Эволюция первоначально локализованного импульса в уравнении Дэви-Стюартсона II типа

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 517.956

ЭВОЛЮЦИЯ ПЕРВОНАЧАЛЬНО ЛОКАЛИЗОВАННОГО ИМПУЛЬСА В УРАВНЕНИИ ДЭВИ-СТЮАРТСОНА II ТИПА

А.А. Юрова, В.А. Юров Колумбийский университет, Колледж авеню, д. 1, г. Коламбия, штат Миссури США

Аннотация

Изучен класс точных локализованных решений уравнения Дэви-Стюартсона II типа. Показано, что с течением времени такие решения теряют пространственную локализацию с характерным временным масштабом, совпадающим с характерным пространственным масштабом начальной локализации. Потеря локализации выражается в появлении резонансных пиков, число которых определяется характером поведения опорной функции на бесконечности. В частности, экспоненциально локализованные возмущения распадаются на бесконечное число резонансов.

Уравнение Дэви-Стюартсона, преобразование Дарбу, солитоны, интегрируемые системы, пары Лакса

A class of spatially localized solutions of Davey-Stewartson II equation is examined; it is shown that such solutions tend to lose the locality properties with time scale corresponding to a characteristic space scale of initial localization. The locality loss manifests itself with emergence of resonance spikes, whose total number is determined by the asymptotic behavior of support function on infinity. In particular, the exponentially localized perturbations split into an infinite number of the resonances.

Davey-Stewartson equation, Darboux transform, solitons, integrable systems, Lax pairs

Проблема построения локализованных двумерных солитонов является важнейшей задачей теории нелинейных интегрируемых двумерных эволюционных уравнений. Как правило, такие солитоны имеют незамкнутые линии уровня либо же являются рациональными структурами («лампами»). Замечательное исключение представляет собой уравнение Дэви-Стюартсона I типа (ДС-I), допускающее экспоненциально локализованные солитоны (дромионы), впервые описанные в 90-х годах прошлого века в работах Бойти, Леона, Пемпинелли, Салля, Юрова и Лебле. Исследования показали, что поведение дромионов значительно сложнее, чем поведение обычных (одномерных) солитонов: дромионы не только сталкиваются с характерным фазовым сдвигом, но также могут аннигилировать, рождаться и образовывать связанные мультидромионные комплексы. Поиски подобных решений для уравнения Дэви-Стюартсона II типа не увенчались успехом; в частности, изучение обратной задачи рассеяния продемонстрировало существенно несолитонное поведение решений.

В данной работе мы воспользуемся преобразованием Дарбу с целью построения решений уравнений Дэви-Стюартсона II типа (ДС-II), в некоторый момент времени (принятый в дальнейшем за нуль) лежащие в классе рационально или экспоненциально локализованных структур на плоскости.

Как известно, уравнения ДС-I типа обладают локализованными решениями. Весьма важный подкласс таких решений составляют так называемые дромионы: решения, при определенном выборе параметров ведущие себя подобно одномерным солитонам при столкновениях. Для уравнений ДС-II подобные решения не обнаружены. Известны стационарные, рационально-локализованные структуры, так называемые лампы и мультилампы [1 - 2]. В работе [3] показано, что одноламповое решение неустойчиво относительно малых возмущений. Оказывается, после возмущения солитона (лампа) данные рассеяния приобретают бессолитонную структуру: исчезает солитонная (дискретная) часть данных рассеяния, что связано с неустойчивостью полюса решения задачи рассеяния при слабом возмущении потенциала.

Как будет показано ниже, можно получить богатое семейство точных нестационарных и несингулярных решений уравнений ДС-II, локализованных в начальный момент времени, причем с течением времени свойство "быть локализованным" исчезает: на плоскости возникает конечное (если начальное возмущение затухает при по степенному закону) или бесконечное (если начальное возмущение затухает по показательному закону) число «резонансов», т.е. точек, в которых амплитуда растет со временем. Кроме того, мы предъявим точное решение уравнений ДС-II, представляющее собой солитон на фоне плоской волны. В работе [4] была получена удобная формула, позволяющая размножать решения уравнений ДС-II:

(1)

локализованный двумерный солитон уравнение

где u - затравочное решение уравнений ДС, а ш1,2 - решения пары Лакса. Из (1) следует, что регулярные решения обычны для к = ?1, а при к = +1 следует ожидать сингулярных решений. Выберем u = 0. Тогда динамические уравнения для ш1,2 принимают вид:

шk,t = 2iшk,xx,шk = шk(t, z) (2)

с k = 1,2, z = x + iy. Пусть шk = µkz + нk, где µk и нk - комплексные константы, удовлетворяющие условию:

Если подставить эти функции в (1), то получим одноламповое решение. Воспользуемся найденными формулами и построим нестационарные решения, которые при t = 0 локализованы всюду на плоскости. Пусть ш1 = ш(t, z) Ї решение (2), а Тогда из (1) имеем

(3)

Похожее соотношение было получено ранее с использованием преобразований Беклунда. Пусть ш(0, z) = ш0(z). Функцию ш0 надо выбрать такой, чтобы при подстановке в (3) получалось выражение u0(z) = u(0, z), локализованное на плоскости. Затем следует решить (2) с начальным условием ш0. Найденная функция ш(t, z) определяет решение уравнений ДС-II, которое локализовано при t = 0.

Для получения рациональных начальных возмущений можно выбрать

ш0,N = zN + µ,

где N - натуральное число; µ - комплексная постоянная. Решая (2), находим, что

m = N/2, если N четно, m = (N ? 1)/2, если N нечетно, ak - некоторые коэффициенты. Решение (3) выражается в виде отношения двух полиномов и затухает при |z|>?, как |z|?N?1. При t = 0 функция ш(t, z) имеет вид полинома от z степени N с коэффициентами, зависящими от времени. У этого полинома есть N комплексных корней zj = xj + iyj, j =1,..,N. Иными словами, на плоскости XY в общем случае существуют N точек Mj с зависящими от времени координатами xj и yj, для которых функция ш тождественно равна нулю. С другой стороны, в числителе решения (3) стоит полином степени N - 1. Корни этих двух полиномов, вообще говоря, различны. Это означает, что в точках Mj амплитуда u1 растет, как tm. Мы будем называть эти точки "резонансами". "Резонансы" исчезают, если все корни полинома ш(t, z) вырождены, поскольку в этом случае из ш = 0 следует, что и шx = 0, т.е. в точках Mj решение u обращается в нуль. Однако поскольку коэффициенты полиномов зависят от времени, с течением его вырождение исчезнет, и "резонансы" появятся. Например, при N = 2 имеем две точки M(±) с координатами

Здесь µ ? б + iв и принято, что б > 0. Амплитуда "резонансов" растет по закону

С течением времени скорость "резонансов" уменьшается и стремится к

причем знаки ± относятся соответственно к точкам M(±), а сами "резонансы" выходят на прямую y = ?2x. Описанная ситуация характерна для t > 0. На всей же оси t (??, +?) динамика выглядит следующим образом: при больших отрицательных временах имеем два "резонанса" в первой и третьей четвертях координатной плоскости, движущихся к началу координат. Со временем их амплитуда уменьшается, скорость растет, и при t = 0 возникает локализованная структура. При t > 0 опять имеем два "резонанса", только во второй и четвертой четвертях, которые расходятся с замедлением и ростом амплитуды. Точно так же можно строить решения, которые экспоненциально локализованы при t = 0. Например, можно выбрать ш0(z) в виде

ш0 = (cosh(µz) + A cos(нz) + B)N.

Здесь N - натуральное число, удовлетворяющее условию N > 1, поскольку при N = 1 будут иметь место неподвижные "резонансы" при всех временах, в том числе при t = 0. Если же N > 1, то, как и в предыдущих примерах, "резонансы" появляются при t = 0, причем в данном случае имеется бесконечное (но счетное) число "резонансов". В заключение предъявим решение, которое можно назвать солитоном на фоне плоской волны. Для его построения выберем затравочное решение уравнений ДС-II в виде

u = A exp (iS),S = ?(2A2+ a2 ? b2) t + ax + by, q = 0. (4)

A, a и b - вещественные константы. В качестве решений LA-пары с заданными значениями потенциалов u и q возьмем функции

(5)

.

Будем считать параметры m и б1 вещественными, б2 = 0 и p = iл, . После подстановки (4) и (5) в (1) получается несингулярное решение уравнений ДС-II u1, квадрат модуля которого при x + y2 >? стремится к постоянному значению: |u1|2> A2. Найденное решение представляет собой локализованное образование, распространяющееся на фоне плоской волны, u (4). Оно является двумерным аналогом эксультонного решения НУШ (нелинейного уравнения Шредингера), поскольку представляет собой рациональный солитон, распространяющийся на фоне плоской волны. Примеры других точных решений уравнений ДС (I и II), построенных с помощью преобразований Дарбу, можно найти в работах [4 - 6].

Список использованных литературных источников

1. Arcadiev V.A., Pogrebkov A.K., Polivanov M.C. Inverse scattering transform method and soliton solutions for Davey-Stewartson II equation // Physica D, 1989, v. 36, p.189-196.

2. Arcadiev V.A., Pogrebkov A.K., Polivanov M.C. Closed string-like solutions of the Davey-Stewartson equation // Inverse Problems, 1989, v.5, N.1, p.L1 - L6.

3. Гадыльшин Р.Р., Киселев О.М. О бессолитонной структуре данных рассеяния при возмущении двумерного солитона уравнения Деви-Стюартсона II // Теоретическая и математическая физика, 1996, v.106, 2, с.200-208.

4. Leble S.B., Salle M.A., Yurov A.V. Darboux Transformation and Solitons in Multidimensions // Inverse Problems, 1992, v. 4, с.207-214.

5. Leble S.B., Salle M.A., Yurov A.V. Darboux Transformation for Davey-Stewartson Type Equations // Proceedings of the IV International Workshop on Nonlinear and Turbulent Processes in Physics (Singapure), 1991, v.2, p.287-296.

6. Leble S.B., Salle M.A., Yurov A.V. Darboux Transforms of Davey-Stewartson Type Equations and Solitons // Proceedings of Kiev Workshop 'Nonlinear World', World Scientific, 1989, N1, p.216-228.

Размещено на Allbest.ru