О переходе к стоксовому течению в каналах

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

О переходе к стоксовому течению в каналах

В.В. Серебряков

Представлены результаты расчётов трёхмерного МГД-течения в неоднородном магнитном поле при конечных значениях параметра МГД-взаимодействия. Определена область перехода от инерционного к стоксовому режиму течения.

трёхмерное МГД-течение, инерционный режим, электроизоляционные стенки, неоднородное магнитное поле

Введение

Движение электропроводной жидкости в магнитном поле описывается системой магнитогидродинамических (МГД) уравнений, содержащих уравнение Максвелла для электромагнитного поля, закон Ома и уравнение Навье-Стокса, которое можно записать в виде:

. (1)

Уравнение (1) содержит три безразмерных параметра: -параметр МГД-взаимодействия, - число Гартмана и -магнитное число Рейнольдса, определяемых по характерным значениям скорости (), магнитного поля () и геометрического размера (). Параметр N показывает отношение электромагнитных и инерционных сил, число Ha - отношение электромагнитных и вязкостных, Rm характеризует влияние индуцированного магнитного поля.

Если индуцированным магнитным полем можно пренебречь ( ), то течение происходит под воздействием внешнего поля (безындукционный режим). В сильных магнитных полях значение параметра МГД-взаимодействия N может быть достаточно большим, чтобы пренебречь членом в левой части уравнения (1), что существенно упрощает (линеаризует) задачу. Полученное при таком допущении уравнение (1) описывает стоксов (безынерционный) режим течения.

Переход к безынерционному режиму течения должен зависеть от конкретных условий, при которых происходит МГД-течение, в связи с чем существенно его рассмотрение именно для данного случая. Этот вопрос возникает ввиду возможного применения жидкометаллических сред в системах теплосъема термоядерной энергетической установки. Одной из основных проблем, возникающих при использовании таких сред, является их прокачивание в сильных магнитных полях, характерных для термоядерного реактора с магнитным удержанием плазмы. Конкретная оценка гидравлических потерь в проточном тракте и их минимизация возможны только при правильной идентификации режима течения.

На рис. 1 показаны граничные значения параметра МГД-взаимодействия N(Ha), разделяющие стоксов (линейный) и нелинейный режимы течения, полученные экспериментально [1 - 5] для различных типов течений, а также области характерных значений чисел N и Ha для проектов жидкометаллических бланкетов термоядерных реакторов с магнитным удержанием плазмы [6 - 8]. Как видно из рис. 1, МГД-течения в этих установках, особенно в гибридном опытном термоядерном реакторе (ОТР), должны быть инерционными, и экстраполяция результатов, полученных в результате решения линеаризованного уравнения (1), в область значений N и Ha, характерных для бланкетных режимов течений, должна производиться с большой осторожностью.

Рис.1. Величина критического значения параметра МГД-взаимодействия, полученного в различных экспериментах и области типичных значений и в различных проектах жидкометаллических бланкетов

В данной работе проведено исследование нелинейных магнитогидродинамических течений в каналах при воздействии сильных магнитных полей и их перехода в безынерционный (стоксов) режим.

течение стоксовый канал магнитный

Математическая модель магнитогидродинамического течения

Рассмотрено течение электропроводной жидкости в канале прямоугольного сечения при воздействии неоднородного магнитного поля, изменяющегося вдоль течения.

Внешнее магнитное поле представлялось линейно возрастающей функцией

(2)

В таком случае можно учесть трехмерные эффекты в рамках модели усреднения по высоте канала [9 - 10].

Задача формулировалась в виде системы уравнений (3)-(6) для переменных: завихренность (щ), функция тока (ш), функция электрического тока (ч):

, (3)

, (4)

, (5)

. (6)

Выражение (6) для коэффициента трения на стенке, перпендикулярной «рабочей» составляющей магнитного поля, содержит число Гартмана Ha и параметр л=h/a, определяющий геометрию канала (h и a соответственно высота и ширина канала).

Решение системы уравнений (3)-(6) производилось в области, определённой границами , ; значение варьировалось в зависимости от режима течения для обеспечения на выходе практически развитого течения. На нижней границе задавались условия симметрии:

, (7)

на твёрдой боковой стенке

, (8)

для функции электрического тока для электроизоляционной стенки

. ( 9)

На выходной границе использовались «мягкие» граничные условия, полученные аппроксимацией выражений:

. (10)

Результаты

Поставленная задача была решена численно. Расчеты производились при значениях числа Ha=100; 500; 1000; 2000; N варьировалось от единицы до 107. Полагалось л=0,1 и dB/dx =1 в области неоднородности магнитного поля.

Ясно, что предлагаемые для определения границы применимости безынерционного приближения соотношения типа (где б изменяется в довольно широких пределах) [11] оставляют значительную неопределенность в идентификации областей существования различных режимов течения и мало что дают с практической точки зрения.

С другой стороны, результаты расчетов показывают, что эта неопределенность отражает и сущность реального процесса, так как сама переходная область от одного типа течения к другому значительно растянута по диапазону изменения характеризующих течение параметров. Особенно плавно осуществляется этот переход по локальным характеристикам течения (рис. 2, 3).

Рис. 2. Линии тока жидкости ш=const при Ha=2000

Рис. 3. Величина прогиба профиля скорости течения жидкости на оси канала

При малых N, в отличие от стоксова режима, нет симметрии течения относительно сечения, проходящего через середину области неоднородности магнитного поля. Максимальный прогиб в профиле скорости с уменьшением N смещается вниз по течению. Граница смены режимов течения по его локальным характеристикам резко не идентифицирована.

Более определенно можно разделить области инерционного и безынерционного режимов течения по интегральным характеристикам, например по общему перепаду давления. Очевидно, что при стоксовом (линейном) режиме течения должна исчезнуть зависимость перепада давления от параметра МГД- взаимодействия. Рис. 4 иллюстрирует этот эффект. В рассмотренном диапазоне значений числа Ha граница смены режимов течения расположена при значениях числа Рейнольдса порядка 103.

Рис. 4. Зависимость безразмерного перепада давления от N: 1-Ha=500;

2-Ha=1000; 3-Ha=2000. Пунктиром показана область перехода из инерционного в безынерционный режим

В качестве первого приближения можно принять, что при Ha=102-103 граничные N и Ha связаны зависимостью N~Ha2 с коэффициентом пропорциональности .

Список использованных литературных источников

1. Глухих В.А., Тананаев А.В., Кириллов И.Р. Магнитная гидродинамика в ядерной энергетике.-М., 1987.-264с.

2. Гринберг Г.К., Каудзе М.Л., Лиелаусис О.А. Исследование местных МГД-сопротивлений на натриевом контуре со сверхпроводящим магнитом //Магнитная гидродинамика.-1985.-№1.-С. 121-126.

3. Аитов Т.Н., Тананаев А.В., Чудов А.В., Шматенко В.А. Гидравлика жидкометаллического бланкета термоядерного реактора-токамака //Тезисы докладов 4-й Всесоюзной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов. -М.,1986.-С.341-342.

4. Аитов Т.Н., Калютик А.И., Тананаев А.В., Чудов А.В., Шматенко В.А. К проблеме Стокса в магнитной гидродинамике //XII Рижское совещание по магнитной гидродинамике.-Рига,1987.-Т.1-С.159-162.

5. Боченинский В.П., Тананаев А.В., Яковлев В.В. Экспериментальное исследование течения электропроводной жидкости в изогнутых каналах круглого сечения в сильном магнитном поле // Магнитная гидродинамика.- 1977.- №4.-С.61-65.

6. Smith D.L. Overview of the blanket comparison and selection study/ D.L. Smith D.L. // Fusion technology (USA).-№8. -1985.-P.10-44.

7. Baker C.C Tokamak Power System Studies-FY 1985/Argone National Laboratory Report, ANL/FPP-85-2.-1985.

8. Муравьев Е.В., Орлов В.В., Хрипунов В.И. Жидкометаллическое охлаждение гибридного реактора-токамака //Вопросы атомной науки и техники. Сер. Термоядерный синтез. - Вып.4.-1985.-С.24-28.

9. Лаврентьев И.В. МГД-процессы при конечных магнитных числах Рейнольдса: дисс…докт. физ.-мат. наук: 01.02.05-Механика жидкостей газа и плазмы /Ленинградский политехнический институт; И.В. Лаврентьев.-Л., 1984.-247с.

10. Серебряков В.В. Cтоксово течение в прямоугольном канале с изоляционными стенками в неоднородном магнитном поле //Известия КГТУ.-2007.-№12.-С.166-174.

11. Walker J. S. Laminar Duct Flows in Strong Magnetic Fields /J.S. Walker //Single- and Multi- Phase Flows in an Electromagnetic Fields: Energy, Metallurgical and Solar Applications/New-York, 1985.- P.496-515.

Размещено на Allbest.ru