Ассоциированная связность обаты на почти контактных гиперкомплексных многообразия

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Ассоциированная связность Обаты на почти контактных гиперкомплексных многообразия



В данной работе изучаются некоторые вопросы теории почти контактных гиперкомплексных многообразий. Гиперкомплексное многообразие - это дифференцируемое многообразие с тремя комплексными структурами, которые удовлетворяют кватернионным соотношениям. Почти контактное гиперкомплексное многообразие является нечетномерным аналогом гиперкомплексного многообразия.

Связность Обаты на гиперкомплексном многообразии является единственной связностью без кручения, сохраняющей гиперкомплексную структуру. Существование и единственность этой связности были доказаны Обатой [62, 63, 65]. Интерес к исследованию гиперкомплексных многообразий во многом определяется запросами физиков-теоретиков [48, 52]. Различные аспекты теории гиперкомплексных многообразий представлены в работах [36-41, 43-50]. В работах [53-59] изучались связности, определяемые на многообразиях с гиперкомплексной и гиперкэлеровой структурой. Основным примером почти контактной гиперкэлеровой структуры является продолженная структура [1, 2, 4, 6, 7, 10, 14-15, 19-24, 26, 28, 29, 32-34], естественным образом определяемая на распределении D нулевой кривизны сасакиева многообразия M [17, 18, 25]. Идея построения продолженной почти контактной структуры основана на использовании аналогии между геометрией касательного расслоения риманова многообразия и геометрией распределения D почти контактной метрической структуры . В работе [15] указывается на возможность использования продолженных почти контактных метрических структур при построении геометрических моделей задач неголономной механики. В то же время, ранг распределения продолженной структуры заведомо меньше максимально возможного ранга. Последнее обстоятельство учтено в определении почти контактной гиперкомплексной структуры.

Во втором разделе работы приводятся определения почти контактной гиперкомплексной и почти контактной гиперкэлеровой структур. Определяются адаптированные системы координат, эффективно используемые при доказательстве некоторых теорем. В третьем разделе определяется внутренняя связность Обаты. Перечисляются простейшие свойства связности Обаты. В частности, показывается, что внутренняя связность Обаты сохраняет почти контактную гиперкомплексную структуру и имеет нулевое кручение. В четвертом разделе приводится конструкция почти контактной гиперкэлеровой структуры на распределении сасакиева многообразия. В пятом разделе определяется тензор Схоутена-Риччи. Доказывается, что тензор Схоутена-Риччи почти контактного гиперкэлерова многообразия тождественно равен нулю. Заключительная теорема раздела и всей работы утверждает, что почти контактное гиперкэлерово многообразие является -Эйнштейновым многообразием.

Необходимые сведения о геометрии почти контактных метрических пространств можно извлечь из статьи [17]. В работе использованы результаты исследований касательных расслоений римановых многообразий (см., например, [59-61, 64]). Некоторые из полученных в работе результатов имеют аналоги в геометрии гиперкэлеровых многообразий [36, 37, 42, 44]. В работах [3, 5, 8, 9, 11-13, 16, 18, 25, 27-31, 35, 50, 51] рассматривались различные аспекты геометрии многообразий с почти контактной метрической структурой.

Почти контактные гиперкомплексные и почти контактные гиперкэлеровы многообразия

Почти контактным многообразием называется гладкое многообразие M нечетной размерности n=2m+1 с заданной на нем почти контактной структурой . Тензорные поля , ,  связаны соотношениями

обата связность гиперкэлерово многообразие

, , .



Распределение  называется распределением почти контактным структуры. Векторное поле  называется векторным полем Риба. Тензорное поле , заданное на почти контактном многообразии, назовем допустимым (к распределению D), если . Структурный эндоморфизм  является допустимым тензорным полем, называемым в дальнейшем допустимой почти комплексной структурой.

Почти контактная структура называется нормальной, если выполняется условие , где  - тензор Нейенхейса эндоморфизма . Если эндоморфизм удовлетворяет более слабому условию , то соответствующую почти контактную структуру будем называть почти нормальной структурой, а сам эндоморфизм - интегрируемой допустимой почти комплексной структурой. Гладкое распределение  называется оснащением распределения D. Имеет место разложение .

Карту  будем называть адаптированной к распределению D, если . Пусть  - проектор, определяемый разложением , и  - адаптированная карта. Векторные поля  линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение D: . Таким образом, мы имеем на многообразии M неголономное поле базисов  и соответствующее ему поле кобазисов . Непосредственно проверяется, что , где . Адаптированным будем называть также базис , как базис, определяемый адаптированной картой. Условие  влечет справедливость равенства .

Пусть  и  - адаптированные карты, тогда получаем следующие формулы преобразования координат:

, .

Координатное представление допустимого тензорного поля в адаптированной карте имеет вид:

.

Преобразование компонент допустимого тензорного поля в адаптированных координатах подчиняется следующему закону:

, где .

Модуль сечений гладкого распределения  будем обозначать . Проводя необходимые вычисления в адаптированных координатах, убеждаемся в справедливости следующего предложения.

Предложение 1. Для многообразия с почти контактной структурой выполняется равенство

, .

В дальнейшем будем использовать следующее обозначение:

.

Гиперкомплексная структура на гладком многообразии M представляет собой тройку интегрируемых почти комплексных структур , удовлетворяющих соотношению . При этом M называется гиперкомплексным многообразием. Одним из первых гиперкомплексные структуры рассматривал Обата [62, 63]. Почти контактное многообразие M размерности  назовем почти контактным гиперкомплексным многообразием, если на нем дополнительно заданы допустимые интегрируемые почти комплексные структуры ,  такие, что:

.

Почти контактное многообразие M называется почти контактным метрическим многообразием, если M - риманово многообразие с метрическим тензором , удовлетворяющим условию

.

Нормальное почти контактное метрическое многообразие называется многообразием Сасаки, если , где  - фундаментальная форма структуры.

Если почти контактное гиперкомплексное многообразие M является почти контактным метрическим многообразием и при этом выполняется условие

,

то M назовем почти контактным гиперэрмитовым многообразием. Если, при этом, дифференциальные формы ,  замкнуты, то соответствующее почти контактное гиперэрмитово многообразие будем называть почти контактным гиперкэлеровым многообразием.

Внутренняя и ассоциированная связности Обаты

Внутренней линейной связностью  [20] на многообразии с почти контактной метрической структурой называется отображение , удовлетворяющее следующим условиям:

1) ;

2) ;

3) .

где  - модуль допустимых векторных полей.

Кручением и кривизной внутренней связности назовем допустимые [20] тензорные поля

,

, ,

где  - проектор, определяемый разложением , . Тензор  назван Вагнером [17] тензором кривизны Схоутена. Внутренняя линейная связность обычным образом может быть применена к произвольному допустимому тензорному полю. В частности, внутренней метрической связностью будем называть единственную внутреннюю связность без кручения, для которой имеет место равенство

.

Коэффициенты внутренней метрической связности могут быть представлены в виде

.



Координатное представление тензоров кручения и кривизны в адаптированных координатах [20] имеет вид:

,

.

Ассоциированную с внутренней связностью  связность  определим как единственную связность на многообразии M, удовлетворяющую следующим условиям:

1.  (1)

2.  (2)

3.  (3)

4.  (4)

5.

Корректность определения ассоциированной связности подтверждается следующим предложением.

Предложение 2. На почти контактном многообразии M с заданной на нем внутренней связностью , существует и притом единственная связность , удовлетворяющая условиям (1) - (4).

Доказательство.

1. Единственность. Предположим, что связность , удовлетворяющая условиям (1) - (4), существует. Введем следующее обозначение для ее коэффициентов: . Из выполнения условий (1) - (4) следует, что в адаптированных координатах отличными от нуля коэффициентами  связности  являются лишь коэффициенты , где  - коэффициенты связности .

2. Существование. Определяя в адаптированных координатах отличные от нуля коэффициенты  с помощью равенства , получаем искомую связность. Предложение доказано.

Предложение 3. Тензор кривизны  ассоциированной связности связан с тензором кривизны Схоутена с помощью следующего равенства:

.

Здесь  - допустимое тензорное поле с компонентами .

Для доказательства предложения достаточно получить координатные представления обеих частей равенства в адаптированных координатах.

Теорема 1 [17]. Допустимая почти комплексная структура  интегрируема тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: , где  - связность, ассоциированная с некоторой внутренней симметричной связностью .

По аналогии с канонической связностью гиперкомплексного многообразия [64], определим на многообразии с почти контактной гиперкомплексной структурой внутреннюю связность , полагая:

.

Назовем полученную выше связность внутренней связностью Обаты.

Предложение 4. Внутренняя связность Обаты сохраняет почти контактную гиперкомплексную структуру и имеет нулевое кручение.

Доказательство. Воспользовавшись формулой

,



получаем:

.

Учитывая предложение 1, заключаем, что . Справедливость равенства  проверяется непосредственно. Кручение внутренней связности Обаты представимо в виде

.

Тем самым предложение доказано.

Продолженная почти контактная гиперкэлерова структура

Внутренняя линейная связность может быть определена заданием горизонтального распределения над пространством векторного расслоения . Будем говорить, что над распределением D задана связность, если распределение , где  - естественная проекция, раскладывается в прямую сумму вида , где  - вертикальное распределение на тотальном пространстве .

Введем на D структуру гладкого многообразия, поставив в соответствие каждой адаптированной карте  многообразия Mсверхкарту  на многообразии , где  - координаты допустимого вектора в базисе . Построенную сверхкарту также будем называть адаптированной. Задание связности над распределением эквивалентно заданию объекта  такого, что , где . В случае, когда , связность над распределением определяется внутренней линейной связностью. Пусть  - внутренняя линейная связность, определяемая горизонтальным распределением , и  - поле допустимого тензора типа (1,1). Продолженной связностью назовем связность в векторном расслоении , определяемую разложением , такую, что , где .

Всякому векторному полю , заданному на многообразии M, обычным образом соответствует его горизонтальный лифт , при этом,  тогда и только тогда, когда  - допустимое векторное поле: .

Векторные поля , определяют на D неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы  - соответствующее поле кобазисов.

Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:

,

,

.

Объект  не зависит от выбора адаптированной системы координат и представляет собой допустимое тензорное поле ,  типа (2,1).

Теорема 2. Пусть  - внутренняя симметричная связность с тензором кривизны Схоутена . Тогда для всех и  имеют место следующие равенства.

,

,

,

.

Доказательство теоремы основано на применении структурных уравнений.

Пусть  - Сасакиева структура с распределением нулевой кривизны на многообразии . Почти контактная гиперкэлерова структура  на распределении D многообразия M определяется посредством равенств

, , ,

, , ,

, , ,

,

, .

Свойства тензоров Схоутена и Схоутена-Риччи

Теорема 3. Тензор  кривизны распределения почти контактной метрической структуры удовлетворяет следующим условиям:

 (5)

 (6)

где , .

Справедливость равенства (5) подтверждается известным свойством тензора кривизны произвольной связности и равенством .

Для доказательства (6) воспользуемся тождеством Бьянки, координатная запись которого имеет вид:



 (7)

Отличными от нуля компонентами тензора кручения ассоциированной связности являются

 (8)

Подставляя (8) в (7), получаем .

В адаптированных координатах компоненты  имеют вид: , .

Таким образом, учитывая симметричность внутренней связности, убеждаемся в том, что равенство  влечет равенство . Тем самым, теорема доказана.

Тензором Схоутена-Риччи назовем допустимое тензорное поле , . Координатное представление тензора Схоутена-Риччи имеет вид: .

Теорема 4. Тензор Схоутена-Риччи почти контактного гиперкэлерова многообразия тождественно равен нулю.

Доказательство. Заметим, что тензор Схоутена-Риччи почти контактного гиперкэлерова многообразия не зависит от последней координаты адаптированной системы координат и, тем самым, относится к объектам трансверсальной геометрии почти контактного метрического многообразия. Таким образом, осталось лишь сослаться на аналогичный результат для гиперкэлерова многообразия [42].

Теорема 5. Почти контактное гиперкэлерово многообразие является -Эйнштейновым многообразием.

Доказательство. Проводя необходимые вычисления, убедимся в справедливости равенства

.

Здесь  тензор кривизны связности Леви-Чивита. Используя последнее равенство и условие теоремы, получаем:

, .

Далее, получаем: .

Аналогично,  и , что и доказывает теорему.



Список литературы

обата связность гиперкэлерово многообразие

1. Букушева А.В. Об алгебре Ли преобразований продолженной почти контактной метрической структуры // Современные научные исследования и инновации. 2015. №4-1 (48). С. 11-13.

2. Букушева А.В. Об инфинитезимальных изометриях продолженных почти контактных метрических структур // Современные научные исследования и инновации. 2015. №5-1 (49). С. 23-24.

3. Букушева А.В. Об инфинитезимальных эндоморфизмах допустимой почти симплектической структуры // Современные научные исследования и инновации. 2015. №7-1 (51). С. 14-16.

4. Букушева А.В. Об одном примере гиперкэлеровой структуры на контактных кэлеровых распределениях // Современные научные исследования и инновации. 2015. №8-1 (52). С. 21-22.

5. Букушева А.В. О геометрии контактных метрических пространств с $\varphi$-связностью // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 2015. Т. 40. №17. С. 20-24.

6. Букушева А.В. О некоторых классах продолженных почти параконтактных метрических структур // Сборник научных статей международной конференции «Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования», Барнаул, 20-24 октября 2015. - Барнаул: Изд-во Алтайского ун-та, 2015. С. 471-474.

7. Букушева А.В. О некоторых классах распределений с финслеровой структурой // Математика. Механика. 2012. №.14. С. 13-16.

8. Букушева А.В. О некоторых классах почти параконтактных метрических многообразий // Математика. Механика. 2013. №.15. С. 8-11.

9. Букушева А.В. Когомологии оснащенных распределений // Математика. Механика. 2014. №.16. С. 15-18.

10. Букушева А.В. Слоения на распределениях с финслеровой метрикой // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т.14. №.3. С. 247-251.

11. Букушева А.В. Нелинейные связности и внутренние полупульверизации на распределении почти контактной метрической структуры // Математика. Механика. 2015. №.17. С. 6-8.

12. Букушева А.В., Галаев С.В. О допустимой келеровой структуре на касательном расслоении к неголономному многообразию // Математика. Механика. 2005. №7. С. 12-14.

13. Букушева А.В., Галаев С.В., Иванченко И.П. О почти контактных метрических структурах, определяемых связностью над распределением с финслеровой метрикой // Механика. Математика. 2011. №13. С. 10-14.

14. Букушева А.В., Галаев С.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые связностью над распределением с допустимой финслеровой метрикой // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. №. 3. С. 17-22.

15. Букушева А.В., Галаев С.В. Связности над распределением и геодезические пульверизации // Известия высших учебных заведений. Математика. 2013. №4. С. 10-18.

16. Галаев С.В. О некоторых классах N-продолженных связностей // Математика. Механика. 2015. №.17. С. 12-15.

17. Галаев С.В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. №1. С. 16-22.

18. Галаев С.В. Почти контактные кэлеровы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны // Известия высших учебных заведений. Математика. 2014. №8. С. 42-52.

19. Галаев С.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые N-продолженной связностью // Математические заметки СВФУ. 2015. Т. 22. №1. С. 25-34.

20. Галаев С.В. Почти контактные метрические пространства с N-связностью // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. №3. С. 258-263.

21. Галаев С.В. Геометрическая интерпретация тензора кривизны Вагнера для случая многообразия с контактной метрической структурой // Сибирский математический журнал. 2016. Т. 57. №3 (337). С. 632-640.

22. Галаев С.В. Допустимые гиперкомплексные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16. №3. С. 263-272.

23. Галаев С.В. Гладкие распределения с допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структурой // Вестник Башкирского университета. 2016. Т. 21. №3. С. 551-555.

24. Галаев С.В. Обобщенный тензор кривизны Вагнера почти контактных метрических пространств // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17. №3 (59). С. 53-63.

25. Галаев С.В. О почти контактных метрических пространствах с метрической N-связностью // Современные научные исследования и инновации. 2015. №4-1 (48). С. 14-16.

26. Галаев С.В. О метрической N-продолженной связности на почти контактном метрическом пространстве // Современные научные исследования и инновации. 2015. №5-1 (49). С. 20-22.

27. Галаев С.В. Связности, совместимые с допустимой почти симплектической структурой // Современные научные исследования и инновации. 2015. №7-1 (51). С. 17-19.

28. Галаев С.В. Допустимые гиперкомплексные структуры на контактных кэлеровых распределениях // Современные проблемы математических и естественных наук в мире. Сборник научных трудов по итогам международной научно-практической конференции. Казань. Изд-во: Инновационный центр развития образования и науки. 2015. С. 22-24.

29. Галаев С.В. О продолжении почти контактных метрических структур // Актуальные вопросы и перспективы развития математических и естественных наук. Сборник научных трудов по итогам международной научно-практической конференции. Омск. Изд-во: Инновационный центр развития образования и науки. 2015. С. 21-25.

30. Галаев С.В. О контактных метрических пространствах с распределением нулевой кривизны // Сборник научных статей международной конференции «Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования», Барнаул, 20-24 октября 2015. - Барнаул: Изд-во Алтайского ун-та, 2015. С. 479-482.

31. Галаев С.В. Замечания о контактно-геодезических преобразованиях почти контактных метрических многообразий // Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. 2016. №15-1. С. 54-57.

32. Галаев С.В. Обобщенные би-контактные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. 2016. №15-1. С. 57-59.

33. Галаев С.В. Примеры многообразий со специальной квази-сасакиевой структурой // Новая наука: Теоретический и практический взгляд. 2016. №10-2. С. 31-33.

34. Галаев С.В. Об одном примере допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структуры с метрикой полного лифта // Новая наука: Теоретический и практический взгляд. 2016. №10-2. С. 28-31.

35. Галаев С.В. N-продолженные симплектические связности в почти контактных метрических пространствах // Известия высших учебных заведений. Математика. 2017. №3. С. 15-23.

36. Alesker S., Verbitsky M. Quaternionic Monge-Amp`ere equation and Calabi problem for HKT-manifolds // Israel J. Math. 2010. Vol. 176. P. 109-138.

37. Banos B., Swann A. Potentials for hyper-Keahler metrics with torsion // Classical Quantum Gravity. 2004. Vol. 21, no. 13. P. 3127-3135.

38. Barberis M.L. A survey on hyper-Keahler with torsion geometry // Rev. Un. Mat. Argentina. 2009. Vol. 49, no. 2. P. 121-131.

39. Barberis M.L., Dotti I.G., Verbitsky M. Canonical bundles of complex nilmanifolds, with applications to hypercomplex geometry // Math. Res. Lett. 2009. Vol. 16, no. 2. P. 331-347.

40. Barberis M.L., Fino A. New HKT manifolds arising from quaternionic representations // Math. Z. 2011. Vol. 267, no. 3-4. P. 717-735.

41. Bedulli L., Gori A., Podest`a F. Homogeneous hyper-complex structures and the Joyce's construction // Differential Geom. Appl. 2011. Vol. 29, no. 4. P. 547-554.

42. Berger M. Sur les groupes d'holonomie homog`ene des vari'et'es `a connexion affine et des vari'et'es riemanniennes // Bull. Soc. Math. France. 1955. Vol. 83. P. 279-330.

43. Bismut J.-M. A local index theorem for non-Keahler manifolds // Math. Ann. 1989. Vol. 284, no. 4. P. 681-699.

44. Boyer C.P. A note on hyper-Hermitian four-manifolds // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. Vol. 102, no. 1. P. 157-164.

45. Boyer C.P., Galicki K., Mann B.M. Some new examples of compact inhomogeneous hypercomplex manifolds // Math. Res. Lett. 1994. Vol. 1, no. 5. P. 531-538.

46. Boyer C.P., Galicki K., Mann B.M. Hypercomplex structures on Stiefel manifolds // Ann. Global Anal. Geom. 1996. Vol. 14, no. 1. P. 81-105.

47. Boyer C.P., Galicki K., Mann B.M. Hypercomplex structures from 3-Sasakian structures // J. Reine Angew. Math. 1998. Vol. 501. P. 115-141.

48. Capria M.M., Salamon S.M. Yang-Mills fields on quaternionic spaces // Nonlinearity. 1988. Vol. 1, no. 4. P. 517-530.

49. Demailly J.-P., Paun M. Numerical characterization of the Keahler cone of a compact Keahler manifold // Ann. of Math. (2). 2004. Vol. 159, no. 3. P. 1247-1274.

50. Fino A., Grantcharov G. Properties of manifolds with skew-symmetric torsion and special holonomy // Adv. Math. 2004. Vol. 189, no. 2. P. 439-450.

51. Galaev S.V. Intrinsic geometry of almost contact Kahlerian manifolds // Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyiregyhaziensis. 2015. Vol. 31. №1. P. 35-46.

52. Gates S.J., Hull C.M., Rocek M. Twisted multiplets and new supersymmetric nonlinear $\sigma$-models // Nuclear Phys. B. 1984. Vol. 248, no. 1. P. 157-186.

53. Gauduchon P. Hermitian connections and Dirac operators // Boll. Un. Mat. Ital. B (7). 1997. Vol. 11, no. 2, suppl. P. 257-288.

54. Grantcharov G., Papadopoulos G., Poon Y.S. Reduction of HKT-structures // J. Math. Phys. 2002. Vol. 43, no. 7. P. 3766-3782.

55. Grantcharov G., Pedersen H., Poon Y.S. Deformations of hypercomplex structures associated to Heisenberg groups // Q.J. Math. 2008. Vol. 59, no. 3. P. 335-362.

56. Grantcharov G., Poon Y.S. Geometry of hyper-Keahler connections with torsion // Comm. Math. Phys. 2000. Vol. 213, no. 1. P. 19-37.

57. Grantcharov G., Verbitsky M. Calibrations in hyper-Keahler geometry // Commun. Contemp. Math. 2013. Vol. 15, no. 2. P. 1250060, 27.

58. Gross M., Huybrechts D., Joyce D. Calabi-Yau manifolds and related geometries. Lectures at a summer school in Nordfjordeid, Norway, June 2001. Berlin: Springer, 2003. P. viii + 239.

59. Kowalski O. Curvature of the induced Riemannian metric on the tangent bundle of a Riemannian manifold // J. Reine Angew. Math. 1971. №250. P. 124-129.

60. Munteanu M.I. Some aspects on the geometry of the tangent bundles and tangent sphere bundles of a Riemannian manifold // Mediterr. J. Math. 2008. №5. P. 43-59.

61. Musso E., Tricerri F. Riemannian metrics on tangent bundles. Ann. Mat. Pura Appl. 1988. №150 (4). P. 1-19.

62. Obata M. Affine connections on manifolds with almost complex, quaternion or Hermitian structure // Jap. J. Math. 1956. Vol. 26. P. 43-77.

63. Obata M. Affine connections in a quaternion manifold and transformations preserving the structure // J. Math. Soc. Japan. 1957. Vol. 9. P. 406-416.

64. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds // Tohoku Math. J. 1958. №10. P. 338-354.

65. Soldatenkov A. Holonomy of the Obata connection on (3) // Int. Math. Res. Not. 2012. no. 15. P. 3483-3497.

Размещено на Allbest.ru

...