Полупрозрачный конус с продольной щелью в поле электрического радиального диполя

Размещено на http://allbest.ru

4

ІSSN 0485-8972 Радиотехника. 2013. Вып. 174

Харьковский национальный университет

УДК 517.958:537.8

Полупрозрачный конус с продольной щелью в поле электрического радиального диполя

В.А. Дорошенко, д-р физ.-мат. наук,

А.М. Титаренко, канд. физ.-мат. наук,

А.А. Стрельницкий

Введение

Интерес к изучению электродинамических свойств импедансных, в том числе и полупрозрачных, структур обусловлен их широким применением в антенной технике и технике СВЧ [1]. Построение адекватных физических и математических моделей процессов взаимодействия электромагнитных полей с такими структурами позволяет качественно и количественно проанализировать их электродинамические свойства и характеристики. В работах [2 - 5] приведены результаты теоретического исследования задач дифракции электромагнитных волн на импедансных плоских, цилиндрических, сферических экранах.

Авторами работы [6] предложен поход к решению задачи дифракции волн на сплошном неограниченном импедансном конусе и получено решение в случаи постоянного поверхностного импеданса. Одна из сложностей решения краевых электродинамических задач для конической структуры заключается в том, что на ее поверхности есть сингулярная точка - вершина, вблизи которой решение имеет интегрируемую особенность [7]. Наличие поверхностных неоднородностей в виде щелей на конусе с одной стороны значительно усложняют решение соответствующей краевой электродинамической задачи, а с другой существенно расширяет диапазон использования такой геометрии в практических приложениях. Из имеющихся литературных источников неизвестны решения задачи рассеяния электромагнитных волн на полупрозрачном конусе с продольной щелью. Поэтому целью данной работы является исследование задачи возбуждения электрическим радиальным диполем полубесконечного кругового полупрозрачного конуса с прорезанной вдоль образующей продольной щелью.

Постановка задачи

Полубесконечный круговой полупрозрачный конус с прорезанной от вершины вдоль образующей щелью и углом раствора находится в электромагнитном поле электрического радиального диполя с моментом

,

где , расположенного вне и на оси конуса в точке (рис.1).

Рис. 1

Угловая ширина щели по величине равна величине двугранного угла, который образован плоскостями, проведенными через ось конуса и кромки щели. Во введенной сферической системе координат ,, с началом в вершине конуса () полупрозрачная коническая структура определяется уравнением .

Рассматриваемая полупрозрачная коническая поверхность с параметром прозрачности обладает свойством пропускать и отражать падающее на нее поле источника , и задача заключается в нахождении поля , , обусловленного присутствием рассеивающей поверхности .

Полное поле

, (1)

удовлетворяет:

1) уравнениям Максвелла вне полупрозрачного конуса и источника;

2) краевым условиям на поверхности конуса:

, (2)

, (3)

где , , , - волновое сопротивление среды, и - проницаемости среды, в которую помещен незамкнутый полупрозрачный конус, - внешняя нормаль к поверхности конуса , - дифференциальный оператор 2-го порядка по радиальной координате; антенный электромагнитный волна конус

3) условию на бесконечности в пространстве;

4) условию ограниченности энергии.

Условия (1) - (4) определяют единственность решения поставленной краевой электродинамической задачи. При решении краевых задач с конической геометрией удобно использовать потенциал Дебая [8], вследствие чего исходная электродинамическая задача сводится к третьей краевой задаче [9] для потенциала , который соответствует полю , и удовлетворяет уравнению Гельмгольца всюду вне незамкнутой полупрозрачной конической поверхности и источника, краевым условиям на конусе, соответствующим (2), (3):

, (4)

, (5)

где

, ;

принципу предельного поглощения, условию ограниченности энергии.

В соответствии со структурой полного поля (1), потенциал Дебая для полного поля представляется в виде

.

где - потенциал поля источника, а - потенциал рассеянного конусом поля.

Метод решения

Для решения смешанной краевой задачи воспользуемся интегральными преобразованиями Конторовича - Лебедева [10] и запишем искомый потенциал так

где - функция Макдональда, - функция Лежандра 1-го рода,

, , (6)

где - неизвестные коэффициенты разложения. Знак «+» в (6), (7) соответствует области , а «-» - области . Для нахождения воспользуемся краевыми условиями (4), (5), условиями непрерывности поля в щели, а также математическим аппаратом рядов Фурье, получим систему линейных алгебраических уравнений второго рода фредгольмовского типа (СЛАУ-2) относительно искомых коэффициентов:

, (7)

,

, , ,

где - гамма-функция. В предельном случае исчезновения щели () из (7) следует с точностью до , что

, для (8)

Коэффициенты Фурье (8) соответствуют коэффициентам при возбуждении сплошного полупрозрачного конуса [10].

Аналитическое решение для незамкнутого полупрозрачного конуса с большим уровнем поверхностной прозрачности

В силу свойства СЛАУ-2 (7) ее оператор является сжимающим в случае большого параметра прозрачности (), что позволяет использовать для решения (7) метод последовательных приближений и найти аналитическое решение задачи. Ограничиваясь первым приближением, получаем такое представление для потенциала вдали от щели:

(9)

,

, , , .

Верхние знаки у функции Лежандра в подынтегральных выражениях (9) соответствуют области , а нижние знаки - области . Осуществляя в (9) формальный переход к пределу или , что соответствует исчезновению полупрозрачной конической поверхности, получаем предельное нулевое значение для потенциала Дебая для рассеянного поля. Преобразовав интегралы в (9) и замкнув контур интегрирования, а также используя теорему Коши о вычетах, можно получить представление для в виде ряда по полюсам подынтегральной функции, которая является мероморфной. Множество полюсов подынтегральных функций в (9) образуют спектр рассматриваемой краевой задачи. Используя выражения составляющих электромагнитного поля через потенциалы Дебая, можно записать представление составляющих в виде ряда, члены которого являются модами соответствующих полей. Такое представление удобно при определении поведения поля вблизи вершины конуса и в случае близкого расположения источника к вершине.

В соответствии с (9) спектр краевой задачи для незамкнутого полупрозрачного конуса с большим параметром прозрачности () определяется корнями таких уравнений

, (10)

и

, (11)

При корни уравнения (10) находятся вблизи нулей функции :

, , (12)

а уравнения (11) - вблизи нулей функции .

Наименьшее из собственных значений рассматриваемой краевой задачи при совпадает с наименьшим значением (12)

, (13)

которое и определяет поведение поля у вершины незамкнутого полупрозрачного конуса. Собственные значения (12) для полупрозрачного конуса () с продольной щелью представляют собой собственные значения возмущенные фактом наличия щели,

для сплошного полупрозрачного конуса при таком же способе возбуждения:

,

а собственное значение (13) можно записать так

,.

причем , Электромагнитное поле вблизи вершины () полупрозрачного конуса () с продольной щелью ведет себя как

, . (14)

Из (14) следует, что наличие продольной щели на поверхности конуса усиливает особенность электрического поля у вершины, а магнитное убывает по мере приближения к вершине не так быстро, как у сплошного полупрозрачного конуса. Такой же вывод был сделан и для случая возбуждения идеально проводящего конуса с продольной щелью электрическим радиальным диполем [10].

Заключение

Впервые проведено теоретическое исследование в строгой постановке краевой задачи рассеяния электромагнитных волн на полубесконечном круговом полупрозрачном конусе с продольной щелью.

Метод ее решения основан на применения потенциалов Дебая, интегральных преобразований Конторовича - Лебедва и аппарата рядов Фурье, вследствие чего исходная задача сведена к решению системы линейных алгебраических уравнений второго рода фредгольмовского типа.

В частном случае незамкнутой конической поверхности с высокой степенью прозрачности найдено аналитическое решение, что позволило качественно изучить структуру рассеянного конусом поля и его поведение вблизи вершины конуса.

Полученные результаты могут быть, в частности, использованы на стадии проектирования широкополосных и сверхширокополосных щелевых антенн с прозрачными стенками.

Список литературы

1. Кравченко В. Ф. Электродинамика сверхпроводящих структур. Теория, алгоритмы и методы вычислений. - М. : Физматлит, 2006. - 280с.

2. Бравер И.М., Гарб Х.Л., Фридберг П.Ш. и др. Явление аномально слабого затухания мощности в волноводе с полубесконечной резистивной пленкой // Радиотехника и электроника. - 1987. - Т.32, №2. - С.264-269.

3. Lindel I.V., Shihvola A.H. Electromagnetic boundary conditions defined in terms of normal field components // IEEE Trans. on Antennas & Propagat. Mag . - 2010. - V.58, № 4. - P. 1128-1135.

4. Звездина М.Ю. Рассеяние электромагнитного поля импедансной цилиндрической поверхностью произвольного сечения // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2003. - Т.6, №4. - С.38-40.

5. Ерофеенко В.Т., Кравченко В.Ф. Об импедансных граничных условиях, учитывающих кривизну поверхности // ДАН РАН. - 2000. - Т.45. №11. - С.1-7.

6 Bernard J.M.L., Lyalinov M.A. Electromagnetic scattering by a smooth convex impedance cone // J. of Appl. Math. - 2004. - V.69. - P.285-333.

7 Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн : пер. с англ. ; под ред. М.Л. Левина. - М. : Мир, 1978. - Т.1,2; Т1. - 552с., Т2. - 558с.

8. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. - М. : Высш. шк., 1991. - 224с.

9. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. - М. : Наука, 1973. - 470с.

10. Дорошенко В.А., Кравченко В.Ф. Дифракция электромагнитных волн на незамкнутых конических структурах. - М. : Физматлит, 2009. - 272с.

Размещено на Allbest.ru