Идентификация систем в теории управления - определение структуры системы и ее параметров путем анализа входных и выходных данных системы. В свою очередь, идентифицируемость - это не метод восстановления ее параметров, а такое же системное свойство, как управляемость и наблюдаемость, позволяющее построить адекватную модель на выбранных данных в заданных условиях [1].

При моделировании часто ставятся задачи построения новых, сложных моделей процессов, не имеющих математического описания [2]. Одним из таких процессов является процесс массообмена в ректификационной колонне (РК). Для построения моделей таких процессов необходимо убедиться, что в заданных условиях (при ограниченности выборки в силу различных, как технических, так и временных обстоятельств) можно подобрать адекватную модель, т.е. удостовериться в ее идентифицируемости.

В докладе предложена методика определения степени идентифицируемости модели качества выходного продукта РК с помощью алгоритма АСЕ при априорно неидентифицируемом входе [3, 4]. Представлены примеры определения идентифицируемости моделей массообменных процессов, описанных с помощью виртуальных анализаторов (ВА) [5] качества выходного продукта РК [6].

Постановка задачи

Пусть нелинейная модель описывается следующим уравнением:

, (1)

где Х - вектор состояний, u - внешние входные управляющие сигналы, p - вектор параметров и d - вектор измерений.

Согласно теореме Колмогорова правая часть выражения (1) может быть представлена в виде [7, 8]:

. (2)

Для построения адекватной модели (1) в виде (2) могут использоваться алгоритмы, позволяющие представить нелинейную функцию как сумму нелинейных функций от каждого входа, например, алгоритм АСЕ.

Ставится задача разработки методики определения идентифицируемости нелинейных моделей с применением алгоритма АСЕ и введением в модель априорно неидентифицируемого входа и исследования результатов ее использования при определении идентифицируемости моделей ВА качества выходного продукта по доле изо-пентана и доле бензолообразующих компонентов в дистилляте промышленной РК.

Принцип определения идентифицируемости исследуемой модели

Для определения степени идентифицируемости используется специально введенный в модель искусственный вход, содержащий случайные значения или, как вариант, константу, никак не влияющий на выход. С помощью алгоритма ACE формируется оптимальное преобразование для полученной выборки [3].

Оптимальное преобразование включает функциональную зависимость для каждого и случайные отклонения , имеющие в среднем одинаковую амплитуду, величина которой обратно пропорциональна размеру выборки (числу измерений).

Разность между максимальным и минимальным значениями функции , которую восстанавливает соответствующее преобразование тем больше, чем большую роль играет в формировании Y, т.е., эта разность пропорциональна доле вклада данного среди всех входов X. Для неидентифицируемого входа Y от не зависит, поэтому не меняется, т.е. максимальное и минимальное значения не различаются.

Таким образом, идентифицируемость каждого можно оценить, разделив крайние значения для на крайние для искусственного неидентифицированного . Получающаяся величина:

, (3)

где iden - это оценка идентифицируемости модели; - максимальное значение оптимального преобразования АСЕ для текущего входа; - минимальное значение оптимального преобразования АСЕ для текущего входа.

Значение iden будет тем больше, чем лучше идентифицируемость и чем больше выборка, т.к. уменьшается с увеличением размера выборки. В (3) величина является отклонением текущего значения для от значения, которое должно получиться в идеальном случае. Его можно оценить из функциональной зависимости , предполагая, что данная зависимость известна, как в нашем искусственно заданном случае.

нелинейная модель массообменный процесс

Рис. 1. Принцип определения идентифицируемости по алгоритму АСЕ.

Из рис.1 следует, что при неидентифицируемом входе весь средний размах значений в (3) определяется только ошибкой и уменьшается с ростом количества измерений. Если же влияет на Y, то он, будучи обусловленным разницей значений , остается постоянным, а добавка, связанная со случайной ошибкой, уменьшается. Таким образом, соотношение среднего размаха значений будет увеличиваться с ростом числа измерений, а его величина будет указывать на степень идентифицируемости входа.

Подход к определению идентифицируемости исследуемой модели

Исходя из определения идентифицируемости модели, можно сделать вывод, что при различных значениях входов в модель, в допустимом диапазоне для каждого входа, существует определенная закономерность, посредством которой Х преобразуется в Y.

Она должна соблюдаться при любых допустимых значениях на входах в модель. На основе этого предлагается подход, позволяющий идентифицировать модель с помощью алгоритма АСЕ.

Он следующим образом применяется для определения идентифицируемости модели:

Шаг 1. К матрице данных (выборке) исследуемой модели присоединяем столбец со случайными значениями в диапазоне от 0 до 1 - априорно неидентифицируемый вход.

Шаг 2. Применяем алгоритм АСЕ к обновленной матрице данных для получения базового набора векторов оптимальных преобразований по каждому входу исследуемой модели (с базовым набором векторов попарно сравниваются последующие вычисления Шага 4).

Шаг 3. В обновленной матрице данных модели к каждому столбцу добавляем случайное значение, имитирующее ошибки измерения и не изменяющее сути модели.

Оно должно быть достаточно мало, чтобы практически не влиять на вид зависимости Y от Х, например, в диапазоне [0.00: 0.01].

Следует отметить, что добавление небольшого случайного значения делается с целью изменения результата работы алгоритма АСЕ по вычислению векторов оптимальных преобразований.

Это связанно с тем, что преобразование ACE строится не по самим значениям , а по их порядковым номерам в отсортированном массиве . Поэтому достаточно поменять местами пару точек, чтобы алгоритм ACE перетасовал все точки результирующей кривой оптимального преобразования .

Шаг 4. Применяем метод АСЕ к преобразованной матрице данных и получаем новый набор векторов оптимальных преобразований .

Шаг 5. Вычисляем разность между результатами Шага 2 для базового набора векторов и Шага 4 для матрицы данных с малыми случайными вариациями значений входов и рассчитываем среднее значение квадратов отклонений преобразованной матрицы данных от базовой матрицы данных.

Шаг 6. Повторяем Шаги 3-5 заданное число раз N для получения более точного усредненного, результата и вычисляем среднее значение для каждого входа.

Шаг 7. Рассчитываем относительный вклад каждого входа в модель, нормированный на вклад неидентифицируемого входа по формуле

,

где - оценка идентифицируемости модели по i-тому входу; - среднее значение сумм разностей для неидентифицированного входа; - среднее значение сумм разностей для текущего входа.

Шаг 8. Вычисляем среднее отклонение и средний вклад каждого входа в модель.

Применение предлагаемого подхода для промышленных данных

Предложенный подход применен для определения идентифицируемости моделей массообменных процессов на промышленной РК. Модели ВА качества выходного продукта промышленной РК построены с помощью выборки данных этой РК. Их входы выбраны, исходя из физического смысла массообменного процесса, проходящего в колонне (табл.1).

Таблица 1. Входы в модель ВА

На основе промышленных данных и лабораторных исследований были сформированы две выборки: первая - для модели по доле изо-пентана, вторая - для модели по доле бензолообразующих. К выборкам добавлен априорно неидентифицируемый вход X7 со случайными значениями и с нормальным распределением в диапазоне [0: 1].

Обе выборки исследовались с помощью коэффициентов корреляции (табл.2,3).

Таблица 2. Коэффициенты корреляции данных по доле изопентана

Таблица 3. Коэффициенты корреляции по доле бензолообразующих

Значения коэффициентов корреляции для обеих выборок указывают на хорошую зависимость выхода с входом Х6. Вход Х3 дает корреляцию близкую к нулю, свидетельствующую либо о сильной нелинейности данных, либо об отсутствии зависимости между входом и выходом . Значение коэффициента корреляции для априорно неидентифицируемого входа Х7, как и ожидалось, также близко к нулю. Остальные входы показывают неопределенное состояние.

Для оценки идентифицируемости моделей был применен вышеописанный подход. Результаты представлены в табл.4, 5 и на рис.2, 3.

Таблица 4. Результаты для данных по доле изо-пентана

Таблица 5. Результаты для данных по доле бензолообразующих

Здесь std - среднеквадратическое отклонение текущих оптимальных преобразований АСЕ от базовых.

Рис. 2. Преобразованная матрица данных после применения алгоритма АСЕ (20 итераций) для модели по доле изо-пентана

Рис.3. Преобразованная матрица данных после применения алгоритма АСЕ (20 итераций) для модели по доле бензолообразующих

Значения оценки идентифицируемости iden для исследуемых моделей существенно больше единицы (10.594 для изо-пентана, 15.386 для доли бензолообразующих). В ходе исследований было выявлено статистически, что если для модели массообменных процессов значение iden для модели равно или больше 5 при количестве измерений в выборке от 50 до 500, то она является идентифицируемой. В результате применения разработанной методики было выявлено, что для моделей ВА малоинформативными входами являются входы Х1, Х3.

Значения std показывают разницу между базовыми и текущими значениями оптимальных преобразований, на чем основан подход определения идентифицируемости: чем больше разница значений между оптимальными преобразованиями, полученными на основе алгоритма АСЕ, тем хуже идентифицируемость модели.

Значения mean показывают среднее значение разницы между предыдущими и текущими значениями модели. В приведенном исследовании сравнивалось 20 моделей с целью усреднения значений.

Результаты применения изложенного подхода позволили оценить идентифицируемость моделей ВА по доле бензолообразующих веществ и доле изо-пентана в выходном продукте массообменного технологического процесса.

Выводы