4.1 Сравнение с решением Л.Э. Эльсгольца

В главе 2.3 была получена система трансцендентных уравнений, описывающих циклоиду, являющуюся решением задачи И. Бернулли о нахождении кривой вида:

(3)

Сравним его с решением И.М. Беленького этой же задачи, рассмотренное в главе 1.2.4:



(4)

Положив в системе (3) , , , получим кривую вида (Рис.10)

Рис.10 Решение в промежутке [0, ]

Положив в системе (4) , а так же совершив замену 2t=t, получим кривую вида (Рис.11)



Рис. 11 Решение Л.Э. Эльсгольца в промежутке [0, ]

Учитывая тот факт, что Л.Э. Эльсгольц располагал начало координат в точке старта и направлял вертикальную ось y вниз, можем сделать вывод о совпадении решений.

Эти сравнения так же говорят нам о роли констант интегрирования в найденном решении. Так можно сказать, что константы интегрирования и позволяют переместить начало решения в начальную точку, известную по условию. Константа отвечает за масштаб графика, чаше она использовалась для регулировки решения по оси ординат. Постоянная даёт возможность изменять начальный угол нормали к графику. Это было отчётливо видно при сравнении полученного решения с решение Л.Э. Эльсгольца.

Стоит отметить, что решение, за счёт наличия констант интегрирования, получилось в более общем виде, чем рассмотренные в теоретической части выпускной квалификационной работы.

Под конец подробнее рассмотрим первую арку данной циклоиды. Именно в этой области будет лежать траектория спуска тела. (Рис. 11)



Рис.11 Первая арка циклоиды



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В выпускной квалификационной работе был проведён анализ существующий способов решения задачи И. Бернулли о брахистохроне (кривой наискорейшего спуска) для движения тела в консервативном поле сил (без учёта трения и внешних сил). Приведены системы уравнений, описывающих трансцендентную кривую, являющуюся решением данной задачи. Приведены наглядные графические иллюстрации

Разработан собственный алгоритм решения, избегающий в явном виде встречи с понятиями функционала и минимизации функционала. Использованы только уравнения динамики криволинейного движения, понятия производной, кривизны кривой, роли тригонометрический функций, как отношения сторон и геометрического смысла производной.

На основе сравнения с уже имеющимися решениями сделан вывод о корректности данного способа.

Сделано упрощение решения в целях облегчения понимания алгоритма.

Проведён анализ полученного решения. Определено назначение констант интегрирования, вошедших в уравнения в ходе решения. С помощью констант подобранно несколько случаев полного совпадения полученного в практической части и исследованных в теоретической части решений. Приведены графические иллюстрации данного совпадения.

Продемонстрирован способ решения задачи без использования вариационных исчислений.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

[1]. А.В. Вестяк, В.А. Вестяк, С.О. Гладков. Вариационное исчисление и основы оптимального управления.М.: МАИ.2014

[2]. Л.Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнение и вариационное исчисление. М.:Наука, 1969.

[3]. А.П.Карташев, Б.Л.Рождественский обыкновенные дифференциальные уравнение и основы вариационного исчисления. М.:Наука, 1986.

[4]. И.М.Гельфанд, Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.:Физматгиз, 1961.

[5]. Сборник задач по математика для ВТУЗов. Ч.4 / Под ред. А.В.Ефимова. М.:Наука, 1990

[6]. С.Г. Михлин. Вариационные методы в математической физике. М.:Наука, 1970

[7]. К. Ланцош. Вариационные принципы механики. М.: Мир, 1965 [8]. Л. Янг. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.:Мир, 1965

[9]. Ф.П. Васильев. Лекции по методам решения экстремальных задач. М.:Изд-во МГУ, 1974

[10]. С.А. Агафонов, А.Д. Герман, Т.В. Муратова. Дифференциальные уравнения: Т.8. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997.

[11]. А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высш.шк., 1994.

[12]. В.И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Наука, 1984

[13]. С.О. Гладков. Сборник задач по теоретической и математической физике. М.:Наука. Физматлит, 2010

[14]. Д.В. Сивухин Общий курс физики. М.: Наука. Физматлит, 1996

[15]. С.О. Гладков, С.Б. Богданова. К вопросу анализа уравнения движения тела по плоской вращающейся брахистохроне. М.: Учёные записки физического факультета МГУ. 2017, № 172101-1-6

[16]. С.В. Конягин. Вариационное исчисление и оптимальное управление. М.: Механико-математический факультет МГУ. 2005

[17]. http://hijos.ru/2011/02/16/zadacha-o-braxistoxrone/

[18]. С.О. Гладков, С.Б. Богданова. Геометрический фазовый переход в задаче о брахистохроне. М.: Учёные записки физического факультета МГУ. 2016, № 161101

[19]. А.С. Вондрухов. Брахистохрона при действии разгоняющей силы, а также сухого и вязкого трения. Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата ф.-м. наук. М.: Механико-математический факультет МГУ. 2016

[20]. И.М. Беленький. Введение в аналитическую механику. М.: Высш. школа, 1964.

Размещено на Allbest.ru

...