Вывод уравнений динамики для систем гидродинамического типа с учетом совмещенного эйлерово-лагранжева подхода

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 532.5

вывод уравнений динамики для систем гидродинамического типа с учетом совмещенного эйлерово-лагранжева подхода

А.Д. Терентьев, А.Ю. Григорьев, Р.Х. Сулейманов

гидродинамика инерциальный пространство эйлер

Обсуждается проблема формулировки уравнений гидродинамики в инерциальной системе отсчета. Вывод уравнений основан на совмещенном методе Эйлера-Лагранжа. Уравнения получены для механической системы материальных точек переменного состава, движущейся через фиксированный объем пространства под действием внешних физических сил.

Ключевые слова: скорость, система отсчета, центр масс, уравнения динамики

DERIVATION OF THE DYNAMIC EQUATIONS FOR HYDRODYNAMIC SYSTEMS SUBJECT TO EULER - LAGRANGIAN MATCHED APPROACH

A.D. Terentiev, A.Yu.Grigoriev, R.Kh. Suleymanov

The problem of formulation of the hydrodynamic equations in the Inertial reference system is discussed. Derivation of the equations is based on Euler - Lagrangian matched approach. The equations were derived for the mechanical system of variable composition of material points moving through fixed volume under the external forces.

velocity, system of account, center of mass, dynamic equations

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Терентьев Алексей Дмитриевич, кандидат технических наук, доцент кафедры физики.

Terentiev Alexey, bachelor of technical science, docent of physics chair.

Григорьев Анатолий Юрьевич,кандидат технических наук, доцент кафедры физики.

Grigoriev Anatoly, bachelor of technical science, docent of physics chair.

Сулейманов Равиль Хаматвалиевич, кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой физики.

Suleymanov Ravil, Ph.D. in physics, docent, head of physics chair.

Телефон 645597, (911) 48-26-693

E mail ph@klgtu.ru

1. В механике сплошных сред течением называют непрерывное движение среды без учета ее корпускулярной структуры [1]. При этом скорость макроскопического движения U, определяющая количество массы вещества, переносимого в направлении течения, считается равной скорости центра масс Vc движущейся среды.

Постулат о равенстве скоростей U и Vc был сохранен и в формулировках уравнений гидродинамики, полученных на основе уравнения Больцмана с учетом молекулярной структуры движущейся среды [2]. В результате некоторые составляющие полных производных по времени в уравнениях динамики интерпретируются в качестве сил и мощностей сил. Однако такая интерпретация тождественна преобразованию уравнений в неинерциальную систему отсчета (НСО), где необходим учет действия сил инерции.

В настоящей работе принято определение течения как механического движения системы точек (частиц среды), обусловленного анизотропией векторов скорости точек в инерциальной системе отсчета (ИСО) на интервале времени, позволяющем процедуру усреднения.

С учетом этого определения в [3] доказано, что при наличии анизотропии и разброса модулей собственных скоростей V точек, образующих гидродинамическую среду, скорость центра масс Vc такой среды превышает скорость макроскопического движения . Соотношение между скоростями имеет вид: Vc = <Vn2>/ U, где <Vn2> - среднее квадрата проекций скоростей точек, равное: U2 + <Сn2>; <Сn2> = <С2>/3; <С2> - среднее квадрата скоростей точек в системе отсчета движущейся с макроскопической скоростью среды.

2. Теоремы классической динамики утверждают равенства полных производных по времени от импульса, кинетической энергии и момента импульса - соответствующим источникам изменения: силам, их мощностям и моментам - для системы постоянного состава, движущейся в ИСО.

Требование постоянства состава для гидродинамических систем, как отмечено выше, может выполняться только в локальном масштабе при наблюдении за совокупностью точек, перемещающихся через выделенный объем, с регистрацией параметров в этом объеме. Известно, что такой способ исследования, основанный на совмещенном эйлерово-лагранжевом подходе (СЭЛ), получил применение в численном эксперименте как метод крупных частиц ( МКЧ) [4] .

Рассмотрим вывод балансового уравнения для системы гидродинамического типа, используя методику СЭЛ расщепления на эйлеров, лагранжев и заключительный этапы расчетов. В качестве модели такой системы примем совокупность точек (частиц с тремя степенями свободы), движущихся через фиксированный объем (эйлерову ячейку) в заданной ИСО. Пусть все точки имеют одинаковые массы. Распределение по скоростям описывается функцией , нормированной на локальную числовую плотность N. Ставится задача вычисления скорости изменения суммарных импульса, кинетической энергии и момента импульса в ячейке при условии ограничения области действия источников изменения объемом этой ячейки.

Рис. Схема объемов

Fig. Scheme of volumes

На рисунке показана ячейка с объемом ф и поверхностью у. Совокупность точек постоянного состава на интервале времени Дt=t2-t1 перемещается из объема ф1=ф+ф1* в объем ф2=ф+ф2*. Обозначим связанные с точками физические величины q, суммарное значение этих величин Q и определим их приращения на эйлеровом и лагранжевом этапах.

На эйлеровом этапе имеем:

. (1а)

Здесь Q1 и Q2 - суммарные значения величин q внутри фиксированной ячейки в моменты t1 и t2, равные:

,(1б)

.

Отметим, что на эйлеровом этапе приращение Q не полностью учитывает изменение величин q при движении точек внутри ячейки. На интервале t часть точек перемещается через поверхность , перенося при этом совокупность величин q , которые могли получить приращение в объеме .

Это приращение Q* определяется на лагранжевом этапе как разность суммарных значений Q2* и Q1* во внешних объемах 2 * и 1*. Запишем:

, (2а)

где

,(2б)

.

Здесь переменные объемы 1* и 2* существуют только на интервале t и представляют собой совокупности элементарных объемов: , имеющих основания d на поверхности фиксированной ячейки (см. рисунок).

На заключительном этапе приращения (1) и (2) объединяются, и вычисляется средняя скорость изменения величины Q внутри ячейки:

. (3)

Переходя в (10) к пределу и выполняя усреднение, имеем:

, (4)

где k = 1,2,3 - координатный индекс.

Полная производная по времени (4) представлена в виде суммы двух производных: локальной и нелокальной. Локальная часть характеризует нестационарность процесса внутри ячейки без полного учета изменения величин q , переносимых (конвектируемых) через поверхность . Нелокальная часть производной описывает, по существу, изменение суммы величин q во внешней (по отношению к ) области пространства, но при условии, что каждая из величин q сохраняется до входа и после выхода точек через поверхность . Это условие задано постоянством скоростей v , определяющих размеры объемов 1* и 2 * , которое следует из ограничения области действия источников объемом ячейки.

Определим теперь сумму источников в ячейке и запишем балансовое уравнение. Изменение величины q для каждой точки системы описывается уравнением

, (5)

где I - источник изменения, действующий в той же точке объема , где находится исследуемая материальная точка. Сумма всех источников:

. (6)

Учитывая (11) - (13), получаем балансовое уравнение:

. (7)

Уравнение (7) утверждает равенство (баланс) между полной скоростью изменения параметров системы постоянного состава, перемещающейся через фиксированный объем, и суммой источников изменения, действующих в этом объеме. Подчеркнем, что источниками здесь могут являться реакции непроницаемых участков поверхности .

Подынтегральные выражения в (7) содержат: в левой части - объемную плотность величин q и плотность потока этих величин на проницаемых участках границы, в правой - объемную плотность источников. Дифференциальное соотношение для этих плотностей легко получается с использованием преобразования Гаусса и имеет вид:

. (8)

3. Общие уравнения динамики получаются при подстановке в (7) следующих выражений:

, ; (9а)

, ; (9б)

, . (9в)

Здесь Кi - импульс точки; Fi - сила, приложенная к точке; Т - кинетическая энергия точки; W - мощность силы; Li - момент импульса точки; Mi - момент силы; xl - координаты точки; i,l,j = 1,2,3 - координатные индексы.

Учитывая, что Fi = Fi(e) + Fi(in), где Fi(e) и Fi(in) - внешняя и внутренняя сила, <Fi(in),> = 0, после подстановки (9) в (7) имеем:

, (10а)

, (10б)

. (10в)

Здесь Ui = <Vi> - макроскопическая скорость; Fфi = N<Fi(e)> - плотность внешних сил; N<FiVi> - плотность мощности внешних и внутренних сил; xl*Fфj - плотность момента внешних сил; с = N·m - плотность массы; xl* = <xl>.

Левые части уравнений (10) описывают полные скорости изменения импульса, кинетической энергии и момента импульса системы, движущейся через фиксированный объем в ИСО. Правые части определяют главный вектор сил, мощность всех внешних и внутренних сил и главный момент сил. Тензоры I, II и III рангов : (с<V2Vk>)/2,(с<ViVk>) и (с<xlVjVk>) - описывают плотности полных потоков кинетической энергии, импульса и момента импульса, переносимых точками системы через проницаемые участки поверхности у.

4. Запишем уравнения (10) для стационарного процесса в ячейке с учетом разложения Vi = Ui + Ci:

, (11а)

,(11б)

. (11в)

Интегралы по поверхности, представляющие в уравнениях (11) производные по времени от суммы физических величин внутри объема ф, обычно определяются в качестве потоков этих величин. Такое название соответствует физике процесса, так как нелокальные части производных существуют только при условии, что точки (частицы) системы могут перемещаться через границу объема. Заметим, что при этом внутри объема движется система переменного состава, но дифференцирование выполняется для системы постоянного состава.

Уравнение (11б) - это единственное скалярное уравнение динамики, описывающее процесс стационарного изменения кинетической энергии системы в объеме ф. Мощность сил представлена суммой, где FфiUi - плотность мощности потенциальных сил; N<FiCi> - плотность мощности всех непотенциальных сил. Очевидно, мощность непотенциальных сил определяет работу внешних сил при ударах частиц среды о твердые поверхности, а также - работу внутренних сил, действующих, например, при столкновениях частиц среды. Следовательно, уравнение (11б) содержит детальную информацию обо всех источниках, обеспечивающих макроскопический и тепловой перенос энергии в движущихся средах. При этом мощность непотенциальных сил выступает в качестве теплового источника, который может выделять либо поглощать энергию. Нетрудно показать, что для равновесного течения при отсутствии тепловых источников уравнение (11б) представляет собой закон сохранения механической энергии и записывается в форме известного интеграла Бернулли.

Уравнение (11а) - это закон динамики для центра масс системы, стационарно ускоряемой в заданном объеме ф. Скорость изменения импульса здесь определяется нелокальной частью производной - потоком импульса сквозь поверхность у, представленным суммой макроскопического и дисперсионного потоков. Для аксиально-симметричного равновесного течения из (11а) легко выводится известная формула Стечкина для тяги ракетного двигателя, так как интеграл в правой части уравнения содержит реакции твердых поверхностей. Следует особо подчеркнуть, что уравнение (11а) дает обоснование интегральным методам расчета силового взаимодействия между потоком и твердыми телами (например, при выборе оптимальных профилей сопел ракетных двигателей и обтекаемых тел), если известны функция углового распределения потока импульса и коэффициенты аккомодации.

Уравнение (11в) - это формулировка закона динамики для момента импульса системы в условиях стационарности. В континуальной гидродинамике, как известно, закон динамики для момента импульса используется лишь для доказательства симметрии тензора напряжений. Однако момент импульса системы может изменяться независимо от ее импульса. Полученное здесь уравнение содержит тензор III ранга, имеющий в общем случае 27 компонент. Этот тензор имеет две составляющие полного потока момента импульса, анализ которых может оказаться полезным для расчета локальных параметров в движущихся средах.

5. При U=0 уравнения (11) получают вид:

, (12а)

, (12б)

. (12в)

Уравнения (12) описывают процессы стационарного изменения импульса, кинетической энергии и момента импульса при отсутствии макроскопического движения системы, следовательно, - это уравнения переноса с четко заданными источниками, определяющими скорости изменения соответствующих параметров. Например, из (12б) легко получается формулировка закона Фурье при условии, например, что газ (жидкость) находится в контакте с нагретой поверхностью твердого тела. Работа сил, действующих при столкновениях точек (частиц) среды с поверхностью, обеспечивает увеличение скорости точек после удара, т. е. кинетической энергии (температуры) в объеме, ограниченном поверхностью у.

Особый интерес представляют уравнения (12а) и (12в). Эти уравнения нельзя рассматривать в качестве уравнений гидростатики, так как здесь не выполняются условия равновесия под действием уравновешенной системы сил. В условиях равновесия должна обращаться в нуль не скорость макроскопического движения, а скорость изменения импульса и момента импульса системы.

В частности, в атмосфере Земли молекулы газа движутся с постоянным ускорением под действием силы тяжести. Уравнение (12а) описывает этот динамический процесс внутри любого условно "выделенного" объема.

6. Условия сохранения для физических величин в объеме ф выполняются, когда источники их изменения обращаются в нуль. Рассмотрим, например, формулировку закона сохранения импульса:

. (13)

Очевидно, для стационарного процесса уравнение (13) утверждает равенство потоков импульса, входящих и выходящих через границу объема.

Для нестационарного процесса при отсутствии внешних сил, т.е. при постоянной скорости центра масс системы, внутри объема могут изменяться макроскопическая скорость течения, а также плотности физических параметров среды. Отметим, что именно это особое свойство гидродинамических систем обеспечивает возможность использования законов сохранения при численных исследованиях на основе совмещенного подхода МКЧ.

7. Уравнения динамики (10) сформулированы для гидродинамической системы, движущейся в ИСО. Когда требуется учет ускоренного движения системы отсчета, связанной, например, с Землей или элементами технических установок, источники в правых частях уравнений (10) должны включать в себя силы инерции, их мощности и моменты, зависящие от типа НСО. Общий вид производных по времени в уравнениях при этом не изменяется.

Однако, как известно, уравнение движения, сформулированное относительно ИСО, может быть преобразовано в даламберову или эйлерову НСО посредством отождествления полной производной по времени от импульса либо ее части - с силой инерции.

Рассмотрим частный вид преобразования (10а) в "эйлерову" НСО:

. (14)

Здесь - эйлерова сила инерции.

Из (14) получаются известные уравнения Эйлера или Навье-Стокса, если использовать отождествление тензора с<ci ck> с тензором напряжений. В механике континуума такие уравнения определяются в качестве уравнений движения "частицы" сплошной среды и часто применяются вообще без учета физических сил с плотностью Fфi .

Однако при отсутствии физических сил уравнение (14) эквивалентно уравнению (13), описывающему закон сохранения импульса в ИСО. Этим объясняются проблемы, возникающие при расчетах взаимодействий между потоком газа (жидкости) и твердыми телами. Появление парадокса Даламбера наиболее наглядно подтверждает выполнение III закона динамики, согласно которому любое действие вызывает равное противодействие.

Следует также критически пересмотреть методики расчетов на основе уравнения Навье-Стокса, в котором силу инерции "наделяют" свойствами физической силы с помощью аппроксимаций недиагональных компонент тензора дисперсионного потока импульса, учитывающих якобы вязкое трение. Трение, как и полное сопротивление при движении тел в газах и жидкостях, есть результат обмена импульсами между набегающим потоком и непроницаемой поверхностью тел. Такие же по величине реакции приложены к объему среды. Однако эти силы до сих пор не учитываются в формулировках уравнений континуальной гидродинамики.

8. Выполненное здесь исследование показывает, что в используемых сейчас уравнениях гидродинамики не учитывается реальная, корпускулярная структура среды. Учет такой структуры показал, что при макроскопическом движении системы структурных элементов скорость центра масс не равна макроскопической скорости течения. Понятие поверхностной силы оказывается фиктивным, и силы этого типа нельзя использовать в расчетах взаимодействий как внутри объема среды, так и на поверхностях твердых тел.

В заключение отметим, что совмещенный эйлерово-лагранжев подход дает возможность выполнения аналитических исследований процессов в системах гидродинамического типа на основе аксиоматических законов классической механики. В связи с этим представляется целесообразным изменение методики преподавания некоторых разделов механики, основанных на "гипотезе сплошности", не согласующейся с корпускулярными моделями газов и жидкостей, известными уже в курсе общей физики.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Мейз, Дж. Теория и задачи сплошных сред / Дж. Мейз. - М.: Мир, 1974. - 285 с.

2. Румер, Ю.Б. Термодинамика, статистическая физика и кинетика / Ю.Б. Румер , М.Ш. Рывкин. - М.: Наука, 1977. - 552 с.

3. Терентьев, А.Д. Некоторые замечания к выводу формул для реактивной силы и тяги ракетного двигателя / А.Д. Терентьев // Известия КГТУ. - 2002. - №1. - С. 191-202.

4. Давыдов, Ю.М. Крупных частиц метод / Ю.М. Давыдов // Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия, 1982. - Т. 3. - С. 125 - 129.

Размещено на Allbest.ru