Моделювання розподілу електростатичного поля в пласких системах зі складною конфігурацією електродів

КМНТ-2012 Правила оформления текста доклада

ИВАНОВ И.И., ПЕТРОВ П.П.

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Размещено на http://www.allbest.ru/

Моделювання розподілу електростатичного поля в пласких системах зі складною конфігурацією електродів

Корчакова А.С., Нікітенко О.М.

Вступ

Одним зі шляхів, що дозволяють вирішити задачу вивчення фізичних процесів, які мають місце у приладах надвисоких частот, є математичне моделювання процесів взаємодії електромагнітних хвиль з електронними потоками [1].

Враховуючи складність процесів у вакуумних приладах надвисоких частот, під час формулювання математичних моделей вводяться різноманітні припущення, які принципово не порушують загальну картину, хоч і додають додаткові похибки до результатів обчислень. З іншого боку, використання різноманітних моделей дозволяє не тільки отримувати інтегральні характеристики, але й вивчати тонкі процеси в таких приладах [1].

Моделювання електронних приладів, особливо таких, що працюють у мікрохвильовому діапазоні довжин хвиль, а також багато задач електроніки потребують визначення розподілу електростатичного потенціалу в системах зі складною конфігурацією електродів. Наразі такі задачі розв'язують за допомогою чисельних методів, таких як метод сіток та метод скінчених елементів. На базі цих методів побудовано низку потужних пакетів прикладних програм таких як Magic та CST. Тому зацікавленість в аналітичному розв'язанні подібних задач значно зменшилася.

Загально прийнятим обмеженням майже всіх математичних моделей є використання наближення гладких електродів, коли електростатичне поле в просторі взаємодії системи вважають однорідним. Однак в реальних системах один з електродів, найчастіше анод, має неоднорідну періодичну поверхню, що призводить до періодичної неоднорідності розподілу електростатичного поля, врахування якої є необхідними під час вивчення тонких ефектів взаємодії заряджених частинок з електромагнітними полями [1].

З іншого боку, зміна форми анодного блоку магнетрону, як це експериментально показано у [2, 3], призвела до зміни розподілу електростатичного поля в просторі взаємодії таким чином, що дозволило зменшити шуми у вихідному спектрі магнетрона приблизно на 28 дБ.

З вище викладеного випливає, що визначення розподілу просторово-періодичного електростатичного поля в просторі взаємодії вакуумних приладів надвисоких частот є актуальною задачею.

Отже, метою цієї роботи є знаходження розподілу електростатичного поля в системах зі складною геометрією через побудову аналітичного розв'язку крайової задачі Штурма-Ліувіля для таких систем.

Постановка задачі

Для визначення розподілу електростатичного поля необхідно знайти розв'язок рівняння Лапласа для систем зі складною конфігурацією електродів (тут обмежимося двовимірним випадком), що наведено на рис. 1.

Рівняння Лапласа для таких систем має загальний вигляд .

Для кожної конфігурації обирається своя координатна система, для якої рівняння Лапласа набувають певного вигляду.

Для гребінки (рис.1а) використовується декартова система координат, при цьому рівняння Лапласа набуде вигляду

(1)

з крайовими умовами

1. U(0,y) = 0; (2)

2. U() = U₀,

де - анодна поверхня.

а б

Рис. 1 Схематичне зображення простору взаємодії

a - гребінка; b - циліндричний магнетрон

Для циліндричного магнетрона (рис.1б) використовується полярна система координат, при цьому рівняння Лапласа набуває вигляду

(3)

з крайовими умовами

1. U(0,y) = 0; (4)

2. U() = U₀.

Перш ніж розпочинати розв`язання цих рівнянь (1), (3) необхідно довести існування розв`язку та його єдиність. Доведення цих фактів для подібних рівнянь здійснено у [4 - 6].

Методи розв'язання рівняння Лапласа за складних крайових умов

У формулюванні будь-якої крайової задачі бере участь інформація двох видів: аналітична та геометрична. Аналітична інформація - це рівняння, за допомогою яких описується задача; геометрична інформація - форма області та її межі.

Звичайно, будь-який метод розв`язання крайової задачі мусить враховувати обидва види інформації. У таких класичних методах, як, наприклад, метод Фур`є або метод інтегральних перетворень, геометрична інформація враховується через гарний вибір систем координат; у методі конформних перетворень -- побудовою підходящої твірної функції. Однак такі підходи не завжди є можливими. Зростаючі запити практики вимагають необхідності розгляду все більш складних межових задач, для розв`язання яких до тепер не існує точних методів.

Серед наближених методів розв`язання крайових задач найпопулярнішими є сіткові та варіаційні методи. Ці методи мають універсальний характер, можуть застосовуватися для різноманітних диференційних операторів, різноманітних областей та типів крайових умов. У сіткових методах (скінчених різниць, скінчених елементів тощо) вся вихідна інформація, як аналітична, так і геометрична, перетворюється до цифрового вигляду й у результаті розв`язання задачі отримують числові масиви. У варіаційних методах врахування геометричної інформації здійснюється в процесі побудови так званих координатних послідовностей функцій, які задовольняють крайовим умовам та мають необхідні властивості повноти та лінійної незалежності при обчисленні квадратур по області, що розглядається.

Дотепер вважалося, що питання про вибір координатних послідовностей для будь-яких складних областей є справою щасливого випадку, й навіть для найпростішого типу крайової задачі - однорідної задачі Діріхле, де функція, яку визначають, на межі області повинна дорівнювати нулю, - не існувало яких-небудь загальних методик та рекомендацій. Якщо ж складність форми області збігалася зі складністю крайових умов, то задача побудови координатних функцій вважалася зовсім безнадійною. Ця обставина була однією з основних перепон на путі практичного застосування варіаційних методів, які подібно до методу Бубнова-Гальоркіна потребують задовільнення всіх крайових умов.

електростатичний потенціал поле електрод

Розв'язання рівняння Лапласа

Через періодичність гребінки вздовж осі 0x, а циліндричного магнетрона за азимутальним напрямком (рис. 1), для отримання розв'язку рівнянь Лапласа досить розглянути лише один період системи.

Добудемо розв'язки для кожної з систем, що наведено на рис. 1.

Розв'язок рівняння (1) з крайовими умовами (2), який побудовано за використанням методу часткових областей [1] вимагає додаткових складних обчислень коефіцієнтів.

Для усунення цієї незручності шукатимемо розв'язок рівняння (1) з крайовими умовами (2), використовуючи метод відокремлення змінних, тоді остаточно отримаємо

. (5)

У рівнянні (5) залишилося визначити невідомі коефіцієнти A₀ і A_n та довести збіжність ряду.

Розв'язок рівняння (3) з крайовими умовами (4) було здійснено за методом відокремлення змінних у [5, 6], але кінцевого придатного для роботи результату не було отримано.

Остаточний розв'язок рівняння (3) з крайовими умовами (4) має вигляд

. (6)

У рівнянні (6), як і у попередньому випадку, залишилося визначити невідомі коефіцієнти A₀ і A_n та довести збіжність ряду.

Визначення коефіцієнтів

Визначити коефіцієнти у виразах (5), (6) можна за допомогою різних методів: варіаційні методи, метод Л.В. Конторовича, метод Треффтца, методи Рітца та Гальоркіна, метод сіток тощо.

У низці випадків застосування методу Треффтца призводить до простіших обчислень у порівнянні з застосуванням методів Рітца та Гальоркіна, оскільки за методом Треффтца обчислюються лише інтеграли по межі області, а не по самій області.

Для отримання аналітичного вигляду коефіцієнтів ряду розвинемо вираз (5) у ряд Фур'є через періодичність розв'язків (5). В результаті із застосуванням системи комп'ютерної математики Maple отримаємо

, .

Для отримання аналітичного вигляду коефіцієнтів ряду розвинемо вираз (6) у ряд Фур'є через періодичність розв'язків (6). В результаті із застосуванням системи комп'ютерної математики Maple отримаємо

, .

Таким чином отримано аналітичні вирази для розподілу електростатичного потенціалу між електродами зі складною конфігурацією. Збіжність рядів з виразів (5) та (6) за отриманих коефіцієнтів A₀ і A_n доведено у [5, 6].

Коли коефіцієнти визначено, можна знаходити розподіл електростатичного потенціалу у будь-якій реальній конструкції. Як приклад розподіл електростатичного поля для систем (рис. 1) наведено на рис. 2.

а б

Рисунок 2 -- Розподіл електростатичного поля

a -- гребінка; b -- циліндричний магнетрон

Висновки

Використовуючи рівняння Лапласа (1), (3) та визначивши невідомі коефіцієнти за методом Фур'є, стає можливим знаходити розподіл електричного поля для систем зі складною конфігурацією електродів.

Література

1. Шеин А. Г. Вычисление распределения электростатического поля в плоской гребенчатой системе [Текст] / А. Г. Шеин, Буланцев С. С. // Извнстия ВолгГТУ: межвуз. сб. науч. ст. - 2009. (Сер. Электроника, измерительная техника, радиотехника и связь. Вып. 3) - № 3(51) - С. 44 - 48

2. Reduction of Noise in Strapped Magnetron by Electric Priming Using Anode Shape Modification [Текст] / J. I. Kim, J. H. Won and all // 2006 IEEE International Vacuum Electronic Conference April 25 - 27, 2006, Monterey, USA, P. 355 - 356

3. Reduction of Noise in Strapped Magnetron by Electric Priming Using Anode Shape Modification [Текст] / J. I. Kim, J. H. Won and all // Applied Physics Letters 88, 2006.- P. 221501-1 - 221501-3

4. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики [Текст] / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский - М.: Госиздат технической литературы, 1953. - 679 с.

5. Нікітенко О. М. Розподілення електростатичного потенціалу в циліндричному магнетроні [Текст] / О. М. Нікітенко // Радіотехніка. Всеукр. міжвід. наук.-техн. зб. 2001. - вип.117. - С. 112 - 116

6. Nikitenko O. M. Distribution of electrostatic potential in crossed-field system with complex electrodes' configuration / O. M. Nikitenko // Journal of Microwaves and Optoelectronics. 2000, vol. 2 - No 2 - P. 1 - 9

Размещено на Allbest.ru