О волновой функции фотона в координатном и импульсном представлениях

Размещено на http://www.allbest.ru/

О волновой функции фотона в координатном и импульсном представлениях

Давыдов А. П.

Злыднева Т. П.

Аннотация

В статье приводится явный вид волновой функции свободного фотона в координатном и импульсном представлениях. Обсуждается отличие сконструированной волновой функции фотона в импульсном представлении от используемых вариантов в литературе. Указывается, что понятие волнового цуга, отнесенное к волновой функции фотона в координатном представлении, является более корректным при описании интерференции, чем аналогичное понятие классической электродинамики. Это позволяет значительно смягчить проблему корпускулярно-волнового дуализма света.

Ключевые слова: волновой пакет, бивектор, уравнение Шредингера.

Abstract

The article provides an explicit form of the wave function of a free photon in the coordinate and momentum representations. The difference of the constructed photon wave function in the momentum representation, from its variants that used in the literature, is discussed. It is stated that the concept of the wave train, referred to the photon coordinate wave function, is more correct in describing interference than the analogous concept of classical electrodynamics. This allows to considerably mitigate the problem of wave-particle duality of light.

Keywords: wave packet, bivector, Schrцdinger equation.

Построение волновой функции фотона в координатном представлении долгие десятилетия считалось невозможным, по-видимому, начиная с работы [1]. Однако в настоящее время ее актуальность начинает вновь рассматриваться в связи с новыми оптические явлениями, в которых участвуют одно- и двухфотонные состояния (квантовая запутанность, квантовые компьютеры, передача информации по квантовым каналам связи и др.). В [2-8] предлагалась волновая функция фотона, нормированная на единичную вероятность, сконструированная на основе уравнений Максвелла, записанных в форме Майорана для векторов , где E и H - напряженности поля. В соответствии с [5-8], она имеет вид

(1)

где (2)

(Oe) - единица измерения (эрстед) векторов о, з. Их можно использовать для конструирования бивектора с целью описания состояния фотона [9]. Однако в [9] этот бивектор, не нормируемый на единичную вероятность, упоминался лишь формально и, по сути, не был использован, хотя бы даже для квантования электромагнитного поля. Кроме того, в [9] подчеркивалось, что из данного бивектора нельзя построить плотность вероятности нахождения фотона в данной точке конфигурационного пространства.

Тем не менее, бивектор подобного вида может играть важную вспомогательную роль с целью построения волновой функции фотона (1), нормированной на единичную вероятность. В [5-8] построен бивектор

(3)

где верхние знаки индексов отвечают положительной энергии фотона, а нижние - отрицательной, «теоретически возможной», с точки зрения виртуальных состояний. Числа в (3) являются значениями спиральности л. В [5-8] утверждается, что коэффициенты разложения однозначно выражаются через векторы E и H, если с их помощью задать состояние фотона в терминах классического электромагнитного поля. Также, в [5-8] установлено, что базисные бивекторы описывают состояния фотона с определенными значениями его импульса , энергии и спиральности л. Эти базисные векторы имеют следующий вид:

(4)

(5)

где - комплексные векторы поляризации [5-8]:

(6)

- вещественные взаимно перпендикулярные векторы, образующие правую тройку с вектором n=k/k (при заданном волновом векторе k=p/h):

(7)

Формулы (7) реализуют ортонормированность векторов и некоторые важные соотношения, если не меняется при изменении знака вектора n:

(8)

В свою очередь, соотношения (8) обеспечивают ортонормированность бивекторов (4), (5), обусловливающую возможность разложения (3):

(9)

С помощью бивектора (3) пространственная плотность распределения энергии фотона в состоянии, описываемом этим бивектором или соответствующей волновой функцией вида (1), записывается как

(10)

При этом волновая функция (1) удовлетворяет уравнению вида Шредингера: волновой фотон импульсный электродинамика

(11)

так же, как и бивектор , определяемый в (3), где оператор Гамильтона

(12)

матрица , - оператор спина фотона в векторном представлении:

(13)

Описание состояния фотона с помощью волновой функции (1), нормированной на единичную вероятность, удовлетворяющей уравнению (11) и уравнению непрерывности [5-8] (см. ниже (15)) означает, очевидно, «первичное квантование» состояний фотона.

В [7-8, 10, 11] функция (1) применялась для однофотонного моделирования лазерного излучения в фемтосекундном диапазоне, с коэффициентами , параметризированными в гауссовой форме

(14)

Волновую функцию (1) можно применить для объяснения интерференции света [12]. Как известно, в классической электродинамике интерференция света имеет место для (более-менее) монохроматических волн. Волновой пакет (1) в пределе в (14) трансформируется в плоскую монохроматическую волну, с сохранением нормировки на единичную вероятность. Именно такого вида волновой пакет, описывающий однофотонное состояние, при объяснении интерференции света приходит на замену некоего цуга («обрывка синусоиды») «реального» излучения (длительностью ф) электромагнитной волны одним атомом, привлекаемой в классической электродинамике. При этом, согласно соотношению неопределенностей для энергии и времени, при увеличении степени монохроматичности (когда неопределенность энергии фотона стремится к нулю) увеличивается время ф, в течение которого фотон должен быть излучен. Длительность же самого процесса излучения, однако, весьма мала, возможно, гораздо меньше, чем длительность, которая полагается в классической электродинамике, совпадающая со временем существования возбужденного состояния атома (порядка для не метастабильных состояний). Время ф, тем не менее, играет такую же роль, что и время когерентности в классической электродинамике. Можно также говорить и о «длине цуга» для одиночного фотона, причем с большей корректностью, чем о нем говорят в классической электродинамике, так как «разделение» неизмеряемой волновой функции (1) на несколько частей, идущих потом по разным оптическим путям, ничем не запрещено [13].

Волновая функция (1) удовлетворяет уравнению непрерывности [5-8],

(15)

где

(16)

Волновой функции (1) соответствует волновая функция в импульсном представлении, согласно общим положениям квантовой механики:

(17)

Если известны, то, используя функции (1) или (17), можно вычислить все характеристики состояния фотона, например, его среднюю энергию

(18)

Эта формула дает значение, совпадающее с имеющимся в классической электродинамике [5-8]. Данное обстоятельство выражает принцип соответствия, обусловливающий введение волновой функции (1). Вместе с тем, в традиционных изложениях вторичного квантования электромагнитного поля встречаются выражения, аналогичные (18), исходя из которых делается неправильный вывод, что совокупность коэффициентов является волновой функцией фотона в импульсном представлении (при этом не подразумеваются удовлетворяющими разложению (1)). Отсюда проистекает некорректная аргументация, что хотя в импульсном представлении волновая функция фотона существует, в координатном - она отсутствует [9]. Например, типичное выражение для энергии электромагнитного поля, сопоставляемой энергии одного фотона, имеет вид

(19)

Если на функцию наложить условие нормировки

(20)

то из (19), (20) следует, что можно отождествить с плотностью импульсного распределения. В связи с этим, сама функция , часто полагается волновой функцией фотона в импульсном представлении (см., например, [9], с. 84). На наш взгляд, “правильной” волновой функцией фотона является бивектор (3) или волновой пакет (1). Поэтому в импульсном представлении волновой функцией фотона [см. (17)] является компонента Фурье от волновой функции в координатном представлении (1).

Введение волновой функции фотона позволяет смягчить проблему корпускулярно-волнового дуализма [6-8]. В [14] обсуждается построение волновой функции фотона в терминах комплексных потенциалов, возникающих при «извлечении квадратного корня» из волнового уравнения.

Список литературы / References

1. Landau L. Quantenelectrodynamik im Konfigurationsraum / L. Landau, R. Peierls // Zeit. F. Phys. - 1930. - V. 62. - P. 188-198.

2. Bialynicki-Birula I. On the wave function of the photon / I. Bialynicki-Birula // Acta Phys. Pol. A. - 1994. - V. 86. - P. 97-116.

3. Sipe J. Photon wave functions // Phys. Rev. A. - 1995. - V. 52. - P. 1875.

4. Давыдов А. П. Квантовая механика фотона / А. П. Давыдов // НАУКА И ШКОЛА: тез.докл. XXXIII науч. конф. МГПИ. - Магнитогорск: Изд-во МГПИ, 1995. - С. 206-207.

5. Давыдов А. П. Волновая функция фотона в координатном представлении / А. П. Давыдов // Вестник МаГУ: Периодический научный журнал. Вып. 5. Естественные науки. - Магнитогорск: Изд-во МаГУ, 2004. - С. 235-243.

6. Давыдов А. П. Квантовая механика фотона: волновая функция в координатном представлении / А. П. Давыдов // Электромагнитные волны и электронные системы. - 2015. - Т. 20. - № 5. - С. 43-61.

7. Давыдов А. П. Волновая функция фотона в координатном представлении. - Магнитогорск: МГТУ им. Г.И. Носова, 2015. - 180 с.

8. Давыдов А. П. Однофотонный подход к моделированию короткоимпульсного лазерного излучения [Электронный ресурс] / А. П. Давыдов, Т. П. Злыднева // Вестник науки и образования Северо-Запада России: электронный журнал, 2015. - Т. 1. - № 4. - URL: http://vestnik-nauki.ru/ (дата обращения: 30.10.2016).

9. Ахиезер А. И. Квантовая электродинамика / А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий. - М.: Наука, 1981. - 432 с.

10. Davydov A. Modeling of short-pulse laser radiation in terms of photon wave function in coordinate representation [Electronic resource] / A. Davydov, T. Zlydneva // Instrumentation engineering, electronics and telecommunications - 2015: Paper book of the International Forum IEET-2015. - P. 51-63. - Izhevsk: Publishing House of Kalashnikov ISTU, 2016. - 208 p. - 7 MB. - URL: http://pribor21.istu.ru/proceedings/IEET-2015.pdf (accessed: 30.10.2016).

11. Давыдов А. П. О снижении скорости свободных фотонов при моделировании их распространения в пространстве с помощью волновой функции в координатном представлении [Электронный ресурс] / А. П. Давыдов, Т. П. Злыднева // Труды XIII междунар. научно-технической конф. АПЭП - 2016. - Том 8. - Новосибирск. - 2016. - С. 50-57. - URL: https://cloud.mail.ru/public/FBMT/KugeZk8F7/ТОМ08.pdf (дата обращения: 30.10.2016).

12. Davydov A. P., Zlydneva T. P. The Young's interference experiment in the light of the single-photon modeling of the laser radiation [Electronic resource] // Information Technologies in Science, Management, Social Sphere and Medicine (ITSMSSM 2016). - 2016. - P. 208-215. - URL: http://www.atlantis-press.com/php/pub.php?publication=itsmssm-16 (accessed: 30.10.2016).

13. Давыдов А. П. О релятивистской инвариантности уравнения непрерывности в квантовой механике фотона / А. П. Давыдов, Т. П. Злыднева // Международный научно-исследовательский журнал. - 2016. - №4 (46). - Часть 6. - С. 134-137. doi: 10.18454/IRJ.2016.46.145

14. Давыдов А. П. Линеаризация волновых уравнений для потенциалов свободного электромагнитного поля с целью его квантовомеханического описания / А. П. Давыдов // Проблемы физ.-мат. образования в педагогич. вузах России на соврем.этапе: тез. докл. межвуз. науч.-практич. конф. / Магнитогорский гос. пед. ин-т. Магнитогорск: МГПИ, 1996. - С. 116-120.

Размещено на Allbest.ru